第18章勾股定理单元测试数学试题2025-2026学年沪科版数学八年级下册

2025-2026学年沪科版八年级下册第18章勾股定理单元测试数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列选项中的三条线段的长度不能组成直角三角形的是（　） A．3，4，5 B．6，8，10 C．，2， D．5，12，13 2．如图是“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，且，那么（   ） A．2 B．6 C．8 D．9 3．下列各组数是勾股数的是（   ） A．1，1， B．，， C．2，12，14 D．8，15，17 4．如图，在4×7的正方形网格中，有一个格点三角形ABC，那么BC边上的高与AB的比值为(      ) A． B． C． D． 5．在中，三边分别为，，，下列条件中，能判断是直角三角形的个数为（   ） ①；    ②，，； ③；    ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，点在数轴上表示的数为，过点作数轴的垂线段，且，以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的数是（   ）    A． B． C． D． 7．若等腰三角形两边长为4和6，则底边上的高为（    ） A．或 B．或 C． D． 8．在中，所对的边分别是，且，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 9．如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面积是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，为的角平分线，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．在中，的对边分别是a，b，c，已知，，，则______． 12．如图，在中，，以为边的正方形的面积分别为9、5．则的长为________．    13．如图，在中，，，，，则___________．    14．已知直线与两坐标轴的交点分别为点、，则的周长为_____________． 三.（本题共16分） 15．小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 16．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 四.（本题共16分） 17．如图，在中，，，D为上一点，且，． (1)求证：； (2)求的长． 18．如图，是中边上的高，点是边上一点，，若，． (1)求的长； (2)若，求的值． 五.（本题共20分） 19．如图，已知：，，求的面积 20．如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，，求的长。 试卷第1页，共3页 六.（本题共12分） 21．综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 七.（本题共12分） 22．【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 八.（本题共14分） 23．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积． 2025-2026学年沪科版八年级下册第18章勾股定理单元测试数学试题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D C A A C A B 1．C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解： A、，，，能组成直角三角形； B、，，，能组成直角三角形； C、，，，不能组成直角三角形； D、，，，能组成直角三角形， 故选：C． 2．B 【分析】本题考查勾股定理解三角形．根据题意设，再利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵，，，和是四个全等的直角三角形， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 3．D 【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足较小的两个正整数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数是勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵不是整数， ∴1，1，这组数不是勾股数，不符合题意； B、∵，都不是整数， ∴，，这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴2，12，14这组数不是勾股数，不符合题意； D、∵， ∴8，15，17这组数是勾股数，符合题意； 故选：D． 4．D 【分析】根据三角形的面积相等法求出BC上的高，勾股定理求出AB，然后求比值即可 【详解】设正方形的边长为“1”，BC边上的高为h, 则AB= = ，BC= = S△ABC=×5×2=×h ∴h= ∴ = = 故本题答案应为：D 【点睛】用面积法求三角形的高及勾股定理是本题的考点，利用勾股定理求出BC及AB是解题的关键. 5．C 【分析】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理． 通过勾股定理逆定理和三角形内角和定理，逐一分析每个条件是否能判定为直角三角形即可． 【详解】解：①∵， ∴设，，（）， ∵， ∴是直角三角形． ②∵，，， ∵， ∴不满足勾股定理逆定理， ∴不是直角三角形． ③∵， ∴设，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． ④∵，且， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 综上，能判断是直角三角形的有①③④，共3个． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，数轴与实数，根据勾股定理计算即可，掌握勾股定理，数轴与实数的关系是解题的关键． 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 故选：． 7．A 【分析】分两种情况：腰为4时和腰为6时，分别利用勾股定理即可求出高． 【详解】 ∵ ∴ 若 ,则 若 ,则 故选：A． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和勾股定理，掌握等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 8．C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，勾股定理．由角度比确定三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求解边长关系． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 9．A 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解“勾股树”中的面积关系是解题的关键． 根据勾股定理的性质，可得直角三角形边长之间的关系，转换为面积之间的关系，即可求出正方形的面积． 【详解】解：假设正方形、、的边长分别为、、， 由勾股定理可得， 由于正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 故正方形C的面积为正方形A，B的面积之和， 即为， 故选A， 10．B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 证明为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质解题即可． 【详解】解：由图可知，， ， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵为的角平分线， ∴是斜边上的中线， ∴． 故选：B． 11．6 【分析】本题考查勾股定理，根据设，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∵在中，的对边分别是a，b，c，， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 12．2 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．根据勾股定理求出，则可得出答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：2． 13． 【分析】先利用角所对的直角边是斜边的一半求出的长度，然后利用两个直角等量代换得出，则的长度，进而即可求解． 【详解】，，， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查含角的直角三角形的性质，掌握角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 14． 【分析】分别令和，求出直线与轴、轴的交点坐标，进而得到两条直角边、的长度，根据勾股定理计算斜边的长度，将、、的长度相加，得到的周长． 【详解】解：令，代入直线方程，得， ∴点的坐标为，； 令，代入直线方程，得，解得， ∴点的坐标为，则； ∵是直角三角形， ∴； ∴的周长为． 15．5尺 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．过点作于点，先证出四边形是矩形，则可得尺，，再设尺，则尺，尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，尺，尺，尺， ∴四边形是矩形， ∴尺，， 设尺，则尺，尺， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 即尺， 答：折断处离地面5尺． 16．(1)与垂直，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理逆定理及勾股定理是解题的关键； （1）根据题意易得，然后问题可求解； （2）由题意可设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：与垂直，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：由题意可设，则有， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）设，则，根据勾股定理进而解答即可． 【详解】（1）证明：在中， ， ∴为直角三角形，即， ∴； （2）解：设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴． 18．(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定，平行线分线段成比例，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用相似三角形的性质得出相应线段的比例关系． （1）过点作于点，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，可得，根据正弦的定义可得，可以求出的长度； （2）根据（1）可得：，，利用勾股定理可以求出的长度，根据等腰三角形的性质可以求出的长度，根据平行线分线段成比例定理可以求出的长度，从而可求的长度，根据正切的定义可求的值． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 是的高， ． ． ． ， 即， 解得．     ， ． 解得． （2）解：由（1）可得，，， ．     ，，   ． ，，   ． ． ． ． 19．54 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，勾股定理求出的长，勾股定理的逆定理，得到，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理列方程求解． (1)连接，根据线段垂直平分线的性质可知，根据可得，根据勾股定理的逆定理可以判断结论成立； (2)设，可得，根据，可得：，，根据勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，即可得到的值． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， 的垂直平分线分别交、于点、， ， ， ， ， 是直角三角形，且； （2）解：，， 设，则， ， ， 在中，， 即， (负值舍去)， ． 21．(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）根据勾股定理进行计算即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 在中，，，， ∴， ∴． ∴是直角三角形． （2）∵是直角三角形，在同一直线上， ∴， ∴． 即池塘两端，之间的距离为． 22．（1）见解析；（2）13；（3） 【分析】（1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； （2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案； （3）设的长为，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解:（1）依题意，∵大的正方形的面积可以表示为， 大的正方形的面积还可以表示为 ∴ ∴ ∴； （2）空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）∵设的长为，则 ∵是边上的高 ∴ ∴ ∴ 解得． 【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 23．(1)见解析 (2)新路比原路少千米 (3)24或84 【分析】本题主要考查勾股定理的计算和运用，理解图示，掌握勾股定理是关键． （1）根据梯形的面积的表示方法计算即可； （2）设千米，则，由勾股定理即可求解； （3）根据题意，作图分析，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：梯形的面积为，梯形面积也等于， ∴， ∴， ∵左边：， ∴； （2）解：∵，千米，千米，， ∴设千米， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴新路比原路少千米； （3）解：如图所示， ∵是边上的高， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为24或84. 学科网（北京）股份有限公司 $