专题02 复数的几何意义重难点题型专训（11大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第二册）

专题02 复数的几何意义重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 复数的坐标表示 题型二 复数的向量表示 题型三 求复数的模 题型四 由复数模求参数 题型五 在各象限内点对应复数的特征 题型六 实轴、虚轴上点对应的复数 题型七 判断复数对应的点所在的象限 题型八 根据复数的坐标写出对应的复数 题型九 根据复数对应坐标的特点求参数 题型十 复数加减法几何意义的运用 题型十一 与复数模相关的轨迹（图形）问题 知识点01 复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数与复平面内的点是一一对应的． （2）一个复数与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 知识点02 复数的模 1、定义：向量的r叫做复数的模或绝对值，记为|z|或|a＋bi|. 2、公式：． 3、几何意义：复数对应点到原点的距离． 知识点03 复数加、减法的几何意义 1、复数加法的几何意义 已知复数，， 其对应的向量，， 如图1，且和不共线，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2， 根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量， 而所对应的坐标是， 这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对． 2、复数减法的几何意义 复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数与向量等于）对应，这就是复数减法的几何意义． 【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差． （2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则． （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行． 拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：． 【经典例题一 复数的坐标表示】 【例1】（23-24高一下·上海松江·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直接利用复数模的几何意义求出点的轨迹．然后作图求解即可． 【详解】设在复平面内对应的点分别为， 因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示. 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1. 故选：A. 1．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）法国数学家佛朗索瓦·韦达最早发现了代数方程的根与系数之间的关系，因此人们把这个关系称为韦达定理，韦达定理也可用于复数系一元二次方程中，即这也是因式分解中的“十字相乘法”. 设 (为坐标原点)的三个顶点为复平面上的三点，它们分别对应复数， 且 则的面积为（   ） A．6 B．6 C．12 D． 【答案】A 【分析】根据题意可知知 是方程 的两根，再利用因式分解可得 ，即得 在复平面上的顶点坐标，即可求解. 【详解】 ， 根据韦达定理知 是方程 的两根， 因式分解可得方程两根为 ，不妨设 ， 则 在复平面上的顶点坐标为 ， 所以，故A正确. 故选 ：A. 2．（23-24高一下·上海金山·期中）在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，对应的点为点，则点与点之间距离的最小值 . 【答案】 【分析】根据题意可得点的轨迹方程是为为圆心，1为半径的圆，则将问题转化为与圆上的点的最小值，从而可求得结果. 【详解】设，则由，得 ， 所以， 所以对应的点为点的轨迹方程为， 即为为圆心，1为半径的圆， 因为对应的点为点， 所以点与点之间距离的最小值为 . 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知复数，其中. (1)设，若是纯虚数，求实数的值； (2)设，分别记复数、在复平面上对应的点为、，求与的夹角以及在上的数量投影. 【答案】(1)； (2)，3 【分析】（1）由，利用是纯虚数求解； （2）由，得到，，从而，，再利用在上的数量投影公式求解. 【详解】（1）解：， 因为是纯虚数， 所以且， 解得. （2）当时，， 故，； ，故，. 设，则， 所以， 所以在上的数量投影为. 【经典例题二 复数的向量表示】 【例2】（2025·上海长宁·一模）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义及复数的减法运算即可求解. 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以 所以向量对应的复数为. 故选：D. 1．（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）在复平面内，复数对应的向量，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量求得复数，从而可求其模. 【详解】由题意得，则． 故选：D． 2．（23-24高一下·上海青浦·期中）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ． 【答案】 【分析】运用复数几何意义，结合平面向量减法运算可解. 【详解】复数对应的向量分别是,则 .则向量对应的复数为. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知复数 (1)若在复平面内的对应点位于上，求的值； (2)若在复平面内的对应点位于第二象限，求的取值范围； (3)若为纯虚数，设，在复平面上对应的点分别为，，求向量在向量上的投影向量的坐标. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）求出及对应点的坐标，再列式求出值. （2）求出对应点的坐标，再列出不等式组求解. （3）利用复数的乘方，结合几何意义求出，再利用投影向量的意义求解. 【详解】（1）依题意，，则其在复平面内的对应点为， 由点位于直线，得，整理得， 所以或. （2）复数在复平面内的对应点为， 由点位于第二象限，得，解得， 所以的取值范围为. （3）由为纯虚数，得，解得，则，，， ，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 【经典例题三 求复数的模】 【例3】（2025·上海奉贤·模拟预测）若复数z使得为纯虚数，则（   ）. A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算及复数的概念、复数的模的定义运算即可. 【详解】设， 则， 所以，， 即，所以. 故选：B 1．（23-24高一下·上海静安·期中）已知复数，为虚数单位，则对于，的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据得，进而得到，结合模的计算公式求出，进而得到答案. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以当时，有最小值，最小值为， 故选：D. 2．（23-24高一下·上海·期中）已知、，若不等式的解集为，则（为虚数单位）的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据不等式的解集得到、的关系，再根据复数模的计算公式求解的取值范围． 【详解】根据题意，已知、，若不等式的解集为， 则在上，函数图像上的点要在函数上面. 分情况讨论， 当时，在上，时，，而，则直线上的点不可能一直在曲线上方，不合题意. 当，不等式的解集不为，不合题意， 所以若不等式的解集为，必有. 根据图像知道，在1处刚好取等即可，则， 可得． 令，这是一个二次函数，函数图象开口向上． 当时，． 所以， 综上所得， 的取值范围是． 故答案为：．    3．（山东省名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题）已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积． (1)试将写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值． (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，． 【答案】(1)，其中. (2)的最大值为3，最小值为0. (3)证明见解析 【分析】（1）根据复数三角形的定义可得复数的三角表示形式； （2）设，利用乘法的性质可得，根据余弦函数的性质可求最值； （3）利用题设复数三角形式的乘法结合复数的乘法可证三倍角公式. 【详解】（1）设， 则，故， 故，其中. （2）因为，故设， 故 ， 因为，故， 故的最大值为3，此时，最小值为0，此时. （3）设，则 ， 但 ， 故，. 【经典例题四 由复数模求参数】 【例4】（2025·上海嘉定·一模）已知复数，若，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得出，求出直线与圆的交点坐标，可知满足题设条件的点位于图中的弓形区域，计算出弓形区域的面积，结合几何概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由可得，即，如下图所示： 圆的圆心为，半径为， 联立可得或， 所以，直线交圆于原点、， 易知轴，则， 则图中阴影部分区域（即弓形区域）的面积为， 由题意可知，满足题设的点位于阴影部分区域， 由几何概型的概率公式可知，所求事件的概率为. 故选：A. 1．（23-24高一下·上海奉贤·期中）如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 【答案】D 【分析】首先根据复数的几何意义设出复数，再根据复数模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解. 【详解】由题图可知，，则， 解得（舍去）， 所以，，则向量在向量上的投影向量为， 所以其坐标为． 故选：D 2．（2024·上海静安·一模）已知复数的实部和虚部都不为0，满足①；②.则 ， .（写出满足条件的一组和） 【答案】 【分析】设，根据复数的乘除法运算，结合复数的模的计算公式，求出的关系即可. 【详解】设， 则， ， 由， 整理得，即， 所以， 可取， 所以. 故答案为：.（答案不唯一，只要满足即可） 3．（23-24高一下·上海普陀·期中）已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1). (2). (3)或. 【分析】（1）先算出表达式，实数虚部是，让虚部对应式子为求. （2）已知形式，按条件列不等式组，分别解不等式，取交集得范围. （3）由模的值列等式，两边平方去掉根号，展开合并得方程，因式分解求解. 【详解】（1）， 因为是实数，所以，解得. （2）因为，所以 解得，即的取值范围为. （3）因为，所以， 化简得， 解得或. 【经典例题五 在各象限内点对应复数的特征】 【例5】（23-24高一·全国·课后作业）在复平面内，复数， （i为虚数单位）对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为（    ） A． B．1 C．i D．i 【答案】A 【分析】先求解两个复数，根据复数的几何意义，得到在复平面所对应点的坐标，求得点在复平面内的坐标即可. 【详解】复数，故点在复平面的坐标为， 复数，故点在复平面的坐标为， 又点为线段的中点，故点在复平面内的坐标为， 故所对应的复数为. 故选：A. 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）关于复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若点Z的坐标为，则Z对应的点在第三象限 D．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为 【答案】D 【分析】取，计算模，可判断A;根据复数的几何意义结合向量的运算，可判断B;根据点的坐标特征可判断其所在象限，判断C;根据复数模的几何意义求得复数z对应的点所构成的图形面积，判断D. 【详解】对于A，取 ，则，故A错误； 对于B，，B错误； 对于C，点Z的坐标为，则Z对应的点在第二象限，C错误； 对于D，设，则由可知 ， 故复数z对应的点所构成的图形面积为 ，D正确， 故选：D. 2．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）已知复数列满足： ，，设复数在复平面中对应点．当无限增大时，点越来越趋近于一个确定的点，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用累加法可求得，再根据极限于复数的几何意义求解即可 【详解】因为，，故，，，…，，累加可得，因为当无限增大时，趋近于，故的坐标是 故答案为： 3．（24-25高一下·全国·课后作业）设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的表达式，根据为实数的条件求出的值，进而得到和，再根据向量与复数的对应关系求出向量对应的复数； （2）利用中点坐标公式求出中点对应的复数，最后根据复数的模的计算公式求出 【详解】（1）． 可与任意实数比较大小，为实数， ，解得．，， 向量对应的复数为． （2）的中点Z对应的复数为，． 【经典例题六 实轴、虚轴上点对应的复数】 【例6】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，构造方程得解. 【详解】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 1．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）在二项式的展开式中，含的项的系数是，那么复数在复平面上对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由在二项式的展开式中，含的项的系数是m，求得m，然后算出，的值，即可得到本题答案. 【详解】由题，得，因为含的项的系数是m，令，得，因为，，, 所以，，在复平面上对应的点的坐标为. 【点睛】本题主要考查二项式定理与复数的综合应用问题. 2．（2025高一下·全国·专题练习）已知复数满足，（其中i是虚数单位），则的最小值为 . 【答案】3 【分析】根据复数的几何意义，设出相关点，分析可知点的轨迹是焦点分别为的椭圆，结合椭圆性质即可求解. 【详解】设复数在复平面内对应的点分别为， 由题意可知：， 可知点的轨迹表示焦点分别为的椭圆， 则长半轴长为，半焦距，短半轴长为， 且该椭圆的长轴所在直线为，短轴所在直线为. 因为点在上，且， 若使得最小，则需取得最小值， 即点为第一象限内的短轴端点，此时. 故答案为：3. 3．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）实数取什么值时，复平面内表示复数的点 （1）在虚轴上； （2）位于第四象限. 【答案】(1)或；(2). 【分析】(1)由复数在复平面内对应点在虚轴上的特点列方程计算即可； (2)根据复数在复平面内对应点在第四象限的特点列不等式求解即得. 【详解】(1)因复数在复平面内对应点在虚轴上，则有，解得或， 所以或时，复平面内表示复数的点在虚轴上； (2)因复数在复平面内对应点在第四象限，则，解得， 所以时，复平面内表示复数的点位于第四象限. 【经典例题七 判断复数对应的点所在的象限】 【例7】（2025·上海松江·二模）复数的共轭复数在复平面内对应的点位（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先化简，再得到共轭复数，最后得到点对应象限. 【详解】，则共轭复数为，对应的点，在第二象限. 故选：B. 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据复数关于实轴对称得出,再应用复数的除法及乘法计算化简即可. 【详解】复数在复平面内对应的点关于实轴对称，故. 所以. 故选：A. 2．（23-24高一下·上海宝山·期中）若，，且为纯虚数，则在复平面内对应的点位于第 象限，实数的值为 ． 【答案】 一 【分析】根据对应的点得到所在象限；求出后，由纯虚数实部为求得的值. 【详解】因为，所以在复平面内对应的点位于第一象限． 因为，为纯虚数， 所以，解得． 故答案为：一；. 3．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知是一元二次方程的一个复数根，且复数，i为虚数单位，. (1)求m，n的值； (2)求； (3)求的实部和虚部，并说明其在复平面内对应的点位于第几象限？ 【答案】(1) (2)5 (3)实部为，虚部为，复数对应点在第二象限. 【分析】（1）根据根与系数的关系求解即可； （2）根据复数的乘法及模的运算求解； （3）根据复数的加法及概念、几何意义求解. 【详解】（1）因为是实系数一元二次方程的一个根， 所以是方程的另一个根， 所以，， 即，解得. （2）由（1）知，， 所以， 所以. （3）， 所以实部为，虚部为，复数对应点在第二象限. 【经典例题8 根据复数的坐标写出对应的复数】 【例8】（2025·上海长宁·一模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据复数与复平面内点的对应关系求出复数，再根据复数的除法运算法则计算. 【详解】已知复数对应的点的坐标是，所以. 将代入，可得. 即：. 故选：B. 1．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知复数可以表示为，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角．已知与的乘积，则将向量绕原点逆时针旋转，长度变为原来的2倍后，得到向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将向量对应的复数表示为，再由给定信息求出向量对应的复数即可. 【详解】设射线为终边的角为，而，则， ，， 向量对应复数， 所以向量的坐标为. 故选：B 2．（23-24高一下·上海奉贤·期中）在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，点C与点D关于虚轴对称，若圆M经过A，B，C，D四点，则圆M的半径为 ． 【答案】 【分析】根据题意依次求出点A，B，C，D的坐标，进而根据复数的几何意义即可求出结果. 【详解】因为向量所对应的复数为，所以， 又向量所对应的复数为，所以， 因为点C所对应的复数为，所以, 又因为点C与点D关于虚轴对称，所以， 设所对应的复数为， 则，故点A，B，C，D四点在以为圆心，为半径的圆上，即圆M，故圆M的半径为. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海闵行·期中）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集． (1)若复数，求； (2)在复平面内复数，对应的向量分别是，，其中是原点，求向量对应的复数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的四则运算法则及的周期性，再利用复数的模公式即可求解； （2）根据已知条件及复数减法的几何意义即可求解. 【详解】（1）由题可知， ， ， 所以， 所以． （2）因为， 所以． 【经典例题九 根据复数对应坐标的特点求参数】 【例9】（2024·上海松江·一模）已知复数，且，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先根据求出或，再结合z在复平面内对应的点位于第二象限排除即可. 【详解】由题意，得，得或， 因z在复平面内对应的点位于第二象限，所以，故，故， 故选：A 1．（23-24高一下·上海宝山·期中）已知方程（R）的四个根均为虚数，且以这四个根在复平面内对应的点为顶点的四边形面积为4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用复数的四则运算法则,复数相等的条件及其几何意义求解即可. 【详解】由已知得或， 当时，此方程的两个虚数根互为共轭复数， 设，，其中R, 将代入方程得， 整理得，则， 解得 ，即， 同理可得，当时，该方程的虚数根为， 由复数的几何意义可知，这四个根在复平面内对应的点为顶点的四边形为等腰梯形， 则该等腰梯形的面积为，解得， 故选：. 2．（2024高一·上海·专题练习）已知i为虚数单位，若复数对应的点在复平面的虚轴上，则实数 【答案】 【分析】由复数的运算法则与几何意义求解. 【详解】由， 结合题意，则，解得. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知复数是虚数单位，，且为实数. (1)设复数，求； (2)设复数，且复数在复平面内所对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，化简，根据是实数，求得，得到，结合复数模的计算公式，即可求解； （2）根据复数的运算法则，化简得到，由在复平面内对应的点在第二象限，列出不等式，求得，即可得到实数的取值范. 【详解】（1）解：由复数是虚数单位，，可得， 则， 因为是实数，所以，解得， 则，所以. （2）解：由， 因为复数在复平面内对应的点在第二象限，可得且， 解得，所以实数的取值范围为. 【经典例题十 复数加减法几何意义的运用】 【例10】（23-24高一下·上海长宁·期末）已知，且，i为虚数单位，则的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】设，由可知z对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而表示圆上的点到的距离，由此可确定的最大值． 【详解】解：∵，故设，， ∴， ∴， 故复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∵表示圆上的点到点的距离， ∴的最大值是， 故选：B． 1．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）在复平面中，所对应的复数分别为，且，的面积为S，则的面积为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】D 【分析】利用复数加法的几何意义可求的面积. 【详解】设对应的点分别为，，则四边形为平行四边形， 如图分割该平行四边形，即平行四边形的面积为， 的面积，所以， 则， 故的面积为， 故选：D. 2．（2025高一·全国·专题练习）复数对应的点在以两复数，分别对应的点为端点的线段上运动，复数对应的点在以原点为圆心，而且以1为半径的圆上运动，则复数对应的点的轨迹围成的图形面积为 ． 【答案】 【分析】设，则，根据，可得，从而可得对应的点的轨迹，进而可得出答案. 【详解】设，则，所以， 因为，所以， 说明对于给定的，对应的点在以对应的点为圆心、1为半径的圆上运动， 又对应的点在连接和对应的点线段上移动， 所以对应点的移动范围的面积为， 即复数对应的点在复平面上移动的范围的面积是． 故答案为：． 3．（2024高一·全国·专题练习）下面是应用公式，求最值的三种解法，答案却各不同，哪个解答错？错在哪里？已知复数为纯虚数，求的最大值. 解法一：∵， 又∵是纯虚数，令（且）， ∴. 故当时，即当时，所求式有最大值为. 解法二：∵，∴. 故所求式有最大值为. 解法三：∵， 又∵为纯虚数，∴， ∴. 故所求式有最大值为. 【答案】答案见解析 【分析】解法一，直接验证不能使得中的等号成立，可判断解法一；解法二：根据复数的几何意义、以及复数模长的三角不等式以及取等条件可判断解法二；解法三：根据为纯虚数、复数的几何意义以及复数模长的三角不等式以及取等条件可判断方法三. 【详解】解：上述解法中仅解法三正确，本题的几何意义在于“在虚轴上找一点， 使其到定点距离之和为最小”. ∵在虚轴同侧， 对于解法一：当时，， ，则， 即不能使得不等式中的等号成立， 故解法一错误； 对于解法二：不等式中， 等号成立的条件是复数在复平面内对应的点在线段上， 而线段与虚轴没有公共点，故这个等号不成立，解法二错误； 解法三由于找到点关于虚轴的对称点， 显然连线与虚轴交点即是所找的一点，. ∵， 故所求式最大值为. 【经典例题十一 与复数模相关的轨迹（图形）问题】 【例11】（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合圆的性质求出最大值. 【详解】依题意，表示复平面内复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上， 表示上述圆上的点到原点的距离，所以. 故选：D 1．（2025·上海闵行·模拟预测）我们称复数与对应，若复数在复平面内的图象分别如图①、②所示，则与对应的复数在复平面内的大致图象分别对应选项中①、②的是：（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设曲线上的点，表示出，令，根据的大小关系可排除B、D；根据时的斜率可排除C. 【详解】，故：， 曲线上的点到原点的距离，直线的斜率为， 记， 则时，有，， 即取定一条过原点的射线交两曲线交于两个点，其中离原点远的为②，排除B、D； 而末端值时，直线的斜率为，故排除C. 故选：A． 2．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．设复数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合圆的性质求解. 【详解】为， 表示复平面内复数z对应的点与点的距离为， 因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，表示点与点的距离， 而，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·期中）已知，为虚数单位．定义，． (1)计算，； (2)求集合在复平面上对应的区域的面积； (3)若，求的最大值，并求当取得最大值时的值． 【答案】(1)， (2) (3)，此时 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）设，即可得到，从而确定集合在复平面上对应的区域，即可求出相应的面积； （3）设，即可得到，确定在复平面的轨迹，即可求出的最大值以及此时的. 【详解】（1）因为，， 所以，； （2）设，则， 所以，， 由且，即，即， 所以集合在复平面上对应的区域如下图阴影部分所示（不包含、轴部分）， 所以集合在复平面上对应的区域的面积. （3）设，则， 又，即， 所以当时，当时，当时， 当时， 所以复数在复平面内所对应的轨迹如下所示： 其中，，，， 所以当时取得最大值，且，此时 1．（23-24高一下·上海普陀·期中）已知复数，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据复数模的计算公式求即可. 【详解】法一：已知复数， ； 法二：； 故选：C. 2．（山东省泰安市2024-2025学年高一下学期二轮检测数学试题）已知复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算、共轭复数、复数的模，复数的几何意义求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 所以复数对应的点在第三象限. 故选：C 3．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为A，B，且点A与点B关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数对应点的对称，可得出，再由复数的加法及复数的模求解. 【详解】因为，所以点． 因为点A与点B关于直线对称， 所以， 所以． 故选：A 4．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则下列结论正确的个数是（    ） ①存在实数解； ②共有个不同的复数解； ③复数解的模长都等于； ④存在模长大于的复数解． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用换元法可求得，从而可判断的个复数解的模都是. 【详解】设，则，可得， 则， 于是， 这两个的取值都在区间内． 故有解，因此有个不同的复数解． 当时，由于， 因此的复数解的模长都等于． 因此，②③正确， 故选：C. 5．（2025高一·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论错误的是（ ） A．若，，则 B．若，则 C． D． 【答案】C 【分析】根据题设定义的运算法则结合复数运算法则一一计算各选项即可判断. 【详解】对于A，；故A正确； 对于B，若，则，，，故B正确： 对于C，，而， 设，， 则， ， 所以与互为共轭复数，不一定相等，故C错误； 对于D，设，则将，代入可得： ，故D正确. 故选：C. 6．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知复数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设复数，由已知可得，进而根据可求最小值. 【详解】设复数，因为， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为. 故答案为：. 7．（23-24高一下·上海金山·期中）设是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是 ． 【答案】/ 【分析】根据复数与向量的对应关系以及向量的运算法则来求解向量对应的复数. 【详解】已知向量，对应的复数分别为，. 根据向量运算法则，那么向量对应的复数为向量对应的复数减去向量对应的复数.即，化简得：. 故答案为：. 8．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形面积为 ． 【答案】 【分析】根据复数的模的几何意义确定点的集合所表示的图形，再根据圆的面积公式计算该图形的面积． 【详解】根据复数模的几何意义，复数在复平面内对应的点到原点的距离为． 已知，这表示点到原点的距离大于等于且小于等于，所以点的集合形成的图形是以原点为圆心，半径和半径的两个圆所夹的圆环（包括内外圆周）． 半径为的圆的面积，半径为的圆的面积． 所以圆环的面积． 故答案为：． 9．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）已知复数，其中a为整数，且z在复平面内对应的点在第四象限，则a的最大值为 ． 【答案】3 【分析】根据复数的除法运算及复数对应的点所在象限列出不等式求解. 【详解】因为， 所以z在复平面内对应的点为， 所以，解得， 又a为整数，所以a的最大值为3． 故答案为：3. 10．（23-24高一下·上海青浦·期中）已知复数，若是关于的方程的一个根，则 ；若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由是关于的方程的一个根，可得，即可求解的值；由已知，可得在复平面内对应的点，即可求解. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，所以， 所以，解得； 因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点为， 又复数在复平面内对应的点位于第三象限，所以， 解得， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 11．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，其中是实数． (1)若，求的值； (2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或. 【分析】（1）结合复数为实数的等价条件建立方程进行求解即可． （2）结合复数的几何意义建立不等式关系进行求解即可． 【详解】（1）由题意，， 则，解得或. （2）因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 所以，解得或. 12．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知复数，，且为纯虚数． (1)求复数； (2)设，在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的模． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）利用复数的概念及乘法运算即可求解； （2）利用复数的几何意义和投影向量模的计算公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 又因为为纯虚数， 所以， 解得，， 所以； （2）由（1）可知，，， 所以，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量的模为. 13．（24-25高一下·上海·课堂例题）如图，向量对应的复数是z，试作出下列运算结果所对应的向量. (1)；         (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】利用向量平行四边形法则作图可得答案. 【详解】（1）向量对应的复数是， ，用表示，如下图； （2）向量对应的复数是，， 用表示，如下图； 14．（23-24高一下·上海宝山·期中）已知复数，其中为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求实数的值. (3)若，另有复数，满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据纯虚数的概念列不等式求解即可； （2）利用实系数方程的根性质可得也是关于的实系数方程的一个复数根，结合韦达定理即可求得的值，从而得所求； （3）设复数，结合复数模长公式可得的值，由二次函数的性质从而求得的最小值. 【详解】（1）若是纯虚数，则，解得； （2）是关于的实系数方程的一个复数根， 则也是关于的实系数方程的一个复数根， 所以，即， 故； （3）若，则， 设复数，则 因为，所以，则，解得， 所以，当时等号成立， 所以的最小值为. 15．（23-24高一下·上海虹口·期末）已知向量，在复平面坐标系中，i为虚数单位.复数对应的点为， (1)求； (2)若点Z为曲线（为的共轭复数）上的动点，求Z与之间距离的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积公式，化简计算，可得m，根据复数的除法运算，可得，代入求模公式，即可得答案. （2）由（1）可得，代入可得曲线可得，根据其几何意义，可得曲线是复平面内以圆心，半径为的圆，根据点与圆的位置关系，即可得答案. 【详解】（1） 所以． 所以． 所以 （2）由（1）可得，， 曲线，即， 因此曲线是复平面内以圆心，半径为的圆， 故与之间的距离为 所以与之间的最小距离为，最大距离为，故Z与之间距离的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 复数的几何意义重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 复数的坐标表示 题型二 复数的向量表示 题型三 求复数的模 题型四 由复数模求参数 题型五 在各象限内点对应复数的特征 题型六 实轴、虚轴上点对应的复数 题型七 判断复数对应的点所在的象限 题型八 根据复数的坐标写出对应的复数 题型九 根据复数对应坐标的特点求参数 题型十 复数加减法几何意义的运用 题型十一 与复数模相关的轨迹（图形）问题 知识点01 复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数与复平面内的点是一一对应的． （2）一个复数与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 知识点02 复数的模 1、定义：向量的r叫做复数的模或绝对值，记为|z|或|a＋bi|. 2、公式：． 3、几何意义：复数对应点到原点的距离． 知识点03 复数加、减法的几何意义 1、复数加法的几何意义 已知复数，， 其对应的向量，， 如图1，且和不共线，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2， 根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量， 而所对应的坐标是， 这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对． 2、复数减法的几何意义 复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数与向量等于）对应，这就是复数减法的几何意义． 【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差． （2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则． （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行． 拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：． 【经典例题一 复数的坐标表示】 【例1】（23-24高一下·上海松江·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 1．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）法国数学家佛朗索瓦·韦达最早发现了代数方程的根与系数之间的关系，因此人们把这个关系称为韦达定理，韦达定理也可用于复数系一元二次方程中，即这也是因式分解中的“十字相乘法”. 设 (为坐标原点)的三个顶点为复平面上的三点，它们分别对应复数， 且 则的面积为（   ） A．6 B．6 C．12 D． 2．（23-24高一下·上海金山·期中）在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，对应的点为点，则点与点之间距离的最小值 . 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知复数，其中. (1)设，若是纯虚数，求实数的值； (2)设，分别记复数、在复平面上对应的点为、，求与的夹角以及在上的数量投影. 【经典例题二 复数的向量表示】 【例2】（2025·上海长宁·一模）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）在复平面内，复数对应的向量，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（23-24高一下·上海青浦·期中）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ． 3．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知复数 (1)若在复平面内的对应点位于上，求的值； (2)若在复平面内的对应点位于第二象限，求的取值范围； (3)若为纯虚数，设，在复平面上对应的点分别为，，求向量在向量上的投影向量的坐标. 【经典例题三 求复数的模】 【例3】（2025·上海奉贤·模拟预测）若复数z使得为纯虚数，则（   ）. A． B．2 C． D．4 1．（23-24高一下·上海静安·期中）已知复数，为虚数单位，则对于，的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 2．（23-24高一下·上海·期中）已知、，若不等式的解集为，则（为虚数单位）的取值范围是 ． 3．（山东省名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题）已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积． (1)试将写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值． (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，． 【经典例题四 由复数模求参数】 【例4】（2025·上海嘉定·一模）已知复数，若，则的概率为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海奉贤·期中）如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 2．（2024·上海静安·一模）已知复数的实部和虚部都不为0，满足①；②.则 ， .（写出满足条件的一组和） 3．（23-24高一下·上海普陀·期中）已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 【经典例题五 在各象限内点对应复数的特征】 【例5】（23-24高一·全国·课后作业）在复平面内，复数， （i为虚数单位）对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为（    ） A． B．1 C．i D．i 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）关于复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若点Z的坐标为，则Z对应的点在第三象限 D．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为 2．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）已知复数列满足： ，，设复数在复平面中对应点．当无限增大时，点越来越趋近于一个确定的点，点的坐标是 ． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 【经典例题六 实轴、虚轴上点对应的复数】 【例6】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 1．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）在二项式的展开式中，含的项的系数是，那么复数在复平面上对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一下·全国·专题练习）已知复数满足，（其中i是虚数单位），则的最小值为 . 3．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）实数取什么值时，复平面内表示复数的点 （1）在虚轴上； （2）位于第四象限. 【经典例题七 判断复数对应的点所在的象限】 【例7】（2025·上海松江·二模）复数的共轭复数在复平面内对应的点位（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海宝山·期中）若，，且为纯虚数，则在复平面内对应的点位于第 象限，实数的值为 ． 3．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知是一元二次方程的一个复数根，且复数，i为虚数单位，. (1)求m，n的值； (2)求； (3)求的实部和虚部，并说明其在复平面内对应的点位于第几象限？ 【经典例题8 根据复数的坐标写出对应的复数】 【例8】（2025·上海长宁·一模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知复数可以表示为，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角．已知与的乘积，则将向量绕原点逆时针旋转，长度变为原来的2倍后，得到向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海奉贤·期中）在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，点C与点D关于虚轴对称，若圆M经过A，B，C，D四点，则圆M的半径为 ． 3．（23-24高一下·上海闵行·期中）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集． (1)若复数，求； (2)在复平面内复数，对应的向量分别是，，其中是原点，求向量对应的复数． 【经典例题九 根据复数对应坐标的特点求参数】 【例9】（2024·上海松江·一模）已知复数，且，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则（    ） A． B． C．2 D． 1．（23-24高一下·上海宝山·期中）已知方程（R）的四个根均为虚数，且以这四个根在复平面内对应的点为顶点的四边形面积为4，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一·上海·专题练习）已知i为虚数单位，若复数对应的点在复平面的虚轴上，则实数 3．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知复数是虚数单位，，且为实数. (1)设复数，求； (2)设复数，且复数在复平面内所对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 【经典例题十 复数加减法几何意义的运用】 【例10】（23-24高一下·上海长宁·期末）已知，且，i为虚数单位，则的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）在复平面中，所对应的复数分别为，且，的面积为S，则的面积为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 2．（2025高一·全国·专题练习）复数对应的点在以两复数，分别对应的点为端点的线段上运动，复数对应的点在以原点为圆心，而且以1为半径的圆上运动，则复数对应的点的轨迹围成的图形面积为 ． 3．（2024高一·全国·专题练习）下面是应用公式，求最值的三种解法，答案却各不同，哪个解答错？错在哪里？已知复数为纯虚数，求的最大值. 解法一：∵， 又∵是纯虚数，令（且）， ∴. 故当时，即当时，所求式有最大值为. 解法二：∵，∴. 故所求式有最大值为. 解法三：∵， 又∵为纯虚数，∴， ∴. 故所求式有最大值为. 【经典例题十一 与复数模相关的轨迹（图形）问题】 【例11】（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·上海闵行·模拟预测）我们称复数与对应，若复数在复平面内的图象分别如图①、②所示，则与对应的复数在复平面内的大致图象分别对应选项中①、②的是：（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．设复数，且，则的取值范围是 . 3．（23-24高一下·上海·期中）已知，为虚数单位．定义，． (1)计算，； (2)求集合在复平面上对应的区域的面积； (3)若，求的最大值，并求当取得最大值时的值． 1．（23-24高一下·上海普陀·期中）已知复数，则（   ） A． B． C．1 D． 2．（山东省泰安市2024-2025学年高一下学期二轮检测数学试题）已知复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为A，B，且点A与点B关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则下列结论正确的个数是（    ） ①存在实数解； ②共有个不同的复数解； ③复数解的模长都等于； ④存在模长大于的复数解． A． B． C． D． 5．（2025高一·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论错误的是（ ） A．若，，则 B．若，则 C． D． 6．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知复数满足，则的最小值为 ． 7．（23-24高一下·上海金山·期中）设是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是 ． 8．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形面积为 ． 9．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）已知复数，其中a为整数，且z在复平面内对应的点在第四象限，则a的最大值为 ． 10．（23-24高一下·上海青浦·期中）已知复数，若是关于的方程的一个根，则 ；若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则的取值范围为 ． 11．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，其中是实数． (1)若，求的值； (2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围． 12．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知复数，，且为纯虚数． (1)求复数； (2)设，在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的模． 13．（24-25高一下·上海·课堂例题）如图，向量对应的复数是z，试作出下列运算结果所对应的向量. (1)；         (2). 14．（23-24高一下·上海宝山·期中）已知复数，其中为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求实数的值. (3)若，另有复数，满足，求的最小值. 15．（23-24高一下·上海虹口·期末）已知向量，在复平面坐标系中，i为虚数单位.复数对应的点为， (1)求； (2)若点Z为曲线（为的共轭复数）上的动点，求Z与之间距离的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$