专题4.3 全等三角形性质和判定（3大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题4.3 全等三角形性质和判定 教学目标 1. 理解全等三角形的概念，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质。 2. 探索并掌握全等三角形的四种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，并能灵活选择使用。 3. 能运用全等三角形的性质和判定证明线段相等、角相等，解决简单的几何证明问题。 教学重难点 重点： 1. 全等三角形判定定理的掌握与准确应用，能根据已知条件选择恰当的判定方法。 2. 运用全等三角形的性质与判定进行规范的几何证明，做到言必有据。 难点： 1. 在复杂图形中识别或构造全等三角形，准确找出对应边和对应角。 2. 灵活选择判定方法，特别是区分ASA与AAS，避免在证明过程中混淆。 知识点1：全等三角形的概念和性质 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形．两个全等的三角形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等． 【即学即练1】 1．如图，，若，则长度为 ． 【答案】6 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质．关键是掌握全等三角形的对应边相等． 根据全等三角形的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 2．如图，，，则 ． 【答案】/度 【知识点】全等三角形的性质 【分析】 本题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余，熟记性质并准确判断出对应角是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求出，再根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】 解：，， ， ， ． 故答案为： 3．如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． （1）利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）证明即可． 【详解】（1）∵， ， ； （2）∵， ， ∵B，C，D共线， ， ， ， ． 知识点2：全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 特别说明：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. （4） 判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以写成“角角边”或“AAS”） 特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 【即学即练2】 1．已知：如图，点，在线段上，，，，与交于点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定进行证明即可． 【详解】证明：， ， 即：． ，， ． 2．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用已知条件证明三角形全等，再根据全等三角形的性质得出对应边相等． （1）先由推出，再结合已知的另外两组相等边，根据判定定理证明； （2）根据（1）中得到的全等三角形得出对应角相等，再利用判定定理证明，进而得到． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）证明： 在和中 知识点3：全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等． 【即学即练3】 1．如图，在△和△中，，，，四点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由可证，可得； （2）由三角形内角和定理可得，由全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在△和△中， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 2．如图，点、在上，，，． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，从而得出，再计算即可得解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 的长为． 题型01 全等三角形的性质 【典例1】（25-26八年级上·北京·期中）如图，已知，若 ，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴． 故答案为：3． 【变式1】（25-26八年级上·宁夏固原·期中）如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，再根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵点在同一条直线上 ∴的度数为 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，若，且，，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据，可得，，即可求解． 【详解】解：，，， ，， ． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和； 【答案】(1) (2)33.5 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 题型02 由三角形全等求时间或线段长 【典例2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】或2或6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米，当点P在线段上时，只有这种情况，当点P在的延长线上时，只存在和两种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可． 【详解】解：设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米， ∵，， ∴， 当点P在线段上时， ∵， ∴此时只有这种情况， ∴厘米，厘米， ∴， 解得； 当点P在的延长线上时，， ∴只存在和两种情况， 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 综上所述，v的值为或2或6． 故答案为：或2或6． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点从点出发在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在、运动到某处时，有与全等，则此时的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长度为或， 故答案为：或． 【变式2】（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，中，，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．设运动时间为t秒．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，当 为何值时，与全等． 【答案】1或或6 【分析】分点在上，点在上；点与点重合；与重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， ， ； ∵， ∴点P运动3秒到达点C，点Q运动2秒到达点C； ①如图1，当点在上，点在上时， 由题意得，，， ，， ，， ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 即， 解得； ②如图2，当点与点重合时，则，此时满足， ∵， ， 解得； ③如图3，当点与重合时， ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 即， 解得； 综上所述：当或或时，与全等． 故答案为：1或或6． 【变式3】（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒 的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含的式子表示、； (2)若点的运动速度也为每秒，为何值时，； (3)若点的运动速度和点的速度不相等，要使，则点的运动速度为多少?全等时为多少? 【答案】(1)，； (2)； (3)每秒；． 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质 【分析】（）根据题意列代数式即可； （）由点的运动速度也为每秒，则，，再由，则，所以，然后求解即可； （）由点的运动速度和点的速度不相等，则，，则，，即为中点，所以，然后求解即可； 本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：∵点的运动速度也为每秒， ∴，， ∵； ∴， ∴，解得， ∴时，； （3）解：由点的运动速度和点的速度不相等，则， ∵， ∴，， ∴为中点， ∴，解得：， ∴点的速度为每秒． 题型03 用SSS证明两三角形全等 【典例3】（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ， ∴， 在和中， ∵ ∴． 【变式1】（25-26九年级上·云南玉溪·期末）如图，点，，，在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了三角形的判定，利用证明三角形全等即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·广东汕尾·月考）如图，．求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用即可证和全等． 【详解】证明：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，E，F是AC上的两个动点，且． (1)若点E，F运动至图①所示的位置，且．试说明：． (2)若点E，F运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由． (3)若点E，F不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）由推出，结合已知的，用判定 （2）仍由推出，再结合已知边，用SSS判定全等，判断结论成立 （3）由全等三角形的对应角相等，得到内错角相等，从而证明AD∥CB。 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即． 在和中， ∴． （2）解：成立．理由如下： ∵， ∴， 即． 在和中， ∴． （3）解：．理由如下： 由（1）（2）知， ∴， ∴． 题型04 用ASA证明两三角形全等 【典例4】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． 先证出，再由证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，与相交于点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，关键是找到、所在的全等三角形．通过角的和运算得到，结合公共边和，利用判定，从而推出． 【详解】证明：∵，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·北京石景山·期末）如图，为线段上一点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）及利用全等三角形对应边相等进行线段计算是解题的关键． （1）先由平行线性质得到一组角相等，再结合已知的边和角相等，利用判定三角形全等． （2）由（1）的全等结论得到对应边相等，通过线段的和差关系求出的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ，，， ∴（） （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，中，是边的中点，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求：的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质． （1）由三角形中线的定义得到，由平行线的性质得到，据此利用可证明； （2）由线段的和差关系可得的长，由全等三角形的性质可得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型05 用AAS证明两三角形全等 【典例5】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两凳子之间(凳子与地面垂直)．已知，， (1)与全等吗？请说明理由． (2)求两条凳子的高度之和． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，先证明，进而根据证明； （2）根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 由题意可得：，，，， 则， 在和中， ， ； （2）， ，， 则两条凳子的高度之和为：． 【变式1】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，点在直线上（点之间的线段被一块污渍遮住），点在直线的异侧，连接，且，，测得． (1)求证： (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)的长度为80 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，结合，即可得证； （2）由可得，从而可得，即可求解出的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的长度为80． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，由同角的余角相等可得，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，再结合四边形的面积计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即四边形的面积为10． 【变式3】（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，等腰中，，，点A在线段上，． (1)求证； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定． （1）根据，，得出，再根据即可证明； （2）由（1）可知，，则，再根据的面积求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 题型06 用SAS证明两三角形全等 【典例6】（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）根据角边角的证明方法证明即可； （2）根据，，计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：， 在与中， ， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·四川广元·期末） 如图，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定可得结论； （2）利用全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】（1）证明: ∵， ∴， 即: ， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵ ∴． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，，是边上一点（点不与，重合），连接，过点作，且，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）由余角性质可得，进而根据判定定理“”即可求证； （）由直角三角形两锐角互余得，又由全等三角形的性质得，即得到，进而即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列各组中的两个三角形是否全等，并说明理由 (1)图（1）中的与．已知条件是， (2)图（2）中的与．已知条件是， (3)图（3）中的与．已知条件是，， 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． （1）根据定理即可证出； （2）根据定理即可证出； （3）先根据线段的和差可得，再根据定理即可证出． 【详解】（1）解：，理由如下： 在和中， ， ∴． （2）解：，理由如下： 在和中， ， ∴． （3）解：，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 题型07 添加条件使两三角形全等 【典例7】（25-26八年级上·河南信阳·期末）根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用三角形三边关系与全等三角形的判定方法，逐一分析各选项能否画出唯一三角形即可． 【详解】解：A选项中，不满足三角形三边关系“两边之和大于第三边”，∴不能构成三角形，故A不符合题意； B选项中，符合全等三角形判定定理，∴能画出唯一，故B符合题意； C选项中，属于的情况，无法确定唯一三角形，故C不符合题意； D选项中仅知道直角与斜边，可画出无数个直角三角形，∴不能确定唯一，故D不符合题意． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）下列选项所给条件不能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定条件，根据、、、等判定唯一三角形，同时考虑情况可能不唯一即可解答． 【详解】解：选项A：（两角及夹边，），能唯一画出； 选项B：（两角及一边，），能唯一画出； 选项C：（两边及非夹角，），有两个交点，不能唯一画出； 选项D：（三边，），满足三角形三边关系，能唯一画出； 故选C． 【变式2】（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据题目给出的条件，可以用、、证明，所以补充的条件不唯一，写出一个即可． 【详解】解：∵，． ∴当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断；等等． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，给出下列四组条件： ①；②；③；④．其中能使的条件是___________． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，符合题意； ②∵ ∴，符合题意； ③， ∴，符合题意； ④，满足边边角，无法证得． 故答案为：①②③ 题型08 全等三角形的性质和判定综合 【典例8】（2026·江苏苏州·一模）如图，，分别是的边，上的高，且，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）根据题意易得，，则，即可根据判定； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据，得出，即可求证． 【详解】（1）证明：∵，分别是的边，上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的边上的高， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等； （2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． ∴． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，是的中点，连接，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)若，求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据中点的性质可得，根据证明，即可得出； （2）根据平行线的性质可得，进而根据证明，得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：证明：是的中点， 在和中， ． （2）， 是的中点， 在和中， ． 【变式3】（25-26八年级上·江西赣州·期末）【问题初探】 （1）如图①，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，则，，的数量关系是_____________； 【变式探究】 （2）如图②， 在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．已知，，求的长； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三垂直模型，是解题的关键： （1）证明，得到，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论； （2）证明，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结果； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而依据“”判定和全等得，同理证明和全等得，进而得，然后再根据三角形的面积公式即可得出与之间的数量关系． 【详解】解：（1）； ∵从点，向直线作垂线，垂足分别为，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2），， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ； ，， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： 如图3，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N， ∵是的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·重庆·月考）根据下列已知条件，能唯一画出的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系和确定三角形的条件是解题的关键，根据三角形的三边关系对各项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，不能构成三角形，此项错误，不符合题意； B、已知两角夹边，三角形即可确定，此项正确，符合题意； C、边边角不能确定三角形，此项错误，不符合题意； D、两角不能确定三角形，此项错误，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，，，，则能通过全等证明出，所用的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ． 3．（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，，A、F、B、D四点在同一直线上，若，，，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵A、F、B、D四点在同一直线上，，， ∴． 4．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意，分类讨论：当时，，；当时，，；由全等三角形性质计算的值是否符合题意，即可求解． 【详解】解：点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后， ∴米，米， ∴（米）， 当时，，， ∴， 解得，， 此时，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 解得，， 此时，符合题意； 综上所述，与全等，的值为， 故选：A ． 5．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先证即可判断①，利用及三角形内角和定理与对顶角即可判断②，点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得出，同理得到，从而得出，证明，从而得到，即可判断③④，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， 如图，记交于点，的交点为， ∵， ∴， ∴，故②正确， 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故③正确，④正确． 二、填空题 6．（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知图中的两个三角形全等，则_____． 【答案】/50度 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据全等三角形对应角相等可知是a、c边的夹角，然后写出即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴的度数是． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，是的边上一点，交于，，，若，则________． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证三角形全等是解题的关键．先证，得出，然后根据求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：10. 8．（25-26八年级上·广东·月考）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 【答案】2 【分析】求出，证明，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 9．（25-26八年级上·河南信阳·期末）在锐角三角形中，的面积为16，平分．若M，N分别是，上的动点，则的最小值为_____． 【答案】8 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．如图，在截取，使得，连接，证明，则，由，可知当三点共线，且时，的值最小，如图，作于，则的最小值为，由，计算求解即可． 【详解】解：如图，在截取，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小， 如图，作于，则的最小值为， ∵，即，解得， ∴的最小值为8， 故答案为：8． 10．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，，，，如果点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则的值是______． 【答案】1或 【分析】本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．由题意，可知，，然后分，或两种情况分类讨论即可得出答案． 【详解】解：∵点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，运动时间为t秒， ∴，， ∵与全等， ∴，或， 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，的值是1或； 故答案为：1或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴， 即． 12．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，点B，E，C，F在同一直线上，． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，整理得，再结合，，即可证明； （2）由，得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， 即， 又∵，， ∴； （2）解：由（1）得， ∴． 13．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，再结合，，证明，即可作答． （2）由（1）得，故，又结合，则，即可作答． 【详解】（1）解：， 即， 在和中， ； （2）解：由（1）得， ， 又， ． 14．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是熟知全等三角形的判定定理，，，． （1）利用全等三角形的判定定理判定即可； （2）利用得到即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ； ∴，， ∴，即， 在与中， ， ； 综上，全等三角形有；；； （2）解： 证明：由（1）知， ∴． 15．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·开学考试）如图，在四边形中，，，． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)若，的面积为，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)四边形的面积为 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可； （2）根据全等三角形的性质，得，，根据等量代换求出，即可； （3）根据全等三角形的性质，，过点作交于点，根据三角形的面积等底等高，可得，再根据四边形的面积等于三个三角形的面积之和，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， 过点作交于点， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 16．（25-26八年级上·广西贵港·期末）岳阳楼位于湖南省岳阳市岳阳楼区，地处岳阳古城西门城墙之上，因范仲淹作《岳阳楼记》著称于世，是古代四大名楼之一，设，两点分别为岳阳楼底座的两端（其中，两点均在地面上）．因为，两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案： 甲：如图①，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可得线段的长； 乙：如图②，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，测出的长即可得线段的长； 问：甲、乙两位同学的方案都合理吗？请用所学知识分别论证． 【答案】合理，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用．甲方案作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量可得结论，乙方案作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量可得结论． 【详解】答：①甲同学的方案合理． 证明：在与中， ， ， 测出的长即可得线段的长． ②乙同学的方案合理： ， ， 在与中， ， ， ． 测量的长即可得线段的长． 17．（25-26八年级上·河南开封·期末）（1）【问题初探】在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题： 如图1，在中，高，交于点F，且，试说明与有怎样的数量关系． 小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证，从而得出．小明判定的依据可能是_______（填序号）． ①SSS    ②AAS    ③HL    ④SAS （2）【引导发现】李老师看同学们的兴致很高，又出了一道题： 如图2，在中，，，平分，交的延长线于点E． ①填空：的度数为_______； ②判断线段与的数量关系，并写出证明过程． （3）【拓展延伸】如图3，在中，，，点D在线段上，交的延长线于点E，交于点F，且，请直接写出和的数量关系． 【答案】（1）② （2）①；②，证明见解析 （3） 【分析】（1）根据题意易得、根据余角的性质得到，进而证得，据此解答即可； （2）①根据角平分线的性质得到，根据余角的性质得到； ②如图，延长交的延长线于点M，得到，进而得到，证得，根据全等三角形的性质得到，进而得到，再证得，根据全等三角形的性质得到，进而得到； （3）过点D作，交的延长线于点G，与交于点H，根据题意得到及 ，进而证得，进而得到，再证得，根据全等三角形的性质得到，进而得到． 【详解】（1）解：高，交于点F， 、 在和中 故答案为：②； （2）①解：，，平分， 、 故答案为：； ②，证明过程如下： 证明：如图，延长交的延长线于点M， 在和中 平分 在和中 ； （3）解：，理由如下： 如图，过点D作，交的延长线于点G，与交于点H， 、 、 ， 在和中 在和中 ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 18．（25-26八年级上·广东东莞·期末）【综合与实践】数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究动点线段之间的关系．已知在中，，，，点D从点C出发在直线上速度运动，连接，在直线的右侧作，且，连接，设运动时间为． (1)【思考尝试】如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：______，______． (2)【深入探究】如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点D运动的过程中，如果，请直接写出线段的长为______； (4)【拓展应用】当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)， (2)结论仍然成立，见解析 (3)3或13 (4)当t为1或7时，的面积为． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的全等的判定与性质，一元一次方程的应用． （1）由证明可得出的数量和位置关系； （2）同（1）方法证明，可得出结论； （3）分两种情况：①当点在上时，②当点在延长线上时，逐个分析求解即可； （4）作于点，利用三角形面积公式求得，再分两种情况：①当点在上时，②当点在延长线上时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：，． 证明：，， ，， 在与中， ， ， ，， ， ， 故答案为：，； （2）解：成立．理由如下： ∵， ， ， 在和中， ， ， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：①当点在上时，如图， 由（1）可知， ， ； ②当点在延长线上时，如图， 由（2）可知，， ， ， 故答案为：3或13； （4）解：作于点， ∵中，，，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得， ∵点D从点C出发在直线上速度运动， 设运动时间为， ∴， ①当点在上时，， ∴； ②当点在延长线上时，， ∴； 综上，当t为1或7时，的面积为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题4.3全等三角形性质和判定 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1：全等三角形的概念和性质 知识点2：全等三角形的判定 知识清单 知识点3：全等三角形的判定与性质 题型01全等三角形的性质 题型02由三角形全等求时间或线段长 全等三角形性质和判定 题型03用SSS证明两三角形全等 题型04用ASA证明两三角形全等 题型精讲 题型O5用AAS证明两三角形全等 题型o6用SAS证明两三角形全等 题型07添加条件使两三角形全等 题型08全等三角形的性质和判定综合 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解全等三角形的概念，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质。 2.探索并掌握全等三角形的四种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS,并能灵活选择 教学目标 使用。 3能运用全等三角形的性质和判定证明线段相等、角相等，解决简单的几何证明问 题。 重点： 1,全等三角形判定定理的掌握与准确应用，能根据已知条件选择恰当的判定方法。 2.运用全等三角形的性质与判定进行规范的几何证明，做到言必有据。 教学重难点 难点： 1.在复杂图形中识别或构造全等三角形，准确找出对应边和对应角。 2.灵活选择判定方法，特别是区分ASA与AAS,避免在证明过程中混淆。 1/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点1：全等三角形的概念和性质 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形.两个全等的三角形，经过变换而重合，相互重合的顶点 叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。 全等三角形的对应边相等，对应角相等.边、角分别对应相等的两个三角形全等. 【即学即练1】 1.如图，△ABC≌△DEF,若BC=9,CE=3,则CF长度为一. B E C 2.如图，△AEB≌△DFC,AE⊥CB,DF1BC,AE=DF,∠C=28°，则∠A=一 B 3.如图，△ABC≌△DEC,BC=2,CD=3,点B,C,D在同一直线上，点E在AC上，延长DE交AB 于点F. A B (I)求AE的长： (2)求∠BFD的度数. 知识点2：全等三角形的判定 (1)判定定理1：SSS··三条边分别对应相等的两个三角形全等. (2)判定定理2：SAS·-两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等. (3)判定定理3：ASA··两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“角边角”或 “ASA"). 2/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 特别说明：如图，如果∠A=∠A',AB=A'B',∠B=∠B',则△ABC≌△A'B'C (4)判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（可以 写成“角角边”或“AAS”) 特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由 “角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是 前者的推论。 【即学即练2】 1.已知：如图，点E,F在线段BC上，∠A=∠D,∠B=∠C,BE=CF,AF与DE交于点M.求证： △ABF兰△DCE M 2.如图，点B,F,C,E在一条直线上，FB=CE,AB=DE,AC=FD (I)求证：△ABC≌△DEF: (2)求证：AF=CD」 知识点3：全等三角形的判定与性质 (1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时， 关键是选择恰当的判定条件. (2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角 形 全等三角形的对应边相等，对应角相等.边、角分别对应相等的两个三角形全等， 【即学即练3】 1.如图，在△ADE和△BCF中，A,C,D,B四点在同一直线上，AC=BD,AE=BF,DE=CF. 3/18 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B D (1)求证：∠E=∠F; (2)若∠F=38°，∠A=104°，求∠EGC的度数 2.如图，点E、F在BC上，AB=DC,AF=DE,∠A=∠D. B (I)证明：△ABF≌△DCE: (2)若BC=14,EF=5,求BE的长. 题型精讲 题型01全等三角形的性质 【典例1】(25-26八年级上北京期中)如图，已知△ABC≌△EBD,若AB=5,BD=8,则CE的长为_ E A B 【变式1】(25-26八年级上宁夏固原，期中)如图，△ABC≌aDCE,∠B=40°，∠E=65°，点B、C、E 在同一条直线上，则∠ACD的度数为一° C 【变式2】(25-26八年级上辽宁抚顺期末)如图，若△AOD≌△BOC,且OD=5,OA=2,则AC的长 为 4/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 【变式3】(24-25八年级上·湖南衡阳期末)如图，△ABC≌△ADE,点E在边BC上（不与点B,C重 合)，DE与AB交于点F. D E (1)若∠CAD=110°，∠BAE=30°，求∠BAD的度数； (2)若AD=10,BE=CE=4.5,求△ADF与△BEF的周长和： 题型02由三角形全等求时间或线段长 【典例2】(25-26八年级上新疆乌鲁木齐·月考)如图，CA⊥AB,垂足为A,AB=12厘米，AC=6厘米， 射线BM⊥AB,垂足为B,一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线AN运动，同时动点D从点B 出发沿射线BM运动.设点D运动的速度为v厘米/秒，当V=厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与 △ABC全等. D BN 【变式1】(25-26八年级上·黑龙江鸡西期末)如图，BC=6cm,∠PBC=∠QCB=60°，点M在线段CB 上以3cm/s的速度由点C向点B运动.同时，点N从点C出发在射线CQ上以lcm/s的速度运动，它们运 动的时间为(s)(当点M运动结束时，点N运动随之结束)·在射线BP上取点A,在M、N运动到某 处时，有△ABM与△MCN全等，则此时AB的长度为一· 5/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 PO M 【变式2】(25-26八年级上·福建莆田·期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm,BC=4cm, AB=5cm,直线1经过点C且与边AB相交.动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动：动点Q 从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动.点P和点Q的速度分别为lcm/s和2cm/s,两点同时出发并 开始计时，当点P到达终点B时计时结束.设运动时间为1秒.在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥I于点 E,QF⊥I于点F,当t=为何值时，△PEC与△QFC全等. R 【变式3】(24-25八年级上·青海海东期末)如图，在△ABC中，AB=AC,BC=10cm,点D在AB上， 且BD=6cm:点M从B出发以每秒lcm的速度向点C运动，同时，点N从C出发向点A运动，设运动时 间为t秒，连接DM、MN. B (I)用含t的式子表示BM、MC: (2)若点N的运动速度也为每秒lcm,t为何值时，△DBM≌aMCN; (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使△DBM≌△NCM,则点V的运动速度为多少？全等时1为 多少？ 题型03用SSS证明两三角形全等 【典例3】(25-26八年级上·吉林白山期末)如图，点C、B、E、F在同一条直线上，AB=DE, BF=CE,AC=DF.求证：△ABC≌△DEF. 6/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(25-26九年级上·云南玉溪·期末)如图，点A,F,C,D在同一直线上，点B和点E分别在 直线AD的两侧，且AB=DE,BC=EF,AF=DC.求证：△ABC≌△DEF. B 【变式2】(25-26八年级上广东汕尾·月考)如图，AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证： △ABC≌△DEF 【变式3】(24-25七年级下·全国·课后作业)如图，AD=CB,E,F是AC上的两个动点，且DE=BF D D 图① 图② (I)若点E,F运动至图①所示的位置，且AF=CE.试说明：△ADE≌△CBF」 (2)若点E,F运动至图②所示的位置，仍有AF=CE,则△ADE≌△CBF还成立吗？请说明理由. (3)若点E,F不重合，且AF=CE,则AD和CB平行吗？请说明理由. 题型04用ASA证明两三角形全等 【典例4】(25-26九年级上：云南昆明期末)如图，AB=AD,∠B=∠D,∠BAE=∠DAC,求证： △ABC≌△ADE. 7/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 【变式1】(25-26八年级上·浙江台州期末)如图，AC与BD相交于点E,∠1=∠2，∠3=∠4，求证： AB=CD」 【变式2】(25-26八年级上·北京石景山期末)如图，D为线段BC上一点，AC=BD,AC川BE, ∠A=∠BDE. B (I)求证：△ABC≌△DEB: (2)若AC=6,BE=12,求CD的长. 【变式3】(25-26八年级上湖北襄阳·月考)如图，△ABC中，D是BC边的中点，E,F为直线AD上 的点，连接BE,CF,且BE∥CF, (I)求证：△BDE≌aCDF: (2)若AE=15,AF=7,试求：DE的长. 题型05用A4S证明两三角形全等 【典例5】(24-25八年级上·宁夏银川期中)课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两凳子之 间（凳子与地面垂直）.已知DC=a,CE=b, 8/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D E (I)△ADC与ACEB全等吗？请说明理由. (2)求两条凳子的高度之和. 【变式1】(25-26八年级上·湖南岳阳·期末)如图，点B、F、C、E在直线1上（点F、C之间的线段被一 块污渍遮住)，点A、D在直线I的异侧，连接AB、AC、DE、DF,且AC∥DF,∠A=∠D,测得 AB=DE. (I)求证：△ABC≌△DEF (2)若BE=140,BF=30,求FC的长度. 【变式2】(25-26八年级上·江苏南通·期末)如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别 为D,E,连接AE. (I)求证：△ACD≌△CBE: (2)若AD=4,DE=3,求四边形ACBE的面积. 【变式3】(25-26八年级上·河南信阳期末)如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点A在 线段DE上，∠BDA=∠E=90°. B (I)求证△BDA≌△AEC: (2)若AD=6,求△DAC的面积. 9/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型06用S4S证明两三角形全等 【典例6】(25-26八年级上广西崇左·期末)如图，已知点B,E,C,F在一条直线上，AB=DF, ∠B=∠F,BE=FC」 O (I)求证：△ABC≌△DFE: (2)若BF=13,EC=5,求BC的长」 【变式1】(25-26八年级上四川广元·期末)如图，AB=AD,AC=AE，∠BAE=∠DAC. B E D (I)求证：△ABC≌△ADE: (2)若BC=8cm,求DE的长. 【变式2】(25-26八年级上·甘肃·期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是AB边上一点 (点D不与A,B重合)，连接CD,过点C作CE⊥CD,且CE=CD,连接DE交AC于点F,连接AE. (I)求证：△ACE2△BCD: (2)求证：AE⊥AB 【变式3】(25-26八年级上全国课后作业)判断下列各组中的两个三角形是否全等，并说明理由 E B D E (1) (2) (3) 10/18