专题1.3 函数零点与导数单调性综合 专题突破训练-2026届高三数学二轮复习

专题1.3 函数零点与导数单调性综合——2026届高考数学二轮复习专题突破 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 四 总分 评分 一、选择题（共8题；共40分） 1．（2025高三上·西青月考）函数零点所在的大致区间为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025高三上·云溪期末）已知函数恰有2个零点，则实数（　　） A．有最大值，没有最小值 B．有最小值，没有最大值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 3．（2025高三上·福田月考）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（　　）（附：） A．20% B．23% C．28% D．50% 4．（2025高三上·邵东月考）牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间y（h）与储藏温度x（）关系为为常量）．若牛奶在0的冰箱中，保鲜时间约是100h，在5的冰箱中，保鲜时间约是80h，那么在10的冰箱中保鲜时间约是（　　） A．49h B．56h C．64h D．76h 5．（2025高三上·中山期中）已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 6．（2025高三上·普宁月考）已知函数，则（　　） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是减函数 C．是奇函数，且在上是增函数 D．是奇函数，且在上是减函数 7．（2025高三上·普宁月考）已知函数在处取得极大值，则的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025高三上·中山月考）已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（共3题；共18分） 9．已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．函数在上单调递增 B．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为 C．函数在上存在极值点 D．若，则的最大值为 10．（2025高三上·河北期中）已知函数，则下列说法中正确的有（　　） A．曲线的对称中心为 B．若关于的方程有三个实数解，则 C．若在上有两个极值点，则的最小值为2 D．过点作曲线的切线，切线一共有两条 11．小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线．为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量y与时间（单位：天）之间的函数关系．则下列说法中正确的是（　　） A．随着时间的增加：小菲的单词记忆保持量降低 B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多 C．天后，小菲的单词记忆保持量不低于40% D．天后，小菲的单词记忆保持量不足20% 三、填空题（共3题；共15分） 12．（2025高三下·诸暨月考）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，，，则　　；设是函数的零点，，则数列的前项和　　. 13．（2024高三上·海安月考）濮阳市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则我市这两年生产总值的年平均增长率为　　． 14．（2025高三上·福田月考）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是　　. 四、解答题（共5题；共77分） 15．（2025高三上·泊头月考）设函数，. （1）若存在大于0的零点，求a的取值范围； （2）设点在曲线的任意一点的切线上，证明：. 16．（2024高三上·定西期中）济南新旧动能转换先行区，承载着济南从“大明湖时代”迈向“黄河时代”的梦想，肩负着山东省新旧动能转换先行先试的重任，是全国新旧动能转换的先行区.先行区将以“结构优化､质量提升”为目标，通过开放平台汇聚创新要素，坚持绿色循环保障持续发展，建设现代绿色智慧新城.2019年某智能机器人制造企业有意落户先行区，对市场进行了可行性分析，如果全年固定成本共需2000（万元），每年生产机器人（百个），需另投入成本（万元），且，由市场调研知，每个机器人售价6万元，且全年生产的机器人当年能全部销售完. （1）求年利润（万元）关于年产量（百个）的函数关系式；（利润=销售额-成本） （2）该企业决定：当企业年最大利润超过2000（万元）时，才选择落户新旧动能转换先行区.请问该企业能否落户先行区，并说明理由. 17．（2024高三下·贵州模拟）已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值集合. 18．（2025高三上·中山月考）已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的零点个数． 19．（2025高三上·四川月考）已知函数. （1）讨论的单调区间； （2）若，求与的数量关系； （3）设，是的两个极值点，证明：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】解：因为函数在上单调递增， 所以函数在上至多1个零点， 又因为，. 所以函数在上有零点. 综上所述，函数只在有1个零点. 故答案为：B. 先根据函数的单调性和零点存在性定理，从而判断出函数在区间上的零点个数，进而得出n的值. 2．【答案】A 【解析】解：当时， 若，则，此时在时无零点，则需在时有2个零点， 令，则或， 所以、且，解得且，则且符合要求； 当时，令，则， 所以在时有1个零点，则需在时有1个零点， 令，则或， 由，则，则需满足，解得， 则当时，符合要求， 综上所述，， 则实数有最大值，没有最小值. 故答案为：A. 分及进行讨论，即可得分别在及时的零点个数，从而可得实数的取值范围，进而得出实数a的最值，则选出正确的选项. 3．【答案】B 【解析】解：依题意，，， 则， 所以大约增加了23%. 故答案为：B 先利用可得，再利用对数的运算性质化简即可求解． 4．【答案】C 【解析】解：由题意可知，，得，，则，则当时，，即在10中的 保鲜时间约是64h. 故答案为：C 根据已知的两个温度下的保鲜时间，求出函数中的常量和的关系，进而得到保鲜时间关于储藏温度的表达式，最后代入求解保鲜时间.用给定的条件建立方程，求出相关常量的关系. 5．【答案】D 【解析】解：因为，定义域关于原点对称， ， 所以为上的偶函数， 当时，，设， 则，，， 所以即在上单调递减，所以， 所以在上单调递减，又因为为偶函数， 所以在上单调递增， 又因为，， 又因为， 因为，，所以， 所以，即，所以， 所以， 即. 故答案为：D. 函数f（x）为R上的偶函数，再利用其导函数得到其单调性，将b和c转化成，，利用单调性得，要证需利用幂函数性质，两边同时取对数得到，得，再利用单调性即可得到大小关系. 6．【答案】A 【解析】解：函数的定义域是，关于原点对称，， 故函数是偶函数， 又因为，易知其为增函数， 当时，， 故在上是增函数， 故答案为：A． 先求定义域，再根据函数的奇偶性的定义再求f（x），f（-x）判断函数的奇偶性，求导函数的单调性． 7．【答案】C 【解析】解：由题设，则，可得或， 当时， 当或时，则在和上递增， 当时，则在上递减， 此时在处取得极小值，不符； 当时， 当或时，则在和上递增， 当时，则在上递减， 此时在处取得极大值，符合； 综上，. 故答案为：C 先根据极值点求a，再由a=1和a=3时验证，极大值点是否为1，即可得答案. 8．【答案】C 【解析】因为，则， 又因为，即，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递增，在内单调递减，且函数图象为不间断曲线， 若，即， 可得，则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：C. 构造函数，利用导数分析其单调性，结合偶函数性质，将原不等式转化为的函数值大小关系，进而求解。 9．【答案】A，B，D 【解析】解：A、函数的定义域为， 求导可得，令，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， ，在上单调递增，故A正确； B、由知在上单调递增，由，可得， 则当时，，令，则， 当时，；当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 故，即，即的最小值为，故B正确； C、的定义域为，令， 则，当时，；当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， ，在上单调递增，无极值点，故C错误； D、若，则， 因为，由知：均为定义域上的增函数，所以， 由，可得，所以，所以，令，则，则当时，； 当时，，在上单调递增，在上单调递减， 则，即的最大值为，故D正确. 故答案为：ABD. 求导，利用导数判断函数的单调性求单调区间即可判断A；构造函数，研究函数的最值即可判断BCD. 10．【答案】B，D 【解析】解：A、函数定义域为，，，令，解得，则函数的对称中心为，故A错误； B、，令，解得，令， 解得，即函数在上单调递减，在和上单调递增， 则的极大值为，极小值为，若关于x的方程有三解， 则曲线与直线有三个交点，即，故B正确； C、由B分析可知：函数在的极值点为0和2，则，故C错误； D、设切点为，则切线方程为， 由切线过点，得，即， ，解得或，则切线共有两条，故D正确. 故答案为：BD. 求函数的定义域，再求导，利用二阶导等于零求对称中心即可判断A；利用导数判断函数的单调性，求出函数的极值，结合图象即可判断B；由B分析求得函数的极值点，再求即可判断C；设切点，利用导数的几何意义求切线方程，再根据切线过点代入求解即可判断D. 11．【答案】A，B 【解析】对于A，由函数解析式和图象可知随着的增加而减少，故A正确． 对于B，由函数图象的减少快慢可知：第一天小菲的单词记忆保持量下降最多，故B正确． 对于C，当时，，则， 即天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C错误． 对于D，因为，故D错误． 故答案为：AB. 利用函数的解析式和图象结合函数的单调性，从而判断出选项A；利用函数的图象的减少的快慢，从而结合实际意义判断出选项B；利用x的取值范围得出对应的函数的解析式，再结合代入法得出函数的值，从而结合实际意义判断出选项C；利用分段函数的解析式和赋值法以及比较法，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项. 12．【答案】2； 【解析】根据题意由，求导得. 又，即有， 则在点处的切线方程：. 取，化简得，所以. 又，则. 并且，则. 由于， 解得，，即有. 又因为，所以， 并且，所以为等比数列，并且首项为1，公比为2， 则，所以. 故答案为： 先对题意分析求导化简得到，接下来利用求出，结合的递推关系可得的递推关系，结合等比数列的定义可求的通项，最后求出. ​​​​​​ 13．【答案】 【解析】解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为，由题意，所以， 故答案为：. 解决年平均增长率的问题，通过设未知数，根据生产总值的增长关系建立方程，再求解得到年平均增长率.关键在于理解连续两年增长后，以平均增长率增长的结果和实际两年增长的结果是相等的. 14．【答案】 【解析】解：求导可得， 在区间上单调递增， 在上恒成立，在上恒成立， 在上恒成立， ，， ，即的取值范围是． 故答案为： 先求导，利用函数在区间上单调递增可得在上恒成立，分参可得，再利用二次函数的性质即可求解. 15．【答案】（1）解：易知函数在R上单调递增，且时，， 若存在大于0的零点，则， 所以. 令，易知函数在R上单调递增， 因为，要使， 只需，则实数的取值范围为. （2）证明：由题意，易知，设切点为， 则切线为， 因为是切线上一点，所以， 要证，即证， 等价于证明， 设，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又因为，所以， 则. 【解析】（1）由函数的单调性结合零点存在性定理，从而得出，再构造函数，再根据函数的单调性得出实数a的取值范围. （2）设切点坐标，根据导数的几何意义得出切线的斜率，结合点斜式方程得出曲线的切线方程，再将问题转化为证明，构造函数，证明函数的最小值大于等于0即可. （1）易知函数在R上单调递增，且时，， 若存在大于0的零点，则，即. 令，易知函数在R上单调递增， 因为，所以要使，只需， 即的取值范围为. （2）易知，设切点为， 则切线为， 由于是切线上一点，故， 要证，即证， 等价于证明， 设，则. 当时，，单调递减，当时，，单调递增. 又，故， 也即得证. 16．【答案】解：（1）当时，； 当时， 所以 （2）当时， 所以， 所以当时，； 当时， 所以， 当且仅当，即时， 所以. 故该企业能落户新旧动能转换先行区. 【解析】（1）根据“利润=销售额-成本”，分别针对和两个区间，结合给定的成本函数，推导出利润函数的分段表达式. （2）在区间内，利用二次函数的顶点式求最值；在区间内，利用基本不等式（均值定理）求最值.最后比较两个区间的最大利润，判断是否超过万元，从而确定企业能否落户. 17．【答案】（1）解：若，函数其定义域为，求导可得， 当时，，当时，， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）解：函数定义域为，求导可得， 若，则显然，不符合题意； 若，令，解得， 则当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 且， 则，即， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，当满足时，， 则的取值集合为. 【解析】（1）将代入，先求函数的定义域，再求导，利用导数判断导函数的符号，求函数的单调区间即可； （2）先求的单调区间，再分情况进行讨论，当时，通过举反例得到不满足题意，则，将恒成立等价于，令，利用导数研究的最值，求的取值即可. （1）由，得，定义域为， 则， 当时，，当时，， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由，，得， 若，则显然，不符合题意， 若，令，解得， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ， 则，即， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，当满足时，， 所以的取值集合为. 18．【答案】解：（1）当时，函数，可得，所以，， 可得切线方程为，即． 所以曲线在处的切线方程为. （2）由函数的定义域为，且， 当时，，函数单调递增；当时，函数单调递减， 所以函数在处取得极大值为， 当时，，恒成立，函数无零点；当时，，函数有唯一零点； 当时，，因为，所以函数在上有一个零点， 易得，令，则， 所以函数在上单调递减，则，所以， 所以函数在上有一个零点，所以函数在上有两个零点． 综上可得，当时，函数无零点；当时，函数有唯一零点；当时，函数有两个零点． 【解析】（1）先求导得到切线斜率，再结合切点坐标，利用点斜式求出切线方程； （2）通过求导分析函数单调性，得到极大值，再分情况讨论极大值的符号，结合函数的极限和特殊点函数值，确定零点个数. 19．【答案】（1）解：，， 令，由，得， 此时，在上单调递增； 当，即时，方程的两根为，； 当时，，所以当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在和上单调递增； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增. （2）解：，即， 令，， ，， 若，则存在，使得当时，， 即在上单调递增，而，所以，不符合题意， 若，则存在，使得当时， ，即在上单调递减，而， 所以，不符合题意， 若，即，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，，符合题意； 综上，与的数量关系为. （3）证明：结合（1）可得，当有两个极值点时，， 且，，， 令，由于，则，则， 则， 设， 则， 因为，则，则恒成立， 所以在上单调递减， 则时，且小于，所以， 所以. 【解析】（1）先求得，令分子为零，先讨论判别式的正负，再对进行分类讨论根的大小，可分别得的单调区间； （2）原不等式可转化为，构造函数，问题转化为求g（x）最小值即可； （3结合（1）可得，当有两个极值点时，，此时，，，作差得，将所证双变量不等式转化为单变量不等式，令，，求导可得单调递减，即得. （1），， 令，由，得， 此时，在上单调递增； 当，即时，方程的两根为，； 当时，，所以当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在和上单调递增； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增. （2），即， 令，， ，， 若，则存在，使得当时，， 即在上单调递增，而，所以，不符合题意， 若，则存在，使得当时， ，即在上单调递减，而， 所以，不符合题意， 若，即，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，，符合题意； 综上，与的数量关系为. （3）证明：结合（1）可得，当有两个极值点时，， 且，，， 令，由于，则，则， 则， 设， 则， 因为，则，则恒成立， 所以在上单调递减， 则时，且小于，所以， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $