专题1.3 同底数幂的除法（3大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题1.3 同底数幂的除法 教学目标 1.理解同底数幂的除法法则，能推导公式(a≠0, m>n). 2.掌握零指数幂与负整数指数幂的意义，理解规定a0=1, a-p= (a≠0) 的合理性. 3.能运用法则进行整数指数幂的运算，解决相关实际问题，体会数学的严谨与统一. 教学重难点 1.重点： （1）准确掌握同底数幂除法法则及其应用，能熟练进行正、负、零指数幂的计算. （2）理解并熟练运用公式将负整数指数幂转化为正整数指数幂进行计算. 2.难点： （1）理解负整数指数幂与零指数幂规定的数学原理，而非机械记忆. （2）在混合运算中，特别是含有负指数时，能综合运用多个幂的运算法则，确保运算准确. 知识点01 同底数幂的除法 (其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）逆用公式：即（都是正整数）. 【即学即练】1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)（m是正整数）； (4)（，n是正整数）． 【答案】(1) (2) (3)5 (4) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，负指数幂的概念，熟练掌握同底数幂的除法法则及负指数幂的概念是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可； （3）根据同底数幂的除法法则计算即可； （4）先根据同底数幂的除法法则计算，再根据负指数幂的概念化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知，，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了同底数幂的除法．利用同底数幂除法法则对式子进行变形． 【详解】解：，， ． 知识点02 零指数幂与负整数指数幂 我们规定：.这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1.零的零次幂没有意义。 我们规定：.这就是说，任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数. 【即学即练】3．（25-26八年级上·广东广州·期末）计算： ．（） 【答案】1 【分析】本题考查零指数幂，根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂等于1，作答即可． 【详解】解：（）． 故答案为：1． 4．（24-25七年级下·陕西西安·月考）计算 【答案】0 【分析】本题考查零指数幂、负整数指数幂、含乘方的有理数的混合运算，根据相关运算法则正确求解即可． 【详解】解： ． 知识点03 科学记数法 我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数指数幂，把一个绝对值较大的数表示成a×10n的形式，其中n是正整数，； 类似地，我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. 【即学即练】5．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）已知某花粉的直径约为0.00000352米．将数据0.00000352用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，确定的值，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）11月30日，我国成功实现12K小丝束T1000级碳纤维国产化量产，这标志着国产高性能碳纤维规模化量产实现关键性突破．量产的T1000级碳纤维单丝直径仅0.0000065米，不足头发丝的十分之一．数字0.0000065用科学记数法表示为 米． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：数字0.0000065中，第一个非零数字是6，因此系数为6.5，小数点向右移动6位，故指数为，用科学记数法表示为． 故答案为：． 题型01 同底数幂的除法 【典例1】（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方运算，同底数幂的除法运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）直接用同底数的除法法则计算； （2）先用同底数的除法法则计算，再确定符号； （3）先用同底数的除法法则计算，再用积的乘方法则计算； （4）直接用同底数的除法法则计算． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)4 (2) (3) (4)1 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据同底数幂的除法求解即可； （2）先算幂的乘方，再根据同底数幂的除法求解即可； （3）先算幂的乘方，再根据同底数幂的乘法和除法求解即可； （4）先算幂的乘方，再根据同底数幂的乘法和除法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（m是正整数）． 【答案】(1)9 (2)32 (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据同底数幂的除法求解即可； （2）根据同底数幂的除法求解即可； （3）先算幂的乘方，再根据同底数幂的乘法和除法求解即可； （4）先算幂的乘方，再根据同底数幂的乘法和除法求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（n是正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握法则进行计算和变形是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，即可求解， （2）根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，即可求解， （3）根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，即可求解， （4）先将变形为，再根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，即可求解． 【详解】（1）解：， （2）解：， （3）解：， （4）解：是正整数， ， 故． 题型02 同底数幂除法的逆用 【典例2】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方，进行计算即可； （2）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：， ； （2）解：，，， ． 【变式1】（25-26七年级上·上海崇明·期中）已知，，求 (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法的逆用、幂的乘方的逆用，解决本题的关键是根据同底数幂的乘法和除法的逆用，幂的乘方的逆用求解即可． 首先逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方的法则，可得：原式，再把，代入求值即可； 逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方的法则，可得：原式，再把，代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解：， 当，时， 原式． 【变式2】（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）（1）已知，，求①；②的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）①12；②；（2）16 【分析】本题主要考查了同底数幂除法及其逆运算，幂的乘方及其逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）分别根据同底数幂乘法和同底数幂除法的逆运算求解即可； （2）先根据幂的乘方得到原式，再根据同底数幂除法的法则求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ①； ②； （2）∵， ∴， ∴ ． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）1；（2）9 【分析】本题考查的是幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用及同底数幂乘法运算， （1）逆用同底数幂除法及逆用幂的乘方，再代入计算即可； （2）先求出，再逆用幂的乘方后整体代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴．     （2）∵， ∴， ． 题型03 幂的混合运算 【典例3】（25-26七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，同底数幂相除，底数不变，指数相减，再合并同类项计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26八年级上·广东汕头·月考）计算： 【答案】 【分析】先计算同底数幂相乘，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，再合并同类项． 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂的除法运算，积的乘方运算，幂的乘方运算，合并同类项，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，属于基础题型，计算时注意运算法则的准确运用． （1）先计算幂的乘方和积的乘方，再计算单项式的乘除； （2）原式变形为，将看成整体，根据同底数幂的除法法则计算解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（25-26八年级上·四川内江·月考）化简． (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法和除法运算法则，积的乘方运算法则，进行计算即可； （2）将看作一个整体，利用幂的乘方运算法则，同底数幂除法和乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型04 零指数幂 【典例4】（25-26八年级上·吉林·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了零指数幂．根据零指数幂的法则，任何非零数的零次方都等于1即可求解． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：1． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期中）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查零指数幂的性质：任何非零数的零次幂都等于1． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：1． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若，则 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了乘方运算，零指数幂，当时，需考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0，且底数不为0这三种情况，据此讨论求解即可． 【详解】解：当时，则，则， 此时，满足题意； 当时，则，则， 此时，满足题意； 当时，则，则， 此时，符合题意； 综上所述，x的值为或或， 故答案为：或或． 【变式3】（25-26八年级上·山东日照·月考）若等式成立，则x的值为 ． 【答案】 或或 【分析】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方，正确分类讨论是解题关键．直接利用当时，当时，当时，分别分析得出答案． 【详解】解：当时， 解得， 此时，，更符合题意， 成立； 当时， 解得， 则等式成立； 当时， 解得， 则等式成立； 综上所述，x的值为或或． 故答案为：或或． 题型05 负整数指数幂 【典例5】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂的运算，利用负指数幂的定义直接计算，即可解题． 【详解】解：根据负整数指数幂的运算法则，（其中 ）， 所以． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，根据负整数指数幂的运算规则，，将指数转化为倒数形式计算． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂． 先计算负整数指数幂，零指数幂，再计算加法即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·月考） ． 【答案】 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算．任何非零数的零次幂等于1；负整数指数幂等于该数正整数次幂的倒数． 【详解】解：原式 故答案为： 题型06 零指数幂、负整数指数幂综合计算 【典例6】（25-26九年级上·广东广州·月考）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查了含负整数指数幂和零指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的计算公式． 分别计算乘方、负整数指数幂和零指数幂，再进行加减计算． 【详解】解： 【变式1】（25-26八年级上·青海海东·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查零次幂及负指数幂，熟练掌握零次幂及负指数幂是解题的关键；根据乘方运算、零次幂及负指数幂进行求解即可． 【详解】解：原式． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂和负整数幂的意义，先根据乘方、绝对值、零指数幂和负整数幂的意义化简，再算加减即可． 【详解】解：原式． 【变式3】（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）计算：． 【答案】9 【知识点】实数的混合运算、求一个数的绝对值、零指数幂、负整数指数幂 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 题型07 用科学计数法表示绝对值小于1的数 【典例7】（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）纳米机器人是由纳米尺度部件组装的机器人．在医学领域，它能够在人体内进行药物运输、病毒检测、组织修复等．一个用于药物运输的纳米机器人的长度为0.000000056m，将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可． 【详解】解：∵， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为， 用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）我国科研团队制备出亚（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为，用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）计算：（   ） A． B．0 C．1 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了零指数幂，解题关键是掌握零指数幂． 根据任何非零数的零指数幂等于1求解． 【详解】解：∵任何非零数的零指数幂都等于1，且， ∴， 故选：C． 2．（25-26八年级上·福建福州·月考）清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写道：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若诗中苔的孢子直径约为，则用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数，根据科学记数法的定义，将原数表示为的形式，其中，为负整数，其绝对值等于原数第一个非零数字前零的个数（包括小数点前的零）． 【详解】解：． 故选：D． 3．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法运算，积的乘方和幂的乘方运算，根据对应的运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26八年级上·山东德州·期末）下列运算：①，②，③，④ ，其中结果正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘除，积的乘方，利用相关知识分别计算各式即可． 【详解】解：① ∵ ，∴ 错误； ② ∵ ，∴ 错误； ③ ∵ ，∴ 正确； ④ ∵ ，∴ 错误． 综上，只有1个正确． 故选：A． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则m，n的值分别为（    ） A．4，0 B．4，2 C．5，2 D．5，0 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则，掌握同底数幂相除，底数不变，指数相减是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则，计算左边表达式，得到 ，与右边比较得出 和 的值． 【详解】解：∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级上·全国·假期作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，运用幂的乘方和同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】原式 ， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·云南昭通·期末）已知，，，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，求出的值，根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约米，其中用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，掌握好科学记数法的使用规范是解题关键． 用科学记数法表示数，形式为，其中，为整数． 【详解】解：用科学记数法表示数，形式为，其中，为整数． 原数是一个小于1的正数，将小数点向右移动位得到， ∴． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·黑龙江大庆·月考）若的值为256，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查幂的运算．将指数表达式统一化为以2为底，利用指数运算法则简化，再根据相等关系求解． 【详解】解：，， 原式化为 ． 令，得， 解得． 故答案为：3． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）若，则x的值为 ． 【答案】或1或0 【分析】本题考查了零指数幂，乘方，掌握任何非零数的零次方都等于1是解题的关键． 根据乘方结果等于1，分别考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0且底数不为0三种情况． 【详解】解：根据，可分为以下三种情况， ①当底数时，解得，此时指数，即，符合题目要求； ②当底数时，解得，此时指数为偶数，即，符合题目要求； ③当指数时，解得，此时底数，故，符合题目要求； 综上所述，的值为或或． 故答案为：或或． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键； （1）（2）可直接运用同底数幂的除法法则进行运算； （3）先将底数化为相同，然后运用同底数幂的除法法则进行运算. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整数指数幂，熟练掌握整数指数幂的运算法则是解题的关键. （1）首先进行乘方运算，然后进行单项式除以单项式的运算得出最后结果； （2）首先进行乘方运算，然后进行单项式与单项式的乘除运算，最后得出结果. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 13．（24-25七年级下·河南郑州·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键． （1）先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数加减法则计算即可； （2）根据整式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 14．（25-26七年级下·贵州毕节·期末）（1）计算：； （2）已知：，求的值． 【答案】（1）1（2）27 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，幂的乘方和同底数幂的乘法运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）根据零指数幂和负整数指数幂以及绝对值的意义，进行计算即可； （2）利用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算，利用整体代入法求值即可． 【详解】解：（1）原式； （2）∵， ∴． 15．（25-26八年级上·吉林长春·月考）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据幂的乘方法则将变形为，再利用同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则得到，从而得解； （2）将原式变形为，再根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则计算，再把（1）中的结论代入求值即可. 【详解】（1）解：，，， ， ， ； （2）解： ． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)（是大于3的整数）． (3)（其中）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数幂，运用幂的相关运算法则进行计算，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 17．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先计算绝对值，零次幂，负指数幂，乘方，再计算加减法； （2）先计算乘方、乘法，除法，再计算加减法； （3）根据同底数幂乘除法法则计算； （4）利用乘法运算律计算 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 18．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）规定两数之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①若，则______； ②______； ③若，则______． (2)若探究之间的数量关系并说明理由． (3)下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤若，则；⑥若，则 【答案】(1)①；②2；③ (2)，理由见解析 (3)①②③④⑥ 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法运算，零指数幂，积的乘方，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，结合有理数的乘方运算逐一进行计算即可； （2）根据新定义，得到，根据，得到，根据幂的运算法则，得到，即可得出结论； （3）根据新定义，结合有理数的乘方，幂的乘法，零指数幂的法则，逐一进行判断即可． 【详解】（1）解：①； ②，故； ③，则：，故； （2），理由如下： 由题意，得：， ∵， ∴，即：， ∴， ∴； （3）∵， ∴，故①正确； ，故，②正确； 令，则：，即：，故③正确； ，故：；④正确； ，则：， ∴，即： ∴，故⑤错误； ，则：， ∴， ∴；故⑥正确； 故答案为：①②③④⑥ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.3同底数幂的除法 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01同底数幂的除法 知识点02零指数厚与负整数指数厚 知识清单 知识点03科学记数法 题型01同底数幂的除法 同底数幂的除法 题型02同底数寡除法的逆用 题型03幂的混合运算 题型04零指数幂 题型精讲 题型05负整数指数幂 题型06零指数复、 负整数指数幂综合计算 题型07用科学计数法表示绝对值小于1的数 强化训川练 教学目标、教学重难点 1.理解同底数幂的除法法则，能推导公式am÷a”=am-"(a≠0，m>n) 教学目标 2.掌握零指数幂与负整数指数幂的意义，理解规定a0=l,aP=专(a≠0)的合理性 3能运用法则进行整数指数幂的运算，解决相关实际问题，体会数学的严谨与统一， 1.重点： (1)准确掌握同底数幂除法法则及其应用，能熟练进行正、负、零指数幂的计算 (2)理解并熟练运用公式将负整数指数幂转化为正整数指数幂进行计算 教学重难点 2.难点： (1)理解负整数指数幂与零指数幂规定的数学原理，而非机械记忆 (2)在混合运算中，特别是含有负指数时，能综合运用多个幂的运算法则，确保运算 准确。 知识清单 知识点01同底数幂的除法 a”÷a”=am-"(其中m,n都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 1/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 要点诠释：(1)同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式 (2)逆用公式：即am-"=a"÷a”（m,n都是正整数). 【即学即练】1.(25-26七年级下·全国课后作业)计算： (1)10÷102; (2)(-a)3÷(-a)2: (3)5m÷5m-(m是正整数)； (4)b”÷b"(b≠0，n是正整数). 2.（25-26八年级上·吉林长春期中)已知5=36,5=2，求5-2y的值. 知识点02零指数幂与负整数指数幂 我们规定：a°=1(a≠0).这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1.零的零次幂没有意义。 我们规定：a"=1(a≠0，n是正整数)这就是说，任何不等于零的数的n(n为正整数)次幂，等于这 个数的n次幂的倒数 【即学即练】3.(25-26八年级上广东广州期末)计算：a°= (a≠0) 4.(24-25七年级下·陕西西安月考)计算(-3 2 +(-3)2-2 知识点03科学记数法 我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数指数幂，把一个绝对值较大的数表示成 a×10的形式，其中n是正整数，1≤a10: 类似地，我们可以利用10的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成α× 10"的形式，其中n是正整数，1≤a<10 【即学即练】5.(25-26八年级上陕西榆林期末)已知某花粉的直径约为0.00000352米.将数据0.00000352 用科学记数法表示为 6.(25-26八年级上·内蒙古呼和浩特期末)11月30日，我国成功实现12小丝束T1000级碳纤维国产化 量产，这标志着国产高性能碳纤维规模化量产实现关键性突破.量产的T1000级碳纤维单丝直径仅0.0000065 米，不足头发丝的十分之一.数字0.0000065用科学记数法表示为 米 题型精讲 题型01同底数幂的除法 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例1】(25-26八年级上：广西崇左·月考)计算： (1)a2÷a8; (2(-x÷-x: (3)xy)÷(xy); (4b2m+2÷b2. 【变式1】(25-26七年级下.全国·课后作业)计算： (1)川-2)°÷(-2)； 2(a}'÷a2; 3)(x2)）°÷x3x(x≠0)： ④0(x2）°÷(x2x）. 【变式2】(25-26七年级下.全国·课后作业)计算： (1)3°÷32； o8 G, 3(a}'÷a3.a2; (④x2m÷x2）x2m(m是正整数) 【变式3】(25-26七年级下，全国课后作业)计算： (1)a3÷a°(a≠0)： (2)x2÷x5; (3)(-b)°÷(-b)3: (n是正整数). 题型02同底数幂除法的逆用 【典例2】（25-26八年级上河南驻马店期中)已知2=3,2”=9,2P=81. (1)求4m的值： (2)求4+P的值. 【变式1】(25-26七年级上·上海崇明·期中)已知xm=3,x”=6,求 (1)x*2m的值： (2)x3m-2m的值. 【变式2】(25-26八年级上·湖南衡阳月考)(1)已知x"=6,x”=2,求①x";②x2m-3m的值. 3/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)已知x-2y-1=0,求2*÷4×8的值 【变式3】(2025八年级上·全国.专题练习)(1)己知a=8,a'=4,求a2-3y的值. (2)已知2a+3b-2=0,求9°×27的值. 题型O3幂的混合运算 【典例3】(25-26七年级上·上海期中)计算： ()-3r.-jxr)+(-2r). 【变式1】(25-26八年级上广东汕头月考)计算：aa'-(-2a）+a÷a2 【变式2】(25-26八年级上·全国·课后作业)计算： (a-a）÷a; (2)(x-2y)3÷(2y-x)2. 【变式3】（25-26八年级上·四川内江·月考)化简. (1)xx2.x3--2x3）+x10÷x4: (2)(m-m3T(n-mj2÷(n-m)3. 题型04零指数幂 【典例4】(25-26八年级上·吉林期末)计算：（-4°=」 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明期中)计算：(2025-π)°=_ 【变式2】(25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地期末)若(2-x)+=1,则x=」 【变式3】(25-26八年级上山东日照月考)若等式(2x+1)+225=1成立，则x的值为」 题型05负整数指数幂 【典例5】(25-26八年级上·辽宁大连期末)计算3=」 【变式1】(25-26九年级上·吉林长春期末)计算：（-2)= 【变式2】(25-26八年级上全国期末)计算： )+x- 【变式3】(25-26八年级上重庆月考)(-1) 题型06零指数幂、负整数指数幂综合计算 【典例6】(25-26九年级上广东矿广州月考)计第：-2+()+（π-5。 4/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(2526八年级上青海将东期末)计第：(-+x-2P+。 【变式2】(2526九年级上甘甫兰州期中)计算：-P+1-61-(3014-+() 【变式3】24公九年级上潮匙+整0段练习》计算：5+-5x--付 题型07用科学计数法表示绝对值小于1的数 【典例7】（25-26八年级上内蒙古乌兰察布·期末)为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战” 的号召，某科研团队最近攻克了12nm的光刻机难题，其中12nm=0.000000012m,则12nm用科学记数法表 示为m 【变式1】(25-26八年级上陕西榆林·期末)纳米机器人是由纳米尺度部件组装的机器人.在医学领域， 它能够在人体内进行药物运输、病毒检测、组织修复等.一个用于药物运输的纳米机器人的长度为 0.000000056m,将0.000000056用科学记数法表示为一 【变式2】(25-26八年级上黑龙江齐齐哈尔·期末)“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.” 这是清朝袁枚的一首诗《苔》，苔花的花粉直径约为0.0000084m,用科学记数法表示0.0000084为 m. 【变式3】(25-26八年级上黑龙江牡丹江·期末)我国科研团队制备出亚1m(纳米)栅极长度的晶体管， 其物理栅长为0.00000000034m,0.00000000034用科学记数法表示为 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级上陕西榆林期末)计算：2026°=() A.-2026 B.0 C.1 D.2026 2.（25-26八年级上·福建福州·月考)清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写道：“白日不到处，青春恰自来.苔 花如米小，也学牡丹开.”若诗中苔的孢子直径约为0.00000795m,则0.00000795用科学记数法表示为() A.7.95×103 B.7.95×10 C.7.95×1035 D.7.95×106 3.(25-26八年级上河南周口·期末)下列运算中，正确的是() A.(x2）=x8B.x÷x=x C.(3x2y)=6xy2D.x4.x2=x8 4.（25-26八年级上山东德州期末)下列运算：①a2.a3=a6,②a‘÷a2=a3,③a3.a1=a2,④ (-a2b)=-ab2，其中结果正确的个数为() 5/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.1 B.2 C.3 D.4 5.(24-25七年级下·全国课后作业)若2ab2÷a=2a"b”,则m,n的值分别为() A.4,0 B.4,2 C.5,2 D.5,0 二、填空题 6.(25-26七年级上·全国假期作业)计算：（-a2)°÷a2= 7.(25-26八年级上·云南昭通期末)已知，3”=2,3=4，则32-b= 8.(25-26八年级上·内蒙古包头期末)科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约0.00000000028米， 其中0.00000000028用科学记数法表示为」 9.(25-26七年级上·黑龙江大庆·月考)若4".8m-÷2m+的值为256，则m=」 10.(2025八年级上全国.专题练习)若(2x-1+2=1,则x的值为」 三、解答题 11.（24-25七年级下·全国·课后作业)计算： (1)y0÷y3÷y4. (2)bm+3÷bm+2. (3)(x-y)3÷(y-x)2. 12.（25-26八年级上全国·课后作业)计算： amn):Gmm小 (22a2b32(-ab2'÷ab2. 13.(24-25七年级下河南郑州·开学考试)计算： 0-004+(←2-(3.14-°-2 (2)a…a-(-3a4)2+a0÷a2. 14.(25-26七年级下贵州毕节期末)(1)计算： (2)己知：3m+2n=3,求(3'(3'的值. 15.(25-26八年级上·吉林长春·月考)己知9=12,3=6,3=8. (1)求2x+y-z的值： (2)求162×16÷42的值. 16.(25-26八年级上全国课后作业)计算： (1)aa2.a3+-2a）-a°÷(-a3 6/7 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)x3x6+x20÷x10-x”+6÷x"-3(n是大于3的整数)· ax÷（x2-2÷(←x(其中x≠0). 17.(24-25六年级下·黑龙江大庆期末)计算： 0啡24+(x-3+9-( (2)aa--3a）+a0÷a2; 3(p-q)°÷(p-q°g-p)°； -司×025××-4 18.（24-25七年级下江苏苏州月考)规定两数a,b之间的一种运算，记作(a,b)；如果a°=b,那么 (a,b)=c.例如：因为23=8，所以(2,8)=3. ()根据上述规定，填空： ①若(-2，y)=3,则y= ②(4,16=： ③若(x,81)=4,则x= (2)若m2,7=a,(m,3)=b,m2,63=c,探究a,b,c之间的数量关系并说明理由. (③)下列结论一定正确的有（填序号）. ①42.8)=64；②(a,1)=0(a≠0)；③aa.=b;④(a,a)=1;⑤若(a,b)=c,则a",b"）=c";⑥若(a,b)=c, 则3a,3b=c 7/7