专题1.7 函数导数跨模块综合与创新题型 专项突破训练-2026届高三数学二轮复习

专题1.7 函数导数跨模块综合与创新题型专项——2026届高考数学二轮复习专题突破 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 四 总分 评分 一、选择题（共8题；共40分） 1．（2017·荆州模拟）设随机变量η服从正态分布N（1，σ2），若P（η＜﹣1）=0.2，则函数 没有极值点的概率是（　　） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 2．（2023·湘豫模拟）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚、全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一．某企业积极响应国家号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品．经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产x万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完．欲使得生产该产品能获得最大利润，则产量应为（　　） A．40万件 B．50万件 C．60万件 D．80万件 3．（2020·淮南模拟）已知 是函数 的极值点，数列 满足 ， ， ，记 表示不超过 的最大整数，则 （　　） A．1008 B．1009 C．2018 D．2019 4．（2023·山西模拟）定义在上的函数满足在区间内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法正确的是（　　） A．的最小正周期为 B．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称 C．图象的一个对称中心为 D．在区间上单调递增 5．（2019高三上·北京月考）已知向量 、 满足 ，且关于 的函数 在实数集 上单调递增，则向量 、 的夹角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2024高三上·荔湾模拟）已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．（2025·仁寿模拟）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（2023高三上·长沙月考）对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知，，，要比较，，的大小，我们就可通过构造函数来进行比较，通过计算，你认为下列关系正确的一项是（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（共3题；共18分） 9．（2023·安庆模拟）牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛，其定义是：对于函数和数列，若，则称数列为牛顿数列.已知函数，数列为牛顿数列，且，，，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C．是等比数列 D． 10．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记若在上恒成立，则函数在上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是（　　） A． B． C． D． 11．（2024·佛山模拟）若在上仅有一个最值，且为最大值，则的值可能为（　　） A． B．1 C． D． 三、填空题（共3题；共15分） 12．（2022·青浦模拟）设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，，则　 　. 13．（2021高三上·怀仁期中）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为 ，其纵坐标满足 ，则当 时，函数f（t）恰有2个极大值，则m的取值范围是　 　． 14．（2024高三上·广东开学考）若不等式xex－ex ln x＞mx－ex恒成立，则正整数m的最大值为　 　． 四、解答题（共5题；共77分） 15．（2022高三上·安徽期末）已知平面向量，函数． （1）求函数的最小正周期和对称轴； （2）将函数的图象向左平移个单位，然后再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图像，若函数经过点，求的值． 16．（2022·云南模拟）△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平面向量、满足，，． （1）求A； （2）若，，求△ABC的面积． 17．（2021高三上·河南月考）已知平面向量 ， ，记 在 上的投影为 . （1）求 的单调递增区间； （2）若平面向量 ， ，且 ，求函数 的最小正周期. 18．（2024高三下·乐昌月考）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，，求实数的取值范围． 19．（2025·桂林模拟）对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”． （1）判断函数的凹凸性； （2）若，令，求的最小值； （3）为（2）问所得结果，证明不等式：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】解：∵函数 没有极值点， ∴f′（x）=x2+2x+η2=0无解， ∴△=4﹣4η2＜0， ∴η＜﹣1或η＞1， ∵随机变量η服从正态分布N（1，σ2），P（η＜﹣1）=0.2， ∴P（η＜﹣1或η＞1）=0.2+0.5=0.7， 故选C． 函数 没有极值点，则f′（x）=x2+2x+η2=0无解，可得η的取值范围，再根据随机变量η服从正态分布N（1，σ2），可得曲线关于直线x=1对称，从而可得结论． 2．【答案】D 【解析】由题意得，销售收入为100x万元，当产量不足50万件时， 利润；当产量不小于50万件时， 利润． 所以利润 因为当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则． 当时，，当且仅当时取等号．又，所以当时，所获利润最大，最大值为1000万元． 故答案为：D． 依题意求得利润，借助导数和基本不等式可求得最大值. 3．【答案】A 【解析】解： ， 是函数 的极值点， 可得： ， 即 ， 累加可得 ， ， 则 . 故答案为：A. 利用函数的导数通过函数的极值，得到数列的递推关系式，求出数列的通项公式，化简数列求和，推出结果即可. 4．【答案】D 【解析】依题可知，于是，于是， ∴，∴，∴， 对于A，由，则的最小正周期为，A不符合题意； 对于B，将的图象向右平移个单位长度后得， 则，所以不关于原点对称，B不符合题意； 对于C，由，所以不是图象的一个对称中心，C不符合题意； 对于D，由，则，所以在区间上单调递增，D符合题意． 故答案为：D． 根据题意可求出，从而可得到的解析式，再根据解析式逐项分析即可． 5．【答案】C 【解析】设向量 、 的夹角为 ，由题意可得 ， 由于函数 在实数集 上单调递增， 则不等式 在 上恒成立，即不等式 在 上恒成立， 则 ， . ， ，因此，向量 、 的夹角的取值范围是 ， 故答案为：C. 设向量 、 的夹角为 ，求出函数 的导数 ，由题意得出 ，求出 的取值范围，可得出角 的取值范围. 6．【答案】A 【解析】解：因为数列是单调递增数列， 可知当，时，单调递增， 即或，解得； 当时，单调递增恒成立， 且，即，解得， 所以，若数列是单调递增数列，则. 故答案为：A. 由数列的单调性可知当时，函数单调递增，当时，函数单调递增，且，从而列出不等式，进而解不等式得出实数a的取值范围. 7．【答案】B 【解析】解：因为， 令，则， 因为在R上单调递增， 所以， 当时，可由向右平移得到， 结合与的图象可知，恒成立， 当时，由，得到，其中， 令，，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，最小值为， 则， 综上所述，. 故答案为：B. 利用已知条件变形得到，令，则，再根据的单调性得到，分和两种情况参变分离，从而得到，再构造，则求导判断其单调性，从而求出其最小值为，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围. 8．【答案】A 【解析】解： 由题意，，则 ， 设，则， 当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增； 当，，；当，； 所以在上单调递增；故， 即， 即，即，即. 故答案为：A. 先求函数的导函数，再令，求导利用导数判断其单调性，对，，取对数利用单调性进行比较大小即可. 9．【答案】A，C，D 【解析】对于A，由得，解得，A符合题意； 对于B，因为，所以， 所以由可得. 由得，， 一方面，，另一方面，， 因此，B不符合题意， 对于CD，于是，即， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故.CD符合题意， 故答案为：ACD. 利用已知条件结合牛顿数列的定义，由得；利用，所以，所以，由可得，由得，一方面，，另一方面，，因此；再利用，即，再结合等比数列的定义判断出数列是以为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列第六项的值，从而找出结论正确的选项。 10．【答案】A，B，C 【解析】解：A、函数，，， 当时，恒成立，则为凸函数，故A正确； B、函数，，， 当时，恒成立，则为凸函数，故B正确； C、对于，，， 当时，，，恒成立，则为凸函数，故C正确； 对于D.对于，，， 当时，恒成立，则不是凸函数，故D错误． 故答案为：ABC． 由题意，根据凸函数的定义，求出函数的二阶导导函数，逐项判断即可. 11．【答案】B，D 【解析】解：根据 可得 根据， 解得 k为负整数时，的范围小于0，无选项；若时，，若时， 其中 ，故BD正确，AC错误。 故答案为：BD。 根据正弦函数的性质结合函数求出结论。 12．【答案】 【解析】∵，， ∴， ∴，∴。 故答案为：。 利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，得出向量与的夹角的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式得出向量与的夹角的正弦值，再利用向量积的模求解公式，进而求出向量与的向量积的模。 13．【答案】 【解析】根据点A的坐标 ）可得圆周的半径 ， 又因为旋转一周用时6秒，所以周期 ，从而得 ， ，又点 时， 在函数图象上， ，且 ， ， ， 根据三角函数的性质， 在 内恰有两个极大值时， ，解得 ，再结合已知条件 ，从而求出实数m的取值范围为。 故答案为： 。 根据点A的坐标 ）结合勾股定理可得圆周的半径旋转一周用时6秒，所以函数周期 ，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出 的值，再利用 ，结合当 时， 在函数图象上，再结合代入法和 ，进而求出 的值，进而求出函数，根据三角函数的性质，得出 在 内恰有两个极大值，进而求出实数t的取值范围，进而结合已知条件 ，从而求出实数m的取值范围。 14．【答案】5 【解析】由题意可知xex－exln x＋ex＞mx，即x－ln x＋1＞恒成立． 令f（x）＝x－ln x＋1，f'（x）＝1－＝. 当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增． ∴ 当x＝1时，函数f（x）取得极小值，即最小值，f（x）min＝f（1）＝2. 令g（x）＝，则g'（x）＝＝， 当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增； 当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减． ∴ 当x＝1时，函数g（x）取得极大值，即最大值，g（x）max＝g（1）＝. ∴ {f（x）－mg（x）}min＝f（1）－mg（1）＝2－＞0，得m＜2e∈（5，6）， ∴ 正整数m的最大值为5. 故答案为：5. 将ex－exln x＋ex＞mx，转化为x－ln x＋1＞恒成立． 令f（x）＝x－ln x＋1、 g（x）＝ ， 分别求导数，研究其单调性、极值、最值，即可求解. 15．【答案】（1）解：由题意，平面向量， 可得函数 ， 所以函数的最小正周期为， 令，解得， 即函数的对称轴的方程为 （2）解：由（1）知， 将函数的图象向左平移个单位，可得， 再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到， 因为函数经过点，可得，即， 又因为，可得，所以， 所以 【解析】（1）首先由数量积的坐标公式结合两角和的正弦公式，代入整理化简即可得出函数的解析式，再由正弦函数的图象和性质即可求出周期以及对称轴方程。 （2）结合函数平移的性质，由正弦函数的图和性质计算出，然后由两角和的正弦公式代入数值计算出结果即可。 16．【答案】（1）解：∵，，， ∴． ∴，即． ∴． ∵， ∴． （2）解：在△ABD中，由，和余弦定理， 得． ∵D是AC的中点， ∴ ∴，化简得，即． ∵， ∴，解得． ∴． ∴△ABC的面积为． 【解析】（1）利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示和余弦定理以及三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值。 （2） 在△ABD中，由，和余弦定理，再利用D是AC的中点，得出，进而化简得出，再利用，得出bc的值，再结合三角形的面积公式得出三角形△ABC的面积。 17．【答案】（1）由 ，得 ， ， 令 ， ，解得 ， ， 的单调递增区间为 . （2）由（1）得 ， 又 ， ，即 ， 由 可得 ，故 ， ， 函数 的最小正周期为 . 【解析】（1）根据投影的性质可得 ，再利用三角恒等变形可得 ，再利用正弦函数的单调性即可得出 的单调递增区间； （2） 由（1）得 ，利用三角恒等变形可得 ， 由 可得 ，求得 ，进而求得函数 的最小正周期. 18．【答案】解：（1）由题知，的定义域为，∴， （对函数求导后，由于恒大于0，故对进行正负分类讨论，从而判断函数的单调性， 当时，在上恒成立，故在上是增函数； 当时，令得， 在上有；在上有， ∴在上是减函数，在上是增函数. （2）当时，，即（*）， 令，则， ①若，由（1）知，当时，在上是增函数， 故有， 即，得，故有， （由（1）可判断，此不等式为常见不等式，熟记更利于解题）， ， （当且仅当，即，且时取等号）， （根据及基本不等式可知需对和的大小分类讨论）， ∴函数在区间上单调递增，∴，∴（*）式成立； ②若，令， 则，当且仅当时等号成立， ∴函数在区间上单调递增， ∵， ， ∴，使得， 则当时，，即， ∴函数在区间上单调递减， （构造函数，对其求导并根据零点存在性定理判断的单调性）， ∴，即（*）式不恒成立， 综上所述，实数的取值范围是． 【解析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数f（x）的单调性. （2）利用已知条件，将变形为，再利用对的值进行分类讨论结合求导的方法判断函数的单调性，从而由单调性得出实数的取值范围． 19．【答案】（1）解：由题，，即， 所以为的凸函数． （2）解：设函数，则，，所以在为“凹函数”， 当时，， 即， 当且仅当时，等号成立， 最小值为． （3）证明：即证， 两边取对数，即证：， 的导数为， 当时，恒成立，所以在上为单调递增函数， 所以， 令，所以， 所以， 累加可得：，证得不等式成立． 【解析】（1）根据定义，求得和，再判断即可求解； （2）先判断出在为“凹函数”，当时，根据凸函数的性质得出，即可得出的最小值； （3）由（2）结论得出即证，两边取对数，即证，由导数得出在上为单调递增函数，即可得出，再用累加法即可证明． （1）由题，，即， 所以为的凸函数． （2）设函数，则， ，所以在为“凹函数”， 当时，， 即， 当且仅当时，等号成立， 最小值为． （3）即证， 两边取对数，即证：， 的导数为， 当时，恒成立，所以在上为单调递增函数， 所以， 令，所以， 所以， 累加可得：，证得不等式成立． $