专题1.2 基本初等函数与导数的基础综合 专题突破训练-2026届高三数学二轮复习

专题1.2 基本初等函数与导数的基础综合——2026届高考数学二轮复习专题突破 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 四 总分 评分 一、选择题（共8题；共40分） 1．（2025高三上·西青月考）函数在上的图象是 A． B． C． D． 2．（2026高三上·广州期末）已知函数，若，则的最小值为（　　） A． B． C． D．4 3．（2026高三上·张家口期末）已知直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点，绕点顺时针方向旋转得到直线，与轴的交点为点，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 4．（2025高三上·西青月考）函数零点所在的大致区间为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·嘉兴模拟）已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（　　） A． B． C．0 D． 6．（2025高三上·云溪期末）已知函数恰有2个零点，则实数（　　） A．有最大值，没有最小值 B．有最小值，没有最大值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 7．（2025高三上·中山期中）已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 8．（2026高三上·湖南月考）若曲线与圆恰有一个公共点，则实数m的值为（　　） A．e B．2 C． D．1 二、多项选择题（共3题；共18分） 9．（2025高三上·河北期中）已知函数，则下列说法中正确的有（　　） A．曲线的对称中心为 B．若关于的方程有三个实数解，则 C．若在上有两个极值点，则的最小值为2 D．过点作曲线的切线，切线一共有两条 10．已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．函数在上单调递增 B．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为 C．函数在上存在极值点 D．若，则的最大值为 11．（2026高三上·张家口期末）已知动圆的圆心在曲线上运动，是原点，则下列结论正确的是（　　） A．存在两个不同的实数满足圆经过点 B．若圆被直线平分，则圆心的坐标为 C．当时，存在某个位置使得圆被两条坐标轴截得的弦长相等 D．若点在圆上运动，点在直线上运动，则的最小值为 三、填空题（共3题；共15分） 12．（2025高三下·诸暨月考）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，，，则　 　；设是函数的零点，，则数列的前项和　 　. 13．（2025高三上·张家口期末）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在第一象限，角的终边按顺时针方向旋转后与单位圆交点的纵坐标为，则角的终边按逆时针方向旋转后与单位圆交点的横坐标是　 　. 14．（2025高三上·长沙期末）已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且当时，，则的解析式可以为　 　（写出一个满足条件的解析式即可） 四、解答题（共5题；共77分） 15．（2025高三上·河北期中）已知，函数的最大值为3，最小值为. （1）求的值； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 16．（2026高三上·广州期末）已知点，，为坐标原点，函数 （1）求的解析式及最小正周期 （2）三角形中，角所对的边分别为，为的角平分线，，.若，求的面积 17．（2025·湖南模拟）已知函数，． （1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若为函数的极值点，求a的值； （3）设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围． 18．已知函数． （1），求函数的最小值； （2）若在上单调递减，求的取值范围． 19．（2026高三上·张家口期末）已知函数． （1）当时， （i）求的图象在点处的切线方程； （ii）过原点向的图象作切线，求该切线的方程； （2）若时，函数有两个极值点，且，求实数的取值范围． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】解：因为，可排除选项B和选项C； 因为，可排除选项. 故答案为：. 利用和以及排除法，从而找出函数的图象. 2．【答案】B 【解析】解：函数的定义域为， 若，则， 设，则，即，， ， 函数单调递增，当取最小值时，有最小值， ，当且仅当，即时等号成立， 故. 故答案为：B. 先求函数的定义域，设，由，结合对数的运算求得，化简根据可得，由指数函数的单调性可知：当取最小值时，有最小值， 利用基本不等式求的最小值即可求得的最小值. 3．【答案】D 【解析】解：由题意，直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点， 所以， 又直线绕点顺时针方向旋转得到直线， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，令，可得，所以. 故答案为：D 由直线方程得，顺时针方向旋转得到直线得，用两角差的正切公式可得，又过点A，得直线方程，代入y=0得解. 4．【答案】B 【解析】解：因为函数在上单调递增， 所以函数在上至多1个零点， 又因为，. 所以函数在上有零点. 综上所述，函数只在有1个零点. 故答案为：B. 先根据函数的单调性和零点存在性定理，从而判断出函数在区间上的零点个数，进而得出n的值. 5．【答案】B 【解析】解：由，则， 因为，所以， 则 ， 又因为， 则当时，有最小值. 故答案为：B. 由正弦型函数的最小正周期公式和的取值范围，从而可得的值，再利用诱导公式与二倍角的余弦公式，从而将转化为，再结合正弦函数的值域和二次函数求最值的方法，从而得出的最小值. 6．【答案】A 【解析】解：当时， 若，则，此时在时无零点，则需在时有2个零点， 令，则或， 所以、且，解得且，则且符合要求； 当时，令，则， 所以在时有1个零点，则需在时有1个零点， 令，则或， 由，则，则需满足，解得， 则当时，符合要求， 综上所述，， 则实数有最大值，没有最小值. 故答案为：A. 分及进行讨论，即可得分别在及时的零点个数， 从而可得实数的取值范围，进而得出实数a的最值，则选出正确的选项. 7．【答案】D 【解析】解：因为，定义域关于原点对称， ， 所以为上的偶函数， 当时，，设， 则，，， 所以即在上单调递减，所以， 所以在上单调递减，又因为为偶函数， 所以在上单调递增， 又因为，， 又因为， 因为，，所以， 所以，即，所以， 所以， 即. 故答案为：D. 函数f（x）为R上的偶函数，再利用其导函数得到其单调性，将b和c转化成，，利用单调性得，要证需利用幂函数性质，两边同时取对数得到，得，再利用单调性即可得到大小关系. 8．【答案】D 【解析】解：因为曲线与圆恰有一个公共点， 所以曲线与圆相切. 设切点横坐标为， 由，得； 由，结合图象，得， 则，可得． 故答案为：D. 将问题转化为与圆相切，再利用直线与圆相切位置关系判断方法，从而列出关于切点横坐标与实数的方程组，解方程组得出实数m的值. 9．【答案】B，D 【解析】解：A、函数定义域为，，，令，解得，则函数的对称中心为，故A错误； B、，令，解得，令， 解得，即函数在上单调递减，在和上单调递增， 则的极大值为，极小值为，若关于x的方程有三解， 则曲线与直线有三个交点，即，故B正确； C、由B分析可知：函数在的极值点为0和2，则，故C错误； D、设切点为，则切线方程为， 由切线过点，得，即， ，解得或，则切线共有两条，故D正确. 故答案为：BD. 求函数的定义域，再求导，利用二阶导等于零求对称中心即可判断A；利用导数判断函数的单调性，求出函数的极值，结合图象即可判断B；由B分析求得函数的极值点，再求即可判断C；设切点，利用导数的几何意义求切线方程，再根据切线过点代入求解即可判断D. 10．【答案】A，B，D 【解析】解：A、函数的定义域为， 求导可得，令，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， ，在上单调递增，故A正确； B、由知在上单调递增，由，可得， 则当时，，令，则， 当时，；当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 故，即，即的最小值为，故B正确； C、的定义域为，令， 则，当时，；当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， ，在上单调递增，无极值点，故C错误； D、若，则， 因为，由知：均为定义域上的增函数，所以， 由，可得，所以，所以，令，则，则当时，； 当时，，在上单调递增，在上单调递减， 则，即的最大值为，故D正确. 故答案为：ABD. 求导，利用导数判断函数的单调性求单调区间即可判断A；构造函数，研究函数的最值即可判断BCD. 11．【答案】A，B，D 【解析】解：A、若圆经过原点，则，即， 由函数的性质得出有两个不同的交点，即存在两个不同的实数满足圆经过点，该选项正确，符合题意； B、当且仅当直线经过圆心时平分圆，所以，解得，圆心为，该选项正确，符合题意； C、当时，，圆的方程中令，得， 则被轴截得的弦长为；令，得， 则被轴截得的弦长为； 方程等价于，即，但， 所以方程无解，当时，不存在某个位置使得圆被两条坐标轴截得的弦长相等，该选项错误，不合题意； D、设，则，令可得，圆心在（0，1）处时的切线的斜率为1， 圆心到直线的距离，此时圆上的点到直线的距离的最小值是，该选项正确，符合题意 故答案为：ABD． 假设圆经过原点，则，即，由函数的性质得出有两个不同的交点，可判断A正确；直线平分圆则圆心必定在直线上，得，解得可得圆心，可判断B正确；当时，及时，分别求得被、y轴截得的弦长分别为和；经检验方无解，当时，不存在某个位置使得圆被两条坐标轴截得的弦长相等，可判断C不正确； 根据圆心到直线距离计算 ，可判断D正确， 12．【答案】2； 【解析】根据题意由，求导得. 又，即有， 则在点处的切线方程：. 取，化简得，所以. 又，则. 并且，则. 由于， 解得，，即有. 又因为，所以， 并且，所以为等比数列，并且首项为1，公比为2， 则，所以. 故答案为： 先对题意分析求导化简得到，接下来利用求出，结合的递推关系可得的递推关系，结合等比数列的定义可求的通项，最后求出. ​​​​​​ 13．【答案】 【解析】解：由题意，可得， 则角的终边按逆时针方向旋转后与单位圆交点的横坐标为：. 故答案为：. 由已知条件和三角函数的定义，从而得出的值，再利用诱导公式得出的值，从而得出角的终边按逆时针方向旋转后与单位圆交点的横坐标. 14．【答案】（答案不唯一） 【解析】解：当时，，且， 当时，；当时，； 可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，符合题意. 故答案为：（答案不唯一）. 通过构造对勾函数，利用导数分析其单调性，同时验证的条件。 15．【答案】（1）解：易知， 因为，所以，， 又因为，所以，， 所以， （2）解：由（1）知，则，即， 由题意可得：不等式在上有解， 则，不等式成立， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，则，即， 故k的取值范围是. 【解析】（1）先利用对数运算法则化简函数，再根据对数函数单调性以及二次函数性质求最值即可得的值； （2）由（1）可得，将不等式转化为，由题意可得：，不等式成立，利用对勾函数单调性求出最大值即可. （1）依题意，， 由，得，，又， 因此，， 所以，. （2）由（1）知，则， 即，依题意，不等式在上有解， 因此，不等式成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，则，于是， 所以k的取值范围是. 16．【答案】（1）解：，， ， 则的最小正周期； （2）解：由（1）可得，即， ，，则或，或； 当时，，， ，，，， 又为的角平分线，，， ，，； 当时，，，， 为的角平分线，， 在中，由正弦定理得， ，在中，由正弦定理得， ， . 综上所述：的面积为或. 【解析】（1）根据向量数量积坐标表示，结合正弦、余弦的二倍角公式以及辅助角公式化简求得函数，再根据正弦型函数最小正周期公式求最小正周期即可； （2） 由（1）可得 ，结合的范围求得或；再分情况讨论，当时，利用余弦定理和勾股定理可证得，根据角度关系可求得，进而求得；当时，在中，根据正弦定理求得，利用两角和差正弦公式和三角形面积公式求. （1），， ， 则的最小正周期. （2），， ，，则或， 或； 当时，，， ，，，， 又为的角平分线，，， ，， ； 当时，，，， 为的角平分线，， 在中，由正弦定理得：， ，在中，由正弦定理得：， ， . 综上所述：的面积为或. 17．【答案】（1）解：的定义域为，， 令，得，故函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 故实数a的取值范围是． （2）解：令，得；令，得；令，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得． （3）解：由（1）知：当时，函数有最小值， 若，则， 又因为对任意总存在，使得， 则当时，的最小值不大于， 函数的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，则在上单调递增， 故的最小值为， 解得，故； 当，即时，则在上单调递减， 故的最小值为，解得，故； 当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为，解得或． 故或， 综上所述，实数b的取值范围是． 【解析】（1）要确定在上单调递增时的范围，需先求的导数，找到其单调递增区间，再结合已知区间建立不等式求解. （2）已知是极值点，通过求导得出函数单调性，根据极值点与单调区间的关系列方程求. （3）当时，先求出的最小值，再将问题转化为在上的最小值小于等于的最小值，对的对称轴位置分类讨论，求出的取值范围. （1）的定义域为，， 令，得，故函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 故实数a的取值范围是． （2）令，得；令，得；令，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得． （3）由（1）知：当时，函数有最小值， 若，则， 又因为对任意总存在，使得， 则当时，的最小值不大于， 函数的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，则在上单调递增， 故的最小值为， 解得，故； 当，即时，则在上单调递减， 故的最小值为，解得，故； 当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为，解得或． 故或， 综上所述，实数b的取值范围是． 18．【答案】（1）因为， 所以， 令，则有， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因此当时，则有， 因此当时，则有， 当时， 显然， 于是有当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增， 所以； （2）由， 因为在上单调递减， 所以在上恒成立， 由， 设，则有， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 要想在上恒成立， 只需，因此的取值范围为. 【解析】（1）求导根据导函数的正负值判断函数的单调性以及最值； （2）原函数单调递减，即导函数小于零恒成立，利用分离参数得，求导判断单调性进而求出最值，即可得到参数的范围。 19．【答案】（1）解：当时，． （i），故点（0，1）处的切线方程为. （ii）设切点为，则，则切线方程为，代入， 可得，得，则切线方程是. （2）解：当时，，则. 由题意得有两个变号零点，即有两个实根， 方程可变形为，可转化为直线和曲线有两个不同的交点. 由，解得，且是的递增区间，是的递减区间； 注意到，且时，，画出其图象如图， 当且仅当时函数有两个极值点，且 又因为，所以.令，则． 又，则，即， 两边取自然对数可得．设，那么，分母恒为正值， 对于分子对应的函数，在时恒成立， 所以单调递减，所以，也就是在时恒成立， 所以也单调递减，所以，从而. 又在上单调递增， 所以当时，取得最大值，且， 因此实数的取值范围是. 【解析】（1）（i），由点斜式得切线方程. （ii）设切点为，则，则切线方程为，代入， 解方程可得. （2） 函数有两个极值点 转化为直线和曲线有两个不同的交点.，分离参数，然后利用导函数求解参数的取值范围即可 （1）当时，． （i），故点（0，1）处的切线方程为. （ii）设切点为，则，则切线方程为，代入， 可得，得，则切线方程是. （2）当时，，则. 由题意得有两个变号零点，即有两个实根， 方程可变形为，可转化为直线和曲线有两个不同的交点. 由，解得，且是的递增区间，是的递减区间； 注意到，且时，，画出其图象如图， 当且仅当时函数有两个极值点，且 又因为，所以.令，则． 又，则，即， 两边取自然对数可得．设，那么，分母恒为正值， 对于分子对应的函数，在时恒成立， 所以单调递减，所以，也就是在时恒成立， 所以也单调递减，所以，从而. 又在上单调递增， 所以当时，取得最大值，且， 因此实数的取值范围是. 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $