专题1.4 恒成立与能成立问题专项 专题突破训练-2026届高三数学二轮复习

专题1.4 恒成立与能成立问题专项——2026届高考数学二轮复习专题突破 一、选择题（共8题；共40分） 1．（2025·广州模拟）已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（浙江省强基联盟2026年1月高三联考数学试题）已知函数恒成立，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2025高三上·广州月考）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·丰台模拟）已知，，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·湖北模拟）若不等式恒成立，则实数a的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025高三上·深圳月考）已知实数，满足，则下列关系不可能成立的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025高三上·鹿城月考）已知实数满足，则下列关系不可能成立的是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·嘉兴模拟）若实数满足，则下列结论不可能成立的是（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（共3题；共18分） 9．（2025·岳阳模拟）已知不等式在上恒成立（当且仅当时等号成立），下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（2025·台州模拟）已知是定义域为R且周期为2的函数，其部分图象如图所示，则下列选项对恒成立的是（　　） A． B． C． D． 11．（2024高三上·天河开学考）设，，且，则下列关系式可能成立的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题（共3题；共15分） 12．（2025高三上·北京月考）设函数，则使得成立的的取值范围是　 　. 13．（2025高三上·长沙月考）若关于x的不等式恒成立，则的最大值是　 　. 14．（2025高三上·望城月考）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是　 　. 四、解答题（共5题；共77分） 15．（2024高三上·桃源月考）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 16．（2025高三上·拱墅月考）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”． （1）若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由． （2）若为“上凸数列”，则当时，． （ⅰ）若数列为的前项和，证明：； （ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值． 17．（2025·嘉兴模拟）已知函数.当时，恒成立. （1）求实数的取值范围； （2）求证：（i）在上存在极值点和零点； （ii）对于（i）中的和，满足. 18．（2025·浙江模拟）若连续函数满足在定义域内恒成立，则称为“T函数”. （1）判断以下函数是否为“T函数”，请说明理由. （ⅰ）； （ⅱ）； （ⅲ）. （2）若非常值函数存在二阶导数，证明：为“T函数”的充要条件是为常值函数. （3）已知非常值函数为“T函数”，且.记为不超过x的最大整数，讨论函数在区间上的单调性. 19．（2025高三上·云溪期末）数列满足对任意的正整数都成立，则称为数列. （1）设是等差数列，是正项等比数列，记，证明：数列是数列； （2）若为数列，且，求证：； （3）若正项数列的前项和为，求证：. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】解：设函数，作出函数图象如图所示： 设， A、当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，故A错误； C、当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，故C错误； 因为，所以， 设， 作出函数的图象如图所示： B、当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，故B正确； D、当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，故D错误； 故答案为：B. 设指数函数，在同一坐标系中作出三个函数的图象，分，，两种情况即可求解. 2．【答案】A 【解析】解：由题意，得是函数的最大值， ， 得， ， 又． 故答案为：A. 由题意结合正弦型函数求最值的方法和不等式恒成立问题求解方法，则根据的取值范围得出的值. 3．【答案】D 【解析】解：设，则对任意恒成立， 设，则，且， 设，则， 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以， 所以的最小值为，即的最小值为， 所以. 故答案为：D． 设，不等式可转化条件为对任意恒成立，设，则，求导可得，再利用导数和最值的关系即可求解. 4．【答案】C 【解析】解：对于选项A：因为 举反例：取，，，， 则 ，， 显然 不成立，故选项A不恒成立； 对于选项B：因为 举反例：取 ，，，， 则 ，， 显然 不成立，故选项B不恒成立； 对于选项C：因为 又因为指数函数 是严格增函数， 由 和 分别推出 和 ， 所以 恒成立，故选项C恒成立； 对于选项D：因为 举反例：取，，，， 则 ，， 显然 不成立，故选项D不恒成立. 故答案为：C. 利用举反例判断出选项A、选项B和选项D；利用指数函数的单调性结合不等式的基本性质，则判断出选项D，从而找出不等式恒成立的选项. 5．【答案】B 【解析】因为，所以， 令，则恒成立， 则恒成立， 令，则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增 所以，所以，故a的最大值为2. 故选：B. 通过变形将原不等式转化为关于的形式，再换元简化，构造函数，利用函数单调性求最值，进而确定a的最大值. 6．【答案】B 【解析】解：设， 则分别为与图象交点的横坐标， 当时，如下图所示： 此时，故A正确； 当时，且位于和交点上方时，如下图所示： 此时，故C正确； 当时，且位于和交点下方时，如下图所示： 此时，故D正确；故C不可能. 故答案为：B 先设，再同一坐标系下画出三个函数图象，再，，结合函数图象即可求解. 7．【答案】C 【解析】解：依题意，令，则，，， 则a，b，c可分别视为函数，，的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系中画出函数，，和的图象如图所示： 当直线为时，； 当直线为或时，； 当直线为时，； 当直线为时，； 当直线为时，； 当直线为移动到左端的直线时，始终有. 综上所述，，，都有可能成立，而不可能成立. 故答案为：C. 先将问题转化为函数，，和的图象的交点问题，再利用函数图象判断即可求解. 8．【答案】D 【解析】解：由， 得， 由选项知，只需要讨论及两种情况， 当时，， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以，即，得成立，故A正确； 因为，所以， 则， 得，所以，故B正确； 当时，， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以，则，得成立，故C正确； 因为， 所以， 则， 得，则，故D错误. 故答案为：D. 分及两种情况讨论，结合对数函数的单调性，从而逐项判断找出结论不可能的成立的选项. 9．【答案】A，B，D 【解析】解：对于A，将替换为，则， 所以，故A正确； 对于B，由选项A，可得，则， 由题意，得， 所以， 则，故B正确； 对于C，由选项A，令，得， 则，故C错误； 对于D，因为 ，故D正确. 故答案为：ABD. 将替换为结合已知条件，则可判断选项A；根据和，则取求解判断出选项B；取，得，再相加求解，则判断出选项C；利用放缩法求解，则判断出选项D，从而找出不等式正确的选项. 10．【答案】A，B，D 【解析】解：对于A：由函数是定义域为R且周期为2， 则将的图象往左和往右复制延伸可得的图象， 可知函数关于y轴对称，所以，函数为偶函数，故A正确； 对于B：由图象可知为函数图象的对称轴， 得，故B正确； 对于C：令， 则， 又因为， 所以恒成立，则单调递增， 当时，，则， 由图象可知，当时，单调递增，则； 当时，单调递减，则，故C错误； 对于D：由函数图象可知，当时，，， 令， 则，在该区间单调递增，且， 则，满足， 则当时，，单调递减，； 当时，，单调递增，， 则，， 所以， 则， 令，该函数周期，且关于轴对称， 则在R上恒成立，故D正确. 故答案为：. 结合函数是定义域为R且周期为2，可得函数在R上的图象关于y轴对称，从而判断出函数为偶函数，则可判断选项A；由函数的图象的对称轴，则可以判断选项B；令，利用导数判断函数的单调性，从而判断出的大小，则可判断选项C；由图象可知，在时，，，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的值域，令，再结合函数的周期性和对称性，则在R上恒成立，则判断出选项D，从而找出对恒成立的选项. 11．【答案】A，C，D 【解析】由于，知，及其， 则，解得. A，B，，设函数， 则，故在上单调递减， 则1， 故函数的值域为. 而，，A正确，B错误； C，由于， 设， 则，故在上单调递减， 所以， 故函数的值域为， 若，则，C正确； D，，设， ， 令，则， 则当，，则在上单调递增； 当，，在上单调递减， ，，即，D正确. 故答案为：ACD. 本题考查函数的单调性.先通过变形可得：，再结合，可求出，通过变形可得：，设函数，求出导函数，进而可确定函数的单调性，求出函数的值域，进而可判断A选项和B选项；通过变形可得： ，设，求出导函数，进而确定函数的单调性，据此可求出函数的值域，据此可判断C选项；通过变形可得：，，求出导函数，进而确定函数的单调性，据此可求出函数的值域，据此可判断D选项. 12．【答案】 【解析】解：当时，由，得，所以， 又因为，所以； 当时，由，得，所以， 又因为，所以. 则满足成立的的取值范围为. 故答案为：. 分和两种情况讨论，再利用指数函数的单调性、幂函数的单调性，从而得出使得成立的的取值范围. 13．【答案】 【解析】解：由，，原不等式可化为， 设，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 则在处取得最大值，且； 当时，，此时的图像恒在的图像的上方， 显然不符题意， 当时，为直线的横截距， 设直线与相切的切点为， 因为切线方程为， 设，解得， 又因为与是相同的直线， 可得， 则， 得到，， 设， 得到， 令，解得或；令，解得， 则在，是单调递增函数， 在是单调递减函数， 综上可得，当时，取最大值， 则取得最大值为. 故答案为：. 由，，则原不等式可化为，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出函数的图象，再根据的图象恒在函数的图象的上方，再对进行分类讨论，从而得出ab的最大值. 14．【答案】. 【解析】解：由在上恒成立， 所以在上恒成立， 则，其中， 令，则， 令，解得；令，解得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则.所以的取值范围是. 故答案为：. 根据题意结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出，令，再利用求导判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出实数m的取值范围. 15．【答案】解：（1）设等差数列 的公差为， 因为，，所以， 又因为，， 所以， 所以，解得， 则； （2）由题意可得：，， 则不等式，即，整理可得：，解得或， 因为为正整数，所以的最小值为. 【解析】（1）设等差数列 的公差为，由题意求得的值，由结合等差数列的和求得数列的公差，即可得数列的通项公式； （2）求得等差数列的首项，以及前n项和，然后求解二次不等式即可确定n的最小值. 16．【答案】（1）解：是“上凸数列”，理由如下： 因为， 令， 则． 当时，， 所以， 则在区间上单调递减， 所以， 则， 所以是“上凸数列”． （2）（ⅰ）证明：因为是“上凸数列”， 由题意，可得对任意，， 所以， 则． （ⅱ）解：令， 由（1）可得，当时，是“上凸数列”， 由题意，可知当时，， 因为， 所以 ． 则 ， 当且仅当时等号成立， 所以， 综上所述，的最小值为． 【解析】（1）先构造函数，再利用导数判断其单调性，再结合“上凸数列”定义判断出数列为“上凸数列”. （2）（ⅰ）利用“上凸数列”定义和倒序相加法证出不等式. （ⅱ）令，利用已知条件和数列求和的方法，再适当放缩计算结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出的最小值. （1）是“上凸数列”，理由如下： 因为， 令， 则． 当时，， 所以， 所以在区间上单调递减， 所以， 所以， 所以是“上凸数列”． （2）（ⅰ）证明：因为是“上凸数列”，由题意可得对任意， ， 所以， 所以． （ⅱ）解：令， 由（1）可得当时，是“上凸数列”， 由题意可知，当时，． 因为， 即 ． 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以． 综上所述，的最小值为． 17．【答案】（1）解：因为，求导可得， 观察可知在上单调递增， 所以. ①当时，恒成立， 所以在上单调递减，，不满足题意； ②当时，在上单调递增， 所以，使得，当时，， 则在上单调递减，所以，当时，，不满足题意； ③当时，恒成立，所以在上单调递增， 则，满足题意， 综上所述，. （2）证明：（i）因为，其中， 所以，， 当时，， 由知，成立， 所以在上无零点，则在上无极值点. 当时，令， 则在上单调递增， 所以， 由知，， 所以，使得， 当时，，则单调递减， 所以； 当时，，则单调递增， 因为， 所以，，使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以在上存在唯一极小值点，则， 又因为，所以，存在，使得， 则在上存在唯一零点. （ii）由（i）知成立， 下面证明， 由（i）知，，所以， 因为在上单调递增，要证，只需要证明. 因为，所以， 由（i）知，得， 所以， 由（1）知，当时，， 所以， 令，其中， 则恒成立， 所以在上单调递增，则， 所以成立，则成立， 所以， 综上所述，. 【解析】（1）由已知条件可得，再分类讨论当时，是否恒成立，利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围. （2）（i）先对函数求导，利用导数的正负判断函数的单调性，从而证出函数在上存在极值点，再结合零点存在性定理证出函数在上存在零点. （ii）由（i）知成立，只需证出即可，构造新函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的值域，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而证出（i）中的和满足. （1），求导可得， 观察可知在上单调递增，所以. ①当时，恒成立，所以在上单调递减，，不满足题意； ②当时，在上单调递增， 所以，使得，当时，，在上单调递减， 所以时，，不满足题意； ③当时，恒成立，所以在上单调递增，，满足题意. 综上，. （2）（i），其中， 则，， 当时，， 由知，成立， 所以在上无零点，即在上无极值点. 当时，令， 则在上单调递增，， 由知，， 所以使得，当时，，即单调递减， 所以； 当时，，即单调递增， 因为，所以，使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以在上存在唯一极小值点. 故，又因为， 所以存在使得， 所以在上存在唯一零点，得证. （ii）由（i）知成立，下面证明. 由（i）知，所以， 因为在上单调递增，要证，只需要证明. 因为，所以， 由（i）知，得， 所以， 由（1）知，当时，，所以， 令，其中， 则恒成立， 所以在上单调递增，所以，即成立， 所以成立，即， 综上所述，得证. 18．【答案】（1）解：（ⅰ），故不是“T函数”； （ii）不恒为0，故不是“T函数”； （iii）恒成立，故是“T函数”. （2）解：由为非常值函数，得不恒为0， 因为是常值函数恒成立恒成立为“T函数. （3）解：由（2），设（r为正常数）， 令，，其中为关于x的函数，记为， 因此， 故恒成立，即（c为常数）， 因此，， 因为，得， 解得， 所以， 因此 所以函数 可得函数在上单调递减，在上单调递增. 【解析】（1）利用“T 函数”定义，看是否恒等于0，若恒为0就是“T 函数”，不为0就不是“T 函数”. （2）当非常值，为常值时，其导数y'恒为 0.因为不恒为0，则能推出，即是“T 函数”，反过来也能推出，二者等价，从而证出为“T函数”的充要条件是为常值函数. （3）由（2），设等式，用三角函数表示和，再求导得出，从而得到函数表达式，进而得到和关于、的式子，再根据确定和的值，从而得出，再根据分段得到分段形式，再根据单调函数的定义，从而讨论出函数在区间上的单调性. （1）（ⅰ），故不是“T函数”； （ii）不恒为0，故不是“T函数”； （iii）恒成立，故是“T函数”. （2）由为非常值函数，得不恒为0. 是常值函数恒成立恒成立为“T函数. （3）由（2）设（r为正常数）， 令，，其中为关于x的函数，记为， 因此，故恒成立即（c为常数）， 因此，， 又，得， 进而解得，故. 因此 所以函数 可得函数在上单调递减，在上单调递增. 19．【答案】（1）证明：， 因为数列为等差数列，所以， 又因为数列为等比数列，设数列的公比为， 所以，又因为， 所以，所以， 则数列为数列； （2）证明：由为数列，可得， 设，则， ， 则， ，则， ，则，解得； （3）证明： 由且，可得， ， 因为，所以， 所以，则. 【解析】（1）根据等差数列性质，等比数列性质化简，证明，结合新定义证明即可； （2）由为数列，可得，设，由条件结合数列定义可得，再证明，，由此可证明结论； （3）先证明，再证明，结合证明结论.​​​​​​​ （1） ∵数列为等差数列， ∵数列为等比数列，设数列的公比为， ∴，又 ， ∴数列为数列； （2）由为数列则 设则， ， ∴， ， ∴， ， ∴， 解得：； （3） 由且， ∴， ∴ 又 ， ∴， ∴. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $