专题4.2 三角形中的高线、中线、角平分线（3大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题4.2 三角形中的高线、中线、角平分线 教学目标 1. 理解三角形的高线、中线、角平分线的定义，能准确区分这三条重要线段。 2. 掌握这三条线段的几何特征与性质，能根据图形正确识别并画出指定线段。 3. 能运用高线、中线、角平分线解决简单的几何计算与推理问题，发展几何直观。 教学重难点 重点： 1. 高线、中线、角平分线的定义理解与准确作图，特别是钝角三角形高线的画法。 2. 掌握三角形中线的性质（平分面积）和角平分线的性质（平分角），并能简单应用。 难点： 1. 钝角三角形三条高线的识别与作图，理解高线可能在三角形外部。 2. 在复杂图形中，综合运用中线、角平分线进行线段或角度的等量转化与计算。 知识点01 三角形的高线、角平分线、中线 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 【即学即练】 1．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【答案】B 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分析即可． 【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意； B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意； C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意； D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·单元测试）（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则 ；若，则 ． （2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为，则 ． 【答案】 /80度 3 【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了角平分线，中线等知识．熟练掌握角平分线，中线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线，中线的定义求解作答即可； （2）由是边上的中线，可得，由题意知，的周长为，的周长为，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， 故答案为：，3； （2）解：∵是边上的中线， ∴， 由题意知，的周长为，的周长为， ∴，， 故答案为： ． 3．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型01 画三角形的高 【典例1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·北京朝阳·期末）下面四个图中，线段是的高线的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】三角形高的定义：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 【详解】解：根据三角形高的定义可知，选项A中线段是的高线． 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高． 根据图示，线段的所对顶点为，结合高的画法“从三角形的一个顶点到它的对边所在直线作一条垂线段，”即可求解． 【详解】解：线段的所对顶点为， ∴线段是边上的高， 故选：C ． 【变式3】（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，关于边上的高，下列说法正确的是（   ） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，熟记概念是解题的关键． 根据三角形的高的定义对各选项分析判断求解． 【详解】解：于点， ∴是边上的高，故A不符合题意； ∵于点E， ∴线段是边上的高，故 D符合题意； 线段不是任何边上的高，故B，C不符合题意； 故选：D． 题型02 利用三角形的高线求解 【典例2】（24-25八年级上·新疆阿克苏·月考）如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：的面积为：； （2）解：， ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，结合三角形的高推导线段间的数量关系． （1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， 所以， 整理得：， 解得， ∴， 所以线段的长为6． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，D为BC边上任意一点，连接AD．已知DE，DF分别是，的高． 作图：（1）请在图①上作出中AC边上的高BG． 探究：（2）通过观察、测量，发现DE，DF，BG之间的数量关系为________________________． 填空：（3）为了说明DE，DF，BG之间的数量关系，小明是这样做的： 因为， 所以． 因为， 所以________________________． 拓展：（4）当点D在图②的位置时，试判断（2）中DE，DF，BG之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）  ，；（4）不成立．理由见解析 【分析】（1）过点作交于点，即可作答； （2）通过观察、测量，即可得到，，之间的数量关系； （3）将分成和，根据三角形的面积公式结合即可得到，，之间的数量关系； （4）将分成和，根据三角形的面积公式结合即可得到，，之间的数量关系． 【详解】解：（1）如图①，即为所求． （2） （3）因为， 所以． 因为， 所以． 故答案为：， ，． （4）不成立．理由如下： 如图②，过点作于点． ， ． ， ， ． 【变式3】（24-25七年级下·河南南阳·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 题型03 根据三角形的中线求长度 【典例3】（2026八年级·全国·专题练习）在中，，的中线将的周长分为和，则的边的长为_____． 【答案】7或11 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和中线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据中线的定义得到，设，则，需分类讨论周长被分成的两部分，并利用三角形三边关系验证． 【详解】解：设，则． 中线将周长分为两部分：和． 若，， 解得，， 此时，，满足三边关系； 若，， 解得，， 此时，，满足三边关系． 故答案为：或． 【变式1】（25-26八年级上·云南怒江·期中）如图，是的中线，是的中线．若，则的长为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，由是的中线可得是的中点，得；由是的中线得． 【详解】解：∵是的中线， ∴是的中点， ∴， ∵, ∴； 又是的中线， ∴． 故答案为：2． 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， ， 于点 ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 【变式3】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 【答案】 4 2 【分析】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分是解题的关键． （1）根据三角形的中线性质，可得，再根据三角形的周长公式解答即可； （2）根据三角形的中线性质，可得的面积为32，的面积为16，以此类推，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为的中线， ∴， ∵，， ∴的周长与的周长的差为； 故答案为：4 （2）为的中线， ， 同理， ， ， ∴． 故答案为：2． 题型04 根据三角形的中线求面积 【典例4】（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，是的中线，，分别为，的中点，若的面积为6，则的面积是_____． 【答案】24 【分析】本题主要考查了三角形的中线的应用， 先求出，进而求出，再根据三角形中线的定义得，然后求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴ ， ∴． ∵点D是的中点， ∴ ． ∵点E是的中点， ∴ ， ∴． 故答案为：24． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，是的中线，，分别是的中线，若阴影部分的面积为，则的面积为__________． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵，分别是的中线， ∴，， ∵是的中线， ∴，， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·开学考试）如图，的面积是12，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是________． 【答案】 【分析】依据是等底等高的三角形的面积相等即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ， ∵是的中点， ， 是的中点， ， 同理可得：，， ∴． 【变式3】（2026·河南周口·一模）如图，的面积为，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到，，按此规律，倍长次后得到的的面积为______． 【答案】 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后的面积是的面积的倍，依此规律可得结论． 【详解】解：如图，连接，，， 根据等底等高的三角形面积相等可得：，，，，，，都相等， ∴， 同理可得， 以此类推：， ∵， ∴， ∴的面积为． 题型05 重心的概念及有关应用 【典例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，则的长度为（  ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形重心和三角形的中线的定义，关键是掌握“三角形的重心是三条中线的交点，重心在三角形的中线上”这一核心知识点．由重心的性质可知是边上的中线，即为的中点，因此的长度为的2倍，代入的数值即可计算出结果． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点，， ∴； 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（    ） A．画出三角形薄板的三条高，取其交点 B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的重心的概念，掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点是解题的关键． 根据题意得：支撑点应是三角形的重心，据此即可解答． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴支撑点是三角形三边中线的交点． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·湖北随州·期末）如图，O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（   ） A．平分 B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形重心的概念，由题意可得、、均为的中线，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握三角形重心的概念是解此题的关键． 【详解】解：∵O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F， ∴、、均为的中线， ∴平分，故A选项结论成立，符合题意； 故不一定垂直，不一定平分，不一定等于，故B、C、D选项结论不成立，不符合题意； 故选：A． 【变式3】（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积和三角形的重心，解题的关键是掌握在高相等的情况下，面积比等于底之比． 延长交于，设，则根据重心的概念可得是中线，通过面积转换可得，，，，最后在中，求解x即可． 【详解】解：延长交于，如图， 设． ∵是的重心， ∴是中线， ∴D是中点，则和等底同高， ∴． ∴． ∵是中点， ∴ ． ∵， ∴ ， 又∵是中点，和等底同高， ∴ ∴ 解得， 在中， 解得， ∴ ， ∴． 故选A． 题型06 三角形角平分线的定义 【典例6】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，、分别平分、，且，，的周长为10，则的长为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键． 根据角平分线定义及平行线性质得，，再根据“等角对等边”得，，进而得，然后根据的周长为10得，由此即可得出BC的长． 【详解】解：、CP分别平分、， ，， ，， ，， ，， ，， ， 的周长为10， ， ． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·重庆九龙坡·月考）如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键． 连接，根据角平分线的性质，可得点G到和的距离相等，则可得的面积，再根据，得到，进而求得的面积，根据求得和的面积，再根据即可求得的面积，最后求得的面积，即可求得的面积， 【详解】解：由题意得是的平分线，且， 设点G到的距离为，到的距离为，则， ∵，， 又∵且， ∴， ∴的面积为：， 连接，如下图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为__________度． 【答案】或/15或65 【分析】本题考查了三角形高、角平分线，正确的画出图形，是解题的关键，注意分类讨论，不要漏解． 先由角平分线得到，再分两种情况讨论，画出图形，根据角的和差计算求解． 【详解】解：当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴； 当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在锐角中，边上有E，D，F三点，，，垂足为F． （1）以为中线的三角形有______；以为角平分线的三角形有______；以为高的钝角三角形有______． （2）若，则的度数为______． 【答案】 /度 【分析】本题考查的是三角形的中线、高、角平分线以及三角形的内角和定理，正确认识三角形的中线、高、角平分线是解题的关键． （1）根据三角形的中线、高、角平分线的概念解答即可； （2）根据三角形的内角和定理和垂直的定义进行计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴以为中线的三角形是； ∵ ∴以为角平分线的三角形是； ∵， ∴以为高的钝角三角形有、、， （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；；；． 题型07 网格中作三角形中的高线、中线、角平分线 【典例7】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点、、都是格点． (1)仅用直尺过点画，使； (2)仅用直尺画出的高； (3)比较大小：_____（填“>”、“=”或“<”），理由是__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查相交线与平行线： （1）将直线沿着平移，当点到达点时，直线即为所求； （2）根据和，可求得； （3）根据“垂线段最短”，即可求得答案． 【详解】（1）如图所示，直线即为所求． （2）如图所示，线段即为所求． 如图所示，可知． 因为， 所以． 所以． 所以． （3）根据图形可知，，理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）如下图所示，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高，边上的中线； (2)若的周长比的周长长4.5，则比长____________； (3)的面积为____________． 【答案】(1)见解析 (2)4.5 (3)4 【分析】本题考查了三角形的高与中线的定义，三角形周长差的转化，三角形面积的计算，掌握中线将三角形分成面积相等的两部分，周长差可通过消去相等线段转化为边长差是解题的关键． （1）根据三角形高的定义，从点向边作垂线得到，根据中线定义找到的中点，连接得到中线； （2）利用中线的性质，，结合周长差的表达式，消去公共边和相等线段，得到与的差； （3）先计算的面积，再利用中线将三角形分成面积相等的两部分，得到的面积． 【详解】（1）解：如图所示，线段、线段即为所求． （2）解：∵是的中线， ∴． ∵的周长比的周长长， ∴， ． （3）解：∵，是的中线， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图（1）中画的角平分线，标出点D； (2)在图（2）中，作的边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高，角平分线的判定定理，熟知角平分线的判定定理和三角形的高的定义是解题的关键． （1）取格点T，连接交于点D，则线段即为所求；根据网格的特点可得点T到直线的距离与点T到直线的距离相等，即点T在的角平分线上； （2）取格点D，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，每个小方格的边长为1． (1)仅借助网格和无刻度直尺画出边上的中线，并标出的位置； (2)仅借助网格和无刻度直尺画出边上的高线，并标出的位置； (3)填空：的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的中线和高、全等三角形的性质和判定、无刻度直尺作图、网格中三角形面积的求法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形的中线的定义解题即可； （2）通过构造全等三角形解题； （3）通过割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，由网格知点是线段的中点， ∴线段即为所求； （2）解：如图所示，连接交于点， 在和中， ∴≌， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段即为所求； （3）解：． 题型08 三角形中高线、中线、角平分线综合求解 【典例8】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，AD为的中线，BE为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为60，，则点A到BC边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由角平分线的定义即可求解；（2）由是中线，可得的值，根据已知条件利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）解：为的角平分线，， ． （2）解：为的中线，， ． 设点到边的距离为，则， ， 故点到边的距离为12． 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，，求线段的长度． 【答案】(1)73° (2)3 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的中线，熟练运用三角形内角和定理和中线的性质是解题的关键． （1）先求出的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据中线的性质：平分三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）解：是的中线， ， 点是的中点， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，则与的周长差为______． (2)若，是的高，求的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线，高，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余： （1）根据三角形中线的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由三角形高的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴与的周长差为； （2）解：∵是角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·湖南湘西·阶段练习）数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下： (1)小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度． (2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求． (3)小宇：如图3，已知平分，，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，掌握与三角形“三线”相关的结论是解题关键． （1）根据即可求解； （2）根据、、、即可求解； （3）根据三角形的内角和定理求出即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵D是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． 一、单选题 1．（2026七年级下·全国·专题练习）下列能表示的边上的高的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：A．不是任何边上的高，故不符合题意； B．是边上的高，故符合题意； C．是边上的高，故不符合题意； D．不是任何边上的高，故不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线的定义、三角形的内角和、三角形的外角的性质等，关键是角的转换； 先由求出，再根据角平分线求得，进而可得，最后利用三角形内角和定理求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26九年级下·陕西西安·月考）如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过的面积和已知的高，利用面积公式求出的长度，再根据中线性质得到，进而计算出的长． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，解得． 又∵是的中线， ∴． 4．（25-26八年级上·湖南怀化·月考）如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是中边上的中线 B．是中的平分线 C．是中边上的高 D．是的角平分线和高 【答案】B 【详解】解：∵G为的中点， ∴，即是中边上的中线，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴是中的平分线，故B选项错误，符合题意； ∵于点H， ∴是中边上的高，故C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴是的角平分线，是的高，故D选项正确，不符合题意． 5．（25-26八年级上·广东广州·月考）如图，在中，点是边的中点，点在边上，，和交于点，那么和四边形的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设，，根据三角形面积之间的关系可得：，，根据，可得． 【详解】解：如下图所示，连接， 设，， 点是边的中点，点在边上，， ，， ， 点是边的中点， ， ， ， ， ， 点在边上，， ， ， 整理得：， ， ． 二、填空题 6．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，是的两条高线，若，，则与的比为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形面积公式，理解题意是解决本题的关键． 根据是的两条高线可得，则，将，代入进而即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴ ， ∴与的比为， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点，则的度数为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线，三角形内角和定理，解题的关键是熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．先由三角形内角和定理求出，根据角平分线得到，再由三角形的高得到，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，D、F为上的点，且F为的中点，，连接是上的一点，，连接，若的面积是5，则的面积是________． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的中线. 根据三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：为的中点， 的面积的面积， 设的面积的面积， ，， ，即， 解得， ，， ， ，， ， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，是的高线，是的角平分线．已知，，则的度数为________．（用含，的代数式表示）．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形的角平分线和高等知识，根据三角形的内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形外角的性质求出，根据三角形高的定义得出，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，已知的面积为2，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为__________． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接，可得，即得，进而得到，同理可得，，再根据即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴， 故答案为：12． 三、解答题 11．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在中，D是的中点，平分，，交的延长线于点F． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，则可得，根据角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理可得的度数． （2）先求出的面积，由D是的中点可得的面积是面积的一半，进而可求得的面积． 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵BE平分， ∴． ∴． （2）解：∵，，， ∴． ∴D是的中点， ∴． 12．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，，分别是的高和中线． (1)若的面积为，，则 ； (2)若，求与的周长差． 【答案】(1) (2)与的周长差为 【分析】本题考查了三角形的面积公式及中线的性质，解题的关键是利用三角形面积公式求高，结合中线定义分析周长差． （1）根据三角形面积公式，代入面积与底边长计算高； （2）由中线定义得，将两个三角形的周长相减，化简后计算边长差． 【详解】（1）解：由，代入，，得， 解得， 故答案为：． （2）解：∵ 是的中线， ∴ ，与的周长差为 ， 代入，，得， 答：与的周长差为． 13．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在每个边长为的小正方形的网格中，点、、在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图． (1)在图1中，画的中线； (2)在图1中，画的高； (3)在图2中，为与网格线的交点，在上画点，使得线段平分的面积； (4)在图2中，在的内部画点，使，且． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)见解析． 【分析】本题主要考查了借助网格线画图、三角形的中线与面积，解决本题的关键是借助网格找到符合条件的点． 根据中线的定义画出的中线； 根据三角形的高线的定义画出的高线； 由网格可知，可知，因为点到的距离为，所以当时即符合要求； 借助网格作出，根据网格即可求出． 【详解】（1）解：如下图所示，借助网格作的中线； （2）解：如下图所示， （3）解：如下图所示， 由图可知，， ， 当时，的面积为， 平分的面积； （4）解：如下图所示， 在中，， ，， ， ． 14．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是 ； (2)若的周长为30，则的周长为 ； (3)在中，若边上的高为6，求边上的高． 【答案】(1) (2)28 (3)边上的高为 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的角平分线、中线，和高，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可； （2）将的周长转换为即可得出答案； （3）设边上的高为h，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，的周长为30， ∴， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴， 故答案为：28． （3）解：设边上的高为h， 则， 解得， ∴边上的高为． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知如图，中，为上一点，连接．平分，分别交、于点、． (1)如图1：若，，为边上的高，求的度数； (2)如图2：若且．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高的定义，熟知相关知识是解题的关键。 （1）先由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，根据三角形的高的定义得到的度数，据此由三角形内角和定理可得答案； （2）根据，得出，再由角平分线的定义和，得出，最后根据，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴ （2）证明：， ， 平分， ， ， ， ， 又， ， ． 16．（25-26八年级上·山东日照·月考）已知中为的角平分线． (1)如图1，若是的高线，，，试求的度数． (2)如图2，中，若，，于P，求的度数（用，表示）． (3)如图3，若是的高线，和的角平分线交于点．请直接写出的度数_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的高，垂线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上定义和性质． （1）利用三角形的内角和定理，三角形的高线及角平分线的定义进行求解即可； （2）利用三角形的内角和定理，三角形的高线及角平分线的定义进行求解即可； （3）假设，则，利用三角形的内角和定理，三角形的高线及角平分线的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：假设，则， ∵是的高线， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26八年级上·广东珠海·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数为______． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”，见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，一元一次方程与几何问题，理解“友爱角”的概念和计算方法，掌握三角形内角和定理，几何问题与一元一次方程的综合运用是解题的关键． （1）①根据材料提示的“友爱三角形”得到，再根据直角三角形两锐角互余可得，由此即可求解；②由是中边上的高，得到，根据三角形两锐角互余可得，，结合与互为“友爱角”即可求解； （2）根据三角形内角和定理，设，则，根据是“友爱三角形”，分当与互为“友爱角”时，，或；当与互为“友爱角”时，，或；当与互为“友爱角”时，，或，求解即可． 【详解】（1）解：①∵是“友爱三角形”，与互为“友爱角”（）， ∴， ∵， ∴是直角三角形，， ∴，解得，， ∴； ②、都是“友爱三角形”．理由如下： ∵是中边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，，， ∴， ∵与互为“友爱角”（）， ∴与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； 同理，与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； （2）解：在中，， 设， 则， ∵是“友爱三角形”， 当与互为“友爱角”时， ， 或， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当与互为“友爱角”时， 若， 则， 解得，， 若， 则， 解得，， 不符合题意，舍去； 当与互为“友爱角”时， 若， 则， 解得，， 不符合题意，舍去； 若， 则， 解得，， 不符合题意，舍去； ∴的度数为或． 18．（25-26八年级上·北京平谷·期末）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【提出问题】 问题1：探究图1中，、、、、、这6个小三角形的面积关系？ 问题2：探究图1中的，，的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填“”、“”或“”）； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与______的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等； （3）由的面积是的面积的2倍，可得______，同理可得：______； 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点F是的重心，连接，并延长分别交，于点E，D，若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4）42 【分析】本题考查了重心定义、利用三角形中线求面积，同底等高三角形，根据已知解题思路求出的值是解题关键． （1）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （2）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （3）由上述解析得到6个小三角形面积相等，进而得到的面积是的面积的2倍，再根据同高三角形面积之比等于底边之比求解即可； （4）由上面的结论可知，，进而求出，，然后利用三角形的面积公式和6个小三角形面积相等求解即可． 【详解】解：（1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：， 故答案为：； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等， 故答案为：； （3）由的面积是的面积的2倍，可得，同理可得：， 故答案为：，； （4）由条件可知， ∴，， ∵， ∴的面积为， ∴四边形的面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题4.2三角形中的高线、中线、角平分线 内容概览 L 教学目标、教学重难点 知识点01三角形的高线、角平分线、中线 知识清单 题型01画三角形的高 题型02利用三角形的高线求解 三角形中的高线、中 题型03根据三角形的中线求长度 线、角平分线 题型04根据三角形的中线求面积 题型精讲 题型05重心的概念及有关应用 题型06三角形角平分线的定义 题型07网格中作三角形中的高线、中线、角平分线 题型08三角形中高线、中线、角平分线综合求解 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解三角形的高线、中线、角平分线的定义，能准确区分这三条重要线段。 教学月标 2.掌握这三条线段的几何特征与性质，能根据图形正确识别并画出指定线段。 3.能运用高线、中线、角平分线解决简单的几何计算与推理问题，发展几何直观。 重点： 1.高线、中线、角平分线的定义理解与准确作图，特别是钝角三角形高线的画法。 2.掌握三角形中线的性质（平分面积）和角平分线的性质（平分角），并能简单应用。 教学重难点 难点： 1.钝角三角形三条高线的识别与作图，理解高线可能在三角形外部。 2.在复杂图形中，综合运用中线、角平分线进行线段或角度的等量转化与计算。 知识清单 知识点01三角形的高线、角平分线、中线 1/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点.这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以 后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表 如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 从三角形的一个顶点向它的对边所 三角形一个内角的平分线与 三角形中，连接一个顶点和它 文字语言 在的直线作垂线，顶点和垂足之间 它的对边相交，这个角的顶 对边中点的线段. 的线段 点与交点之间的线段， 图形语言 D D 过点A作AD⊥BC于点D. 取BC边的中点D,连接AD, 作∠BAC的平分线AD,交 作图语言 BC于点D. 标示图形 B 1.AD是△ABC的高. 1.AD是△ABC的中线. 1.AD是△ABC的角平分线 2.AD是△ABC中BC边上的高. 2.AD是△ABC中BC边上的 2.AD平分∠BAC,交BC 3.AD⊥BC于点D 中线 符号语言 于点D 4.∠ADC=90°，∠ADB=90° 3. BD-DC=18C 2 3. ∠1=∠2=1 ∠BAC. (或∠ADC=∠ADB=90°) 4.点D是BC边的中点， 因为AD是△ABC的高，所以AD 因为AD是△ABC的中线，所 因为AD平分∠BAC,所以∠ 推理语言 ⊥BC. 1 1 以BD=DC=二BC 1=∠2= ∠BAC. (或∠ADB=∠ADC=90°) 2 2 用途举例 1.线段垂直.2.角度相等， 1. 线段相等.2.面积相等， 角度相等， 1. 与边的垂线不同. 注意事项 与角的平分线不同. 2.不一定在三角形内， 三角形的三条高（或它们的延长线） 个三角形有三条中线，它们 个三角形有三条角平分 重要特征 交于一点. 交于三角形内一点. 线，它们交于三角形内一点. 【即学即练】 2/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(24-25七年级下·上海青浦阶段练习)下列说法中，正确的是() A.三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B.三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C.钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D.在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 2.(25-26八年级下全国.单元测试)(1)在ABC中，AD是∠BAC的平分线，BE是AC边上的中线.若 LBAD=40°，则∠BAC=;若AC=6Cm,则AE= cm (2)在ABC中，AB=AC,AD是边BC上的中线，ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30Cm,则 AD= cm. 3.(24-25七年级下.上海青浦阶段练习)在ABC中，AB=AC,，D为直线BC上任意一点，连结AD, DE1AB于点E,DF1AC于点F.BG为AC边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） ① ② ③ 【画图探究】(I)如图①，当点D在边BC上时，请画出BG,猜想DE,DF,BG之间的数量关系并证明. 【运用】(2)如图②，当点D为BC中点时，BG与DE的数量关系为 【拓展】(3)如图③，当点D在CB的延长线上时，DE、DF、BG之间的数量关系为 题型精讲 题型01画三角形的高 【典例1】(25-26八年级上·安徽安庆·期中)下面四个图形中，线段BD是ABC的高的是() D CD. 【变式1】(25-26八年级上·北京朝阳·期末)下面四个图中，线段AD是ABC的高线的是() 6 , 3/17 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的 A C 【变式2】(25-26八年级上·江苏宿迁·期末)如图，在ABC中，边AB上的高是() B A.线段AD B.线段BE C.线段CF D.线段BD 【变式3】(25-26八年级上·云南昭通·期末)如图，关于△CBA边上的高，下列说法正确的是() A.线段AF是AB边上的高 B.线段DB是AC边上的高 C.线段DB是BC边上的高 D.线段BE是AC边上的高 题型02利用三角形的高线求解 【典例2】(24-25八年级上·新疆阿克苏月考)如图，△ABC中，AB、AC边上的高分别是CE、BD.已 AB =10cm,CE=6cm,AC =5cm. (I)△ABC的面积； (②)BD的长度. 【变式1】(25-26八年级上·安微合肥月考)如图，在ABC中，AB=AC,P是射线BC上一点，过点P作 PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D,E,过点B作BF⊥AC,垂足为F,连接AP, 4/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C 图1 图2 (I)如图1，点P在边BC上，写出线段PD,PE,BF之间的数量关系，并说明理由. (2)如图2，点P在BC的延长线上.当SMBc=10,AB=5,PE=2时，求线段PD的长 【变式2】(24-25七年级下·全国课后作业)如图，在ABC中，AB=AC,D为BC边上任意一点，连接 AD.己知DE,DF分别是△ABD,△ACD的高. E 作图：(1)请在图①上作出ABC中AC边上的高BG B B D 图① 图② 探究：(2)通过观察、测量，发现DE,DF,BG之间的数量关系为 填空：(3)为了说明DE,DF,BG之间的数量关系，小明是这样做的： 因为S△ABC= +SAACD' 所以AC-BG=号ABDE+ 2 因为AB=AC, 所以 拓展：(4)当点D在图②的位置时，试判断(2)中DE,DF,BG之间的数量关系是否仍然成立，并说明 理由。 【变式3】(24-25七年级下·河南南阳·期末)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法. 图1 图2 图3 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,AC=10,BD⊥AC,垂足为点D,则BD的 5/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 长是 (2)如图2，在ABC中，AB=3,BC=6,则ABC的高AD与CE的比是 (3)如图3，在ABC中，∠A=90°，∠ABC>45°，点D,E分别在边BC,AC上，且BE=EC, DM⊥BE,DN⊥AC,垂足分别为点M,N,若AB=8,DM=3,求DN的值. 题型03根据三角形的中线求长度 【典例3】(2026八年级·全国.专题练习)在ABC中，AB=AC,ABC的中线BD将ABC的周长分为 12和15，则ABC的边BC的长为. 【变式1】(25-26八年级上·云南怒江·期中)如图，AP是ABC的中线，AQ是△ABP的中线.若BC=8, 则BQ的长为 B O P 【变式2】(25-26八年级上·安微安庆期中)如图，AD是ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF1BC于 点F.若SABc=30,BC=10,，则EF长为 B DE 【变式3】(25-26八年级上·四川广安期末)如图，AR为ABC的中线，AP为△APC的中线，AP为 △APC的中线，，按此规律，AP为△APnC的中线. A B P PPC (1)若AB=12cm,AC=16cm,则△ACP的周长与△ABP的周长相差cm. (2)若ABC的面积为64，则△APC的面积为 题型04根据三角形的中线求面积 【典例4】(25-26八年级上河南商丘·期末)如图，BD是ABC的中线，E,F分别为BD,CE的中点， 若△AEF的面积为6，则ABC的面积是 6/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(25-26八年级上陕西西安期末)如图，AD是ABC的中线，BE,CE分别是△ABD,△ACD的 中线，若阴影部分的面积为3cm2,则ABC的面积为 cm. D 【变式2】(25-26八年级下山东烟台开学考试)如图，ABC的面积是12，点D,E,F,G分别是BC, AD,BE,CE的中点，则△AFG的面积是 【变式3】(2026河南周口一模)如图，ABC的面积为7，分别倍长（延长一倍）AB、BC、CA得到 △ABC,再分别倍长AB,BC,CA得到△4，B,C,…,按此规律，倍长2026次后得到的 △A2026B2026C2026的面积为 B C 题型05重心的概念及有关应用 【典例5】(24-25七年级下·全国课后作业)如图所示，已知点D是ABC的重心，连接BD并延长，交 AC于点E,若AE=4,则AC的长度为() 7/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D A.6 B.8 C.10 D.12 【变式1】(25-26八年级上·安微芜湖期末)如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平 衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是() A.画出三角形薄板的三条高，取其交点 B.画出三角形薄板的三条中线，取其交点 C.画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D.过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点. 【变式2】(25-26八年级上·湖北随州期末)如图，O是ABC的重心，A0,BO,CO的延长线分别交 BC,AC,AB于点D,E,F,则下列结论一定成立的是() B D A.AD平分BC B.BE⊥AC C.CF平分∠ACB D.OD=E 【变式3】(25-26八年级上·广东广州期末)如图，在ABC中，AD经过ABC的重心G交BC于点D, 若ABC的面积为16cm2,则阴影部分的面积为() D A.8cm B.7cm2 C.6cm2 D. 16cm2 8/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型06三角形角平分线的定义 【典例6】(25-26八年级上江苏盐城期中)如图，在ABC中，BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB,且 PD∥AB,PE∥AC,△PDE的周长为1O,则BC的长为· D 【变式1】(25-26八年级上·重庆九龙坡月考)如图，在ABC中，D,E分别是边AC,BC上的点，且 AC=3CD,BE=3EC,连接BD、AE交于点F,∠BAF的平分线交BD于点G,且AF:AB=I:2,若 △AGB的面积为16，则△AGD的面积为 G E 【变式2】(25-26八年级上·浙江杭州·月考)ABC中，∠BAC=50°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的 角平分线，若LDAE=40°，则∠BAD为 度 【变式3】(25-26八年级上·全国课后作业)如图，在锐角ABC中，BC边上有E,D,F三点， BD=CD,∠BAE=∠DAE,AF⊥BC,垂足为F. B E DE (1)以AD为中线的三角形有；以AE为角平分线的三角形有；以AF为高的钝角三角形有 (2)若∠BAC=88°，∠B=35°，则LCAF的度数为 题型07网格中作三角形中的高线、中线、角平分线 【典例7】(25-26七年级上江苏泰州·期末)如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小 正方形的顶点为格点，点A、B、C都是格点. 9/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)仅用直尺过点C画CD,使CD∥AB: (2)仅用直尺画出ABC的高CH: (3)比较大小：CHCA(填>”、=”或“<”)，理由是 【变式1】(25-26七年级下·全国周测)如下图所示，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C在小正方 形的顶点上 B (I)画出ABC中边BC上的高AD,边AC上的中线BE; (②)若△ABE的周长比△BCE的周长长4.5，则AB比BC长 (3)△ABE的面积为 【变式2】(25-26九年级上湖北武汉·月考)只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出 画法，保留作图痕迹， 图(1) 图(2) (I)在图(1)中画ABC的角平分线BD,标出点D; (2)在图(2)中，作ABC的BC边上的高AD 【变式3】(25-26八年级上·安徽合肥月考)如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的 三个顶点都在格点上，每个小方格的边长为1. B (I)仅借助网格和无刻度直尺画出AC边上的中线BD,并标出D的位置； 10/17