第七章 三角函数（16大题型精讲）（复习讲义）高一数学沪教版必修第二册

第七章 三角函数（复习讲义） 1、了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用，理解诱导公式的推导过程，能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题. 2、能用“五点法”画出正弦函数在[0，2π]上的图象，理解正弦曲线的意义，掌握正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、单调区间和最值. 3、能正确使用“五点法”“图象变换法”画出余弦函数的简图，掌握余弦函数的性质，会求余弦函数的最小正周期、单调区间和最值. 4、理解并掌握函数y＝A sin 图象的平移与伸缩变换，掌握A，ω，φ对图象形状的影响. 5、掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法，理解函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称性. 6、理解任意角的正切函数的定义，理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及其在区间内的单调性. 7、了解三角函数是研究周期现象最重要的模型，初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题. 一、正弦函数的图象与性质 知识点1　正弦函数的图象 在函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，起着关键作用的有五个关键点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)． 描出这五个点后，函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象的形状就基本确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图．我们称这种作正弦曲线的方法为“五点法”． 知识点2　正弦函数y＝sin x的性质 函数 y＝sin x 定义域 R 值域 [－1，1] 奇偶性 奇函数 周期性 周期函数，最小正周期为2π 单调性 在(k∈Z)上是单调递增的； 在(k∈Z)上是单调递减的 最值 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－1 二、正弦函数的图象与性质 知识点1　余弦函数的图象与性质 函数 y＝cos x 图象 定义域 R 值域 [－1，1] 最值 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 周期性 周期函数，最小正周期为2π 奇偶性 偶函数，图象关于y轴对称 单调性 在，k∈Z上是单调递增的； 在[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上是单调递减的 [特别提示]　只需将y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到y＝cos x，x∈R的图象． 三、函数y＝A sin (ωx+φ)的性质与图象 知识点1　周期变换 (1)在函数y＝sin ωx(ω＞0)中，ω决定了函数的周期T＝，通常称周期的倒数f＝＝为频率． (2)对于函数y＝sin ωx(ω＞0，ω≠1)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的． 知识点2　相位变换 (1)在函数y＝sin (ωx＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位． (2)对于函数y＝sin (ωx＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把函数y＝sin ωx的图象上所有的点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移个单位长度得到的． 知识点3　振幅变换 (1)在函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0)中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅． (2)要得到函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，A≠1)的图象，只要将函数y＝sin (ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)即可得到． 知识点4　函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期 T＝ 奇偶性 φ＝kπ，k∈Z时，y＝A sin (ωx＋φ)是奇函数；φ＝kπ＋，k∈Z时，y＝A sin (ωx＋φ)是偶函数 对称轴方程 由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得 对称中心 由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得 单调性 单调递增区间由2kπ－ ≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得； 单调递减区间由2kπ＋ ≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)求得 四、正弦函数的图象与性质 知识点1　正切函数的定义 在平面直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)(a≠0)，那么比值叫作角α的正切函数，记作y＝tan_α，其中α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)． 知识点2　正切函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 R 奇偶性 奇函数 周期性 周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π 单调性 在每一个区间，k∈Z上单调递增 对称性 该图象的对称中心为，k∈Z 题型一 五点法作正(余)弦(型)函数图像 1．已知函数过原点. (1)求的值； (2)求函数在上的零点； (3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据. 0 0 1 0 0 【答案】(1) (2)，， (3)表格见解析 【分析】（1）直接将点的坐标代入即可得结果； （2）由（1）的解析式，结合零点的意义及正弦函数的性质求出零点； （3）根据五点法作图完善表格. 【详解】（1）依题意，，即，即， 所以. （2）由（1）知，，由，得， 当时，，则或或， 解得或或， 所以函数在上的零点为，，. （3）根据“五点法”作图，填表如下： 0 0 1 0 0 2．已知函数．完成下面表格，并用“五点法”作函数在上的简图：    x 0 π 2π 【答案】填表见解析；作图见解析 【分析】根据“五点法”列表，描点作图即可得解. 【详解】补充完整的表格如下： x 0 π 2π 1 3 5 3 1 描点、连线得函数的图象如图所示，    3．函数，的简图是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】利用五点作图法可得出函数，的简图. 【详解】列表： 观察各图象发现A项符合． 故选：A. 4．方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】在同一坐标系中，画出和的函数图象求解. 【详解】画出和的函数图象， 因为，， 结合图象可得函数与函数图像的交点个数是5个. 故选：A 题型二 正(余)弦(型)函数解不等式和定义域 1．在内，使的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在同一坐标系作函数 以及 的图象即可求解. 【详解】 以及 的图象如上图，由图可知，； 故选：A. 2．函数，方程有个根，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】将的解析式变形为分段函数类型，然后根据的图象有个交点确定出的取值范围. 【详解】由条件可知，， 在同一坐标系内，作出函数和函数的图象，如下图所示， 要使方程有个根，则函数和函数的图象有个交点， 由图象可知． 3．在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题直接求函数定义域即可. 【详解】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 4．函数的定义域为________. 【答案】且 【分析】根据对数符号和根式有意义，列出不等式组，求解不等式即可. 【详解】由题意，， 作出一个周期内的简图，由图可得的解为； 与取交集可得且. 故答案为：且    5．已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由求出，即可得解； （2）令，则.利用函数在上的单调性，得到，即可得解； （3）令，则.由解得或，再求出，即可得解； 【详解】（1）由 解得. 所以函数的单调递增区间为. （2）令，则. 因为在上单调递增，在上单调递减， 且，， 所以，即， 所以函数在上的值域为； （3）令，则. 由，即， 解得或， 即或， 解得或. 所以在上的解集为. 6．已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）根据余弦函数的减区间即可列不等式求解； （2）求出的范围，根据余弦函数的性质即可求解； （3）求出的范围，根据余弦函数的性质求出范围，即可求出不等式的解集． 【详解】（1），令，， 解得，， ∴函数的单调递减区间为，； （2），∵，∴， 可得， 则， 即函数在上的值域为； （3）由题得，即， ∵，∴， ∴，可得， ∴该不等式的解集为． 7．已知函数的最大值为． (1)求常数的值； (2)求使成立的的取值集合． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，从而得到函数最大值得到方程，求出； （2）在（1）的基础上，得到不等式，进行求解即可. 【详解】（1） ， ∵，， ∴， ∴． （2）∵，即， ∴， ∴，， 解得，， ∴使成立的的取值集合是，. 8．已知函数. (1)求的最小正周期： (2)若，解不等式：. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换化简得，然后计算周期即可； （2）根据正弦函数的图象与性质解不等式即可. 【详解】（1） 故函数的最小正周期. （2）由得， ， 即，则有， 解得，又，所以， 综上，不等式的解集为. 题型三 正(余)弦(型)函数周期的问题 1．已知的最小正周期为，则__________． 【答案】 【分析】先利用二倍角正弦公式化简函数表达式，再根据正弦函数的周期公式求解的值. 【详解】依题意得， 已知最小正周期， 代入周期公式得：，解得. 故答案为：. 2．已知函数，则函数的最小正周期为______． 【答案】 【分析】根据正弦函数的性质，得到的最小正周期为，的最小正周期为，进而得到是函数的一个正周期，不是函数的周期，然后利用特值法可证明函数的正周期只能是的任意正整数倍，从而得到其最小正周期为. 【详解】由正弦函数的图象与性质，可得的最小正周期为，的最小正周期为， 可得， ， 所以函数的一个正周期为. 设是函数的正周期， 则， 当时，， 当时得，无解. 所以的最小正周期只能是的任意正整数倍， 但上面已经证明不是函数的周期，是函数的周期， 所以函数的最小正周期为. 故答案为：． 3．已知函数，且的最小值为，则__________. 【答案】1 【分析】先化简函数得，再根据题意可得函数的最小正周期，再根据正弦函数的周期性即可得解. 【详解】因为 ， 又，且的最小值为， 所以函数的最小正周期，由， 所以. 故答案为：1. 4．函数的最小正周期为________，________． 【答案】 / 0 【分析】利用最小正周期公式计算即可求得其最小正周期，直接代入计算可得函数值. 【详解】由函数可知其最小正周期为； 所以； 故答案为：；0 5．求下列三角函数的周期． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】按照三角函数的周期性，或者结合函数图像得出三角函数的周期. 【详解】（1）因为， 由周期函数的定义知，的周期为． （2）因为， 由周期函数的定义知，的周期为． （3）因为 ， 由周期函数的定义知，的周期为． （4）的图象如图（实线部分）所示， 由图象可知，的周期为． 6．已知函数，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】由已知解析式，应用周期性得，即可得. 【详解】由题设. 故选：D 题型四 正(余)弦(型)函数单调性的问题 1．函数的单调递减区间为______. 【答案】 【分析】利用变量代换，令， 求解. 【详解】因为函数的单调递减区间为，， 令， ， 解得：， ， 所以函数的单调递减区间为， 故答案为：. 2．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据余弦函数的单调性结合整体思想求解即可. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以 又因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 3．已知函数在上单调递减，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】先利用余弦函数的递减区间求得，依题需使，求得，再由确定，通过对进行赋值检验，即可求得的取值范围. 【详解】令，解得， 依题意，需满足，解得. 因为在上单调递减，所以，解得. 当时，，不符合题意；当时，，符合题意； 当时，，符合题意；当时，，不符合题意. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 4．若函数的单调递减区间是__________. 【答案】. 【分析】根据正弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数，令， 要求的单调递减区间，则是求的单调递增区间. 那么有，解得. 所以函数的单调递减区间是. 故答案为：. 5．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若，求的最值和单调区间． 【答案】(1) (2)的最小值为，最大值为的单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）利用二倍角正弦与余弦公式、辅助角公式化简函数，然后利用正弦函数周期公式可求； （2）根据正弦函数的性质可求的最值和单调区间. 【详解】（1） ， 故的最小正周期为. （2）因为，所以， 所以当，即时，取得最小值，最小值为； 当，即时，取得最大值，最大值为. 令，即时，故在递增； 令，即时，故在递减. 综上，的最小值为，最大值为， 的单调递增区间为，单调递减区间为. 6．已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据辅助角公式化简，结合单调性与周期的关系可得，进而可得，由整体法求解函数的单调增区间，对进行取值，即可求解. 【详解】，周期， 因为函数在上单调递增，则，解得， 此时，则， 函数的单调递增区间满足，即， 当时，，不符合，舍去， 当时，，此时，解得. 当时，，不符合题意舍去， 综上可知，最大值为. 故选：C 7．已知函数，设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； 【答案】(,] 【分析】由 时，，结合函数的单调性列出关于m的不等式，即可求出. 【详解】当时，， 因为在区间上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是(,]. 8．若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角和辅助角公式可化简得到，利用整体代换的方式可确定的取值范围及所处的单调递增区间，由此可构造不等式求得结果. 【详解】； 当时，， ，，， 在上单调递增，，解得：， 即的取值范围为. 故选：D. 题型五 正(余)弦(型)函数值域(最值)的问题 1．已知函数. (1)求函数的最小正周期 (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数在上的值域； 【答案】(1) (2)的递增区间为. (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期； （2）整体代入求出正弦函数的递增区间即可； （3）利用整体法可求函数的值域. 【详解】（1）， 所以最小正周期； （2）令， 所以函数的单调递增区间. （3）当时，，故， 故的值域为. 2．已知函数在区间上恰有2个最大值点，则实数的所有取值构成的集合为________ 【答案】 【分析】根据正弦型函数的最值的性质进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 因为函数在区间上恰有2个最大值点， 所以， 因此实数的所有取值构成的集合为. 故答案为： 3．已知函数，则的最大值是______． 【答案】/ 【分析】利用二倍角余弦公式得，令，则，利用二次函数性质求解最大值即可. 【详解】，令，则. 则，故当，即时，取到最大值， 所以． 故答案为： 4．已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的性质，求得函数，进而求得函数在区间上的值域. 【详解】因为的最小正周期为2， 所以，解得：，即， 当时，， 当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数的值域为. 故选：A. 5．若，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分别利用正弦函数，指数函数和对数函数的性质，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由，所以， 又由，因为，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：A. 6．函数的最小值是__________. 【答案】/ 【分析】先令，则，再将问题转化为关于的二次函数求最值即可. 【详解】因为， 令，则, 所以， 因为函数在时单调递减，在时单调递增， 所以当时取到最小值，即. 7．已知函数. (1)求的单调区间； (2)设函数，求的值域. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域. 【详解】（1）令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. （2）， 所以 ， 所以函数的值域为， 8．函数的值域是____________ 【答案】 【分析】由题可得，然后由二次函数知识可得答案. 【详解】， ，又函数在上单调递增， 则，. 即. 故答案为： 9．已知函数，的最小正周期为． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，. (2)，，，． (3)． 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，再利用整体代入法可得函数的单调性； （2）利用整体代入法可得值域，即可得解； （3）根据三角函数的性质解不等式即可. 【详解】（1）由题意， 又函数的最小正周期为，则，，所以， 即， 当，即，时，单调递减， 的单调递减区间是，； （2），则，故， ，此时，即， ，此时，即； （3）由已知，即， 所以或，， 即或，， 所以不等式的解集为． 10．已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，同时由，得到，代入各个选项判断是否存在，即可得到结论. 【详解】因为函数，且， 所以，则， 因为，所以， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，， ∵，∴，，∴， 即存在，使得，不符合题意； 当时，， ∵，，∴且， 即，符合题意； 所以的取值不可能是， 故选：C 题型六 正(余)弦(型)函数奇偶性的问题 1．“函数是奇函数”的充要条件是实数_____. 【答案】0 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义，结合正弦函数的奇偶性求出. 【详解】函数的定义域为，依题意，，恒成立， 即，，因此， 所以“函数是奇函数”的充要条件是实数. 故答案为：0 2．设函数的最大值为M，最小值为m，则__________． 【答案】2 【分析】构造函数，可证为奇函数，且的最大值为，最小值为，结合奇函数的性质，可求得. 【详解】，设，所以的最大值为，最小值为，又，所以为奇函数，所以，即. 故答案为：2. 3．函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【分析】先利用诱导公式化简函数，再判断其周期和奇偶性即可. 【详解】因为. 所以，， 所以是最小正周期为的奇函数. 故选：A 4．设函数.若为偶函数，则___________． 【答案】3 【分析】根据题意，解得，结合即可求解． 【详解】由题知，且为偶函数， 所以， 解得， 又，所以． 故答案为：3． 5．已知函数的最小正周期为T，且，函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型最小正周期公式，结合奇函数的性质进行求解即可. 【详解】由， 因为函数为奇函数， 所以有，则， 所以， 故选：B 6．已知函数，则“”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合三角函数的奇偶性判定，从充分性、必要性两个方面分析即得结论. 【详解】若，则，函数的定义域为，关于原点对称， 因，则是偶函数，即充分性成立； 若函数为偶函数，， 则，，即必要性不成立. 所以“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A． 7．若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数为奇函数得，即可得. 【详解】由题设，则， 显然时，而、、均不可能. 故选：C 8．已知的最大值为2，最小正周期为，是奇函数，则在的值域为______． 【答案】 【分析】根据题意可得，，整理可得，结合奇函数性质可得，以为整体，再根据余弦函数有界性求函数值域. 【详解】由题意可得：， 且，可得，解得，所以， 可得， 由是奇函数，则，， 又因为，则，故， 因为，则， 可得，即， 所以在的值域为． 故答案为：． 题型七 正(余)弦(型)函数对称性的问题 1．函数在上是单调增函数，且图像关于原点对称，则满足条件的数对________. 【答案】 【分析】由函数在R上单调增得出，再由函数图像关于原点对称得出，即可得出答案. 【详解】当时，在上必有增有减，不合题意， 故，此时，为常值函数，由其图像关于原点对称， 所以，所以或，故满足条件的数对为， 故答案为：. 2．函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦、余弦二倍角公式，和辅助角公式得到，再通过整体代换即可求解. 【详解】 ， 令，， 可得， 即函数的对称轴为， 当时，， 当时，， 当时，， 结合选项只有B符合， 故选：B 3．若方程在上的解为，则的值为______ 【答案】/ 【分析】根据题意，得到关于对称，得到，即可求解. 【详解】令，即对称轴为， 因为，可得， 因为在上的解为，可得关于对称， 所以，则. 故答案为：. 4．已知函数 (1)求的单调增区间和对称中心； (2)若，，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，化简函数解析式，根据整体换元法，求出函数单调区间和对称中心即可； （2）已知三角函数值，根据同角三角函数关系和两角和的余弦公式，求出函数值即可. 【详解】（1）因为， 由，得， 故的单调增区间为． 由，得， 故的对称中心为； （2）因为，即， 因为，所以， 所以， 所以 . 5．已知函数的图象关于点对称，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据正弦函数的对称性结合整体思想求解即可. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以， 所以，所以， 又，所以. 故答案为：. 6．已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意得到，求解不等式即可. 【详解】当时，， 当时，， 因为的图象在上有且仅有两条对称轴， 所以， 解得，所以的取值范围是． 故答案为：. 7．已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为______；若在区间上有零点，则的最小值为______． 【答案】 1(满足且为正数即可） 7 【分析】根据余弦函数的对称性求出的取值集合，即可完成第一空，由余弦函数的对称中心求出的最小值. 【详解】因为直线为函数图象的一条对称轴， 所以，解得， 又，所以取（答案不唯一）； 若在区间上有零点，令，解得， 由，故且, 又所以，又因为，所以的最小值为； 故答案为：（答案不唯一，满足且为正数即可）；. 8．已知函数. (1)求图象的对称轴方程； (2)设函数，求的值域. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）利用余弦型函数的对称性可求得函数图象的对称轴方程； （2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的有界性可得出函数的值域. 【详解】（1）函数， 令，，得，， 图象的对称轴方程为，. （2）， ， 函数的值域为. 9．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．若的图象关于直线对称，则的最小值为 【答案】D 【分析】求的最小正周期可判断A；由的对称中心的性质可判断B；求出的单调递减区间可判断C；求出的对称轴方程可判断D． 【详解】的最小正周期为，A错误； 由，B错误； 当时，， 所以在区间上单调递增，C错误； 由的图象关于直线对称， 得的最小值为，D正确． 故选：D． 10．若点（）是曲线的一个对称中心，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入余弦函数的对称性的公式，，即可求解. 【详解】由余弦函数的对称性可知，，， 所以，，且， 所以的最小值为. 故选：B 11．已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（    ） A．3 B．6 C．12 D． 【答案】A 【分析】由题可得在上单调递增，且，得，得解. 【详解】因为点在函数的图象上，所以， 由，则，且在上单调递减， 所以在上单调递增，由余弦型函数的对称性易知， 所以，即，故. 故选：A. 题型八 三角函数图像变换的问题 1．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点向_____平移_____个单位长度.（   ） A．左； B．左； C．右； D．右； 【答案】C 【分析】变形得，再根据平移原则即可得到答案. 【详解】， 则需把函数的图像上所有的点向右平移个单位长度. 故选：C. 2．为了得到函数的图象，可以将的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【分析】化简函数，结合三角函数的图象变换，即可求解. 【详解】因为 将函数向左平移得到：. 故选：D. 3．要得到函数的图象，需要把函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】直接利用函数的图象变换规律，可得结论． 【详解】要得到函数的图象， 要得到函数的图象， 需要把函数的图象向左平移个单位长度； 故选：C 4．为了得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合“左加右减”的原则即可求解. 【详解】， 只需要将函数的图象向左平移个单位长度，可以得到的图象， 故选：D 题型九 利用三角函数图象或性质求解析式 1．函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且为正三角形，则的值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先将函数解析式进行化简，根据为正三角形，可求得的长，根据正弦型函数的图象与性质，可求得周期，进而可求得的值，即可得的解析式，代入数据，即可求得答案. 【详解】函数 ， ， ， ，所以， 故选：A 2．已知函数的部分图象如图所示，其中，，则_______________．    【答案】 【分析】根据点为零点，点为函数的最小值点，依图可得两点横坐标之差为个周期，据此可求周期及，再利用最小值点坐标代入可求. 【详解】由图象可知：，解得， 所以，解得. 将代入得， 所以，即， 因为，所以，． 故答案为：． 3．筒车发明于隋代，在唐朝得到广泛应用和推广，至今仍在农业生产中发挥着作用.假定水流速度稳定的条件下，筒车上每个盛水筒做匀速圆周运动.将筒车抽象成一个圆，筒车的半径为4米，筒车中心到水面距离为2米，筒车按的速度逆时针方向旋转.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即）时开始计算时间，且以筒车中心O为坐标原点，过点O的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒M从点运动到点所经过的时间为（单位：），且此时点P距离水面的高度为（单位，在水面下则h为负数）. (1)求点P距离水面的高度为关于时间的函数解析式； (2)求点P第一次达到最高点需要的时间. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）设盛水筒从点运动到点所经过的时间为，点P的坐标为，进而求得，进而可求得点P距离水面的高度为关于时间的函数解析式； （2）当时，点到达最高点，进而求解即可. 【详解】（1）设盛水筒从点运动到点所经过的时间为，点P的坐标为， 终边对应的角，经过的时间为，盛水筒M从点运动到点， 其终边对应的角为，即： ， ， 又筒车中心距离水面的高度为2米，. （2）当，即时，点到达最高点， 此时，得，当， 即时，点P第一次到达最高点. 4．已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据在上单调递减，确定的取值范围，由为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，得出，得， 进而求得，结合正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】因为在上单调递减， 所以； 因为为图象的一个对称中心， 所以①； 因为直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减， 所以②， ②①得，，即， 结合，可得， 当时，，，得， 当时，，在单调递减，符合题意， 所以， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故选：B． 5．已知函数的图像经过点，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)求函数在的单调递增区间； (3)方程在区间上有三个解，求t的取值范围. 【答案】(1)； (2)和； (3). 【分析】（1）根据函数的最大值与最小值的差为4，求得A，再由相邻两个零点之间的距离为，求得，然后由函数的图像经过点，求得函数的解析式. （2）令，结合，利用正弦函数的性质可求函数在的单调递增区间. （3）由题意可得与在上有三个不同的交点，作出函数的图像，数形结合可得t的取值范围. 【详解】（1）函数最大值与最小值的差为4，且， 又∵相邻两个零点之间的距离为，即，又，则. 又函数图像经过点， ； （2）当，即，又 在上的单调递增区间为和. （3）由方程在区间上有三个解， 则与在上有三个不同的交点， 作出函数的图像如图所示， 又，， 由图像可知与在上有三个不同的交点时，可得， 所以t的取值范围为. 题型十 正(余)弦(型)函数有关零点问题 1．函数在上的零点个数为___________． 【答案】4 【分析】列方程得到的零点，然后确定零点个数即可. 【详解】令，得， 所以， 由，可得的取值可以是0，1，2，3，故零点个数为4． 故答案为：4. 2．设函数，若时，的最小值为．则下列选项正确的是（    ） A．函数的周期为 B．方程在区间上的根的个数共有6个 C．当，的值域为 D．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为偶函数 【答案】B 【分析】由题可知的最小正周期为即可判断A；由此可得，再根据余弦函数的图像及相关性质可判断B、C、D. 【详解】A选项，时，的最小值为，可得的最小正周期为，故A错误； B选项，由A可知，．则． 当时，，则当，，，，，时，，则在区间上的根的个数共有6个，故B正确； C选项，当时，，因在上单调递减，则，故C错误； D选项，将函数的图像向左平移个单位，则得到的解析式为，则得到的函数为奇函数，故D错误； 故选：B． 3．已知函数. (1)求函数的单调增区间； (2)当时，求的值域. (3)先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位的图象，求方程在区间上所有根之和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)运用二倍角公式和辅助角公式对原式化简整理，结合正弦函数的单调增区间求解； (2)通过的范围得到的范围，再求值域； (3)先求出的解析式，再解的方程，最后符合要求的根并求和即可. 【详解】（1）因为， 原式， 令， 解得， 即的单调递增区间为. （2）因为，则， 所以， 即，故的值域为. （3）由题意可知， 令， 则或， 解得或， 满足内的根有，当时，符合， 符合， 即所有符合的根之和为. 4．定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在区间上所有零点之和为_____________ 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性结合抽象函数推出函数周期性，结合函数的对称性及周期性作相关函数图象，利用图象判断区间内的零点个数并求和． 【详解】函数为定义在上的奇函数，， 又， 函数关于轴对称，把替换为得， ，则，把替换为得， ，故函数是周期为4的周期函数， 且函数的图象关于中心对称； 令，得， 由反比例函数性质知函数的图象关于中心对称， 又当时，，结合对称性和周期性作出函数和的图象，如下图所示，        由图可知，函数和的图象有8个交点，且交点关于中心对称， 函数在区间上所有零点之和为． 故答案为：． 5．函数，是函数的一个零点，是函数图像的一条对称轴，是的一个单调区间，则的最大值为_____. 【答案】33 【分析】题设条件等价于存在整数使得，计算可得，进而可求满足条件的最大为33. 【详解】题设条件等价于存在整数使得 ， 所以得．又， 所以满足条件的最大为33． 又注意到符合题设条件，故所求最大值为33． 故答案为：33. 题型十一 正(余)弦(型)函数性质的综合问题 1．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列正确的是（   ） A．直线是图象的一条对称轴 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．在上单调递增 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简函数，再根据函数图象的变换求出，结合三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】， 函数的图象向右平移个单位长度可得， ， 对于A，当时，， 因为不是函数的对称轴，故A错误； 对于B，的最小正周期，故B错误； 对于C，当时，， 因为是函数的对称中心， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当时，， 因为函数在上不是单调递增函数，故D错误. 2．函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A． B．向左平移个单位后是奇函数 C．的对称轴为， D．的减区间为， 【答案】A 【分析】由图象依次求得，代入点求出，即得解析式判断A，应用平移变换结合函数奇偶性判断B，应用对称轴方程计算判断C，根据正弦函数的单调性计算判断D. 【详解】结合函数的图象，设其最小正周期为， 则，所以，因，所以， 又因为，所以， 因，由图知，图象过点，则， 所以，即，由，可得， 所以，故A错误； 把向左平移个单位可得是奇函数，故B正确； 由，可得的对称轴为，，故C正确； 由，可得， 即的减区间为，，故D正确. 故选：A. 3．已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．将函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于原点对称 C．关于点对称 D．在区间上的最大值为2 【答案】D 【分析】由辅助角公式可得，然后由正弦函数最小正周期，图象变换规则，对称性，单调性可判断选项正误. 【详解】. 对于A，由题可得，则，故A错误； 对于B，由A可知，，将图象向左平移个单位， 得到的图象解析式为， 易知为偶函数，图象不关于原点对称，故B错误； 对于C，代入，得， 则在时取得最大值，图象关于对称，不关于中心对称，故C错误； 对于D，时，， 注意到在上单调递增，在上单调递减， 则当，即时，，故D正确. 故选：D 4．已知函数（其中）的部分图像如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，再将其图像沿轴向左平移得到函数的图像，若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图像上的最值、周期和点的坐标，结合正弦函数的图像和性质求解即可； （2）先根据三角函数图像的伸缩变换得到，再求出在上的值域，即可求解． 【详解】（1）由题可知，，，则， 由五点作图法可得，则， 所以． （2）将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，得到， 再将其图像沿轴向左平移得到函数， 当时，，， 所以， 因为对任意的，都有恒成立， 所以． 5．函数（，）的部分图象如图所示， (1)求函数的解析式; (2)将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，求满足不等式的解集. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式. （2）利用函数图象变换求得，再利用正弦函数性质求解不等式. 【详解】（1）由函数的图象，得，的最小正周期， 由，得，由，得，而，则， 所以函数的解析式为. （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得， 再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得， 由，得，则，， 所以不等式的解集为. 6．已知函数在上单调递增，在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若，解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的单调区间以及正弦函数性质得出，可求得函数解析式； （2）将不等式化简可得，利用换元法以及二倍角公式并结合三角函数值的符号可解得不等式的解集为. 【详解】（1）因为在上单调递增，在上单调递减， 所以是的最大值点， 根据正弦函数的性质，可得，即； 又因函数在上单调递增，在上单调递减， 所以,可得, 又,可得，解得 结合，取得, 所以的解析式为; （2）易知, 不等式即, 令,又，则, 不等式化为，即，， 因为,,可得,即, 结合,解得, 代入,可得,解得, 所以不等式的解集为. 题型十二 正切(型)函数解不等式 1．函数的定义域为___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式，利用正切函数的图象和性质即可求出定义域. 【详解】由函数，得，即， 由的定义域为 ， 函数在每个区间内单调递增，且当时，解得. 故可解得. 故答案为：. 2．（1）函数的定义域为______. （2）函数的定义域为______. 【答案】 【分析】（1）利用正切函数的定义域可列式子解出答案， （2）利用正切函数与对数函数的定义域可列式子得出答案. 【详解】（1）由，得， 所以函数的定义域为. （2）由题意知，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：，. 3．函数的定义域为______． 【答案】 【分析】由题可得，再根据正切函数单调性解不等式即可. 【详解】由题意，得， 所以， 解得， 故所求函数的定义域为． 故答案为： 题型十三 正切(型)函数周期问题 1．函数的最小正周期是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据正切型函数的周期性求解最小正周期即可. 【详解】函数的最小正周期是. 故选：C. 2．已知函数的最小正周期为2，则实数ω的值为________． 【答案】或 【分析】根据正切型函数的周期公式计算得解. 【详解】由，解得. 故答案为：或. 3．若函数图象与直线相邻两交点间的距离为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件可知函数的周期，进而求出，再由函数单调性求值域. 【详解】因，所以在各周期内单调递增，最小正周期. 而该函数图象与相邻两交点的距离为，即，故. 所以. 故，因，所以. 因在上单调递增，因此，即. 所以的值域为. 故选：D 4．函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件可得出函数的最小正周期，求出的值，代值计算可得的值. 【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，解得，则， 故. 故选：A. 题型十四 正切(型)函数单调性与最值问题 1．已知函数. (1)求的定义域、值域； (2)求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 【答案】(1)定义域为；值域为. (2)最小正周期；函数为非奇非偶函数；函数的递增区间为，没有递减区间. 【分析】（1）（2）由正切函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性和单调区间得到函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性和单调区间. 【详解】（1）令，则， ∴的定义域为. ∵函数的值域为， ∴的值域为. （2）∵函数中，∴函数的最小正周期. 令，则， 即函数关于点中心对称， ∴函数为非奇非偶函数. 令，∴， 且函数中，. ∴函数的递增区间为，没有递减区间. 2．若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据周期求出，整体代换求单调区间. 【详解】由已知可得，解得，所以函数， 由，解得， 所以的单调区间为， 故选：B. 3．已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得到，结合正切函数的性质，求得，即可得到答案. 【详解】由函数，因为，可得， 又因为在上单调递增，可得， 解得， 因为，所以，可得，所以的最大值为． 故选：B． 4．已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的定义域及单调递增区间； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)函数的定义域为：，单调递增区间为： (2) 【分析】（1）由，解得，再利用正切函数定义域及单调性列式求解； （2）利用正切函数的单调区间列出不等式求解即得. 【详解】（1）由题意可知，函数的最小正周期，则； ，即，所以函数的定义域为：； 令，化简得：， 所以函数的单调递增区间为：； （2）令，因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，即，则有， 解得，又因为，所以或1， 则或，即的取值范围为． 5．关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（ ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【答案】B 【分析】根据正切函数的单调性即可求解. 【详解】因为在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为. 故选：B. 6．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的范围，再由正切函数的性质求出范围，再乘以3即可. 【详解】 故选：C. 7．（1）函数的定义域是________． （2）函数的值域为________． 【答案】 【分析】（1）由被开方数非负建立不等式，再结合正切函数图象可解； （2）令，换元法转化为求二次函数值域即可. 【详解】（1）要使有意义， 则，解得， 解得. 故函数的定义域是； （2）设，则， 当时，. 所以的值域是． 故答案为：；. 题型十五 正切(型)函数奇偶性与对称性问题 1．已知函数，若，则=（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】求出的值即可求解. 【详解】由题可得：, 所以， 故选：B 2．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)偶函数，理由见解析 (3)奇函数，理由见解析 (4)偶函数，理由见解析 【分析】根据函数奇偶性以及正切函数的知识求得正确答案. 【详解】（1）是奇函数，理由如下： 设，由解得， 所以的定义域为， ， 所以是奇函数. （2）是偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. （3）是奇函数，理由如下： 设，则定义域是， ， 所以是奇函数. （4）是偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. 3．已知. (1)求不等式的解集； (2)若是奇函数，则应满足什么条件？并求出满足时的值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据正切函数的性质，利用整体代入法可得，即可求解； （2）.若是奇函数，则，可解得.令，解得，且，所以，代入即可求得满足题意的值. 【详解】（1）因为，所以， 得，即. 所以不等式的解集为. （2）. 若是奇函数，则，解得. 令，解得，且，所以. 故. 4．若函数为奇函数，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】根据奇函数的定义,求得,再根据,即可得答案. 【详解】因为函数为奇函数,所以 由得,, 即,所以, 解得,,因为,取,得,所以的最小值为. 故答案为: 5．若点（）为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】利用正切函数的性质求出函数图象的对称中心，再求出最小值. 【详解】由，，得，; 因此函数的图象的对称中心为（） 而，则，，，， ，，， 所以的最小值为. 故答案为：. 6．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的单调递增区间是（） B．函数图像对称中心的集合是 C．对任意的实数a，直线与函数图象的两个相邻交点之间的距离是 D．函数的对称轴是直线， 【答案】D 【分析】根据正切函数的单调性、对称中心、周期、对称轴逐项计算判断即可. 【详解】对于A，函数，因为在每个单调区间是递增的， 所以在每个单调区间是递减的，故A错误； 对于B，令，得，所以函数的对称中心的集合是，故B错误； 对于C，函数的周期为，所以直线与函数图像的两个相邻交点之间的距离是，故C错误； 对于D，由于的对称轴是. 令，得，D正确. 故选：D. 7．若函数的图象的一个对称中心的横坐标为1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切型函数的性质，结合题意，可得的表达式，赋值即可得答案. 【详解】由函数的性质知， 其图象的对称中心的横坐标满足， 因为点是函数图象的一个对称中心， 所以， 又，故当时，， 所以的最小值为， 故选：C． 8．已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用正切函数的对称中心及已知范围求得，再将代入即可求解. 【详解】由题意知，的图象关于点中心对称， 所以，解得, 又，所以， 所以，则. 故选：A. 9．已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】利用整体代换法可求得，结合题意可求出及，又在区间上至少有两个对称中心则可得在区间上至少有两解，从而可求解. 【详解】当，， 若函数（）在区间上有定义， 则，解得， 函数的对称中心满足，，整理得，， 其图象在区间上至少有两个对称中心，则在区间上至少有两解， 整理得至少存在两个值使，， 故至少有两个取值，所以， 综上，的取值范围为. 故答案为:. 题型十六 正切函数图像的变换 1．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 【答案】D 【分析】根据正切函数的性质和图象逐项计算判断即可. 【详解】由图可知，的最小正周期，则，A错误； 由图象可知时，函数无意义，故， 由，得，即，则， 即的图象与轴的交点坐标为，B，C错误； 由于，则的图象关于点对称， 可得函数的图象关于直线对称． 故选：D. 2．已知函数的部分图象如图所示，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的图像性质求出，从而得出结论. 【详解】由图知的最小正周期，所以. 又，所以. 因为，所以，所以. 故选：D. 3．将的图像向右平移__________个单位可得到的图像（只需填出符合条件的一个值）. 【答案】（答案不唯一，符合表达式即可） 【分析】根据平移规则并利用正切函数周期性求解即可. 【详解】设的图像向右平移个单位得到的图像， 则， 由于正切函数的周期是，所以， 可得， 取，可得. 故答案为：（答案不唯一，符合表达式即可） 4．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切型函数的图象平移变换可得到的解析式，求出的对称中心横坐标的表达式，即可求得答案. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 即， 令，即， 当时，，即的图象的一个对称中心是， ACD中的，，，取不到， 故选：B 5．先将函数的图象上所有点的横坐标扩大为原来3倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的对称中心为（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据函数图像的平移和伸缩变换得，即可利用整体法，结合正切函数的性质求解. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标扩大为原来3倍，得到， 再将所得函数的图象向左平移个单位长度得到函数， 由，解得， 所以对称中心为，， 故选：A． 6．将函数的图象向左平移个单位，得到函数.图象，若函数为奇函数，则的最小值是_____. 【答案】1 【分析】求出平移后的解析式，根据函数的奇偶性得到方程，求出，进而得到最小值. 【详解】的图象向左平移个单位， 得到函数， 因为为奇函数，所以，解得， 又，故当时，取得最小值，最小值为1. 故答案为：1 基础巩固通关测 1．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列正确的是（   ） A．直线是图象的一条对称轴 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．在上单调递增 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简函数，再根据函数图象的变换求出，结合三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】， 函数的图象向右平移个单位长度可得， ， 对于A，当时，， 因为不是函数的对称轴，故A错误； 对于B，的最小正周期，故B错误； 对于C，当时，， 因为是函数的对称中心， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当时，， 因为函数在上不是单调递增函数，故D错误. 2．已知函数（）的一个零点为，一条对称轴为，，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】结合三角函数的性质求解即可. 【详解】由题意可知，，，所以，，即，. 又，所以，，所以，. 因为，所以当时，取得最小值：. 故选：B. 3．关于函数的判断，正确的是（   ） A．振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数 B．振幅为，值域为，在区间上是单调减函数 C．振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数 D．振幅为，值域为，在区间上是单调增函数 【答案】D 【分析】由二倍角公式得，再结合余弦型函数的相关性质逐项判断即可． 【详解】， 则振幅为，值域为， 当，即时，函数单调递减， 则时，函数在上是单调减函数，在区间上不单调， 故在上是单调增函数，在区间上不单调， 故选：D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，正弦函数的有界性，借助中间值即可比较大小. 【详解】因为，所以. 故选：A 5．已知函数在区间内既有最大值又有最小值，则的值不可能为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由条件求出的范围，结合正弦函数的性质列不等式可求结论. 【详解】因为，， 所以， 函数在区间内既有最大值又有最小值， 则函数的最大值为，最小值为或函数的最大值为1，最小值为， 故或， 所以或， 所以的值不可能为. 故选：D. 6．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点向_____平移_____个单位长度.（   ） A．左； B．左； C．右； D．右； 【答案】C 【分析】变形得，再根据平移原则即可得到答案. 【详解】， 则需把函数的图像上所有的点向右平移个单位长度. 故选：C. 7．已知函数，下列命题： ① ②函数为奇函数 ③若，则或， ④若（）在区间上恰有3个零点，则 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】计算的值，并结合三角函数的值域可判断①；利用奇函数满足的性质可判断②；解三角函数方程可判断③；求出的零点，利用第三个零点在内，第四个不在可得答案. 【详解】函数 的分析如下： 对于① ：，而 的最大值为 1，因此不等式恒成立，命题为真； 对于②：，计算 ，不是奇函数，命题为假； 对于③：由，得： ， 则 或 ，， 解得 或 ，，命题为真； 对于④：， 零点满足 ，解得 . 由 时恰有 3 个零点，得：第三个零点应小于等于，第四个零点应大于， 即， 解得 ，命题为真. 综上，真命题为①、③、④，共 3 个. 故选：C 8．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用诱导公式、同角关系，将函数化为单一三角函数（如）的表达式，再将函数转为二次函数，明确的范围由的范围决定，根据开口、对称轴，确定其最值，求出值域边界对应的值；最后结合三角函数的取值/单调性，将的范围对应的范围，确定区间端点. 【详解】 令（）， 则， 其对称轴为，顶点处（）取得最大值， 令，解方程，得或（即最小值为4的对应值）， 要使取到最大值5，需包含在内，即，对应； 要使的最小值为4，需的范围包含或， 且不出现负数（否则），故（时为负）， 综上，的取值范围是. 故选：B. 9．若点是函数图像上的一点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】将函数化为标准余弦形式后，利用余弦函数的零点性质确定满足条件的值，再结合图像平移关系求出最小正数解. 【详解】函数的图像是由的图像向右平移个单位得到的， 因为的最小正零点为，所以该函数的最小正零点为. 故答案为： 10．已知函数在区间上有4个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由题意可得，因为函数在区间上有4个零点，可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上有4个零点， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 11．已知，则在上所有根的和为_____. 【答案】60 【分析】首先确定两个函数的相同的对称中心，再根据两个函数图象的交点个数，以及交点的对称性，即可求解. 【详解】因为， 所以的图象关于点对称，而函数的图象也关于对称， 在同一直角坐标系内作出两函数的图象，如图所示： 由图象可知这两个函数图象上有10个交点，即共有5对关于对称的点， 所以方程在上所有根的和为． 故答案为： 12．已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值； (3)若的图象与直线在区间上恰有两个点，其横坐标分别为，求的取值范围以及的值. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）化简函数，根据正弦型函数性质列不等式计算即可； （2）由题意可得，根据同角三角函数基本关系及两角和的正弦公式化简即可求解； （3）作出函数在，根据图象可得的取值范围，根据对称性可得的值. 【详解】（1）， 当时，单调递增， 即时，单调递增， 则单调增区间为； （2），则， ，则， ，则， ； （3），则， 列表： 则图象如下图所示： 由图易知：关于对称，即. 13．已知函数. (1)请用“五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； (2)求的单调递增区间. 【答案】(1) 0 0 1 0 0 1 3 1 1 . (2)， 【详解】（1）列表如下： 0 0 1 0 0 1 3 1 1 在平面直角坐标系中描点，再连线，得在上的图像如图所示. （2）由， 因为的单调递增区间为，， 所以令，，解得，， 所以的单调递增区间为，. 14．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式，并求出该函数的单调递增区间； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)，单调增区间为 (2) 【分析】（1）根据函数图象可得A，周期T，即可求出，再由图象过点即可求出，得到函数解析式，求出单调区间； （2）由求出，再由两角差的正弦公式直接计算即可. 【详解】（1）由图象可知，，且，解得， 所以，因为， 所以， 则，则仅当时，符合题意， 所以，令， 解得 ， 综上，的解析式为， 单调增区间为. （2）由（1）得， 所以， 则，因为， 则，所以， 则 . 15．已知函数的图像经过点，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)求函数在的单调递增区间； (3)方程在区间上有三个解，求t的取值范围. 【答案】(1)； (2)和； (3). 【分析】（1）根据函数的最大值与最小值的差为4，求得A，再由相邻两个零点之间的距离为，求得，然后由函数的图像经过点，求得函数的解析式. （2）令，结合，利用正弦函数的性质可求函数在的单调递增区间. （3）由题意可得与在上有三个不同的交点，作出函数的图像，数形结合可得t的取值范围. 【详解】（1）函数最大值与最小值的差为4，且， 又∵相邻两个零点之间的距离为，即，又，则. 又函数图像经过点， ； （2）当，即，又 在上的单调递增区间为和. （3）由方程在区间上有三个解， 则与在上有三个不同的交点， 作出函数的图像如图所示， 又，， 由图像可知与在上有三个不同的交点时，可得， 所以t的取值范围为. 能力提升进阶练 1．若函数有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定当时的零点个数，再利用正弦函数的性质对于的情况进行分析，建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】当时，由题意得单调递增， 令，解得，此时具有唯一零点， 又因为有个根，所以当时，有个零点， 因为，所以， 所以有，解得，即. 故选：B． 2．设函数，若存在，使得，则的值不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据得到关于的表达式，再结合的取值范围求出的范围，最后据此判断选项. 【详解】因为，且存在，使得， 则，即， 所以，， 当，时，得，， 因为，所以，. 当，时，得，， 因为，所以，. 综合以上情况得的所有可能取值的集合为，. 检验可知均在时对应的区间内，不在该集合对应的任何区间内，所以的值不可能为. 故选：A. 3．已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先根据对称轴和对称中心间的距离，得到关于的关系式，再验证，即可求解. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为为的零点，为图象的对称轴， 所以，即， 所以. 因为，所以在上不单调， 当时，由为的零点可得，， 因为，所以. 因为在上不单调，所以的最小值为. 故选：B. 4．已知函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】令，分析可知函数在上有两个不同的零点，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围． 【详解】∵，令，，令，如下图所示： 要使得函数在上有个零点，则函数在上有个不同的零点，显然， 所以，，解得． 故选：C． 5．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的减区间，再根据子集关系列式计算即可. 【详解】因为，由得， 令， 因为，所以，所以， 所以. 故选：A. 6．函数的图像如图所示.已知直线与交于，，三点且，是的一个极值点，.则__________. 【答案】 【分析】根据点坐标推出函数表达式，再根据题意从到经过了的一个完整周期，其中，设，，带入即可得。 【详解】由图可知是“五点作图”的第一个最大值点， 所以且.. 显然，从到经过了的一个完整周期，其中. 则，, ,代入得. ... 故答案为：. 7．已知函数，若函数的一个零点为．其图象的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为______． 【答案】6 【分析】由给定的零点及对称轴，结合五点法作图可得，再由单调区间确定值，然后分类讨论求出值即可得的最大值. 【详解】函数的最小正周期，由函数的一个零点为，其图象的一条对称轴为直线， 得，解得，则， 由在上单调，得，即，因此， 解得，而，于是， 当时，，，由， 得，而，则，， 当时，，函数在上不单调，不符合题意； 当时，，，由， 得，而，则，， 当时，，在上单调，符合题意； 当时，，，由， 得，而，则，， 当时，，在上单调，符合题意， 因此或，所以的最大值为6. 故答案为：6 8．函数，若方程有四个不等的实根，且，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用对数函数与正弦函数的性质作出的图象，根据正弦函数的性质结合图象分析即可得解. 【详解】当时，，则， 易得在上单调递减，且， 当时，，则， 易得在上单调递增，且，即， 当时，， 则由正弦函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 且，，，，， 从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象，如图所示， 因为方程有四个不等的实根，所以与的图象有四个交点， 所以，， 所以，则，由正弦函数的性质结合图象可知与关于对称， 所以，， 而，所以， 又因为，可得， 而，， 所以， 故答案为：. 9．已知函数，其中． (1)若，且，求的解析式； (2)若，函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（m、且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，其中，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得，即可得函数解析式； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式运算求解即可. 【详解】（1）函数， 若，则与是相邻的最小值点和最大值点， 可知的最小正周期为， 且，则，解得，所以. （2）， ， 即，则或 解得或，且， 可得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有8个零点，则， 要使最小，则恰好为的零点， 所以的最小值为. （3）由（2）知：，且， 设在上的值域为，在上的值域为， 若对任意，存在，使得成立，则， 当，则 ，可得， 则，即， 当，，， 则，即， 由可得，且，解得， 所以实数a的取值范围为. 11．已知函数的最小值为. (1)求的值； (2)求在上的单调递增区间； (3)若，求的值. 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据正弦函数的最值，即可求解； （2）利用正弦函数的单调递增区间，结合给定区间求解； （3）由求出 ，结合的范围，利用三角恒等变换，求解即可． 【详解】（1）因为函数的最小值为， 所以，解得. （2）由（1）知：， 因为，可得， 令和，解得和， 所以函数在上的单调递增区间为. （3）由（1）知，， 因为，可得，所以， 又因为，可得， 因为，可得，所以， 则 . 12．已知函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图象的特殊点，结合周期的性质和公式、代入法进行求解即可； （2）不等式化简为，再根据余弦函数的性质，结合特殊角的余弦值进行求解即可； （3）根据诱导公式以及同角三角函数基本关系化简方程得，， 再令，则，根据与的对应关系可知， 在上有两个不相等的实数根，再参变分离， 转化为，换元后，再利用方程的根与图象交点个数关系求解即可. 【详解】（1）由图可知，周期，故， 此时，代入，可得， 故，解得， 由于，故取，，； （2）由， 则有，解得， 所以不等式的解集为. （3）由可得 ， 该方程在上有四个不同的实数根， 令，则，， 则，， 令，则， 如图，要使在上有四个不同的实数根，    则需要在上有两个不相等的实数根， 故， 由于时，无解，故， 则，令，则且， 故， 由于在上单调递减， 此时至多一个实数根，不符合题意，故， 如图：当时， ， ，当且仅当时，取等号， 故．    13．已知定义域为的函数的解析式为． (1)求函数的最小正周期； (2)已知方程在区间有两个不同的实数解，求实数的取值范围； (3)已知函数，，函数的解析式为，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先利用两角和的正弦、余弦公式和二倍角公式化简，再根据正弦函数的周期公式求解即可； （2）根据（1）中解析式画出大致图象，根据图象求解即可； （3）由题知，进而得，，记在上的值域为，即可将问题转化为，再根据，利用集合的包含关系列式求解即可. 【详解】（1）由题意可得 ， 所以. （2）由（1）可知，， 当时，， 因为方程在区间有两个不同的实数解， 所以与，图象有两个不同的交点， ，图象如图： 方程有两个不同的解，由图象可知. 所以实数的取值范围为 （3） 当时，，则， 当，，则， ，记在上的值域为， 因为若对任意的，总存在，使得成立， 所以，显然当时，不满足题意； 当时，，故， 则，解得，所以； 当时，，故， 则，解得，所以； 综上所述，． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 三角函数（复习讲义） 1、了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用，理解诱导公式的推导过程，能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题. 2、能用“五点法”画出正弦函数在[0，2π]上的图象，理解正弦曲线的意义，掌握正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、单调区间和最值. 3、能正确使用“五点法”“图象变换法”画出余弦函数的简图，掌握余弦函数的性质，会求余弦函数的最小正周期、单调区间和最值. 4、理解并掌握函数y＝A sin 图象的平移与伸缩变换，掌握A，ω，φ对图象形状的影响. 5、掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法，理解函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称性. 6、理解任意角的正切函数的定义，理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及其在区间内的单调性. 7、了解三角函数是研究周期现象最重要的模型，初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题. 一、正弦函数的图象与性质 知识点1　正弦函数的图象 在函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，起着关键作用的有五个关键点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)． 描出这五个点后，函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象的形状就基本确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图．我们称这种作正弦曲线的方法为“五点法”． 知识点2　正弦函数y＝sin x的性质 函数 y＝sin x 定义域 R 值域 [－1，1] 奇偶性 奇函数 周期性 周期函数，最小正周期为2π 单调性 在(k∈Z)上是单调递增的； 在(k∈Z)上是单调递减的 最值 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－1 二、正弦函数的图象与性质 知识点1　余弦函数的图象与性质 函数 y＝cos x 图象 定义域 R 值域 [－1，1] 最值 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 周期性 周期函数，最小正周期为2π 奇偶性 偶函数，图象关于y轴对称 单调性 在，k∈Z上是单调递增的； 在[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上是单调递减的 [特别提示]　只需将y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到y＝cos x，x∈R的图象． 三、函数y＝A sin (ωx+φ)的性质与图象 知识点1　周期变换 (1)在函数y＝sin ωx(ω＞0)中，ω决定了函数的周期T＝，通常称周期的倒数f＝＝为频率． (2)对于函数y＝sin ωx(ω＞0，ω≠1)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的． 知识点2　相位变换 (1)在函数y＝sin (ωx＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位． (2)对于函数y＝sin (ωx＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把函数y＝sin ωx的图象上所有的点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移个单位长度得到的． 知识点3　振幅变换 (1)在函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0)中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅． (2)要得到函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，A≠1)的图象，只要将函数y＝sin (ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)即可得到． 知识点4　函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期 T＝ 奇偶性 φ＝kπ，k∈Z时，y＝A sin (ωx＋φ)是奇函数；φ＝kπ＋，k∈Z时，y＝A sin (ωx＋φ)是偶函数 对称轴方程 由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得 对称中心 由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得 单调性 单调递增区间由2kπ－ ≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得； 单调递减区间由2kπ＋ ≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)求得 四、正弦函数的图象与性质 知识点1　正切函数的定义 在平面直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)(a≠0)，那么比值叫作角α的正切函数，记作y＝tan_α，其中α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)． 知识点2　正切函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 R 奇偶性 奇函数 周期性 周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π 单调性 在每一个区间，k∈Z上单调递增 对称性 该图象的对称中心为，k∈Z 题型一 五点法作正(余)弦(型)函数图像 1．已知函数过原点. (1)求的值； (2)求函数在上的零点； (3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据. 0 0 1 0 0 2．已知函数．完成下面表格，并用“五点法”作函数在上的简图：    x 0 π 2π 3．函数，的简图是（    ） A．B．C．D． 4．方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型二 正(余)弦(型)函数解不等式和定义域 1．在内，使的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．函数，方程有个根，求实数的取值范围． 3．在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为________. 5．已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集. 6．已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集． 7．已知函数的最大值为． (1)求常数的值； (2)求使成立的的取值集合． 8．已知函数. (1)求的最小正周期： (2)若，解不等式：. 题型三 正(余)弦(型)函数周期的问题 1．已知的最小正周期为，则__________． 2．已知函数，则函数的最小正周期为______． 3．已知函数，且的最小值为，则__________. 4．函数的最小正周期为________，________． 5．求下列三角函数的周期． (1)； (2)； (3)； (4)． 6．已知函数，则（    ） A． B．0 C． D．1 题型四 正(余)弦(型)函数单调性的问题 1．函数的单调递减区间为______. 2．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是_________. 3．已知函数在上单调递减，则的取值范围是___________. 4．若函数的单调递减区间是__________. 5．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若，求的最值和单调区间． 6．已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； 8．若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五 正(余)弦(型)函数值域(最值)的问题 1．已知函数. (1)求函数的最小正周期 (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数在上的值域； 2．已知函数在区间上恰有2个最大值点，则实数的所有取值构成的集合为________ 3．已知函数，则的最大值是______． 4．已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 5．若，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．函数的最小值是__________. 7．已知函数. (1)求的单调区间； (2)设函数，求的值域. 8．函数的值域是____________ 9．已知函数，的最小正周期为． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； (3)求不等式的解集． 10．已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 题型六 正(余)弦(型)函数奇偶性的问题 1．“函数是奇函数”的充要条件是实数_____. 2．设函数的最大值为M，最小值为m，则__________． 3．函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 4．设函数.若为偶函数，则___________． 5．已知函数的最小正周期为T，且，函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，则“”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 8．已知的最大值为2，最小正周期为，是奇函数，则在的值域为______． 题型七 正(余)弦(型)函数对称性的问题 1．函数在上是单调增函数，且图像关于原点对称，则满足条件的数对________. 2．函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 3．若方程在上的解为，则的值为______ 4．已知函数 (1)求的单调增区间和对称中心； (2)若，，求的值. 5．已知函数的图象关于点对称，则的值为__________. 6．已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是______． 7．已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为______；若在区间上有零点，则的最小值为______． 8．已知函数. (1)求图象的对称轴方程； (2)设函数，求的值域. 9．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．若的图象关于直线对称，则的最小值为 10．若点（）是曲线的一个对称中心，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 11．已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（    ） A．3 B．6 C．12 D． 题型八 三角函数图像变换的问题 1．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点向_____平移_____个单位长度.（   ） A．左； B．左； C．右； D．右； 2．为了得到函数的图象，可以将的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 3．要得到函数的图象，需要把函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 4．为了得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 题型九 利用三角函数图象或性质求解析式 1．函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且为正三角形，则的值为（   ） A． B． C．4 D． 2．已知函数的部分图象如图所示，其中，，则_______________．    3．筒车发明于隋代，在唐朝得到广泛应用和推广，至今仍在农业生产中发挥着作用.假定水流速度稳定的条件下，筒车上每个盛水筒做匀速圆周运动.将筒车抽象成一个圆，筒车的半径为4米，筒车中心到水面距离为2米，筒车按的速度逆时针方向旋转.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即）时开始计算时间，且以筒车中心O为坐标原点，过点O的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒M从点运动到点所经过的时间为（单位：），且此时点P距离水面的高度为（单位，在水面下则h为负数）. (1)求点P距离水面的高度为关于时间的函数解析式； (2)求点P第一次达到最高点需要的时间. 4．已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 5．已知函数的图像经过点，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)求函数在的单调递增区间； (3)方程在区间上有三个解，求t的取值范围. 题型十 正(余)弦(型)函数有关零点问题 1．函数在上的零点个数为___________． 2．设函数，若时，的最小值为．则下列选项正确的是（    ） A．函数的周期为 B．方程在区间上的根的个数共有6个 C．当，的值域为 D．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为偶函数 3．已知函数. (1)求函数的单调增区间； (2)当时，求的值域. (3)先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位的图象，求方程在区间上所有根之和. 4．定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在区间上所有零点之和为_____________ 5．函数，是函数的一个零点，是函数图像的一条对称轴，是的一个单调区间，则的最大值为_____. 题型十一 正(余)弦(型)函数性质的综合问题 1．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列正确的是（   ） A．直线是图象的一条对称轴 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．在上单调递增 2．函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A． B．向左平移个单位后是奇函数 C．的对称轴为， D．的减区间为， 3．已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．将函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于原点对称 C．关于点对称 D．在区间上的最大值为2 4．已知函数（其中）的部分图像如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，再将其图像沿轴向左平移得到函数的图像，若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 5．函数（，）的部分图象如图所示， (1)求函数的解析式; (2)将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，求满足不等式的解集. 6．已知函数在上单调递增，在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若，解不等式． 题型十二 正切(型)函数解不等式 1．函数的定义域为___________． 2．（1）函数的定义域为______. （2）函数的定义域为______. 3．函数的定义域为______． 题型十三 正切(型)函数周期问题 1．函数的最小正周期是（   ） A． B． C．2 D．4 2．已知函数的最小正周期为2，则实数ω的值为________． 3．若函数图象与直线相邻两交点间的距离为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型十四 正切(型)函数单调性与最值问题 1．已知函数. (1)求的定义域、值域； (2)求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 2．若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的定义域及单调递增区间； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围． 5．关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（ ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 6．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（1）函数的定义域是________． （2）函数的值域为________． 题型十五 正切(型)函数奇偶性与对称性问题 1．已知函数，若，则=（   ） A． B． C．1 D．2 2．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．已知. (1)求不等式的解集； (2)若是奇函数，则应满足什么条件？并求出满足时的值. 4．若函数为奇函数，则的最小值为__________. 5．若点（）为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为______. 6．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的单调递增区间是（） B．函数图像对称中心的集合是 C．对任意的实数a，直线与函数图象的两个相邻交点之间的距离是 D．函数的对称轴是直线， 7．若函数的图象的一个对称中心的横坐标为1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B． C．1 D． 9．已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为_____. 题型十六 正切函数图像的变换 1．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 2．已知函数的部分图象如图所示，则（　　）    A． B． C． D． 3．将的图像向右平移__________个单位可得到的图像（只需填出符合条件的一个值）. 4．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 5．先将函数的图象上所有点的横坐标扩大为原来3倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的对称中心为（    ）． A．， B．， C．， D．， 6．将函数的图象向左平移个单位，得到函数.图象，若函数为奇函数，则的最小值是_____. 基础巩固通关测 1．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列正确的是（   ） A．直线是图象的一条对称轴 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．在上单调递增 2．已知函数（）的一个零点为，一条对称轴为，，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．关于函数的判断，正确的是（   ） A．振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数 B．振幅为，值域为，在区间上是单调减函数 C．振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数 D．振幅为，值域为，在区间上是单调增函数 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间内既有最大值又有最小值，则的值不可能为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点向_____平移_____个单位长度.（   ） A．左； B．左； C．右； D．右； 7．已知函数，下列命题： ① ②函数为奇函数 ③若，则或， ④若（）在区间上恰有3个零点，则 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 9．若点是函数图像上的一点，则的最小值是__________． 10．已知函数在区间上有4个零点，则的取值范围是__________. 11．已知，则在上所有根的和为_____. 12．已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值； (3)若的图象与直线在区间上恰有两个点，其横坐标分别为，求的取值范围以及的值. 13．已知函数. (1)请用“五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； (2)求的单调递增区间. 14．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式，并求出该函数的单调递增区间； (2)若，且，求的值． 15．已知函数的图像经过点，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)求函数在的单调递增区间； (3)方程在区间上有三个解，求t的取值范围. 能力提升进阶练 1．若函数有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．设函数，若存在，使得，则的值不可能是（   ）． A． B． C． D． 3．已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 5．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．函数的图像如图所示.已知直线与交于，，三点且，是的一个极值点，.则__________. 7．已知函数，若函数的一个零点为．其图象的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为______． 8．函数，若方程有四个不等的实根，且，则的取值范围为______． 9．已知函数，其中． (1)若，且，求的解析式； (2)若，函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（m、且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，其中，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 11．已知函数的最小值为. (1)求的值； (2)求在上的单调递增区间； (3)若，求的值. 12．已知函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围． 13．已知定义域为的函数的解析式为． (1)求函数的最小正周期； (2)已知方程在区间有两个不同的实数解，求实数的取值范围； (3)已知函数，，函数的解析式为，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $