专题4.1 认识三角形（2大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级下册

本讲义聚焦“认识三角形”核心知识点，系统梳理三角形的概念、基本要素及表示方法，按边和按角分类，内角和定理及三边关系，构建从概念识别到性质应用的学习支架。 资料通过“知识点+即学即练+题型变式”设计，以图形观察培养几何直观（数学眼光），通过辅助线推理内角和发展推理意识（数学思维），课中助教师系统授课，课后综合练习助学生巩固查漏。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.1认识三角形 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01三角形的概念及分类 知识清单 知识点02三角形基本元素角与边的有关定理 题型01三角形的识别与有关概念 题型02三角形的分关 认识三角形 题型03利用三角形纳角和定理求角 题型04与平行线有关的三角形内角和问题 题型精讲 题型05构成三角形的条件 题型06确定第三边的取值范围 题型07利用三边关系去绝对值化简 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解三角形的概念、基本要素及表示方法，能准确识别三角形及其顶点、边、角。 2.掌握三角形的内角和定理，能运用定理进行简单的角度计算与推理。 教学目标 3.了解三角形的分类（按角、按边），掌握三角形三边关系，能判断三条线段能否构 成三角形。 重点： 1.三角形的内角和定理的理解与应用，能熟练进行角度计算。 2.三角形三边关系的掌握，能准确判断三条线段能否构成三角形。 教学重难点 难点： 1.内角和定理证明中添加辅助线的思路理解，以及在不同三角形中灵活应用。 2.运用三边关系解决实际问题，如确定第三边的取值范围或判断等腰三角形的存在 性。 1/11 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01三角形的概念及分类 1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. 2.三角形的分类 [不等边三角形 锐角三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 直角三角形 等腰三角形 (1)按边分类可以分为 等边三角形 (2)按角分类可以分为钝角三角形 【即学即练1】 1.观察图形. D (1)图中有几个三角形？把它们一一写出来； (2)写出△ABD的边、顶点及三个内角： (3)以∠C为内角的三角形有哪些？ (4)以AB为边的三角形有哪些？ 知识点02三角形基本元素角与边的有关定理 (1)三角形的内角和等于180°。 (2)直角三角形两个锐角互余。 (3)三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 【即学即练2】 1.(25-26八年级上：广西梧州期末)在△ABC中，∠A=∠B=40°，则∠C= 2.(24-25七年级下·浙江嘉兴·期中)将一块三角板和一块直尺按照如图所示的位置摆放，若∠1=30°， ∠2=120°，则∠3的度数 3.(25-26八年级上·江西赣州期中)一个三角形的三边长分别为2,5，x. (I)求x的取值范围： 2/11 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (2)若三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长， 4.(25-26八年级上·江西赣州期中)已知a,b,c是△ABC的三边， (1)比较大小：a+b-c0,b-a-c0,c-a+b0.(填入“>、<或=”号) (2)化简a+b-c-b-a-c+c-a+b. 题型精讲 题型01三角形的识别与有关概念 【典例1】(2026七年级下·全国·专题练习)如图，△ABC中，AB与BC的夹角是 ∠A, ∠C的公共边是 【变式1】(2026七年级下·全国·专题练习)如图，图中三角形的个数为；以AB为边的三角形是 以∠C为一个内角的三角形是 B D E 【变式2】(24-25七年级下·全国·课后作业)如图所示，图中共有」 个三角形，其中以BC为边的 三角形有 ∠BAC是 的内角 A E 【变式3】(25-26八年级上全国课后作业)如图，图中有 个三角形；其中以AB为边的三角形有 一；以∠ACB为内角的三角形有一：在△BOC中，OC的对角是，∠OCB的对边是 3/11 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 题型02三角形的分类 【典例2】(25-26八年级上·江苏盐城月考)如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示() 等边三角形 不等边 三角形 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【变式1】(25-26八年级上·安徽准北期中)对于△ABC,下列说法正确的是() A.若∠A+∠B=∠C,则△ABC是锐角三角形 B.若∠A:∠B:∠C=1:1:2,则△ABC是钝角三角形 C.若∠A=2LB=3∠C,则△ABC是直角三角形 D.若A=B-C,则A1BC是直角三角形 【变式2】(24-25七年级下·全国课后作业)下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是() 三边 都不相 等腰三 等腰三 等的三 三边 角形 角形 角形 都不相 B 等的三 等边三 等边三 角形 角形 角形 等边三 角形 三边 三边 都不相 等边三 都不相 C D 等腰三 等的三 角形 等的三 角形 角形 角形 【变式3】(24-25八年级上·安徽安庆·月考)用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是() 4/11 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 三角形 锐角 直角 等腰三角形 三角形 A. B 三角形 等边三角形 钝角 三角形 等腰 钝角 三角形 直角 三角形 三边都 C 不相等的 D 三角形 三角形 等边 锐角 三角形 三角形 题型03利用三角形内角和定理求角 【典例3】(25-26八年级下四川绵阳开学考试)在△ABC中，∠A=20°，∠B=110°，则∠C的度数为 0 【变式1】(25-26八年级上·湖北恩施期末)如图，∠1=∠2=130°，则写出∠a的度数是 a 【变式2】(25-26七年级上·山西临汾·期末)将一副直角三角板如图方式摆放，则∠α的度数为 45ò 30 【变式3】(25-26八年级上广西钦州·期末)如图是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=105°， ∠B=35°，则这块三角形木板缺少的角的度数是 0· B 题型04与平行线有关的三角形内角和问题 5/11 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【典例4】(24-25七年级上河南南阳·期末)如图，直线a∥b,直线c与直线a,b分别相交于点A,B, AC⊥b,垂足为C.若∠1=4417，则∠2=(). A A.4643 B.4543 C.4583 D.4417 【变式1】如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若AB∥CD,∠1=130°，∠3=35°，求∠2的度数. B 【变式2】如图，已知AB∥CD,点E在直线CD上，BE与AD交于点G,∠C=∠ABE (1)求证：AC II BE: (2)若∠C=65°，ADLBE,求∠ADC的度数. 【变式3】(24-25八年级上·四川绵阳阶段练习)如图，D是三角形ABC外一点，E,F是BC上的点， G,H分别是AB,AC上的点，连接AD,AE,FH,DH,GE,己知∠1=∠2，∠3+∠4=180°， ∠AEF=∠CFH. D B (1)判断GE与AC的位置关系，并说明理由： (2)若∠C=36°，∠DHC=105°，求∠B的度数. 题型05构成三角形的条件 6/11 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【典例5】(25-26八年级上·湖南郴州·期末)下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是() A.1,2,4B.8,6,4 C.15,5,6 D.1,3,4 【变式1】(25-26八年级下·四川泸州：开学考试)下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（) A.Icm,2cm,3cm B.2cm,3cm,4cm C.3cm,4cm,5cm D.5cm,6cm,10cm 【变式2】(25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末)下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角 形的是() A.4cm,4cm,8cm B.8cm,16cm,7cm C.11cm,5cm,5cm D.13cm,10cm,20cm 【变式3】(25-26八年级上江西宜春·期末)以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是() A.4cm,5cm,6cm B.7cm,8cm,16cm C.4cm,4cm,8cm D.3cm,5cm,10cm 题型06确定第三边的取值范围 【典例6】(25-26八年级上：山东滨州期末)若三角形中两条边的长分别为3、6，则第三条边长x的取值 范围为 【变式1】(25-26八年级上·安徽合肥·期末)若a,b,c为三角形的三边，且a,b满足a-9+(b-2)=0, 第三边c为奇数，则c= 【变式2】(25-26八年级上湖南邵阳·期末)若三角形的三边分别是3,4，x,且x是整数，则满足条件 的三角形有 个 【变式3】(25-26八年级上·安徽淮南·期末)已知三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x,且x 是三条边中最短的，则第三边x的取值范围为 题型07利用三边关系去绝对值化简 【典例7】(24-25八年级上·云南文山期中)若a,，b,c分别为△ABC三边，化简： a-b-c+a+b-c+c-a+b. 【变式1】(24-25八年级上安徽滁州期中)已知a,b,c为三角形的三边，则式子a+b-c-a-b-c片 () A.2a B.2b C.0 D.2a-2c 【变式2】已知△ABC的三边分别为a、b、c,化简：a+b-c-a+b+-lc-b-a= 【变式3】(24-25八年级上广东汕头阶段练习)a,b,c为△ABC的三边，化简： a+b+c-a-b-c-a+b-c. 7/11 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级上·浙江丽水·期末)以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是() A.1,2,3 B.1,2,1 C.2,2,3 D.2,5,2 2.(25-26八年级下·浙江金华·月考)若a,b,c为△4BC的三边长，且(a-b)(b-C)=0,则△ABC一定是 () A.等腰三角形B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 3.(25-26八年级上·安徽六安·期末)如图所示，为估计池塘两岸A,B间的距离，小明在池塘一侧选取一 点P,测得PA=7m,PB=4m,那么A,B之间的距离不可能是() A.6m B.8m C.10m D.12m 4.(25-26八年级上·甘肃金昌·期中)如图，已知在△ABC中，AB=3,AC=5,BC=7,在△ABC所在 平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最 多可以画() B A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.(25-26八年级上·安微铜陵·期末)等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美 比”，若等腰△ABC的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是() A.4 6 87 46 B.7 D.3或7 二、填空题 6.(25-26八年级上·浙江台州期末)已知三角形三边分别是1,2，x,则x的取值范围是 7.(25-26八年级上·河北邢台·期末)希望之舟大桥是位于河北曹妃甸工业区的跨纳潮河特大桥，为河北 8/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 省首座斜拉索特大桥，之所以采用斜拉索结构，是因为其稳固性、蕴含的数学道理是 8.(25-26八年级上·全国·课后作业)(1)图①中直角三角形共有个； (2)如图②，已知AB=AC,AD=BD=DE=CE=AE,则图中共有个等腰三角形， 个等 边三角形， 图① 图② 9.(25-26八年级上·贵州铜仁·月考)已知a、b、c为△4BC的三边长，b、c满足b-2+(c-2)=0,且 a为方程x-4=2的解，则△ABC的形状为 三角形， 10.(25-26八年级上北京期中)定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的 2 “优美比”.例如一个等腰三角形的腰长为2cm’底边长为3cm’则这个等腰三角形的“优美比”k为3· 若等腰三角形△ABC的周长为l3cm,AB=5cm,则它的“优美比”k为 三、解答题 11.(25-26八年级上·湖北咸宁·期中)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,动点P从A出 发沿AC以每秒2个单位向C运动，动点D从C出发沿CB以每秒1个单位向B运动，P、D同时出发，设 运动时间为秒 B (I)用含t的式子表示PC、CD: (2)当t为何值时，△PCD为等腰直角三角形？ 12.(24-25七年级下.全国课后作业)有两根长度分别为2cm和5cm的木棒. (1)用长度为3cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ (2)用长度为lcm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ (3)要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是多少？ 9/11 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 13.(25-26八年级上广东云浮·期末)已知三角形的三边长分别为2cm,am和7cm. (I)求a的取值范围 (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长. 14.(25-26八年级上·河南商丘·期中)如图，在△ABC中，AE⊥BC,点E是垂足，点D是边BC上的一 点，连接AD B O E (I)写出△ABE的三个内角： (2)在△ABD中，∠B的对边是 在△ABC中，∠B的对边是 (3)图中共有 个三角形，∠ADC是哪几个三角形的公共角？ 15.(25-26八年级上·安徽合肥期末)已知△ABC的三边长分别为a,b,c. ()若a,b满足(a-3)+b-5=0,求整数c的最小值. (2)化简：b+c-4+lc-a-b-la-b+c, 16.(25-26七年级上山东威海期中)现有a、b、c三个有理数，且(a-2+(b-3)2=0,c-4=2. (I)求a、b、c的值： (2)若a、b、c分别是△ABC三条边的长度， ①判断△ABC形状，并说明理由： ②求出此时△ABC的周长， 17.(25-26八年级上河南信阳·期中)设△ABC的三边长是a,b,c,周长是x,其中a=4,b=6. (1)直接写出c及x的取值范围： (2)当c为奇数时，求x的最大值和最小值： (3)若x为小于18的偶数，试判断△ABC的形状. 18.(2026七年级下·全国专题练习)找规律，填空： (1) (2) (3) (1)请按照下列要求数出三角形的个数. ①BC边上有1个点〔图(1))，三角形的个数为 ②BC边上有2个点（图(2）)，三角形的个数为 10/11 专题4.1 认识三角形 教学目标 1. 理解三角形的概念、基本要素及表示方法，能准确识别三角形及其顶点、边、角。 2. 掌握三角形的内角和定理，能运用定理进行简单的角度计算与推理。 3. 了解三角形的分类（按角、按边），掌握三角形三边关系，能判断三条线段能否构成三角形。 教学重难点 重点： 1. 三角形的内角和定理的理解与应用，能熟练进行角度计算。 2. 三角形三边关系的掌握，能准确判断三条线段能否构成三角形。 难点： 1. 内角和定理证明中添加辅助线的思路理解，以及在不同三角形中灵活应用。 2. 运用三边关系解决实际问题，如确定第三边的取值范围或判断等腰三角形的存在性。 知识点01 三角形的概念及分类 1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. 2.三角形的分类 (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 【即学即练1】 1．观察图形． (1)图中有几个三角形？把它们一一写出来； (2)写出的边、顶点及三个内角； (3)以为内角的三角形有哪些？ (4)以AB为边的三角形有哪些？ 【答案】(1)7个，见解析 (2)的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，， (3)，， (4)，， 【分析】查找三角形时可按逆时针方向，先固定一条边，再通过查第三个顶点的方法确定三角形． 【解】（1）图中有7个三角形，分别是，，，，，，． （2）的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，，． （3）以为内角的三角形有，，． （4）以AB为边的三角形有，，． 知识点02 三角形基本元素角与边的有关定理 (1)三角形的内角和等于. (2)直角三角形两个锐角互余. (3)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 【即学即练2】 1．（25-26八年级上·广西梧州·期末）在中，，则__________． 【答案】/100度 【详解】解：． 2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）将一块三角板和一块直尺按照如图所示的位置摆放，若，，则的度数_________． 【答案】 【分析】首先根据平行线的性质求得的度数，然后在中，利用内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， 在中， ． 3．（25-26八年级上·江西赣州·期中）一个三角形的三边长分别为2，5，x． (1)求x的取值范围； (2)若三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2)这个三角形的周长为12 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义． （1）根据三角形三边关系作答即可； （2）根据等腰三角形的定义分情况结合三角形三边关系作答即可． 【详解】（1）解：根据三角形的三边关系，可得， ∴； （2）解：当时，由，所以周长为； 当时，由，故不能构成三角形； 综上所述，这个三角形的周长为12． 4．（25-26八年级上·江西赣州·期中）已知，，是的三边， (1)比较大小：_______0，_______0，_______0．（填入“、或”号） (2)化简． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握绝对值的化简方法是解决本题的关键． （1）由三角形的三边关系即可求解； （2）根据（1）进行化简即可． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系得，，，， 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得， ． 题型01 三角形的识别与有关概念 【典例1】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的基本构成，掌握角、边的表示是关键，根据图示，写出角、边即可． 【详解】解：与的夹角是， ，的公共边是， 故答案为：①，②． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 【答案】 ． 【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形的定义数出三角形的个数，找出以为边的三角形以及以为一个内角的三角形，即可求解． 【详解】解：图中的三角形有、、、、、，共个； 以为边的三角形有、、， 以为一个内角的三角形是、、． 故答案为：；；． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【答案】 8 ，，， 和 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：图中共有，，，，，，，，个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和； 故答案为：8；，，，；和； 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，图中有______个三角形；其中以为边的三角形有______；以为内角的三角形有______；在中，的对角是______，的对边是______． 【答案】 8 【分析】本题考查三角形的个数问题，三角形的边、角，根据三角形的有关概念逐项求解即可． 【详解】解：图中有8个三角形，分别为：，，； 其中以为边的三角形有：； 以为内角的三角形有：； 在中，的对角是：；的对边是：； 故答案为：8；；；；． 题型02 三角形的分类 【典例2】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）对于，下列说法正确的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是钝角三角形 C．若，则是直角三角形 D．若，则是直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内角和定理及三角形的分类，涉及的知识点是 “三角形内角和为 ”“锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的定义”．解题方法是利用内角和定理，结合各选项的角度关系列方程，求出最大角的度数，进而判断三角形类型；解题关键是通过设未知数将角度关系转化为方程，准确计算最大角的度数．易错点是角度比例或倍数关系转化时设未知数错误，导致计算出的角度不符合三角形分类．解题思路为：对每个选项，根据角度关系设未知数，结合内角和为 列方程，求出各角的度数，判断最大角的类型，进而确定三角形类型． 【详解】选项A：，且 ，∴ ，，故是直角三角形，A错误． 选项B：设 ， ，则 ，，，故是直角三角形，B错误． 选项C：设 ，， （由 和 得），则 ，，，故是钝角三角形，C错误． 选项D：设 ，，；，．则 ，，，故是直角三角形，D正确． 故选D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【详解】解：根据三角形按边分类情况：等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 分类正确，故选项B正确，符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项C错误，不符合题意； 分类不完整，故选项D错误，不符合题意； 故选：B 【变式3】（24-25八年级上·安徽安庆·月考）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 题型03 利用三角形内角和定理求角 【典例3】（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）在中，，，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：三角形内角和为，即 【变式1】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图，，则写出的度数是______． 【答案】/度 【分析】本题考查了平角为，三角形内角和定理，根据题意得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【变式2】（25-26七年级上·山西临汾·期末）将一副直角三角板如图方式摆放，则的度数为____________． 【答案】/75度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，的度数，再根据对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·广西钦州·期末）如图是一块三角形木板的残余部分， 量得，，则这块三角形木板缺少的角的度数是__________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是关键． 根据三角形的内角和定理进行计算即可． 【详解】解：∵三角形内角和为， ∴缺少的角的度数是． 故答案为：． 题型04 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例4】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，，根据三角形内角和定理计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ，， ， 故选： B． 【变式1】如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 【答案】 【知识点】利用邻补角互补求角度、两直线平行内错角相等、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查求角度，涉及平行线性质、邻补角定义、三角形内角和定理等知识，先由平行性质得到，再由邻补角定义及三角形内角和得到即可确定答案，数形结合，准确表示出各个角度是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则． 【变式2】如图，已知，点在直线上，与交于点，. (1)求证：； (2)若，，求的度数. 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了平行线的性质和判定以及三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理. （1）根据两直线平行，内错角相等，推出，利用已知条件，通过等量代换求证，最后根据同位角相等，两直线平行求证. （2）利用垂直性质和平行线的性质推出，根据三角形内角和即可求出度数. 【详解】（1）证明：， ， ， ， . （2）解：， ， ， . ， ， . 【变式3】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴． 题型05 构成三角形的条件 【典例5】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，逐一判断即可． 【详解】解：、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，且， ∴能构成三角形，符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，不符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据三角形三边关系定理，三角形任意两边之和大于第三边，逐个判断选项即可得到结果． 【详解】解：选项A中，∵ ，不满足两边之和大于第三边， ∴ 不能组成三角形，符合题意； 选项B中，∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，不符合题意； 选项C中，∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，不符合题意； 选项D中，∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，不符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将每组中较短的两边长度相加，和大于最长边即可组成三角形． 【详解】解：A. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，A不符合题意； B. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，B不符合题意； C. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，C不符合题意； D. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒能组成三角形，D符合题意． 【变式3】（25-26八年级上·江西宜春·期末）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，关键是利用三边关系进行判断；根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，验证每组线段中较短两边之和是否大于第三边，即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A选项中，，满足三边关系，能构成三角形； B选项中，，不满足三边关系，不能构成三角形； C选项中，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； D选项中，，不满足三边关系，不能构成三角形； 故选：A． 题型06 确定第三边的取值范围 【典例6】（25-26八年级上·山东滨州·期末）若三角形中两条边的长分别为3、6，则第三条边长x的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，得，即； 故答案为： 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足，第三边c为奇数，则_____ ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了非负数的性质以及三角形三边关系的应用，正确理解三角形的三边关系是解题的关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再利用三角形三边关系求出c的范围，结合c为奇数确定c的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 根据三角形三边关系，有，即， ∵为奇数， ∴． 故答案为：9． 【变式2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若三角形的三边分别是3，4，，且是整数，则满足条件的三角形有___________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的运用，熟练运用三角形三边关系确定第三边的取值范围，是做题的关键．根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解的取值范围，再取整数值即可． 【详解】解：由三角形三边关系，得： ，即； ，即； ，即（恒成立）， 所以的取值范围为， 由于是整数，因此可取 2，3，4，5，6，共5个值， 即满足条件的三角形有5个． 故答案为：5． 【变式3】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）已知三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x，且x是三条边中最短的，则第三边x的取值范围为________； 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边”进行解答即可得．解题的关键是熟记三角形的三边关系．根据，解答． 【详解】解：∵三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x， ∴， 解得， ∵x最小， ∴， ∴， 故答案为：． 题型07 利用三边关系去绝对值化简 【典例7】（24-25八年级上·云南文山·期中）若，，分别为三边，化简：． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、整式的加减运算、化简绝对值 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值以及整式的加减；根据三角形的三边关系结合绝对值的意义，化简即可. 【详解】解：因为三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 所以， ， ， ∴ . 【变式1】（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知a，b，c为三角形的三边，则式子（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到，，再根据绝对值的性质进行化简计算． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得到，， ． 故选：D． 【变式2】已知的三边分别为a、b、c，化简： ． 【答案】 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，根据三角形的三边关系，判断式子的符号，再化简绝对值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴原式 ． 故答案为： 【变式3】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）a，b，c为的三边，化简：． 【答案】． 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系，以及绝对值的意义．由三角形的三边关系以及绝对值的意义进行化简，即可得到答案． 【详解】解：∵a，b，c为的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，1 C．2，2，3 D．2，5，2 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系．结合等腰三角形的定义与三角形三边关系，逐一判断各选项是否能构成等腰三角形． 【详解】解：A、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； B、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； C、有两边长为2，符合等腰三角形定义，且，满足三边关系， ∴可构成等腰三角形，该选项符合题意； D、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级下·浙江金华·月考）若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】根据乘积为0的性质得到边的关系，即可判断三角形类型. 【详解】解：∵， ∴或， 即或， ∴至少有两条边相等， ∴一定是等腰三角形. 3．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形的三边关系求出的范围，判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， 观察各选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 4．（25-26八年级上·甘肃金昌·期中）如图，已知在中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可以画（  ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 根据题意画图即可． 【详解】解：如图，腰为3的等腰三角形有3种情况， 底为3的有一种情况， 故选：D． 5．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（    ） A． B． C． 或 D．或 【答案】D 【分析】分已知边长为腰长和底边长两种情况讨论，计算对应底边长与腰长后求出“优美比”，同时验证三边能否构成三角形． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当3为腰长时， ∵等腰的周长为10， ∴底边长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”是； ②当3为底边长时， ∵等腰的周长为10， ∴腰长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”是； 综上，“优美比”是或． 二、填空题 6．（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知三角形三边分别是1，2，，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解，即可解题． 【详解】解：由三角形三边关系定理，得：， 整理得； 故答案为：． 7．（25-26八年级上·河北邢台·期末）希望之舟大桥是位于河北曹妃甸工业区的跨纳潮河特大桥，为河北省首座斜拉索特大桥，之所以采用斜拉索结构，是因为其稳固性、蕴含的数学道理是______． 【答案】三角形具有稳定性 【详解】由题意得，蕴含的数学道理是：三角形具有稳定性． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）图①中直角三角形共有______个； （2）如图②，已知，，则图中共有______个等腰三角形，______个等边三角形． 【答案】 3 4 1 【分析】本题主要考查三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键； （1）根据直角三角形的定义可进行求解； （2）根据等腰三角形的定义及等边三角形的定义可进行求解． 【详解】解：（1）图①中直角三角形共有3个； （2）图②中等腰三角形有，共4个；等边三角形有，共1个； 故答案为3；4；1． 9．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）已知a、b、c为的三边长，b、c满足，且a为方程的解，则的形状为______三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查绝对值，平方的非负性和等边三角形的判定，三角形的三边关系，熟练掌握绝对值与平方的非负性和三角形的三边关系是解题的关键，根据绝对值和平方的非负性求出b和c的值，再解方程求出a的可能值，结合三角形三边关系确定a的值，从而判断三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴和， 解得：，， ∵ ∴或， 解得：或， ∴或， 当，，时，，不能构成三角形， 当，，时，，为等边三角形， 故答案为：等边． 10．（25-26八年级上·北京·期中）定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解决本题的关键． 根据等腰三角形的性质和“优美比”的定义，分为腰和为底边两种情况讨论，分别计算腰长与底边长的比值即可． 【详解】解：根据题意得，等腰三角形的周长为，． 当为腰时，另一腰也为，底边长为， ∴优美比腰长/底边长． 当为底边时，腰长为， ∴优美比腰长/底边长． 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示、； (2)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 【答案】(1)， (2)当秒时，为等腰直角三角形 【分析】本题考查了列代数式， 等腰三角形的性质和判定，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据运动，分别用t表示出、，即可用t表示出； （2）由为等腰直角三角形，得到关于t的方程求解． 【详解】（1）解：∵动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动， ∴，， ∴， （2）解：若为等腰直角三角形，则，且， ∴， 解得， 此时，满足条件． 故当秒时，为等腰直角三角形． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）有两根长度分别为和的木棒． (1)用长度为的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ (2)用长度为的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ (3)要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是多少？ 【答案】(1)不能，理由见解析； (2)不能，理由见解析； (3)大于且小于． 【分析】本题考查了三角形的三边关系．三角形三边关系定理，第三边的长度必须大于已知两边之差且小于两边之和．据此求解即可． 【详解】（1）解：用长度为的木棒与它们不能摆成三角形． 因为，，不满足三角形三边之间的关系； （2）解：用长度为的木棒与它们不能摆成三角形． 因为，，不满足三角形三边之间的关系； （3）解：，， 所以要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是大于且小于． 13．（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围． (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据三角形的三边关系即可求得； （2）由等腰三角形判断的值，即可求得周长． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，和， ∴， ； （2）解：∵， ∴当时，该三角形为等腰三角形， ∴该三角形的周长为， 答：该三角形的周长为． 14．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，满足，求整数的最小值． (2)化简：． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系： （1）根据题意可得，，求得，，根据三角形三边关系，可得； （2）根据三角形三边关系，可得，，，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：， ，． ，． 根据三角形三边关系，可得，即． 为整数， 的最小值为3． （2）解：根据三角形三边关系，可得，，， ． 16．（25-26七年级上·山东威海·期中）现有a、b、c三个有理数，且，． (1)求a、b、c的值； (2)若a、b、c分别是三条边的长度， ①判断形状，并说明理由； ②求出此时的周长． 【答案】(1)或 (2)①等腰三角形，理由见解析；②7 【分析】本题考查了乘方，绝对值，等腰三角形的判定，正确求得a、b、c的值是解题的关键． （1）利用偶次方的非负性，绝对值方程，可得a、b、c的值； （2）① 分情况讨论可得时，无法组成，可得，此时为等腰三角形； ②根据①求出的周长即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 或； （2）解：①等腰三角形，理由如下： 当时， ，即 此时无法组成三角形， a、b、c是三条边的长度时，， ， 是等腰三角形； ②此时的周长为． 17．（25-26八年级上·河南信阳·期中）设的三边长是，周长是x，其中． (1)直接写出c及x的取值范围； (2)当c为奇数时，求x的最大值和最小值； (3)若x为小于18的偶数，试判断的形状． 【答案】(1)， (2)最大为19，最小为13 (3)是等腰三角形 【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，三角形的分类等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案； （2）根据奇数的定义和x的取值范围，可求解； （3）根据偶数的定义，以及x的取值范围即可求的值，利用等腰三角形的定义得出即可． 【详解】（1）， ， ， 周长x的取值范围为，即； （2）为奇数，， ∴c最大为9，最小为3， 最大为．最小为； （3）周长为小于18的偶数， 或． 当x为16时，；当x为14时．． 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上所述，是等腰三角形． 18．（2026七年级下·全国·专题练习）找规律，填空： (1)请按照下列要求数出三角形的个数． ①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________． ②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________． ③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________． (2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________． 【答案】(1)3，6，10 (2) 【分析】此题考查了规律型：图形的变化类． （1）由已知条件可得出点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形；点、之间有2个点时，共有6个三角形；点、之间有3个点时，共有10个三角形； （2）通过观察得知，点、之间有个点时，边上线段的总数为：，推出结论； 【详解】（1）解：通过观察得知： 点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形； 点、之间有2个点时，即线段共有4个点时，边上线段的总数为：，共有6个三角形； 点、之间有3个点时，即线段共有5个点时，边上线段的总数为：，共有10个三角形； 故答案为：3，6，10 （2）解：由（1）可看出，点、之间有个点时，即线段共有个点时，边上线段的总数为：，共有个三角形； 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $