第9章 复数（单元自测·基础卷）数学沪教版必修第二册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高一数学单元自测 第9章复数基础通关（参考答案） 一、填空题（本大题共12小题，第1~6题，每题4分，第7一12题，每题5分，共54分.在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.1 2.3 3.(2,1) 4.2 5.9 6.(0,2 1.1 8.2 9.2 10.（-3,-2) 11.5 12.3 二、选择题（本大题共4小题，第13~14题，每题4分，第15~16题，每题5分，共18分.把答案填在 题中横线上) 13 14 15 16 C C A 三、解答题（本大题共5小题，共78分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分14分) 【1因为：0'子点 y1+2i) y+21i=y+2y 1-2i(1-211+2i11-4i255, 所以的++， 25 5 51+315+15i=1+3i 又因为1-3i(1-311+311-92-22, +y=1 252 所以 x+2y=3' 2+5=2 x=-1 解得y=5, 113 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故x,y的值分别为-1,5 18.(本小题满分14分) 【解】(1)若是实数，则有㎡-4m+3=0, 解得m13 或； m2-8m+15=0,「m=3或5 (2)若2是纯虚数，则有1m2-4m+3≠0 (m≠3且m≠1→m=5 19.(本小题满分14分) .'z=1+mi,.∴.z=1-mi,∴.z.(3+i)=(1-mi)(3+i)=(3+m)+(1-3m)i 【解】(1) 3+m=0 :z(3+)为纯虚数， 1-3m≠0，解得m=-3, 故2=1-3i,则2VP+(-3)=10 (2)i12027=i4506+3=i=-i, :2a-i2027a+i(a+i01+30=a-33a+1i z1-3i1-3i)1+311010, ·复数对应的点在第二象限， a-3 <0 10 3a+1、 解得 >0 1 10 <a<3 3 故实数口的取国为兮司 20.(本小题满分18分) 【解】(1)3=(1+21(3-4=11+2i 0z=(12,0Z=(3,4,所以0Z0z=3-8=-5 (2)证明：0Z=(a,b),0Z,=(c,d,所以OZ·oZ=ac+bd,oZ·0Z=(ac+bd2, z=(ac-bd)+(ad+be)i=(ac-bd)'+(ad+be)2 2/3 6学科网 单元速记·巧练 wWw⊙O掌科网0.M吐好课 www.zxxk.com 知识归纳梳理上测试瑰固提升 a-oZ0Z=(ad-bc'≥0，所以oz0Zs, 当d=6c时取等号，此时OZ/0Z」 21.(本小题满分18分) 【解】(1)依题意，0=一2+之 +51=cos2经+isin2头-e号 3 3 所以o02=(e)m4=ey=cos4048r+isin4048m 2π .4048元 3 3 =cos4红+isin4红-1-3 3 322 (2)=r(cose+isine)(r) (cos0+isim)(cos60+isin0)=1 故rcos60=1,r°sin60=0,故r-1,cos60=l,sin60=0 故0=2红eZ:解符0-停eZ, 由终边相同的角的点义。取4=0儿245：则对应的0纸次为心号子号子。 因此对应的x依次为2 2 片-9片5号9 313………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第9章 复数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数，其中为虚数单位，则 ． 2．若 （其中 为虚数单位），则 3．复数（其中i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为 ． 4．已知复数满足，则= ． 5．已知复数，其中为虚数单位，则 ． 6．已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积大于0， 则实数的取值范围是 . 7．若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 . 8．若关于的方程的一个虚根的模为2，则实数的值为 ． 9．设，且，与（其中是虚数单位）在复平面上对应的点分别为与，则线段的长度为 ． 10．设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为 ； 11．设复数满足与均为实数（为虚数单位），则的值为 . 12．已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则 . 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 14．如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 15．复数，在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 16．若复数（为虚数单位），则（    ） A．在复平面对应的点位于第四象限 B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）已知实数x、y满足，求x、y的值. 18．（本小题满分14分）已知为虚数单位，，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值． 19．（本小题满分14分）已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数． (1)求实数m； (2)设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值． 20．（本小题满分18分）在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位. (1)， ，计算与； (2)设，（、、，），求证：，并指出向量、满足什么条件时取等号. 21．（本小题满分18分）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中r是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第9章 复数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数，其中为虚数单位，则 ． 【答案】 【解析】因为复数，所以，所以. 2．若 （其中 为虚数单位），则 【答案】 【解析】， 3．复数（其中i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为 ． 【答案】 【解析】， 复数在复平面内对应点的坐标为. 4．已知复数满足，则= ． 【答案】 【解析】由，得， 即：.所以 5．已知复数，其中为虚数单位，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以. 6．已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积大于0， 则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由复数，可得复数的实部为，虚部为， 因为复数的实部与虚部之积大于0， 可得，即，解得，所以实数的取值范围为. 7．若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 . 【答案】 【解析】因为为纯虚数，所以，解得， 8．若关于的方程的一个虚根的模为2，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】由方程，得，依题意得，即， 所以方程得两虚根为， 因为模为，所以，所以. 9．设，且，与（其中是虚数单位）在复平面上对应的点分别为与，则线段的长度为 ． 【答案】 【解析】设，则点，且， ，则点， 所以线段的长度为. 10．设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为 ； 【答案】. 【解析】因为复数在复平面内的对应点在第三象限， 则，所以 则x的取值集合为； 11．设复数满足与均为实数（为虚数单位），则的值为 . 【答案】 【解析】设，所以， ， 又因为与均为实数，所以，解得， 所以，所以， 所以，所以. 12．已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则 . 【答案】3 【解析】由得复数对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆， 因为表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为1， 则的最小值为， 而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为， 则的最小值为， 又因为的最小值与的最小值相同， 所以，，解得. 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图得，则， 所以，虚部为. 故选：C 14．如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为向量所对应的复数为，所以所对应的复数是. 故选：A. 15．复数，在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由，所以复数在复平面对应的点，所以点在第三象限， 故选：C. 16．若复数（为虚数单位），则（    ） A．在复平面对应的点位于第四象限 B． C． D． 【答案】A 【解析】 对于A，复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：A. 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）已知实数x、y满足，求x、y的值. 【解】因为， ， 所以， 又因为， 所以， 解得， 故，的值分别为，. 18．（本小题满分14分）已知为虚数单位，，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值． 【解】（1）若是实数，则有，解得或； （2）若是纯虚数，则有. 19．（本小题满分14分）已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数． (1)求实数m； (2)设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值． 【解】（1） 为纯虚数，，解得， 故，则． （2）， ， 复数对应的点在第二象限， ，解得， 故实数a的取值范围为． 20．（本小题满分18分）在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位. (1)， ，计算与； (2)设，（、、，），求证：，并指出向量、满足什么条件时取等号. 【解】（1）； ，，所以； （2）证明：，，所以，， ，， ，所以， 当时取等号，此时. 21．（本小题满分18分）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中r是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【解】（1）依题意，， 所以 . （2）设， 则， 故，故 故，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第9章 复数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数，其中为虚数单位，则 ． 2．若 （其中 为虚数单位），则 3．复数（其中i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为 ． 4．已知复数满足，则= ． 5．已知复数，其中为虚数单位，则 ． 6．已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积大于0， 则实数的取值范围是 . 7．若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 . 8．若关于的方程的一个虚根的模为2，则实数的值为 ． 9．设，且，与（其中是虚数单位）在复平面上对应的点分别为与，则线段的长度为 ． 10．设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为 ； 11．设复数满足与均为实数（为虚数单位），则的值为 . 12．已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则 . 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 14．如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 15．复数，在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 16．若复数（为虚数单位），则（    ） A．在复平面对应的点位于第四象限 B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）已知实数x、y满足，求x、y的值. 18．（本小题满分14分）已知为虚数单位，，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值． 19．（本小题满分14分）已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数． (1)求实数m； (2)设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值． 20．（本小题满分18分）在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位. (1)， ，计算与； (2)设，（、、，），求证：，并指出向量、满足什么条件时取等号. 21．（本小题满分18分）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中r是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $