第六章 三角（20大题型精讲）（复习讲义）高一数学沪教版必修第二册

第六章 三角（复习讲义） 1、了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期，初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性，能够利用函数的周期性求值. 2、了解任意角的概念，理解象限角的概念，掌握终边相同的角的含义及其表示. 3、了解角的另外一种度量方法——弧度制，能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算，掌握弧度制中弧长公式和扇形的面积公式. 4、了解单位圆与正弦函数、余弦函数的关系，掌握任意角的正弦函数、余弦函数定义，掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号. 5、理解同角三角函数的基本关系式，会运用以上两个基本关系式进行求值、化简、证明. 6、了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用，理解诱导公式的推导过程，能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题. 7、推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义，能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式. 8、能运用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的化简、求值. 9、能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值. 10、能通过两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系，能利用公式进行简单的应用. 11、能运用两角和与差的正弦、余弦公式及二倍角公式等进行简单的恒等变换，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明. 12、掌握余弦定理，能够利用余弦定理解决有关问题. 13、掌握余弦定理，能够利用余弦定理解决有关问题. 14、利用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离的测量问题. 15、能运用正弦定理、余弦定理解决测量角度的实际问题. 一、任意角与度量 知识点1　周期函数的概念 一般地，对于函数y＝f，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f (x＋T)＝f (x)，那么函数y＝f (x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期． [特别提示]　(1)周期函数的周期不唯一．如果T是函数f (x)的周期，那么kT(k∈Z且k≠0)也是函数f (x)的周期． 知识点2　最小正周期 如果在周期函数y＝f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f (x)的最小正周期． 知识点3　角的概念 如图，角可以看成平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB所形成的图形．点O是角α的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边． 知识点4　按照角的旋转方向，分为如下三类 类型 定义 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角 知识点5　象限角 如果角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴的非负半轴，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限． 知识点6　终边相同的角 给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和． 知识点7　弧度制的定义 在单位圆中，长度等于1的弧所对的圆心角为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制． 知识点8　角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝≈57°18′ 知识点9　弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ l＝αr 扇形的面积 S＝ S＝lr＝αr2 二、任意角的正弦、余弦、正切、余切 知识点1　任意角的正弦、余弦、正切、余切 我们将锐角置于平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限. 在角的终边上任取异于原点的一点，则点与原点的距离为过P作x轴的垂线垂足为M，则线段OM的长度为x，线段MP的长度为y. 锐角的正弦、余弦、正切及余切的定义 ，， ，. 这说明锐角的正弦、余弦、正切及余切可以用角的终边上点的坐标来定义. 这样，就可以对任意给定的角，定义其相应的正弦、余弦、正切及余切. 在任意角的终边上任取异于原点的一点，设其坐标为，并令，必有. 这样，就可以分别定义角的正弦、余弦、正切及余切为 ， ， （），（）. 【特别提醒】当（），即角的终边位于轴上，无意义；而当（），即角的终边位于轴上时，无意义. 知识点2　任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号 【特别提醒】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号：一全二正弦，三切四余弦 知识点3　单位圆 根据定义，角的正弦、余弦、正切及余弦值仅与角的大小有关，而与角的终边上的点的位置无关，因此我们可以用角的终边上到原点距离为1（）的点来确定角的正弦、余弦、正切及余切值. 半径为1个单位的圆称为单位圆. 本章中，如无特别说明，单位圆通常指在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心，以1为半径的圆. 设角的终边与单位圆的交于唯一的一点，则根据定义可知， ，. 因此，单位圆上点的坐标必可以写为（）. 知识点4　任意角的正弦、余弦、正切、余切基本关系 [特别提示]　角α应该使基本关系式有意义，即在平方关系：sin2α＋cos2α＝1中，角α是任意的角；在商数关系：tanα＝ 中，角α满足α≠＋kπ，k∈Z． 三、诱导公式 1.公式① sin(α+k·2π)=sin α(k∈Z)，cos(α+k·2π)=cos α(k∈Z)，tan(α+k·2π)=tan α(k∈Z). 2.公式② sin(-α)=-sin α，cos(-α)=cos α，tan(-α)=-tan α. 3.公式③ sin(π-α)=sin α，cos(π-α)=-cos α，tan(π-α)=-tan α. 4.公式④ sin(π+α)=-sin α，cos(π+α)=-cos α，tan(π+α)=tan α. 【特别提醒】诱导公式①~④的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”，其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所对应的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ+k∈Z. 5.诱导公式⑤ sin=cos α，cos=sin α. 6.诱导公式⑥ sin=cos α，cos=-sin α. 【特别提醒】诱导公式⑤~⑧的记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”，即±α±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号. 四、两角和与差的三角函数公式 知识点1　两角和与差的余弦公式 cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．(Cα＋β) cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．(Cα－β) (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角． (2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反． 知识点2　两角和与差的正弦公式 sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β．(Sα＋β) sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．(Sα－β) 知识点3　两角和与差的正切公式 (1)两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角 和的 正切 Tα＋β tan (α＋β) ＝ α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z) 两角 差的 正切 Tα－β tan (α－β)＝ α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z) 知识点4　辅助角公式 辅助角公式：一般地，当a，b不同时为0时，a sin α＋b cos α＝， 根据Sα＋β引入辅助角φ，使得＝cos φ，＝sin φ，所以a sin α＋b cos α＝(a，b不同时为0)． 其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由sin φ和cos φ的值确定，也就是由tan φ＝来确定． 五、二倍角的三角函数公式 知识点1　二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α， (S2α) cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α， (C2α) tan2α＝．(T2α) 知识点2　二倍角公式的变形 (1)公式的逆用 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α， cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α． (2)二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α， 1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2． 降幂公式 cos2α＝，sin2α＝ 六、三角变换的应用 知识点1　半角公式 (1)sin (2)cos (3)tan ＝±． 知识点2　积化和差公式与和差化积公式 积化和 差公式 sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)] cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)] cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)] sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)] 和差化 积公式 sin θ＋sin φ＝2sin cos sin θ－sin φ＝2cos sin cos θ＋cos φ＝2cos cos cos θ－cos φ＝－2sin sin 七、正弦定理 知识点1　三角形的面积公式 (1)S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)． (2)S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (3)（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径 ） (4)，其中 知识点2　正弦定理 语言 表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号 表示 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) 变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝ 作用 实现三角形边与角的互化 八、余弦定理 知识点1　余弦定理 语言 表述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍． 符号 表示 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝a2＋c2－2ac cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C． 推论 cos A＝； cos B＝； cos C＝． 作用 实现三角形边与角的互化 知识点2　实际问题中的有关术语 名称 定义 图示 仰角与 俯角 在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α 方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°．如图，∠ABC为北偏东60°或东偏北30° 题型一 任意角的概念 1．下列结论： ①三角形的内角必是第一、二象限角； ②始边相同而终边不同的角一定不相等； ③小于的角是第一象限角； ④钝角比第三象限角小； ⑤小于的角是钝角、直角或锐角. 其中正确的结论为_____________（填序号）. 【答案】② 【分析】根据象限角、相等角、各类角（锐角、钝角）的定义，逐一分析每个说法是否正确. 【详解】①由于直角三角形中有的角，而的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确； ②相等的角终边一定相同，根据逆否命题等价，终边不同的角一定不相等，故②正确； ③小于的角可以是角，也可以是负角，故③不正确； ④钝角大于，而的角是第三象限角，故④不正确； ⑤角小于，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确. 故答案为： ② 2．下列命题中正确的是（    ） A．终边在y轴的非负半轴上的角一定是直角 B．第二象限角一定是钝角 C．第四象限角一定是负角 D．始边相同而终边不同的角一定不相等 【答案】D 【分析】根据轴线角和直角的定义可以判断A；根据象限角的定义举反例可以判断BC；根据任意角的定义可以判断D. 【详解】对于选项A，终边在y轴非负半轴上的角为，不一定是（直角）， 例如的终边也在y轴非负半轴上，但它不是直角，故A错误； 对于选项BC，如是第二象限角，但不是钝角；如第四象限角，但不是负角，故BC错误； 对于选项D，因为任意角由一条射线绕顶点按逆时针或者顺时针旋转形成， 所以始边相同而终边不同的角一定不相等，故D正确. 故选：D. 3．已知角，则角为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【详解】已知，故角为第二象限角． 4．已知角的终边在如图所示的涂色部分表示的范围内（不包括边界），则角用集合可表示为________．    【答案】 【分析】由任意角的定义及终边相同的角的表示方法可得结果. 【详解】在内，终边落在涂色部分的角的集合为， 所以所求角的集合为. 故答案为：. 5．（1）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角； （2）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.    【答案】（1），第二象限角；（2）， 【分析】（1）整理可得，进而判断角所在象限； （2）根据题意，利用终边在直线上的角的表示方法，求出角的集合. 【详解】（1）因为， 所以角与的终边相同，且，所以角是第二象限角； （2）图①：因为， 所以阴影部分内(不包括边界)的角的集合； 图②：因为， 所以阴影部分内(不包括边界)的角的集合. 6．与角终边相同的最小正角是_____________角；与角终边相同的最大负角是_____________角． 【答案】 【分析】先表示出与角终边相同的角，然后找出满足条件的角即可. 【详解】因为与角终边相同的角是， 所以当时，与角终边相同的最小正角是角； 当时，与角终边相同的最大负角是角． 故答案为：. 题型二 确定已知角所在象限 1．若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据象限角的定义及其范围，进行计算即可. 【详解】因为是第二象限角， 所以， 所以 从而， 所以是第四象限角． 故选：D. 2．下列说法正确的是（   ） A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角 C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角 【答案】B 【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据可得的取值范围，即可分析判断. 【详解】对于选项A：例如为第一象限角，但不是锐角，故A错误； 对于选项B：若是钝角，则， 可得，所以是第一象限角，故B正确； 对于选项C：例如，但不是钝角，故C错误； 对于选项D：例如为锐角，则不是第二象限角，故D错误； 故选：B. 3．已知角是第三象限角．求： (1)角是第几象限的角． (2)角终边的位置． 【答案】(1)第二象限或第四象限的角 (2)第一象限或第二象限或轴的正半轴 【分析】（1）由题意得出，可求出的取值范围，对分奇数和偶数两种情况讨论，可得出终边的位置； （2）求出的取值范围，可得出角终边的位置. 【详解】（1）因为是第三象限角，所以， 所以， 当为偶数时，设，则， 此时为第二象限角， 当为奇数时，设，则， 此时为第四象限角. 综上所述，是第二象限或第四象限的角． （2）因为， 所以， 即角终边在第一象限或第二象限或轴的正半轴． 4．若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第四象限角 D．第一象限或第二象限或第四象限角 【答案】D 【分析】根据第二象限角的范围，求出，再分类讨论得出象限即可. 【详解】，， ，， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第二象限角； 当时，，是第四象限角. 故选：D. 5．是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】C 【详解】因为，而，所以是第三象限的角，故是第三象限的角. 6．下列说法正确的是（   ） A．角和角是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在y轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 【答案】C 【分析】根据角的定义判断． 【详解】，因此的解与角的终边相同，A错； 第三象限角的集合为，B错； 终边在y轴上角，终边可能在轴正半轴，， 终边在轴负半轴，，其中，终合为，C正确； 是第二象限角，是第一象限角，但，D错． 故选：C． 题型三 角度与弧度转化 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对集合A中的k分和两种情况讨论可得. 【详解】因为， 当时， ，此时； 当时，，此时； 综上所述，. 2．与终边相同的角所构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同的角的集合的表示方法求解即可. 【详解】由各选项分析可知，弧度制和角度在同一集合内不可混合出现，故A、B错误. 与终边相同的角的集合为，表示为角度制为，C错误，D正确. 故选：D 3．请将下列各角在角度和弧度之间互化： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）解法一：利用角度与弧度的互化可得结果. 解法二：设所求角的弧度数或角度数，根据题意列出等式求解. 【详解】（1）解法一：； 解法二：设角的弧度数为，则，所以．即． （2）解法一：． 解法二：设角的弧度数为，则，所以． 即． （3）解法一：． 解法二：设，则，解得，即. （4）解法一：． 解法二：设，则，因此，即． 4．终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出终边落在边上的角为，结合图象，即可得答案. 【详解】因为， 所以终边落在边上的角为， 所以终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为. 故选：C. 5．如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合． (1)终边落在射线上； (2)终边落在直线上； (3)终边落在阴影区域内（含边界）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合； （2）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合； （3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结果. 【详解】（1）终边落在射线上的一个角为，则终边落在射线上的角的集合为； （2）终边落在射线上的一个角为，则终边落在直线上的角的集合为； （3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为， 终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为 ， 因此，终边落在阴影区域内的角的集合为 . 6．把下列各角的角度化成弧度、弧度化成角度，并指出各角所在象限： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，第四象限角. (2)，第三象限角 (3)，第二象限角. 【分析】利用角度制与弧度制的换算公式，再根据象限角定义判断即可. 【详解】（1）， 是第四象限角； （2）， 是第三象限角； （3）， 是第二象限角. 题型四 扇形的弧长与面积 1．已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长、半径和圆心角的关系，可求得扇形半径，代入面积公式，即可得答案. 【详解】设扇形的半径为r，由题意圆心角为， 所以弧长，解得， 则该扇形的面积. 故选：B 2．（1）已知扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数． （2）一个扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积． 【答案】（1）；（2）圆心角等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是． 【分析】（1）设出扇形所在圆的半径，结合弧长及扇形面积公式列出方程求解. （2）设出扇形所在圆的半径，求出扇形面积关于该半径的函数，再结合二次函数求出最值即可. 【详解】（1）设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，依题意，，即， 又，则，即，解得或， 当时，，则，不符合题意， 当时，，则，符合题意， 所以所求扇形圆心角的弧度数为. （2）设扇形的半径为，则弧长为， 由，得，则， 因此扇形的面积为 当时，，，S取到最大值，此时扇形的面积取得最大值， 所以当扇形的圆心角等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是. 3．已知扇形的圆心角为，半径为r． (1)若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； (2)若扇形的周长是定值，求扇形的最大面积及此时的值； (3)若扇形的面积是定值，求扇形的最小周长及此时的值． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用扇形的面积公式和三角形的面积公式求解. （2）利用扇形的面积公式和二次函数的图像和性质求最值. （3）利用扇形的面积公式和基本不等式求出扇形的周长的最小值. 【详解】（1）设弧长为，弓形面积为， ，，． 设扇形的面积为，，， ， ， 则． （2）由题意可得，则， 得扇形面积， 故当时，取得最大值， 此时． （3）由题意可得，则， 得扇形周长， 当且仅当，即时取等号， 即时，取得最小值， 此时． 4．扇形圆心角为，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用内切圆半径表示扇形半径，再利用圆面积公式及扇形面积公式求解即可. 【详解】设扇形的半径为，扇形内切圆半径为，则， 因此内切圆面积，扇形面积， 所以. 故选：B 5．圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环ABCD的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为___________ 【答案】 【分析】分别求出内圆半径和外圆半径，利用扇形面积公式，分别求得扇形和扇形的面积，从而求得扇环的面积. 【详解】由题可得， 在扇形中，，所以扇形的面积为； 在扇形中，，所以扇形的面积为. 所以该扇环的面积为. 故答案为：. 6．已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若，，求扇形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形面积公式求解； （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求解即可. 【详解】（1）． （2）． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 题型五 利用定义三角函数值 1．已知角的终边在直线上，求的值． 【答案】或 【分析】先求出点，再分类应用三角函数定义计算求解. 【详解】在直线上任取一点， 则． ①若，则，从而， ，． ②若，则，从而， ，． 2．（1）已知角的终边过点，求的值． （2）已知终边上一点，且，求的值． 【答案】（1）若，则；若，则．（2） 【分析】（1）利用三角函数的定义进行求解即可； （2）利用任意角的余弦函数的定义，求得，即可求得的值. 【详解】（1）， ①若，则，角是第二象限角， 所以， 所以． ②若，则，角是第四象限角， 所以． 所以． 综上，若，则；若，则． （2）由题意知， 由三角函数定义得． 又． ，，. 所以． 3．已知角的终边过点，且，则________，________ 【答案】 【详解】由三角函数的定义， ， ． 4．已知角的终边上一点，且． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据任意角的三角函数定义，由的值列出关于的方程，求解即可； （2）利用（1）中求出的相关量，根据正弦函数的定义求解. 【详解】（1）由题意知（O为坐标原点）， 因此，因为， 所以，解得． （2）由（1）知，， 所以． 5．已知α的终边经过点，且，则＝（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解． 【详解】因为α的终边经过点，且， 所以，再由，解得， 由正切函数定义得：， 故选：A． 6．已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义先算出，然后由正切函数值的定义求解. 【详解】由于为第二象限的角，则， 根据三角函数的定义，，解得， 则 题型六 三角函数值的符号判断 1．点在第二象限，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据点所在象限得出且，再根据三角函数定义得出终边所在位置. 【详解】由题意， 则终边在轴下方，则终边在轴右侧， 所以终边在第四象限， 故选：D. 2．“”是“角为第二象限角”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据三角函数的性质，以及必要不充分条件的概念，判断结果即可. 【详解】当时，或， 则为第二象限角或为第三象限角， 当角为第二象限角时，，则； 所以“”是“角为第二象限角”的必要不充分条件； 故选：B． 3．已知点在第三象限，则角在第几象限（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据可判断. 【详解】由题意可知，，则角在第二象限. 故选：B 4．若，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】B 【分析】判断出角的正余弦的正负，进而可得答案. 【详解】由，得， 所以角位于第二象限的角. 故选：B 5．已知且，则为第________象限角． 【答案】二 【分析】根据三角函数在各象限符号求解. 【详解】因为时，终边在第一、第二象限或轴正半轴上， 时，终边在第二、第三象限或轴负半轴上， 所以为第二象限角. 故答案为：二 6．已知是第四象限的角，则点在第______象限． 【答案】二 【分析】根据三角函数在各象限的符号确定即可. 【详解】因为是第四象限的角， 所以， 故点在第二象限. 故答案为：二 题型七 已知正（余）弦、弦（切）求余（正）弦、弦（切） 1．已知 则是 的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】根据同角的平方关系计算，结合充分条件、必要条件的概念即可下结论. 【详解】由，得， 所以“”是“”的不充分条件； 由，得， 所以“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 2．已知，则（   ） A． B．2 C．2或 D．不确定 【答案】B 【分析】方法一：由条件可得，再由同角三角函数的平方关系代入计算，分别取得，即可得到结果；方法二：将原式平方，然后化为齐次式，即可得到结果. 【详解】方法一：因为且， 所以， 整理得， 所以， 所以，所以，所以． 方法二：因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 故答案为：2 3．已知，且在第一象限，则______． 【答案】/ 【分析】根据三角函数的基本关系求解即可． 【详解】因为，所以，又，可得，因为在第一象限，，所以． 故答案为：． 4．（1）已知，且为第二象限角，求，的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系与商数关系即可求解； （2）化为齐次式，进而化为的代数式可求值. 【详解】（1）因为，且为第二象限角，所以， 所以； （2）. 5．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，， 又，， 解得，， 所以. 6．已知为第二象限角，且，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】先化简原式，可得，即可根据同角关系求解. 【详解】， 由于为第二象限角，故， 则， 故，则，得， 因为，所以， 因为，所以. 故答案为： 题型八 sinα·cosα、sinα±cosα之间的关系 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用，实现与的转化求值即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 所以，所以，所以， 又因为， 所以， 所以. 故选：B. 2．已知，，则（   ） A．2 B． C．2或 D．-2 【答案】A 【详解】因为，① 所以， 解得，又， 所以， 又， 所以，② 联立①②解得， 所以. 3．已知，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两边平方得解； （2）先求的平方，再开方得解. 【详解】（1）将平方得， 解得， 即，即． （2）， ． 4．已知，，求的值． 【答案】答案见解析 【分析】两边平方，化简得，从而化简，即可得，联立方程组得到，进而得. 【详解】， ， ． ， ， ，且， ， ， 由，得， 所以， 综上，，，，. 5．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合平方关系可得，，结合任意角三角函数值的符号运算求解； （2）根据题意结合（1）的结果列方程求，进而可得. 【详解】（1）因为， 即，解得， 则， 又因为，且， 则，，可得， 所以. （2）由（1）可知，解得， 所以． 6．已知，，则______. 【答案】/ 【分析】根据条件确定，，再结合关系求结论. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 故答案为：, 题型九 齐次式的应用 1．若，则的值为______. 【答案】2 【分析】利用弦化切的方法化简求值. 【详解】根据题意，， 则. 故答案为：2 2．已知角终边上一点，则______． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求出，利用商数关系将齐次式化为的形式后求解即可 【详解】因为点为角终边上一点，所以， 所以. 故答案为：. 3．若，则的值为________. 【答案】2 【分析】利用同角三角函数之间的基本关系计算即可. 【详解】， 则的值为2. 故答案为：2. 4．已知，则_____________ 【答案】 【分析】利用平方关系以及商数关系弦化切可求三角函数式的值. 【详解】. 故答案为：. 5．已知，则 （1）______． （2）______． 【答案】 1 1 【详解】（1）； （2） . 6．若，则的值为（   ） A． B． C． D．－2 【答案】A 【分析】根据题意，得到，把所求式化为“齐次式”，代入计算，即可求解. 【详解】由，可得， 则 题型十 诱导公式 1．（1）已知，求的值． （2）若是第三象限角，且，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用诱导公式及正余弦齐次式法求解. （2）利用诱导公式及平方关系求解. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由是第三象限角，得， 则，而， 于是， 所以. 2．已知． (1)化简 (2)若a是第二象限角，且，求的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助诱导公式计算后化简即可得； （2）利用同角三角函数基本关系计算可得，再利用诱导公式计算即可得； （3）利用诱导公式计算即可得. 【详解】（1）； （2）a是第二象限角，且，， 则； （3），． 3．在平面直角坐标系中，角的终边经过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义计算求解； （2）先利用诱导公式化简所求式，再代入计算求解． 【详解】（1）已知角的终边经过点，根据三角函数的定义： ， ． （2） ． 4．已知，则__________． 【答案】 【详解】， 因为， 所以， 因为， 所以. 5．______． 【答案】－1 【分析】利用诱导公式化简计算即可. 【详解】解：原式 故答案为：. 6．若，则_____________. 【答案】 【详解】. 因为，所以. 题型十一 已知正弦、余弦或正切值求角 1．方程的解集为__________． 【答案】 【分析】通过移项、化简得到正弦函数的表达式，再结合给定区间求解的值. 【详解】由，化简得， 根据正弦函数的性质，时，（）或（），即（）或（）， 因为， 所以，当时，或； 当时，或； 当时，（超出范围，舍去），同理时也超出范围，故舍去. 故答案为：. 2．已知，且，则______． 【答案】或 【分析】先根据求出内的解，再利用正切函数的周期性，得到内的解. 【详解】时，． 所以时，． 故x的值为：或. 3．函数在内的零点为_______ 【答案】 【分析】令求出方程的解，再结合的范围确定函数零点. 【详解】令，即，即， 解得， 因为，所以当时，符合题意. 故答案为： 4．下面有四个命题： ①若点为角的终边上一点，则； ②同时满足，的角有且只有一个； ③如果角满足，那么角是第二象限的角； ④满足条件的角的集合为. 其中真命题的序号为________. 【答案】④ 【分析】①根据正弦函数定义求正弦值判断；②注意任意角定义即可判断；③直接判断角所在象限即可；④根据正切值及任意角定义求角即可判断. 【详解】①若点为角的终边上一点，（注意参数a的符号不确定），假命题； ②同时满足，，只要终边与相同的角都满足，假命题； ③如果角满足，那么角是第三象限的角，假命题； ④满足条件的角，，真命题. 故答案为：④ 题型十二 逆用和差公式化简、求值 1．计算：____________． 【答案】1 【分析】利用两角和差的正切公式化简即可. 【详解】， 又， 故上式化为. 故答案为： 2．的值为______. 【答案】 【分析】先根据切化弦、诱导公式转化，再根据两角差的正弦公式逆用可求得结果. 【详解】 . 故答案为： 3．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 4．计算的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式及逆用余弦的和角公式求解. 【详解】 ． 故选：B 5．的值等于（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】结合诱导公式根据余弦的和差公式求解即可. 【详解】 . 故选：C 6．下列四个选项中，计算结果是的选项为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数诱导公式与和差角公式，逐一计算即可. 【详解】对于A：， 故A错误； 对于B：， 故B错误； 对于C：， 故C错误； 对于D：由， 代入得：， . 故D正确. 故选：D 题型十三 利用和、差角公式化简、求值 1．已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】锐角满足，所以,, 则, 因为，所以 2．（1）已知，，，求的值． （2）已知，，求，，． 【答案】（1）；（2），， 【分析】（1）根据的范围求出和的范围，利用平方关系求出和的值，将求转化为求，利用两角和的正弦公式求解； （2）将求转化为求，利用两角和的正切公式求解；将求转化为求，利用两角差的正切公式求解；利用两角和的正切公式求即可. 【详解】（1）， ，． 又， ，． ，． ． （2） ， ， ． 3．已知是第二象限角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 又，， 因为是第二象限角，所以，， 所以，， 所以. 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 又因为， 联立，解得. 可得 . 5．已知均为锐角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 又为锐角，，则. （2）由题意知： . 6．（1）已知，， ，若，求的值． （2）已知，是方程的两根，且，，求． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用角的变换：，然后由正弦公式展开后求得，再根据角的范围得结论； （2）利用韦达定理求得，并确定角的范围后得结论. 【详解】（1）由，得， 则， 整理得， 由，，得，， 则，即， 所以，又，， 所以，则． （2）因为，是方程的两根，所以， ，所以，，又，， 所以，，所以． 又， 所以． 题型十四 二倍角公式应用 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式及两角差的正弦公式求得，再根据二倍角公式即可求解． 【详解】因为 ， 所以． 2．已知，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由两角和的正切公式可得正切值，再由二倍角公式及齐次式化切可得. 【详解】根据正切和角公式：, 得,即. 又因为,即. 3．已知，则的值为___________． 【答案】 【分析】两边平方，利用同角三角函数的平方关系，求出的值，结合的符号，进而确定的符号和值，再结合二倍角余弦公式即得. 【详解】展开得，即， 因为 且， 所以，即 ，故， 因此， 因为，所以， 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系求出，再根据三角恒等变换即可求出答案. 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 所以. 5．已知，则_______ 【答案】 【分析】根据诱导公式及二倍角公式转化求解即可. 【详解】，则，有， ，解得. 6．（1）已知，化简． （2）证明：． 【答案】（1）0；（2）证明见解析 【详解】（1）由，得，， 所以 ． （2）证明：左边 右边． 所以． 题型十五 降幂公式与辅助角公式的应用 1．的值为_____. 【答案】 【分析】根据降幂公式，结合和差化积公式，即可化简求值. 【详解】 而， ， 所以原式. 故答案为： 2．已知角满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用降幂扩角公式及和差角的余弦公式求解. 【详解】角满足， 则 . 故选：D 3．已知，则__________. 【答案】/ 【分析】先根据平方关系求出，再利用降幂公式和二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】， . 故答案为：. 4．计算求值： (1)； (2)已知，均为锐角，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）发掘角关系再利用诱导公式，降幂公式化简求值即可. （2）先将用来表示，代入，利用两角和差公式求解即可. 【详解】（1） （2）∵、都为锐角，∴， 又， ∴， ， ∴ . 5．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 6．把下列各式化成的形式. (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) 【答案】(1) (2) (3)且 (4)且 (5) (6) (7) 【分析】（1）（2）（3）（4）均可根据辅助角公式（其中）直接转化即可； （5）先利用倍角公式将解析式进行降幂处理，再结合辅助角公式即可转化的形式； （6）先利用两角和与差的正弦公式将解析式转化成形式再利用辅助角公式进行转化即可； （7）先利用两角和的正弦公式将解析式中的转化成形式，再利用利用倍角公式将得到的解析式中的二次项进行降幂处理得到一次项，再将得到的一次项部分根据辅助角公式进行转化即可得解. 【详解】（1）因为，所以. （2）. （3）因为，所以， 其中满足，. （4）因为，所以， 其中满足，. （5），即. （6） . （7） . 7．已知函数． (1)求； (2)若，，求角． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）化简，再代入求解即可； （2）根据列出关于的等式求解即可． 【详解】（1） ， 所以． （2）由，得，整理得， 由，得， 所以，即． 8．将下列各式化为的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式化简； （2）利用两角和的正弦公式和辅助角公式求解. 【详解】（1） ． （2） ． 题型十六 半角公式与和差化积、积化和差公式的应用 1．求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据积化和差公式化简计算即可； （2）根据积化和差公式化简计算即可； （3）根据和差化积公式化简计算即可. 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． 2．化简求值 (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先通过提取公因式，利用二倍角余弦公式与积化和差公式化简分子，再利用诱导公式化简分母，最后代入分子分母计算即得； （2）先利用诱导公式，同角三角函数关系式以及辅助角公式化简分子，再利用二倍角的正余弦公式化简分母，最后代入分子分母计算即得. 【详解】（1）原式分子： 分母： 则原式. （2）原式分子： = 分母： 则原式. 3．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用积化和差公式，结合诱导公式化简可得. 【详解】. 故选：B. 4．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据半角公式及角的范围求解即可. 【详解】由半角公式可知，， 又， 所以，所以. 故选：B 5．已知，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据半角公式得，所求式子可化为，代入即可求出答案. 【详解】因为， 所以， ， 故选：A. 6．_____. 【答案】 【分析】先进行切化弦，逆用二倍角的正弦公式可化为，再根据积化和差、和差化积化简计算. 【详解】 . 故答案为： 7．已知，，则____________. 【答案】 【分析】利用已知条件判断的范围，再利用半角公式即可求出. 【详解】因为，，则， 则由半角公式，得. 故答案为：. 题型十七 利用正余弦定理解三角形 1．在中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合余弦定理即可求解． 【详解】由余弦定理可得 ，故． 2．在中，，，，则________． 【答案】/ 【分析】根据条件，利用余弦定理求得，再由平方关系，即可求解. 【详解】因为，，，由余弦定理得， 所以. 3．在中，，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出，结合三角形的内角和定理得到的值，从而得到的值． 【详解】因为，，， 由正弦定理得， 得， 所以或，经检验，均满足题意． 当时，由三角形的内角和定理得； 当时，由三角形的内角和定理得． 因此或． 故选：B. 4．在中，已知，，，则__________． 【答案】 【分析】应用同角三角函数关系求出，再应用两角和正弦公式及正弦定理计算求解． 【详解】在中，， ，． ，． ． 由正弦定理知， ． 故答案为： 5．在中，已知三边之比为，则该三角形的最小角的余弦值为______________． 【答案】/0.875 【详解】 因为三角形三边之比为， 所以可设三边长分别为， 根据三角形大边对大角、小边对小角的性质可知， 对应的角即为该三角形的最小角， ． 6．在中，若，，，则______． 【答案】2 【分析】由正弦定理得到方程求解即可. 【详解】由正弦定理知，，即，解得. 题型十八 正余弦定理的边角互化 1．在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】中，，则， 又，则， 由，可得，代入， 则有，则，则， 又，则的形状是等边三角形. 2．在非直角中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，是角的内角平分线，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理、余弦定理将已知关系式进行化简得到， 再由等面积法得到，由二倍角公式得的值. 【详解】由已知和正弦定理得， 则， 为非直角三角形，，， ， ， 即， 又， 所以， ，， ，， ． 故选：A. 3．在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦二倍角公式即可判断. 【详解】在中，， ∴由正弦定理，得． 又，，． ，即，即， 因为， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 4．设的内角，，所对的边长分别为，，，若，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理化边为角，利用两角和的正弦公式，结合同角三角函数商数关系即可求解. 【详解】因为，由正弦定理化边为角可得， 因为， 所以， 整理可得，所以，即，所以. 5．在中，角的对边分别是，若，则__________． 【答案】2 【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得，再由正弦定理可得，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理，可得， 所以，又因为，所以， 所以，又由正弦定理，可得，即， 因为，所以． 6．已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则为______. 【答案】 【分析】利用正弦定理和余弦定理可得，再利用辅助角公式可得出，可求出. 【详解】由正弦定理得，因此可知， 代入余弦定理，得， 同除以得，即，其中， 当且仅当，即时，等号成立； 故，即，因此. 题型十九 三角面积公式的应用 1．已知内角A，B，C所对边分别为a，b，c，该三角形外接圆半径为，面积为.若，，则______. 【答案】2 【分析】先应用二倍角正弦公式结合两角和正弦公式化简，再应用正弦定理及三角形面积公式计算求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 故， 即， 所以， 又由正弦定理及三角形面积公式，可得， 又因为，所以，解得. 2．在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，，，且，则的面积为______. 【答案】/ 【分析】先根据正弦定理和三角变换公式求得，再求出，最后根据面积公式可求. 【详解】由及正弦定理可得，又， 所以， 由知，故，所以，即， 所以，， 所以. 3．记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以 4．记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理以及余弦的和差角公式可得，进而根据诱导公式以及辅助角公式得，根据三角函数的有界性得，即可求解角的大小，即可得解. 【详解】由题意及正弦定理，得， 又，所以，则， 因为， 所以， 所以， 又，所以， 所以，又， 所以当且仅当时，， 又，且，所以，， 所以，则， 故的面积． 故选:C 5．在中，. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可求得，由同角三角函数的平方关系，可得，由可求得； （2）由同角三角函数的平方关系，求得，根据正弦定理求得，最后由三角形的面积公式求出的面积. 【详解】（1）由，得，解得. 此时，所以. 于是. （2）由，得. 由正弦定理得，可得. 所以的面积. 6．中，角，，所对的边分别为，，且． (1)若，求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对题设进行边化角处理，接着转化角A代入即可求出的值； （2）根据面积公式可求答案. 【详解】（1）因为，则，即， 又，所以，即， 所以，即； （2）因为，， 所以. 题型二十 判断三角形形状以及解的个数 1．已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理，代入，，可得.根据满足条件的三角形有两解，结合正弦函数的性质得到关于的不等式，从而得到边长a的取值范围. 【详解】由正弦定理，得. 若满足条件，的三角形有两解，则，且，所以. 所以，所以. 故答案为：. 2．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】利用正弦定理得出，分析可知或，可得出关于的不等式或等式，即可解得的取值范围. 【详解】因为，，由正弦定理 得，即， 因为，要使三角形有唯一解， 所以或，所以或， 即或，解得或， 所以的取值范围为 故答案为：. 3．在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况. 【详解】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错； B选项，，所以三角形无解，故B错； C选项，，所以三角形有两个解，故C正确； D选项，，所以,三角形只有一个解，故D错. 故选：C. 4．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（   ） A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出的值，结合正弦函数的图像和三角形内角和得到结论. 【详解】，，，， ，， ，或 当时，，，不符合三角形内角和定理，故舍去， 则只有一个解，故此三角形只有一个解. 故选：B. 5．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求解. 【详解】由，， 所以， 由正弦定理有， 又由余弦定理有， 所以， 所以，即， 又，所以是直角三角形但不是等腰三角形. 故选：B. 6．在中，角A，B，C所对的边分别为，，设的面积为，若，则的形状为（    ）. A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据题意，求得，得到，由结合余弦定理，求得，进而得到且，即可求解. 【详解】由，可得，解得， 因为，所以， 又. 由余弦定理得，所以， 因为，所以，解得，则，可得， 所以，所以为等边三角形. 故选：C. 基础巩固通关测 1．圆心角为，半径为的扇形，其弧长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】转化为弧度制为，则弧长．C正确. 2．已知，则是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【详解】因为，故是第二象限角. 3．已知，则角是（   ） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第二、四象限角 D．第三、四象限角 【答案】B 【详解】由已知， 若，则是第一、二象限角；若，则是第三、四象限角. 若，则是第一、三象限角；若，则是第二、四象限角. 因为，所以与异号， 情况一：且，此时是第二象限角， 情况二：且，此时是第三象限角， 综上，角是第二、三象限角. 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用，实现与的转化求值即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 所以，所以，所以， 又因为， 所以， 所以. 故选：B. 5．已知，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】． 6．已知，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】由，得，而， 因此，解得， 所以. 7．已知，则__________． 【答案】 【详解】， 因为， 所以， 因为， 所以. 8．已知，则__________． 【答案】1 【分析】利用齐次化思想化简求值. 【详解】由题意得，. 故答案为： 9．已知，则__________. 【答案】 【详解】对展开并整理得： , , , , , , 所以, 所以. 10．求值：___________． 【答案】 【详解】 . 11．在中，角，，所对的边分别为，已知，． (1)求的值； (2)若，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式，利用等积法求解即可． 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得， 得到，故. （2）由（1）可知，因为，所以，， 设边上的高为h，则，可得，   故边上的高为． 12．在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，是线段上一点，且. (1)求角； (2)若，平分，求. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可得，故可求； （2）由三角形面积公式结合余弦定理可得关于的方程，求出其解后结合角平分线的性质可求. 【详解】（1）由条件，利用正弦定理可得， 因为，所以， 代入上式：， 整理得：，又， 故即，又，所以. （2）由三角形面积公式知，可得， 又，由余弦定理，得， 于是可得或. 因为平分，由角平分线性质，， 且，所以 故的长度为或. 13．已知的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若外接圆的半径为，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，进而得； （2）根据正弦定理得，再结合余弦定理得，最后计算面积即可. 【详解】（1）解：设外接圆的半径为，则， 因为， 所以，即， 因为，， 所以， 因为，， 所以，即， 因为，所以. （2）解：因为外接圆的半径为，， 所以， 因为，， 所以，解得， 所以的面积为 14．求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角差的三角公式化简可得所求代数式的值； （2）利用二倍角的正弦公式、辅助角公式化简可得所求代数式的值. 【详解】（1）原式 . （2）原式. 15．（1）已知，求的值． （2）若是第三象限角，且，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用诱导公式及正余弦齐次式法求解. （2）利用诱导公式及平方关系求解. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由是第三象限角，得， 则，而， 于是， 所以. 16．已知中，内角的对边分别为，且满足. (1)若，求的值； (2)求角的最大值，并判断此时的形状. 【答案】(1) (2)，等边三角形 【分析】（1）利用正弦定理导出； （2）用余弦定理结合基本不等式可求出角最大值，再根据等号成立条件判断三角形形状. 【详解】（1）中，由正弦定理得 （2）中，由余弦定理得，当且仅当时，等号成立， 的最大值为，此时基本不等式等号成立，即， 为等边三角形. 能力提升进阶练 1．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则． 因为，所以， 所以. 2．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，可得．又， 所以，所以． 所以． 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由商数关系得，再应用和差角正弦公式求函数值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以． 4．已知方程的两根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由题设及韦达定理可得，然后由二倍角正切公式可得答案. 【详解】由题可得，则，且. 又，则，所以. 则. 5．已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式、两角和的正切公式以及基本不等式求解即可. 【详解】因为，由正弦定理得：， 又，则，所以， 即, 所以， 由，则， 因为为边长，所以，所以， 所以角为钝角，，所以角为锐角即，此时， 所以由， 所以， 即， 因为，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为. 6．若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，则两点的距离为___________m 【答案】 【分析】分析出与均为等腰三角形，结合余弦定理求解长即可. 【详解】如图，设与的交点为，则由题知为等腰三角形，所以， 又因为，所以，为等腰三角形，则， 又,所以，所以. 设，因为，所以，所以， 在中，由正弦定理可知，解得， 在中，由余弦定理可得, 代入、，有，代入 化简可得. 7．在凸四边形中，，，，，则AC的最大值为______． 【答案】 【详解】由题意如图所示： 在中，设，由，则，又， 根据余弦定理有：， 即，解得：， 所以，所以， 设，则， 在中，， 根据余弦定理有：， 化简得：， 在中，由正弦定理得：， 在中，由余弦定理得： ， 当时，有最大值，所以的最大值为：. 8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求a的值； (2)求的值； (3)过点A作，D在边上，记与的面积分别为，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）利用余弦定理直接求解. （2）利用正弦定理、二倍角公式及和角的正弦公式求解. （3）利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求解. 【详解】（1）因为，，， 由余弦定理，得， 解得． （2）由正弦定理，得，即， 因为B为锐角，所以， 则，， 所以． （3）因为，即，所以， 则． 设点A到直线的距离为d， 因为，，所以． 9．如图，线段都垂直于线段，， (1)求线段的长度； (2)点为线段上一个动点且点与点、点不重合，当长为多少时，最大？ 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）如图，作，设，由题设及正弦定理可得，据此可得答案； （2）设，其中，可得，，由基本不等式知识可得最小值，据此可得答案. 【详解】（1）如图，作，设，则. 因，则，又， 则，.又，则. 又，则. 由正弦定理：， 得： ，则； （2）设，其中 . 则，， ，令， 则， ，当且仅当时取等号. 则此时最小，从而最大. 10．设的三个内角所对应的边分别为． (1)若且，求角； (2)若非中，，为中点，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）先化简等式，然后利用余弦定理求出，进而求出结果. （2）根据正弦定理和三角形面积公式计算即可. 【详解】（1） ， 当，即 当，即，矛盾，舍. 综上所述：. （2），由正弦定理得，即或（舍）， 由中线长定理得， ，， ， 当且仅当即时，面积取到最大值为6． 11．如图，中，角的对边分别为. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知，，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和定理，展开后求解； （2）先根据向量关系得到角之间的关系，再利用三角函数的两角和公式化简，最后根据角的范围求出其取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以， 化简得，即，解得； （2）因为， 所以在的延长线上， 如图，故， 所以 . 因为，所以， 解得， 所以的取值范围为. 12．（1）已知，求； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）2（2） 【分析】（1）利用诱导公式化简分子、分母，再计算求解； （2）先判断象限角求出相应正弦、余弦值，再利用余弦差角公式计算，最后根据角的区间范围求解． 【详解】（1）， 又，故， ； （2）已知，且， 位于第四象限，故， 位于第二象限，故， ， ， ，则， ， ， 故，． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 三角（复习讲义） 1、了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期，初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性，能够利用函数的周期性求值. 2、了解任意角的概念，理解象限角的概念，掌握终边相同的角的含义及其表示. 3、了解角的另外一种度量方法——弧度制，能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算，掌握弧度制中弧长公式和扇形的面积公式. 4、了解单位圆与正弦函数、余弦函数的关系，掌握任意角的正弦函数、余弦函数定义，掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号. 5、理解同角三角函数的基本关系式，会运用以上两个基本关系式进行求值、化简、证明. 6、了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用，理解诱导公式的推导过程，能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题. 7、推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义，能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式. 8、能运用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的化简、求值. 9、能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值. 10、能通过两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系，能利用公式进行简单的应用. 11、能运用两角和与差的正弦、余弦公式及二倍角公式等进行简单的恒等变换，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明. 12、掌握余弦定理，能够利用余弦定理解决有关问题. 13、掌握余弦定理，能够利用余弦定理解决有关问题. 14、利用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离的测量问题. 15、能运用正弦定理、余弦定理解决测量角度的实际问题. 一、任意角与度量 知识点1　周期函数的概念 一般地，对于函数y＝f，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f (x＋T)＝f (x)，那么函数y＝f (x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期． [特别提示]　(1)周期函数的周期不唯一．如果T是函数f (x)的周期，那么kT(k∈Z且k≠0)也是函数f (x)的周期． 知识点2　最小正周期 如果在周期函数y＝f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f (x)的最小正周期． 知识点3　角的概念 如图，角可以看成平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB所形成的图形．点O是角α的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边． 知识点4　按照角的旋转方向，分为如下三类 类型 定义 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角 知识点5　象限角 如果角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴的非负半轴，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限． 知识点6　终边相同的角 给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和． 知识点7　弧度制的定义 在单位圆中，长度等于1的弧所对的圆心角为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制． 知识点8　角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝≈57°18′ 知识点9　弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ l＝αr 扇形的面积 S＝ S＝lr＝αr2 二、任意角的正弦、余弦、正切、余切 知识点1　任意角的正弦、余弦、正切、余切 我们将锐角置于平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限. 在角的终边上任取异于原点的一点，则点与原点的距离为过P作x轴的垂线垂足为M，则线段OM的长度为x，线段MP的长度为y. 锐角的正弦、余弦、正切及余切的定义 ，， ，. 这说明锐角的正弦、余弦、正切及余切可以用角的终边上点的坐标来定义. 这样，就可以对任意给定的角，定义其相应的正弦、余弦、正切及余切. 在任意角的终边上任取异于原点的一点，设其坐标为，并令，必有. 这样，就可以分别定义角的正弦、余弦、正切及余切为 ， ， （），（）. 【特别提醒】当（），即角的终边位于轴上，无意义；而当（），即角的终边位于轴上时，无意义. 知识点2　任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号 【特别提醒】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号：一全二正弦，三切四余弦 知识点3　单位圆 根据定义，角的正弦、余弦、正切及余弦值仅与角的大小有关，而与角的终边上的点的位置无关，因此我们可以用角的终边上到原点距离为1（）的点来确定角的正弦、余弦、正切及余切值. 半径为1个单位的圆称为单位圆. 本章中，如无特别说明，单位圆通常指在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心，以1为半径的圆. 设角的终边与单位圆的交于唯一的一点，则根据定义可知， ，. 因此，单位圆上点的坐标必可以写为（）. 知识点4　任意角的正弦、余弦、正切、余切基本关系 [特别提示]　角α应该使基本关系式有意义，即在平方关系：sin2α＋cos2α＝1中，角α是任意的角；在商数关系：tanα＝ 中，角α满足α≠＋kπ，k∈Z． 三、诱导公式 1.公式① sin(α+k·2π)=sin α(k∈Z)，cos(α+k·2π)=cos α(k∈Z)，tan(α+k·2π)=tan α(k∈Z). 2.公式② sin(-α)=-sin α，cos(-α)=cos α，tan(-α)=-tan α. 3.公式③ sin(π-α)=sin α，cos(π-α)=-cos α，tan(π-α)=-tan α. 4.公式④ sin(π+α)=-sin α，cos(π+α)=-cos α，tan(π+α)=tan α. 【特别提醒】诱导公式①~④的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”，其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所对应的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ+k∈Z. 5.诱导公式⑤ sin=cos α，cos=sin α. 6.诱导公式⑥ sin=cos α，cos=-sin α. 【特别提醒】诱导公式⑤~⑧的记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”，即±α±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号. 四、两角和与差的三角函数公式 知识点1　两角和与差的余弦公式 cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．(Cα＋β) cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．(Cα－β) (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角． (2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反． 知识点2　两角和与差的正弦公式 sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β．(Sα＋β) sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．(Sα－β) 知识点3　两角和与差的正切公式 (1)两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角 和的 正切 Tα＋β tan (α＋β) ＝ α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z) 两角 差的 正切 Tα－β tan (α－β)＝ α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z) 知识点4　辅助角公式 辅助角公式：一般地，当a，b不同时为0时，a sin α＋b cos α＝， 根据Sα＋β引入辅助角φ，使得＝cos φ，＝sin φ，所以a sin α＋b cos α＝(a，b不同时为0)． 其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由sin φ和cos φ的值确定，也就是由tan φ＝来确定． 五、二倍角的三角函数公式 知识点1　二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α， (S2α) cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α， (C2α) tan2α＝．(T2α) 知识点2　二倍角公式的变形 (1)公式的逆用 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α， cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α． (2)二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α， 1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2． 降幂公式 cos2α＝，sin2α＝ 六、三角变换的应用 知识点1　半角公式 (1)sin (2)cos (3)tan ＝±． 知识点2　积化和差公式与和差化积公式 积化和 差公式 sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)] cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)] cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)] sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)] 和差化 积公式 sin θ＋sin φ＝2sin cos sin θ－sin φ＝2cos sin cos θ＋cos φ＝2cos cos cos θ－cos φ＝－2sin sin 七、正弦定理 知识点1　三角形的面积公式 (1)S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)． (2)S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (3)（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径 ） (4)，其中 知识点2　正弦定理 语言 表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号 表示 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) 变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝ 作用 实现三角形边与角的互化 八、余弦定理 知识点1　余弦定理 语言 表述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍． 符号 表示 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝a2＋c2－2ac cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C． 推论 cos A＝； cos B＝； cos C＝． 作用 实现三角形边与角的互化 知识点2　实际问题中的有关术语 名称 定义 图示 仰角与 俯角 在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α 方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°．如图，∠ABC为北偏东60°或东偏北30° 题型一 任意角的概念 1．下列结论： ①三角形的内角必是第一、二象限角； ②始边相同而终边不同的角一定不相等； ③小于的角是第一象限角； ④钝角比第三象限角小； ⑤小于的角是钝角、直角或锐角. 其中正确的结论为_____________（填序号）. 2．下列命题中正确的是（    ） A．终边在y轴的非负半轴上的角一定是直角 B．第二象限角一定是钝角 C．第四象限角一定是负角 D．始边相同而终边不同的角一定不相等 3．已知角，则角为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．已知角的终边在如图所示的涂色部分表示的范围内（不包括边界），则角用集合可表示为________．    5．（1）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角； （2）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.    6．与角终边相同的最小正角是_____________角；与角终边相同的最大负角是_____________角． 题型二 确定已知角所在象限 1．若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．下列说法正确的是（   ） A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角 C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角 3．已知角是第三象限角．求： (1)角是第几象限的角． (2)角终边的位置． 4．若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第四象限角 D．第一象限或第二象限或第四象限角 5．是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 6．下列说法正确的是（   ） A．角和角是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在y轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 题型三 角度与弧度转化 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．与终边相同的角所构成的集合是（    ） A． B． C． D． 3．请将下列各角在角度和弧度之间互化： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（   ） A． B． C． D． 5．如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合． (1)终边落在射线上； (2)终边落在直线上； (3)终边落在阴影区域内（含边界）． 6．把下列各角的角度化成弧度、弧度化成角度，并指出各角所在象限： (1)； (2)； (3). 题型四 扇形的弧长与面积 1．已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（1）已知扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数． （2）一个扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积． 3．已知扇形的圆心角为，半径为r． (1)若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； (2)若扇形的周长是定值，求扇形的最大面积及此时的值； (3)若扇形的面积是定值，求扇形的最小周长及此时的值． 4．扇形圆心角为，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为（   ） A． B． C． D． 5．圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环ABCD的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为___________ 6．已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若，，求扇形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 题型五 利用定义三角函数值 1．已知角的终边在直线上，求的值． 2．（1）已知角的终边过点，求的值． （2）已知终边上一点，且，求的值． 3．已知角的终边过点，且，则________，________ 4．已知角的终边上一点，且． (1)求的值； (2)求． 5．已知α的终边经过点，且，则＝（　　） A． B． C． D．2 6．已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求． 题型六 三角函数值的符号判断 1．点在第二象限，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．“”是“角为第二象限角”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知点在第三象限，则角在第几象限（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 5．已知且，则为第________象限角． 6．已知是第四象限的角，则点在第______象限． 题型七 已知正（余）弦、弦（切）求余（正）弦、弦（切） 1．已知 则是 的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．已知，则（   ） A． B．2 C．2或 D．不确定 3．已知，且在第一象限，则______． 4．（1）已知，且为第二象限角，求，的值； （2）已知，求的值． 5．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 6．已知为第二象限角，且，则的值为__________． 题型八 sinα·cosα、sinα±cosα之间的关系 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则（   ） A．2 B． C．2或 D．-2 3．已知，求： (1)； (2)． 4．已知，，求的值． 5．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 6．已知，，则______. 题型九 齐次式的应用 1．若，则的值为______. 2．已知角终边上一点，则______． 3．若，则的值为________. 4．已知，则_____________ 5．已知，则 （1）______． （2）______． 6．若，则的值为（   ） A． B． C． D．－2 题型十 诱导公式 1．（1）已知，求的值． （2）若是第三象限角，且，求的值． 2．已知． (1)化简 (2)若a是第二象限角，且，求的值． (3)若，求的值． 3．在平面直角坐标系中，角的终边经过点． (1)求的值； (2)求的值． 4．已知，则__________． 5．______． 6．若，则_____________. 题型十一 已知正弦、余弦或正切值求角 1．方程的解集为__________． 2．已知，且，则______． 3．函数在内的零点为_______ 4．下面有四个命题： ①若点为角的终边上一点，则； ②同时满足，的角有且只有一个； ③如果角满足，那么角是第二象限的角； ④满足条件的角的集合为. 其中真命题的序号为________. 题型十二 逆用和差公式化简、求值 1．计算：____________． 2．的值为______. 3．的值为（   ） A． B． C． D． 4．计算的值为（   ）． A． B． C． D． 5．的值等于（   ） A．0 B． C． D． 6．下列四个选项中，计算结果是的选项为（） A． B． C． D． 题型十三 利用和、差角公式化简、求值 1．已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（1）已知，，，求的值． （2）已知，，求，，． 3．已知是第二象限角，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知均为锐角，且. (1)求的值； (2)求的值. 6．（1）已知，， ，若，求的值． （2）已知，是方程的两根，且，，求． 题型十四 二倍角公式应用 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则=（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为___________． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则_______ 6．（1）已知，化简． （2）证明：． 题型十五 降幂公式与辅助角公式的应用 1．的值为_____. 2．已知角满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则__________. 4．计算求值： (1)； (2)已知，均为锐角，，，求的值． 5．（   ） A． B． C． D． 6．把下列各式化成的形式. (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) 7．已知函数． (1)求； (2)若，，求角． 8．将下列各式化为的形式： (1)； (2)． 题型十六 半角公式与和差化积、积化和差公式的应用 1．求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 2．化简求值 (1) (2) 3．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 4．若，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A．0 B． C． D． 6．_____. 7．已知，，则____________. 题型十七 利用正余弦定理解三角形 1．在中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 2．在中，，，，则________． 3．在中，，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 4．在中，已知，，，则__________． 5．在中，已知三边之比为，则该三角形的最小角的余弦值为______________． 6．在中，若，，，则______． 题型十八 正余弦定理的边角互化 1．在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．在非直角中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，是角的内角平分线，且，则等于（   ） A． B． C． D． 3．在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．设的内角，，所对的边长分别为，，，若，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．在中，角的对边分别是，若，则__________． 6．已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则为______. 题型十九 三角面积公式的应用 1．已知内角A，B，C所对边分别为a，b，c，该三角形外接圆半径为，面积为.若，，则______. 2．在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，，，且，则的面积为______. 3．记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 4．记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 5．在中，. (1)求； (2)若，求的面积. 6．中，角，，所对的边分别为，，且． (1)若，求的值； (2)若，求的面积． 题型二十 判断三角形形状以及解的个数 1．已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 2．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为________. 3．在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 4．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（   ） A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 故选：B. 5．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 6．在中，角A，B，C所对的边分别为，，设的面积为，若，则的形状为（    ）. A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 基础巩固通关测 1．圆心角为，半径为的扇形，其弧长为（ ） A． B． C． D． 2．已知，则是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．已知，则角是（   ） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第二、四象限角 D．第三、四象限角 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A．4 B．2 C． D． 6．已知，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 7．已知，则__________． 8．已知，则__________． 9．已知，则__________. 10．求值：___________． 11．在中，角，，所对的边分别为，已知，． (1)求的值； (2)若，求边上的高． 12．在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，是线段上一点，且. (1)求角； (2)若，平分，求. 13．已知的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若外接圆的半径为，且，求的面积. 14．求值： (1)； (2)． 15．（1）已知，求的值． （2）若是第三象限角，且，求的值． 16．已知中，内角的对边分别为，且满足. (1)若，求的值； (2)求角的最大值，并判断此时的形状. 能力提升进阶练 1．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（     ） A． B． C． D． 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知方程的两根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D．或 5．已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（   ） A． B． C． D．3 6．若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，则两点的距离为___________m 7．在凸四边形中，，，，，则AC的最大值为______． 8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求a的值； (2)求的值； (3)过点A作，D在边上，记与的面积分别为，，求的值． 9．如图，线段都垂直于线段，， (1)求线段的长度； (2)点为线段上一个动点且点与点、点不重合，当长为多少时，最大？ 10．设的三个内角所对应的边分别为． (1)若且，求角； (2)若非中，，为中点，且，求面积的最大值． 11．如图，中，角的对边分别为. (1)求； (2)若，求的取值范围. 12．（1）已知，求； （2）已知，且，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $