专题11 动点与函数图象分析（题型专练）（广东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题11 动点与函数图象分析 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 三角形中的动点问题与函数图像分析 题型02 平行四边形中的动点问题与函数图像分析 题型03 菱形中的动点问题与函数图像分析 题型04 矩形中的动点问题与函数图像分析 题型05 正方形中的动点问题与函数图像分析 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 三角形中的动点问题与函数图像分析 典例引领 【典例01】（2025·广东揭阳·模拟预测）如图1，在中，，点D是斜边的中点，点P从点D出发，沿的方向以的速度运动到点B．图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（   ） A．2 B． C． D． 【典例02】（2025·广东广州·模拟预测）“深究而悉讨，慎思而明辨”，育才学子爱钻研：如图，将直角三角板竖直立于水平桌面上，动点M从点A出发沿路径在三角板边缘匀速运动，到达点C处停止．已知，，记点M到点C的距离平方为y，运动时间为x，则能准确反映y与x之间函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 基础必考题，选择/解答均有，动点沿三角形边/内部/所在直线运动，考查线段长、面积、周长等几何量随动参的变化图像，侧重分段分析与三角形基本性质结合，是后续四边形题型的基础。 方法技能 ①按动点顶点拐点、几何量变化临界点划分运动阶段； ②用动参（）表示线段长，结合三角形面积（铅锤法/底高法）、勾股定理列几何量表达式； ③判断各阶段函数类型（一次/二次），分析增减趋势、临界点数值，匹配/绘制图像。 变式演练 【变式01】（2025·广东梅州·模拟预测）如图1，中，动点P从B点出发向点C运动，连接，设的长为x，的长为y，则y关于x的函数图象如图2所示，该图象的最低点为M，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·广东深圳·模拟预测）如图1，在等腰直角三角形中，是斜边上一点，过点分别作，垂足分别为点，设．若关于的函数图象如图2所示，点和在函数图象上，，则下列选项正确的是（   ） A． B．当时， C．点在该函数图象上 D．该函数图象的最高点的纵坐标为8 【变式03】（2025·广东珠海·模拟预测）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点停止运动．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象大致是（    ） A．B．C． D． 题型02 平行四边形中的动点问题与函数图像分析 典例引领 【典例01】（2025·广东汕头·模拟预测）如图①，在中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y，y是x的函数，函数的图象如图②所示，则的周长为（    ）． A．14 B．18 C．20 D．28 【典例02】（2025·广东惠州·模拟预测）如图在平行四边形中，，，P是上的任一点，过点P作，与平行四边形的两条边分别交于点E，F，设，，则能反映y与x之间关系的图象是（    ） A．B．C． D． 方法透视 考向解读 高频中档题，选择/解答为主，单/多动点沿平行四边形边/对角线运动，考查边长、对角线、面积、三角形面积（内接）等几何量的图像，侧重平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质应用。 方法技能 ①利用平行四边形性质转化动线段（如对边相等表示未知边）； ②按动点经过顶点、对角线交点划分阶段，重点分析“动点跨边”时几何量的变化规律； ③内接三角形面积常与平行四边形面积关联（如一半关系），简化表达式后判断图像特征。 变式演练 【变式01】（2025·广东东莞·一模）如图1，在平行四边形ABCD中，动点P从点A出发，沿折线方向匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，y与x的函数图象如图2所示．若AP的最大值为4，则BC的长为（   ） A．4 B．4.4 C．4.8 D．5 【变式02】（2025·广东江门·模拟预测）如图1，四边形是平行四边形，连接，点P从点A出发，沿某路径运动，沿回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·广东韶关·模拟预测）如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．的长为（ ） A．cm B．3cm C． D． 题型03 菱形中的动点问题与函数图像分析 典例引领 【典例01】（2025·广东阳江·模拟预测）如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·广东肇庆·模拟预测）如图①，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．图②是点，运动时的面积与运动时间的函数关系的图象，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 方法透视 考向解读 中档综合题，选择/解答为主，动点沿菱形边/对角线/对称轴运动，考查线段长、面积、夹角等几何量的图像，核心结合菱形邻边相等、对角线垂直平分且平分内角的特殊性质。 方法技能 ①由菱形对角线垂直构造直角三角形，用勾股定理表示动线段； ②面积计算优先用“对角线乘积的一半”，内接图形面积结合对角线分割的四个全等直角三角形分析； ③动点沿对称轴运动时，几何量常呈对称变化趋势，图像具有对称性。 变式演练 【变式01】（2025·广东揭阳·模拟预测）如图，已知在边长为4的菱形中，，E是边上一动点（与点B，C不重合）．连接，作，交于点F，设，的面积为y．下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是（    ） A． B．C． D． 【变式02】（2025·广东珠海·二模）如图1，菱形中，对角线，交于点，点，点同时从点出发，点以的速度沿折线运动到点停止，点以的速度沿方向运动，点随点的运动停止而停止．连接，的面积()与点的运动时间)之间的函数图象如图2所示，则菱形的面积为(    ) A． B． C． D． 【变式03】（2025·广东中山·模拟预测）如图1，在菱形中，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，点为第2段函数图象上的最低点，结合图象判断以下结论：①；②为等边三角形；③菱形的面积为；④最低点的坐标为．其中结论正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型04 矩形中的动点问题与函数图像分析 典例引领 【典例01】（2026·广东广州·一模）如图，在矩形中，，．动点P从点A出发，沿的路径运动，过点P向对角线作垂线，垂足为Q，设，的面积为y．则y关于x的函数图象大致是（    ） A．B．C． D． 【典例02】（2025·广东茂名·模拟预测）如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（   ） A．当时，的面积为3平方米 B．小车的运动速度为1米／秒 C．长方形的周长为14米 D．在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒 方法透视 考向解读 高频中档题，全题型覆盖，动点沿矩形边/对角线运动，考查线段长、面积、勾股定理相关量的图像，侧重矩形四个直角、对边相等、对角线相等的性质，常涉及“折叠、内接直角三角形”变式。 方法技能 ①利用矩形直角构造直角三角形，用动参表示直角边，结合勾股定理求线段长； ②面积分析优先定“定底动高”或“定高动底”，简化计算； ③动点沿对角线运动时，重点分析内接三角形的底高变化，判断函数类型（多为一次/分段一次）。 变式演练 【变式01】（2026·广东湛江·模拟预测）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿匀速运动到点．图②是点运动过程中，的面积随点的运动路程变化的关系图象，则该矩形的边的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·广东清远·模拟预测）如图，在矩形中，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，过点作对角线的垂线，垂足为，设的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（   ） A．B．C． D． 【变式03】（2025·广东深圳·二模）如图，矩形中，，，点是边上的一个动点（点不与点，重合），现将沿直线折叠，使点落在点处；作的平分线交于点E．设，，那么关于的函数图象大致应为（   ） A． B． C． D． 题型05 正方形中的动点问题与函数图像分析 典例引领 【典例01】（2025·广东惠州·三模）如图1，在正方形中，为的中点，点沿从点运动到点，设两点的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则当最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·广东佛山·二模）如图1，正方形中，点E为边上一动点，连接，过点D作于P，连接，设长度为x，长度为y，y关于x的函数图象如图2所示，其中点P是函数图象的最低点，则的值为（    ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 压轴中档题，选择/解答压轴为主，单/多动点沿正方形边/对角线/对称轴运动，考查线段长、面积、夹角、全等/相似相关量的图像，融合正方形四边相等、四角直角、对角线垂直平分且相等的所有特殊性质，常结合旋转、折叠变式。 方法技能 ①利用正方形的边、角、对角线性质，快速转化动线段（如对角线为边长的倍）、构造全等/等腰直角三角形； ②按动点经过顶点、对角线交点划分阶段，分析“动高/动底”的变化，复杂面积用割补法表示； ③关注几何量的特殊临界点（如动点到顶点、对角线交点时），精准确定图像拐点与函数解析式取值范围。 变式演练 【变式01】（2025·广东潮州·二模）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）则与之间的函数图象大致是下列图中的（    ） A．B．C．D． 【变式02】（2025·广东中山·三模）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【变式03】（2025·广东河源·二模）如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 题●型●训●练 1．（2025·广东深圳·模拟预测）如图1，的边与长方形的边都在直线上，且点与点重合，，将沿着射线方向移动至点与点重合时停止，设与长方形重叠部分的面积是，的长度为，与之间的关系图象如图2所示，则长方形的面积为（  ） A．8 B．10 C．6 D．15 2．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，在长方形中，是边上一点，且，，点从点出发，沿折线匀速运动，运动到点停止．点的运动速度为，运动时间为，的面积为，与之间的关系图象如图，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 3．（2025·广东佛山·模拟预测）如图1，直角梯形中，，，动点P从A点出发，由沿梯形的边运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，关于y与x的函数图象如图2，则的长为（    ）   A．11 B．9 C．12 D．10 4．（2025·广东中山·模拟预测）如图1，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发时，的面积为．已知y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则下列结论错误的是（ ）． A． B．当时，的面积是 C．当时， D．当时， 5．（2025·广东深圳·一模）如图 1，在中，，一动点P从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿A→B→C的路径运动，过点P作，垂足为Q．设点P运动的路程为x，与的差为y，y与x的函数图象如图2所示，点M，N是线段，与x轴的交点，则图2点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长为（     ） A．2秒 B．4秒 C．秒 D．秒 6．（2025·广东佛山·模拟预测）如图1，在中，，D为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为．当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．根据图象信息，求得线段的长为_____． 7．（2025·广东汕头·二模）如图1，在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为____________ 8．（2025·广东广州·一模）如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示． （1）线段的长为________； （2）在整个运动过程中，的最大值为________． 9．（2025·广东清远·二模）如图1，点P从的顶点A出发，沿着的方向运动，到达点C后停止．设P点的运动时间为x，的长度为y，图2是y与x的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则的面积是______． 10．（2025·广东韶关·三模）如图，在边长为4的正方形的边上有一个动点P，从A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y．请结合右侧函数图象分析当时，y的值为____________．    11．（2025·广东惠州·三模）如图①，在中，，，动点D从点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，过点D作于点E，图②是点D运动时，的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象，则AB的长为__________． 12．（2025·广东茂名·三模）如图1，动点P从长方形ABCD的顶点A出发，沿A→C→D以1cm/s的速度运动到点D停止．设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2）．表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则长方形ABCD的面积为 _____cm2． 13．（2025·广东潮州·模拟预测）如图1，正方形的顶点A，B的坐标分别为，，顶点C，D在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按方向运动，同时，点Q从点出发，沿x轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为，的面积S（平方单位）． (1)正方形的边长为_________； (2)当点P由点A运动到点B时，过点P作轴交y轴于点M，已知随着点P在上运动时，的面积S与时间之间的函数图象为抛物线的一部分（如图2所示），填空： ①点P，Q两点的运动速度为_________单位/秒； ②S关于t的函数关系式为_________； (3)当点P由点B运动到点C时，经探究发现的面积S是关于时间的二次函数，其中S与t部分对应取值如下表：求：m的值及S关于t的函数关系式． t 10 15 20 S 28 76 m 14．（2025·广东河源·二模）综合运用 如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B， 点C、D分别在直线、x轴负半轴上运动，且始终满足．连接， 交y轴于点E，以为斜边构造等腰直角三角形，， 且点C、D、F 按顺时针方向排列， 连接、． 点C的横坐标为m（）．    (1)分别求、的长． (2)若点C在线段上， 当是直角三角形时，求点C的坐标． (3)设的面积为S， 求S关于m的表达式． 15．（2025·广东江门·三模）如图，半圆O中，，点M为上一点，，点P为半圆上一个动点，连接，过点A作，垂足为N．小明根据学习函数的经验，对线段的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)设的长度为，的长度为，的长度为，对于点P在半圆O上的不同位置，通过画图、测量，得到了线段的长度的几组值，如下表： /cm 0 1 2 3 4 5 6 7 7.5 7.64 7.78 7.90 8 /cm 0 0.99 1.99 2.97 3.92 4.82 5.61 5.90 5.56 5.18 4.46 3.30 0 /cm 6 5.91 5.65 5.21 4.53 3.56 2.12 0.24 2.25 3.01 4.0 5.00 6 请计算，当时，______； (2)利用表格中的数据，在如平面直角坐标系中画出（1）中所确定的函数关于x的函数图象； (3)观察函数图象分别写出函数、的一条性质； (4)当等腰三角形时： ①通过计算可知：______； ②通过进一步探究函数图象可知：长度的近似值为______．（保留一位小数） 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 动点与函数图象分析 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 三角形中的动点问题与函数图像分析 题型02 平行四边形中的动点问题与函数图像分析 题型03 菱形中的动点问题与函数图像分析 题型04 矩形中的动点问题与函数图像分析 题型05 正方形中的动点问题与函数图像分析 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 三角形中的动点问题与函数图像分析 典例引领 【典例01】（2025·广东揭阳·模拟预测）如图1，在中，，点D是斜边的中点，点P从点D出发，沿的方向以的速度运动到点B．图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由点的运动可知，，，且当点运动到点时，的面积为，过点作于点，得，则，最后根据勾股定理可知，进而即可求解． 【详解】解：由点的运动可知，，，且当点运动到点时，的面积为， 过点作于点，如图， ，即． ，即点是的中点， ， ， 是的中位线， ， ． 在中，由勾股定理可知，， ． 【典例02】（2025·广东广州·模拟预测）“深究而悉讨，慎思而明辨”，育才学子爱钻研：如图，将直角三角板竖直立于水平桌面上，动点M从点A出发沿路径在三角板边缘匀速运动，到达点C处停止．已知，，记点M到点C的距离平方为y，运动时间为x，则能准确反映y与x之间函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分别讨论M在AB和在BC上时M到点C的距离平方为y关于运动时间为x的增大而变化的情况即可判断． 【分析】解：当M在上时，点M到点C的距离随运动时间为x的增大先变小再变大， 当M在上时，点M到点C的距离随运动时间为x的增大而变小， ∵ y等于点M到点C的距离平方， ∴ y是关于x的二次函数，图象为抛物线的一部分， A选项符合题意 方法透视 考向解读 基础必考题，选择/解答均有，动点沿三角形边/内部/所在直线运动，考查线段长、面积、周长等几何量随动参的变化图像，侧重分段分析与三角形基本性质结合，是后续四边形题型的基础。 方法技能 ①按动点顶点拐点、几何量变化临界点划分运动阶段； ②用动参（）表示线段长，结合三角形面积（铅锤法/底高法）、勾股定理列几何量表达式； ③判断各阶段函数类型（一次/二次），分析增减趋势、临界点数值，匹配/绘制图像。 变式演练 【变式01】（2025·广东梅州·模拟预测）如图1，中，动点P从B点出发向点C运动，连接，设的长为x，的长为y，则y关于x的函数图象如图2所示，该图象的最低点为M，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作先根据图像判断，，再根据勾股定理和三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵当时，取最小值，即， 当点P与点C 重合时取最大值，即， 作如图 ∵，， ∴． 【变式02】（2025·广东深圳·模拟预测）如图1，在等腰直角三角形中，是斜边上一点，过点分别作，垂足分别为点，设．若关于的函数图象如图2所示，点和在函数图象上，，则下列选项正确的是（   ） A． B．当时， C．点在该函数图象上 D．该函数图象的最高点的纵坐标为8 【答案】C 【分析】根据题意可得为等腰直角三角形，四边形为矩形，设，则，，可得，即y是关于x的二次函数，且对称轴为直线，再由，可得，从而得到y关于x的函数解析式为， 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，四边形为矩形， ∴， 设，则，， ∴，即y是关于x的二次函数，且对称轴为直线， ∵点和在函数图象上，， ∴，即， ∴，，即y关于x的函数解析式为，故A选项错误，不符合题意； 当时，，故B选项错误，不符合题意； 当时，，则点在该函数图象上，故C选项正确，符合题意； ∵，， ∴该函数图象的最高点的纵坐标为16，故D选项错误，不符合题意； 【变式03】（2025·广东珠海·模拟预测）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点停止运动．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，分两种情况分别求出关于的函数图象即可：当时和时． 【详解】在中，． （Ⅰ）当时，如图所示，可知点在线段上，过点作直线的垂线，交于点． 根据题意可知，． 因为，， 所以． 所以． 所以． ． 所以，当，与的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，且随的增大而增大． （Ⅱ）当时，如图所示，可知点在线段上． 根据题意可知，． 所以． 所以，当，与的函数图象是开口向下的抛物线的一部分，且随的增大而减小． 综上所述，选项Ａ图形符合题意． 题型02 平行四边形中的动点问题与函数图像分析 典例引领 【典例01】（2025·广东汕头·模拟预测）如图①，在中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y，y是x的函数，函数的图象如图②所示，则的周长为（    ）． A．14 B．18 C．20 D．28 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、函数图象等知识点，从函数图象中获得的长是解题的关键． 由图②知，，再根据平行四边形的周长公式计算即可． 【详解】解：由图②知，， ∵， ∴， ∴的周长为． 故选：D． 【典例02】（2025·广东惠州·模拟预测）如图在平行四边形中，，，P是上的任一点，过点P作，与平行四边形的两条边分别交于点E，F，设，，则能反映y与x之间关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为一次函数与相似形的综合题，平行四边形的性质，解题的关键是求出函数关系式．分两段求：当在上时，当在上时，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象． 【详解】解：设与交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 当在上，即时， ， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即， ； 当在上，即时， 同理得：即， ； 综上分析可知：只有C选项中的函数图象符合题意． 故选：C． 方法透视 考向解读 高频中档题，选择/解答为主，单/多动点沿平行四边形边/对角线运动，考查边长、对角线、面积、三角形面积（内接）等几何量的图像，侧重平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质应用。 方法技能 ①利用平行四边形性质转化动线段（如对边相等表示未知边）； ②按动点经过顶点、对角线交点划分阶段，重点分析“动点跨边”时几何量的变化规律； ③内接三角形面积常与平行四边形面积关联（如一半关系），简化表达式后判断图像特征。 变式演练 【变式01】（2025·广东东莞·一模）如图1，在平行四边形ABCD中，动点P从点A出发，沿折线方向匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，y与x的函数图象如图2所示．若AP的最大值为4，则BC的长为（   ） A．4 B．4.4 C．4.8 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了根据函数图象获取有效信息，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接，过点A作于，根据函数图象可知：，，所以 ，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，最后根据即可解答． 【详解】解：连接，过点作于点，如解图， 由题意得，，， ， ， ， ， 故选：D． 【变式02】（2025·广东江门·模拟预测）如图1，四边形是平行四边形，连接，点P从点A出发，沿某路径运动，沿回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】图1和图2中的点对应：点A对点O，点B对点M，点D对点N，根据点P运动的路程为x，线段的长为y，依次求出、，再利用等腰三角形三线合一求得，然后利用勾股定理求得，从而可求得平行四边形的面积． 【详解】解：在图1中，作，垂足为E， 在图2中，，， 当点P从点A到点B时，对应图2中线段， ∴， 当点P从B到D时，对应图2中曲线从点M到点N， ∴， ∴， 当点P到点D时，对应图2中到达点N， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵在中，，， ， ∴， 解得：(负值舍去)， ∴平行四边形的面积， 故选：B． 【变式03】（2025·广东韶关·模拟预测）如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．的长为（ ） A．cm B．3cm C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象分析、平行四边形性质、三角形面积计算及勾股定理应用等知识点，解题的关键在于通过函数图象确定点P运动的时间与路径，进而求得各边长，利用三角形面积公式反推出高，最后结合勾股定理计算对角线的长度。 【详解】解：由图象可知，， 四边形是平行四边形， ， 当点P在上运动时，， 设边上的高为h， ，即， 点P从A到D运动时间为， ，即， ， ， ． 如图， 过A作于E，则， 在中，， ， ． 故选：C． 题型03 菱形中的动点问题与函数图像分析 典例引领 【典例01】（2025·广东阳江·模拟预测）如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点作于点，根据已知条件得出是等边三角形，当点在上时，根据等边三角形的性质及勾股定理得出，进而证明，得出，，即可得出；当点在上，根据三角形的面积公式得出，根据两个函数解析式即可判断出函数图象． 【详解】解：如图1，当时，点在上，连接，过点作于， ∵在菱形中，，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∵运动时间为秒， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图象为开口向上的抛物线，最大值为， 如图2，当时，点在上， ∵，， ∴， ∴图象为一次函数，且最大值为， 综上所述，时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分．只有A选项符合题意． 【典例02】（2025·广东肇庆·模拟预测）如图①，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．图②是点，运动时的面积与运动时间的函数关系的图象，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点函数的图象，菱形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是由点的运动结合图2得出的长．根据题意可得，分当点Q在上时，即时和当点Q在上时，即时，分别表示出，分析可知当点Q到达点C时，，此时，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题图2得，时，点P停止运动， 点P以每秒1个单位速度从点运动到点用了6秒， ， 由点P和点Q的运动可知，， 当点Q在上时，即时，， 过点P作交于，   ， ， ， 当点Q在上时，即时，   四边形是菱形， ， ， 由上可知，当点Q到达点C时，， 即当时，， 故选：C 方法透视 考向解读 中档综合题，选择/解答为主，动点沿菱形边/对角线/对称轴运动，考查线段长、面积、夹角等几何量的图像，核心结合菱形邻边相等、对角线垂直平分且平分内角的特殊性质。 方法技能 ①由菱形对角线垂直构造直角三角形，用勾股定理表示动线段； ②面积计算优先用“对角线乘积的一半”，内接图形面积结合对角线分割的四个全等直角三角形分析； ③动点沿对称轴运动时，几何量常呈对称变化趋势，图像具有对称性。 变式演练 【变式01】（2025·广东揭阳·模拟预测）如图，已知在边长为4的菱形中，，E是边上一动点（与点B，C不重合）．连接，作，交于点F，设，的面积为y．下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点函数的图象，相似三角形的判定和性质，求出是本题的关键．如图，延长至H，使，通过证明，可得，可得，由三角形面积公式可求函数解析式，即可求解． 【详解】解：如图，延长至H，使， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，且， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该函数图象开口向下，当时，最大值为， 故选：B． 【变式02】（2025·广东珠海·二模）如图1，菱形中，对角线，交于点，点，点同时从点出发，点以的速度沿折线运动到点停止，点以的速度沿方向运动，点随点的运动停止而停止．连接，的面积()与点的运动时间)之间的函数图象如图2所示，则菱形的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，菱形的性质以及解直角三角形．利用的正弦值得到的长，的正切值得到菱形对角线的一半的长是解决本题的难点．当时，点在线段上，作于点，根据的面积为可得的长，即可得到的长，易得，则，当时，点在线段上，作于点，根据的面积为可得的长，进而可得的长，则可得的长，根据的正切值可得和的长，则可菱形对角线的长，那么可得菱形的面积． 【详解】解：当时，，，如图： 作于点，则， ， ， ， 解得：， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 当时，点在上，运动的路程长，，如图： 作于点，则， ， ， 解得：， ， 解得：， ， 设为 ，则， ， 解得：， ， ，， ，， 菱形的面积为， 故选：B． 【变式03】（2025·广东中山·模拟预测）如图1，在菱形中，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，点为第2段函数图象上的最低点，结合图象判断以下结论：①；②为等边三角形；③菱形的面积为；④最低点的坐标为．其中结论正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等等．根据题意求得，得到和为等边三角形，作于点，利用勾股定理求得，据此求解可得结论． 【详解】解：∵菱形， ∴， 当点P运动到点B处时，，即， 当点P运动到点D处时，，所以，故①正确； ∴， ∴和为等边三角形，故②正确； 作于点， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为，故③错误； 当点P运动到点H处时，，， ∴最低点的坐标为，故④正确； 综上，①②④正确； 故选：B． 题型04 矩形中的动点问题与函数图像分析 典例引领 【典例01】（2026·广东广州·一模）如图，在矩形中，，．动点P从点A出发，沿的路径运动，过点P向对角线作垂线，垂足为Q，设，的面积为y．则y关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理可得，然后分两段讨论：当点P在上时，当点P在上时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，，， ∴在中，， 根据点P的运动，需要分段讨论： ①当点P在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，； ∴，即， ∵点P在上， ∴ ∴，即， ∴y关于x的函数关系式为，图象是开口向上的一段抛物线； 当点P在上时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，， ∴， ∵点P在上， ∴， ∴，即， ∴y关于x的函数关系式为，图象开口向下的一段抛物线． 综上所述，选项A的图象符合题意． 【典例02】（2025·广东茂名·模拟预测）如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（   ） A．当时，的面积为3平方米 B．小车的运动速度为1米／秒 C．长方形的周长为14米 D．在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒 【答案】D 【分析】本题主要考查了通过函数图象解决几何问题，解题的关键是掌握数形结合的思想． 通过函数图象获取信息，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由图可知，用时4秒，面积达到6平方米，面积每秒的变化为平方米， 当时，的面积为平方米， 该选项正确，不符合题意； B.假设运动速度为米／秒，， 结合图象可得，，联立两个方程可得， ， 该选项正确，不符合题意； C.由选项B可知，小车的运动速度为1米／秒， ∴， ∴长方形的周长为米， 该选项正确，不符合题意； D.由选项A得，面积每秒的变化为平方米， 当的面积增加为2平方米时，， 解得； 当的面积减少为2平方米时，， 解得； ∴这两个时刻之和为， 该选项错误，符合题意； 故选：D． 方法透视 考向解读 高频中档题，全题型覆盖，动点沿矩形边/对角线运动，考查线段长、面积、勾股定理相关量的图像，侧重矩形四个直角、对边相等、对角线相等的性质，常涉及“折叠、内接直角三角形”变式。 方法技能 ①利用矩形直角构造直角三角形，用动参表示直角边，结合勾股定理求线段长； ②面积分析优先定“定底动高”或“定高动底”，简化计算； ③动点沿对角线运动时，重点分析内接三角形的底高变化，判断函数类型（多为一次/分段一次）。 变式演练 【变式01】（2026·广东湛江·模拟预测）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿匀速运动到点．图②是点运动过程中，的面积随点的运动路程变化的关系图象，则该矩形的边的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，三角形面积公式，动点问题的函数图象分析，从图象中提取关键信息是解题关键． 由关系图象可知，当时的面积恒为，得出，代入三角形面积公式即可求出． 【详解】解：据图可知，，当点运动到上时，面积为， 四边形为矩形， ， ， ， 解得． 故选：． 【变式02】（2025·广东清远·模拟预测）如图，在矩形中，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，过点作对角线的垂线，垂足为，设的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及矩形性质、含的直角三角形性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分类讨论，准确得到与的函数关系式是解决问题的关键． 根据题意，分点在上和点在上，作出图形，运用含的直角三角形性质求出长度，由三角形面积公式表示出与的函数关系式，根据二次函数图象与性质分析即可得到答案． 【详解】解：当点在上时，如图所示： 在矩形中，，则， ， 在中，， 设的面积为， ， 则，， 是二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为轴，符合要求的是B选项中的图； 当点在上时，如图所示： 在矩形中，，则， 设的面积为， ， ， 在中，，，则， 则，， 是二次函数，图象为抛物线，开口向下，对称轴为，符合要求的是B选项中的图； 综上所述，能表示与的函数关系的图象大致是， ， 故选：B． 【变式03】（2025·广东深圳·二模）如图，矩形中，，，点是边上的一个动点（点不与点，重合），现将沿直线折叠，使点落在点处；作的平分线交于点E．设，，那么关于的函数图象大致应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了翻折变换的性质，相似三角形的判定与性质，表示出与的函数解析式是解题的关键，还需注意、两选项的区别． 根据翻折变换的性质可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，从而得到，根据两组角对应相等的三角形相似求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出与的关系式，再根据二次函数的图象解答即可． 【详解】解：由翻折的性质得，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴函数图象为C项图象． 故选：C． 题型05 正方形中的动点问题与函数图像分析 典例引领 【典例01】（2025·广东惠州·三模）如图1，在正方形中，为的中点，点沿从点运动到点，设两点的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则当最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图象可知，当最后到达点时，，结合条件可得正方形边长为8，利用勾股定理求出，根据图形可知当三点共线时，最小，再证，利用三角形相似的性质求线段长即可． 【详解】解：由图象可知，当最后到达点时，， 是正方形，为的中点， ， 解得，则， ， ， 当三点共线时，最小， 在正方形中，， ， ， ，即， ， 解得． 【典例02】（2025·广东佛山·二模）如图1，正方形中，点E为边上一动点，连接，过点D作于P，连接，设长度为x，长度为y，y关于x的函数图象如图2所示，其中点P是函数图象的最低点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图2可知，当时，，根据正方形的性质及三线合一求出，根据勾股定理得到，取中点O，可知，连接，可知点P在以为圆心，为半径的圆上运动，当A、P、O三点共线时，有最小值，可知此时，，根据勾股定理得到，可知，过点P作交于H，可知，证明，求出，根据勾股定理得到，证明，求出，得到，即可求出的值． 【详解】解：如图3，由图2可知，当时，， ∵正方形中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， 如图4，取中点O，可知，连接， ∵于P， ∴点P在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴， ∴当A、P、O三点共线时，有最小值，可知此时，， ∵，， ∴， ∴， 过点P作交于H，可知， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 方法透视 考向解读 压轴中档题，选择/解答压轴为主，单/多动点沿正方形边/对角线/对称轴运动，考查线段长、面积、夹角、全等/相似相关量的图像，融合正方形四边相等、四角直角、对角线垂直平分且相等的所有特殊性质，常结合旋转、折叠变式。 方法技能 ①利用正方形的边、角、对角线性质，快速转化动线段（如对角线为边长的倍）、构造全等/等腰直角三角形； ②按动点经过顶点、对角线交点划分阶段，分析“动高/动底”的变化，复杂面积用割补法表示； ③关注几何量的特殊临界点（如动点到顶点、对角线交点时），精准确定图像拐点与函数解析式取值范围。 变式演练 【变式01】（2025·广东潮州·二模）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）则与之间的函数图象大致是下列图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为，再分两种情况：①和②，利用面积关系求出与之间的函数关系式，由此即可得． 【详解】解：∵正方形的边长为， ，， ， 由题意可知，点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为， ①当时，， 则； ②当时，， 则； 综上，与之间的函数关系式为， 根据二次函数的图像与性质，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意， 故选：A． 【变式02】（2025·广东中山·三模）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．当时，；当时，，结合图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， ∴，， ∴，此时抛物线开口向上． 当时，如图， ∴，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴ ，此时抛物线的开口向下． 综上，选项A符合题意， 故选：A． 【变式03】（2025·广东河源·二模）如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 当时，点在上，点在上，求得，故图象是正比例函数，当时，点在上，点在上，求得，图象是开口向下的抛物线，当时，点在上，点在上，求得，据此可求出答案． 【详解】解：两点运动速度相等， 两点的运动路程相等， 当时，点在上，点在上，如图，   ，， ，故图象是正比例函数， 当时，点在上，点在上，如图，    此时， 为中点， ， ， 点到的距离为， ， 图象是开口向下的抛物线， 当时，点在上，点在上，如图，    此时， ， ， ，， ，图象与前一段函数一样， 据此判断A正确， 故选：A． 题●型●训●练 1．（2025·广东深圳·模拟预测）如图1，的边与长方形的边都在直线上，且点与点重合，，将沿着射线方向移动至点与点重合时停止，设与长方形重叠部分的面积是，的长度为，与之间的关系图象如图2所示，则长方形的面积为（  ） A．8 B．10 C．6 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题函数图象，解题的关键是数形结合，求出长方形的长和宽．从图2看，向右平移2个单位时，整体在长方形中，可得到长方形的宽，再向右平移3个单位时，点重合，可得到长方形的长，即可求出长方形的面积． 【详解】解：从图2看，向右平移2个单位时，整体正好在长方形中，此时与长方形重叠部分的面积为的面积为且， 的面积为， 解得：， ， 再向右平移3个单位时，点重合， 故：， 长方形的面积为， 故选：B． 2．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，在长方形中，是边上一点，且，，点从点出发，沿折线匀速运动，运动到点停止．点的运动速度为，运动时间为，的面积为，与之间的关系图象如图，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，动点问题的函数图象，关键是理解题意，熟悉运动的过程，把对应的数据转化为图形中的线段长．观察图象可知，面积最大为，可求得、的长，从而得到的长，进而求出在上运动的时间，即为的值，即可判断A选项的正确性；直接求出在上运动的时间，即为的值， 即可判断B选项的正确性；进而计算的值， 即可判断C选项的正确性；当 时，计算出点 运动的路程，从而求得此时的长，根据三角形面积公式求解的面积，即可判断D选项的正确性． 【详解】解：由题图可得出当点 运动到点 且在 上运动时，面积最大，结合题图可知，此时，面积最大为， 从点到点用了， . 此时，，即， ， 当点 从点 运动到点时，所用时间为， ，故A正确； 点 运动完整个过程需要的时间， ，故B错误； ，故C错误； 当 时，点 运动的路程为， 此时， 此时的面积，故D错误． 故选：A． 3．（2025·广东佛山·模拟预测）如图1，直角梯形中，，，动点P从A点出发，由沿梯形的边运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，关于y与x的函数图象如图2，则的长为（    ）   A．11 B．9 C．12 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题中的函数图象的应用，勾股定理解三角形，合理分析图象及勾股定理的应用是解题关键． 作，由图2得，当点P运动到点D时路程为5，即，当点P运动到点C时路程为11，即，当点P运动到点B时路程为14，即，再在中，求出，即可求出． 【详解】解：如图，作， 由图2得，当点P运动到点D时路程为5，即， 当点P运动到点C时路程为11，即， 当点P运动到点B时路程为14，即， ，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ，， 在中，， ． 故选：D． 4．（2025·广东中山·模拟预测）如图1，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发时，的面积为．已知y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则下列结论错误的是（ ）． A． B．当时，的面积是 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查动点的函数图象、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，从图象中有效的获取信息是解题的关键． 由函数图象得，当时，点Q到达点C，点P到达点E，进而得到当时，点P在上运动，，即可判断B；再求出的长，勾股定理求出的长，即可判断A；如图：过点P作于点H，证明，可求，即可判断C；求出时，的长，即可判断D选项． 【详解】解：由函数图象得，当时，点Q到达点C，点P到达点E， 当时，点P在上运动，， 当时，点P到达点D，故选项B正确，不符合题意； ∵当时，， ∴，解得：， ∴，故选项A正确，不符合题意； 当时，点P在线段上，则， 如图：过点P作于点H，则：， ∴， ∴， ，即，解得：， ，故选项C错误，不符合题意； ， ∴当时，点P在线段上，此时，， ，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 5．（2025·广东深圳·一模）如图 1，在中，，一动点P从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿A→B→C的路径运动，过点P作，垂足为Q．设点P运动的路程为x，与的差为y，y与x的函数图象如图2所示，点M，N是线段，与x轴的交点，则图2点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长为（     ） A．2秒 B．4秒 C．秒 D．秒 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角函数以及动点问题的函数图象，正确读取图中的信息是解题的关键． 先根据函数图象中特殊点的坐标求出直角三角形的边长，再通过三角函数关系求出与相等时对应的点的运动路程，最后根据运动速度求出点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长． 【详解】解：当时，，此时点P、Q都在点A处， ， ， 当时，点P从点A运动到点C处， ， ， ， ， ， 由题意得：当时，与的长相等， 设长为，则为，， ， ， ， 解得：， 如图，当点P运动到的中点时，，此时， 点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的路程长为：， 点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长为：秒， 故选：C． 6．（2025·广东佛山·模拟预测）如图1，在中，，D为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为．当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．根据图象信息，求得线段的长为_____． 【答案】6 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是从图中获取信息． 连接，过点D作于点G；当点P在线段上运动时，在中，，则，函数值随t的增大而增大，与点B重合时最大；当点P在线段上运动时，S先减小，再增大，在与点G重合时最小，与点A重合时达到最大；由此得，，由勾股定理求得，再证明，即可求解， 【详解】解：如图，连接，过点D作于点G， 当点P在线段上运动时， 在中，，则， ∴函数值随t的增大而增大，与点B重合时最大； 当点P在线段上运动时，的长度是先减小，到与点G重合时，达到最小，再增大，与点A重合时达到最大，而， ∴S先减小，再增大，在与点G重合时最小，与点A重合时达到最大， ∴结合图象知，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 7．（2025·广东汕头·二模）如图1，在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为____________ 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，用勾股定理解三角形，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据当时，求出，再根据当时，，先求得，再利用勾股定理求得，然后利用解直角三角形求得． 【详解】解：当时，点在点处，此时，则， 当时，， 则， ， ， ， 故答案为：． 8．（2025·广东广州·一模）如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示． （1）线段的长为________； （2）在整个运动过程中，的最大值为________． 【答案】 3 54 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时要能读懂题意，结合图象进行分析是关键． （1）由函数图象得； （2）当时，，连接，当点与点重合时，的值最大，先证明，再证明，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由函数图象得，函数图象经过点，， ∴， 故答案为：3； （2）由函数图象得，当动点运动到达点后，， 当时，，此时，图象如图所示， 连接，当点与点重合时，的值最大， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 作于点， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴的最大值为54， 故答案为：54． 9．（2025·广东清远·二模）如图1，点P从的顶点A出发，沿着的方向运动，到达点C后停止．设P点的运动时间为x，的长度为y，图2是y与x的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则的面积是______． 【答案】 【分析】分析出当点到点处时，，即，当点到点处时最短，，即，当点到点处时，，即，再根据勾股定理分别求出和，即可求出三角形的面积．本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 【详解】解：作，如图， 当点到点处时，，即， 当点到点处时最短，，即， 当点到点处时，，即， 在中，， 在中，， ． 故答案为： 10．（2025·广东韶关·三模）如图，在边长为4的正方形的边上有一个动点P，从A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y．请结合右侧函数图象分析当时，y的值为____________．    【答案】2 【分析】观察图象可知，P在正方形的边上每运动一周，则的值增加16， （周）……7（单位长度），当时，点位于边四等分点靠近处，再根据图象算出结果． 【详解】解：P在正方形的边上每运动一周，则的值增加16， （周）……7（单位长度）， 当时，点位于边四等分点靠近处，即， ， 故答案为：2． 11．（2025·广东惠州·三模）如图①，在中，，，动点D从点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，过点D作于点E，图②是点D运动时，的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象，则AB的长为__________． 【答案】8cm 【分析】根据题意，面积最大是，此时D、C两点重合，根据面积公式可求得，再解直角三角形即可得解． 【详解】解：根据题意，面积最大是，此时D、C两点重合，如图所示， 在中，, ， 又， 解得，保留正值， ， ， 在中，， 在中， ， 解得， 故答案为8cm． 12．（2025·广东茂名·三模）如图1，动点P从长方形ABCD的顶点A出发，沿A→C→D以1cm/s的速度运动到点D停止．设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2）．表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则长方形ABCD的面积为 _____cm2． 【答案】60 【分析】根据题意可得AC=13cm，CD=25-13=12（cm），根据勾股定理可得AD的值，进而得出长方形ABCD的面积． 【详解】解：由图象，结合题意可得AC=13cm，CD=25-13=12（cm）， ∴AD==5（cm）， ∴长方形ABCD的面积为：12×5=60（cm2）． 故答案为：60． 13．（2025·广东潮州·模拟预测）如图1，正方形的顶点A，B的坐标分别为，，顶点C，D在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按方向运动，同时，点Q从点出发，沿x轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为，的面积S（平方单位）． (1)正方形的边长为_________； (2)当点P由点A运动到点B时，过点P作轴交y轴于点M，已知随着点P在上运动时，的面积S与时间之间的函数图象为抛物线的一部分（如图2所示），填空： ①点P，Q两点的运动速度为_________单位/秒； ②S关于t的函数关系式为_________； (3)当点P由点B运动到点C时，经探究发现的面积S是关于时间的二次函数，其中S与t部分对应取值如下表：求：m的值及S关于t的函数关系式． t 10 15 20 S 28 76 m 【答案】(1)10 (2)①1；② (3)， 【分析】（1）由A，B的坐标分别为，，根据勾股定理计算即可得出答案； （2）①由图2可知，当时，，即点P从A点移动到B点用了，结合进行计算即可； ②由题意得，则，计算出，得到，再由三角形的面积公式计算即可； （3）先求出点C的坐标，从而得出m的值，再利用待定系数法求二次函数解析式即可． 【详解】（1）解：∵A，B的坐标分别为，， ∴， ∴正方形的边长为10， 故答案为：10； （2）解：①由图2可知，当时，，此时点P从A点移动到B点， ∴点P从A点移动到B点用了， 由（1）得：， ∵， ∴P、Q两点的速度为1单位/秒， 故答案为：1； ②如图1， ， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： 由题意可得：时，点P运动到点C处，， ∴， 过点C作轴于H，过点B作轴交于点N，如图2， ， 则， ∴， ∴，四边形为矩形， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵A，B的坐标分别为，， ∴， ∴， ∴， ∴点C坐标， ∴， 设S关于t的函数关系式为， ∴， 解得， ∴． 14．（2025·广东河源·二模）综合运用 如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B， 点C、D分别在直线、x轴负半轴上运动，且始终满足．连接， 交y轴于点E，以为斜边构造等腰直角三角形，， 且点C、D、F 按顺时针方向排列， 连接、． 点C的横坐标为m（）．    (1)分别求、的长． (2)若点C在线段上， 当是直角三角形时，求点C的坐标． (3)设的面积为S， 求S关于m的表达式． 【答案】(1)， (2)当是直角三角形时，点的坐标为或 (3)当时，；当时，． 【分析】（1）根据题意求得，，进而可求解； （2）过点分别作轴，轴，由题意得，则， 由，得，，可知，，再证，可知，进而得，，再分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别进行讨论即可； （3）过点分别作轴，轴，根据等腰直角三角形的性质可知，再分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别进行讨论即可． 【详解】（1）解：当时，，解得， 当时，， ∴，， ∴，； （2）过点分别作轴，轴，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，则，， ∴，， ①当时，则是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴，即：， 亦即：， 解得：（舍去），， ∴； ②当时，则是直角三角形，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，， ∴，解得：， ∴； ③当时， ∵，相互矛盾， ∴不存在这种情况； 综上：当是直角三角形时，点的坐标为或； （3）过点分别作轴，轴， ∵等腰直角三角形，，则， ∴， ∴， ①当时，，，    在中， ， ∵， ∴， ∴； ②当时，，，    在中， ， 同理， ∴； ③当时，，，    在中， ， ∵，即：， ∴， ∴， 综上：当时，；当时，． 15．（2025·广东江门·三模）如图，半圆O中，，点M为上一点，，点P为半圆上一个动点，连接，过点A作，垂足为N．小明根据学习函数的经验，对线段的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)设的长度为，的长度为，的长度为，对于点P在半圆O上的不同位置，通过画图、测量，得到了线段的长度的几组值，如下表： /cm 0 1 2 3 4 5 6 7 7.5 7.64 7.78 7.90 8 /cm 0 0.99 1.99 2.97 3.92 4.82 5.61 5.90 5.56 5.18 4.46 3.30 0 /cm 6 5.91 5.65 5.21 4.53 3.56 2.12 0.24 2.25 3.01 4.0 5.00 6 请计算，当时，______； (2)利用表格中的数据，在如平面直角坐标系中画出（1）中所确定的函数关于x的函数图象； (3)观察函数图象分别写出函数、的一条性质； (4)当等腰三角形时： ①通过计算可知：______； ②通过进一步探究函数图象可知：长度的近似值为______．（保留一位小数） 【答案】(1) (2)见解析 (3)当时，随x的增大而增大；时，随x的增大而减小（答案不唯一） (4)①；②和 【分析】（1）连接BP，证明，推出，求得的长，再利用勾股定理即可求解； （2）先描点，再连线，即可得出结论； （3）根据（2）中函数图象求解即可得到答案； （4）根据（2）中函数图象求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接BP， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，则， ∴， 在中，， 故答案为：； （2）解：描点、连线，如图，即为所求， （3）解：从函数图象看，当时，随x的增大而增大； 时，随x的增大而减小（答案不唯一）； （4）解：①∵等腰三角形，在等腰中，， 故答案为：； ②观察函数图象可知，交点位置即为所求，即和（答案不唯一）， 故答案为：和（答案不唯一）． 公司2 / 7 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