第18章 勾股定理及其逆定理 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

第18章综合评价 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.在△ABC中，∠B=90°，BC=5,AC=6,则AB的长为( A.4 B.√11 C.23 D.√61 2.以下列线段a,b,c的长为边，能构成直角三角形的是( A.a=3,b=4,c=6 B.a=5,b=6,c=7 C.a=6,b=8,c=9 D.a=7,b=24,c=25 3.在△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，且∠A: ∠B:∠C=1:1:2,则下列说法错误的是 ( A.∠C=90° B.a2-62-c2 批 C.c2=2a2 D.a=b 4.如图，阴影部分为一个正方形，此正方形的面积是 A.16 B.8 C.4 D.2 B 457 clo (第4题图) (第5题图) (第6题图) 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,DE⊥AB于点 E.若CD=3,BD=4,则BE的长为 ( ) A.5 B.7 C.√6 D.2 6.如图，A(8,0),C(一2,0)，以点A为圆心，AC长为半径画弧， 交y轴正半轴于点B,则点B的坐标为 ( A.(0,5) B.(5,0) C.(6,0》 D.(0,6) 7.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于2AC的长 为半径作弧（孤所在圆的半径都相等），两弧相交于M,N两 批 点，直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若 BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为 A.9 B.8 C.7 D.6 (第7题图) (第8题图) (第9题图) 8.在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地， 去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈(10 13 尺)，中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离 地面 ( ) A.4尺 B.3.6尺 C.4.5尺 D.4.55尺 9.如图，在四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方 形图案中，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，直 角三角形的两直角边分别为a和b,那么(a十b)2的值为( ) A.25 B.28 C.16 D.48 10.如图，一个透明的长方体玻璃鱼缸，长AD=80cm,高AB= 60cm,水深AE=40cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包 屑，G在水面线EF上，且EG=60cm,一只蚂蚁想从鱼缸外 的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则蚂蚁爬行的 最短路线长为 ( ) A.60√2cm B.80 cm C.20√41cmD.100cm C G D (第10题图) (第13题图) (第14题图) 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.若a,3,4是一组勾股数，则a的值为 12.一艘帆船由于风向原因先向正东方向航行了24km,然后向 正北方向航行了10km,这时它离出发点 km. 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=60°，BC=4,D为AB的中点，点 E在边AC上，且∠AED=30°，则ED的长为 14.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O,AB=6,CD=10. (1)OA2+OB2+OC+OD2的值为； (2)若BC=8,则AD的长为 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，在△ABC中，AB=12,AC=10,BC边上的高AD=8, 求BC的长. D 14 16.如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8m(AC= 8m)处，升起云梯到火灾窗口，云梯AB长17m,云梯底部距 地面3m(AE=3m),发生火灾的住户窗口距离地面有多高 (BD的长)？ 国 D 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=45°，AB=2√3，D 是BC上一点，AD=√10，求CD的长. 18.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理 的一种新的验证方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下 到AB'C'D'的位置，连接CC,设AB=a,BC=b,AC=c,请利 用四边形BCCD'的面积验证勾股定理：a2+b2=c2 D B'c Q -15 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.某科技公司展示了首款人形通用机器人H1.乐乐的爸爸是机 器人研发工程师，其中一次机器人H1的跑步测试方案如下： 如图，在滑梯上的乐乐从滑梯顶端D处沿着DB方向滑下，同 时机器人H1从乐乐对面的A处向B处跑去，恰好在点B处 与乐乐相遇，并且机器人H1的跑步速度与乐乐的下滑速度 相同.已知滑梯的高度CD=3m,滑梯底部与机器人H1的出 发点之间的距离AC=9m.问：机器人H1跑步多少米后与乐乐 相遇？ 20.如图，观察图形，分析下列各式，然后解答问题， 0A8=12+(V①)2=2，S= 1 A 2； 1 A。 S 0A6=1+(W②)2=3，S,=2 0A=1+(3)-4,S,= 2； … (1)OA的长为 (2)请用含n(n是正整数，n≥2)的等式表示上述变化规律： OA= = ,Sn-1= (3)求S十S号+S号十…+S的值. —16 六、（本题满分12分） 21.如图，在△ABC中，BC=2,AC=4,AB的垂直平分线DE交 AB于点D,交AC于点E,交BC的延长线于点F,连接AF, AD=√5. (1)求证：∠BCA=90°； (2)求AF的长. 七、（本题满分12分） 22.如图，四边形ABCD为某街心花园的平面图，经测量AB= BC=45√2m,AD=30√3m,CD=60√3m,且∠B=90°. (1)求∠DAB的度数 (2)若射线BE为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不 计)，工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道 路BE的车辆通行情况.已知摄像头能监控的最远距离为 30√3m,请问在道路BE上，且与点B距离105√2m的一 辆车能否被摄像头监控到？请说明理由. E 17- 八、（本题满分14分） 23.定义：如图①，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离 分别为PA,PB,PC,若PA2十PB2=PC,则称点P为 △ABC关于点C的“勾股点”. 【知识感知】(1)如图②，在4×3的正方形网格中，每个小正方 形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上，判断点P是不 是△ABC关于点A的“勾股点” 【知识应用】(2)如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC,BC= 10,作BC边上的中线AO,D是△AOC外一点，且点C是 △AOD关于点A的“勾股点”，CD=12,求OA的长， (3)如图④，△ABC为等腰直角三角形，P是斜边BC延长线 上的一点，连接AP,以AP为直角边作等腰直角三角形 APD(点A,P,D顺时针排列)，∠PAD=90°，连接DC, DB.求证：点P为△BDC关于点D的“勾股点” 图① 图② 图③ 图④ 18但甲的方差比乙的方差小，甲的加工质量更稳定，所以甲的加工质量更好. 8.B9.68.58910.C 11,解：(1)小茗同学计算平均数的方法不恰当.因为对于三家餐厅星级评价的人数不 同，直接计算简单算术平均数会导致结果偏差，此时应使用加权平均数，以评价人数为 权重进行计算.（合理即可）(2)①餐厅应从服务这方面提升.理由：三项打分中，环境和 口味打分的众数都为5分，大于服务打分的众数4.5分，所以该餐厅应从服务这方面提 升.（答案不唯一，合理即可）@=3.5+5十5+4十3十4+5+5+4,5+5=4.4（分）， 10 品*=品×[3.5-442+5X5-440+2X4-442+(8-4.4+(4.5-4.4门 =0.49.,0.3<0.49,.环境打分的分数比较稳定..王老师的说法正确. 综合评价 第16章综合评价 1.C2.B3.A4.C5.C6.B7.C8.D9.D10.A11.<12.x<3y5 5 13.414.(1)W5-1(2)13或7 15.解：原式=√16-√6+2√6=4+√. 16.解：2√50+2√18=10√2+6√2=16√2(dm).答：所需的彩条总长度为l6√2dm. 17.解：x+y=√3+1+√3-1=2√3，x-y=√3+1-√3+1=2.(1)x2+2xy十y2=(x+ y)2=(23)=12.(2)x2-y2=(x+y)(x-y)=2V3X2=4√3. 18.解：1)根据题意，设d=,将d=40,0=20代入，得40-202，解得及=0d- 0.=10a.(2)当d=32时，。=0x2-85. 19.解：(1)1-√2(2)(x-√2)2+(x-1)2=(1-√2-√2)2+(1-√2-1)2=(1 2√2)2+2=1-4√2+8+2=11-4√2. 20解：1n√4+后=5V后2V+=a+1V乐 1 1 证明如下：左边= /n2+2n+1 /n+1)z -a+1乐-右边骑想成立.(3)原式-10√而 1 Nn+2 =Wn+2 ×20V2×v4o2xV=10×20)×(W而×vo)×(√2×v42)= 20000√2. 21.解：(1)一13-√2(2)m与4-√3是关于3的“实验数”.理由如下：，m十4一√3 =(1+√3)(2-√3)+4-√3=2-√3+2√3-3+4-√5=3，∴.m与4-√3是关于3的 “实验数” 2.解：D原式g2g十历-23+3+7.2)3a18a=1=3a2-0中 9)-28=3(a-3)2-28.a=。1 3+253+2②)(3-2②=3-2瓦，a-3= 3-2√2 -2√2.∴.原式=3×(-2√2)2-28=-4. 23.解：(1)>>=(2)m十n≥2√mm(m≥0，n≥0).理由如下：当m≥0，n≥0时， (√m-√m)2≥0，∴.（√m)2-2√m·√m+(Wm)2≥0.∴.m-2√/mn+n≥0..m+n≥ 2√m.(3)设该矩形花圃平行于墙体的一边长为am,则其垂直于墙体的一边长为 m.根据题意，得篱笆的长度C=a十3×300=a+900.由上述结论，得C=a十900 300 a a ≥2√a·00-60.∴当a-90时，即a=30时，C有最小值60.所用的篱爸至少为 a a 60m. -25 第17章综合评价 1.C2.D3.B4.A5.C6.C7.D8.A9.B10.D 11.x2+x=0(答案不唯一)12.n≥-113.1014.(1)10(2)x1=4,x2=-2 15.解：(1)移项，得x(x+1)一2x2=0.因式分解，得x(x+1一2x)=0,.x=0,或1一x =0..x1=0,x2=1.(2)方程两边同乘以x2一4x,得4-x=x2-4x,整理，得(x一4)(x 十1)=0.解得x1=4,x2=一1.检验：当x=4时，x2-4x=0,.x=4不是原方程的根. 当x=一1时，x2一4x≠0，.x=一1是原方程的根..原方程的根为x=一1. 16.解：.方程x2一6x十m2一4m一4=0的一个根是一1，∴.1十6十m2一4m一4=0.整 理，得m2-4m十3=0，解得m1=1,m2=3. 17.解：(1)公式法②(2)整理，得x2-3x-1=0.这里a=1,b=-3,c=-1.,b- 4ac=13>0,x=二（-3)±压_3±，厘.：=3+)压，4=3-压 2×1 2 2 2 18.解：(1)设平均每次降价的百分率是x.根据题意，得200(1一x)2=162,解得x= 0.1=10%,x2=1.9(不合题意，舍去).答：平均每次降价的百分率为10%.(2)售货员 的方案对顾客更优惠.理由如下：：200×(1一5%)×(1一15%)=161.5<162，.售货 员的方案对顾客更优惠。 19.解：(1)将m=一3代人方程，得x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3.(2)x1,x2是 方程的两个实数根，.x1十x2=2,x1x2=m.·x1x2十2(x1十x2)>0,.m十2X2>0, 解得m>一4.，'△=（一2)2-4X1Xm≥0，解得m1..m的取值范围是-4<m1. 20.(1)解：.a=1,b=-(k+4),c=k十3，.△=b2一4ac=[-(k+4)]2-4X1X(k+ 3)=2+4k十4=(k十2)2.：方程有两个相等的实数根，.（十2）2=0，解得=一2. (2)证明：：x2-(k+4)x++3=0,.(x-1)[x-(k+3)]=0..x-1=0或x-(k+ 3)=0.∴.x1=1,x2=k十3.无论为何值，方程总有一个不变的根为x=1. 21.解：(1)实际销售价格为(80一x)元/kg,销售数量为(30+2x)kg.(2)根据题意，得 (80一x一50)(30十2x)=1000,解得x1=10,x2=5.,要让顾客得到实惠，·x=10. 答：每千克应降价10元. 22.解：(1)24(2)x2+16x-5=x2+16x+82-69=(x+8)2-69.:'(x+8)2≥0， .(x+8)2-69≥-69..当x=-8时，x2+16x一5有最小值，最小值为-69.(3)S> S2.理由如下：由题意，得S1=(3a十2)(2a+5)=6a+19a+10,S2=5a(a+5)=5a2+ 25a,.S1-S2=6a2+19a+10-5a2-25a=a2-6a+10=(a-3)2+1.(a-3)2≥0， .(a-3)2+1>0..S1-S2>0..S>52. 23.解：(1)设剪去的小正方形的边长为xcm.由题意，得(100-2x)(40-2x)=1600, 解得x1=10,x2=60(不合题意，舍去).答：剪去的小正方形的边长为10cm.(2)①设收 纳盒的高为acm,则收纳盒底面的长为100,2a=(50一a)cm,宽为(40-2a)cm.由题 2 意，得(50a)(40一2a)=608,解得a1=12,a2=58(不合题意，舍去).答：收纳盒的高 为12cm.②不能.理由如下：由①得该收纳盒的高为12cm.:12<18,.不能把玩具机 械狗完全立着放入该收纳盒。 第18章综合评价 1.B2.D3.B4.B5.B6.D7.D8.D9.B10.D11.512.2613.23 14.(1)136(2)6√2 15.解：：AD⊥BC,.∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD中，BD=√AB2-AD= √/122-82=4W5.在Rt△ACD中，CD=√AC2一AD2=/102-82=6.∴.BC=BD+ CD=4√5+6. 16.解：由题意，知AC⊥BD,CD=AE=3m,AC=8m,AB=17m.在Rt△ABC中，由 勾股定理，得BC=√/AB2-AC=15m,.BD=BC十CD=18m.答：发生火灾的住户 窗口距离地面18m. 17.解：∠C=90°，∠CAB=45°，.∠B=90°-∠CAB=45°=∠CAB.,.AC=BC.在 -26- Rt△ABC中，AB=2V3,由勾股定理，得AC十BC=AB2,即2AC=(2√5)2.∴.AC= √6.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD=√AD-AC=2. l8.解：易得Rt△CD'A≌Rt△ABC,.AC=AC=c,CD'=AB=a,AD'=CB=b, ∠CAD'=∠ACB.·∠ACB+∠CAB=90°，∴.∠CAD'+∠CAB=90°.∴.∠CAC= 90.Sscw=25acA+Sx=2x7ab计72=号a+66叶a）d2+82=2. 19.解：设机器人H跑步xm后与乐乐相遇，则AB=xm,BC=(9一x)m.,机器人 H1的跑步速度与乐乐的下滑速度相同，.DB=AB=xm.在Rt△BCD中，∠C=90°， .BD2=BC十CD.x2=(9-x)2十32，解得x=5..机器人H1跑步5m后与乐乐 相遇。 20.解：1w521+(m)2n(3):S=子，9=号，号=是… 2 %=碧，∴5+8+58+…+5=子+2++…+9-5 44 21.(1)证明：，DE垂直平分AB,.AB=2AD=2√5.，在△ABC中，BC=2,AC=4, .BC2+AC=22+42=20=AB2..AC⊥BC,即∠BCA=90°.(2)解：：DF是线段 AB的垂直平分线，∴.BF=AF.∴.CF=BF-BC=AF一2.在Rt△ACF中，CF2+AC =AF2,.(AF-2)2+42=AF2.∴.AF=5. 22.解：(1)连接AC.在Rt△ABC中，AB=BC=45√2m,∠B=90°，.AC= √AB2+BC=90m,∠CAB=∠ACB=45°.：'在△ACD中，AC+AD2=902+ (30√3)2=10800，CD2=(60√3)2=10800，.AC+AD2=CD,.△ACD是直角三 角形，且∠CAD=90°.∴.∠DAB=∠CAD+∠CAB=135°.(2)这辆车不能被摄像头监 控到.理由如下：过点D作DM⊥DA,交BE于点M.由(1)知∠DAB=135°，∴.∠DAM =180°-∠DAB=45°.DM⊥DA,∴.∠ADM=90°..∠AMD=90°-∠DAM=45. ∴.DM=DA=30V3m,∴.点A,M为摄像头在道路BE上能监控的最远位置.在 Rt△ADM中，AM=√AD2+DM=30√6m..BM=AB+AM=(45√2+30V6)m. ,105√2>45v2+30√6，∴这辆车不能被摄像头监控到. 23.(1)解：连接AP,BP,CP.PB2=12+22=5,PC=12+22=5,PA2=12+32=10, .PA2=PB2+PC..点P是△ABC关于点A的勾股点.(2)解：：AB=AC,AO是 BC边上的中线，BC=10,0B=OC=2BC=5,OALBC.:点C是△A0D关于点A 的“勾股点”，.AC2=OC2+CD2.:CD=12,OC=5,∴.AC=√OC+CD2=13.在 Rt△AOC中，OA=√AC-OC=12.(3)证明：：△ABC和△APD为等腰直角三角 形，.∠BAC=∠DAP=90°，∠ABC=∠ACB=45°，AB=AC,AD=AP..∠BAC- ∠DAC=∠DAP-∠DAC,即∠BAD=∠CAP.∴△ABD≌△ACP(SAS).∴.BD= PC,∠ABD=∠ACP=180°-∠ACB=135°..∠DBP=∠ABD-∠ABC=90°. ∴.BD+PB2=PD.PC十PB2=PD.∴点P为△BDC关于点D的“勾股点”. 期中综合评价 1.C2.B3.D4.D5.D6.C7.B8.B9.C10.C11.5W3 12.x(x-1)=7213.6-2√514.(1)②(2)2或0 15.解：(1)原式=45+35-2√2+4√2=7√5+2√2.(2)原式=(2√6+5√2)÷√2- 2√3=2√3+5-2W3=5. 16.解：(1)移项，得x2一6x=7.配方，得x2一6x十9=16.则(x一3)2=16.开平方，得x -3=士4.∴原方程的根是x1=7,x2=-1.(2),a=2,b=-4,c=-5,∴.b2一4ac= (一4-4X2×(-5)=6>0.代人求根公式，得=结=2生.= 2×2 2+y匹，4=2二g 2 2 -27