第16章 二次根式全章14种题型（复习讲义）数学新教材沪科版八年级下册

第16章 二次根式（复习讲义） 1.理解掌握二次根式的定义、表示方法及性质，会判断二次根式有意义的条件，掌握二次根式的双重非负性； 2.掌握二次根式的基本性质与运算法则，能熟练进行二次根式的乘除、加减运算，会对二次根式进行化简，理解最简二次根式、同类二次根式的概念； 3.理解二次根式与实数的扩充关系，能够结合运算与化简，理解二次根式在实数体系中的地位，并能利用这种联系解决代数式化简问题； 4.应用二次根式的运算与性质解决实际问题，能够运用二次根式的运算法则、运算律解决一些复杂的数学问题，如含二次根式的代数式化简、实数混合运算及实际情境中的估算与最值问题。 一、二次根式的概念与基本性质 （一）二次根式的定义 定义：一般地，形如（≥0）的式子叫做二次根式，其中“”叫做二次根号，叫做被开方数。 核心特征： 1.含有二次根号 “”； 2.被开方数a必须是非负数（≥0），即被开方数可以是正数、0，也可以是代数式（只要其值非负）； 3.形式上是 “根号下非负数” 的结构。 （二）二次根式的基本性质 性质1：双重非负性 ≥0（当≥0时），且被开方数≥0。即：二次根式本身的值是非负数，被开方数也必须是非负数。 性质 2：平方运算 ()2= (≥0) 文字表述：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 性质 3：开方与绝对值 =∣∣ 文字表述：一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值。 二、二次根式的乘除运算 （一）二次根式的乘法法则 法则：⋅=（≥0, b≥0） 文字表述：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 逆用（积的算术平方根）：=⋅(≥0, b≥0) 作用：用于二次根式的化简，将被开方数中能开得尽方的因数或因式开出来。 （二）二次根式的除法法则 法则：=（≥0, b>0）文字表述：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 逆用（商的算术平方根）：=(≥0, b>0)作用：用于二次根式的化简，将分母中的根号化去（分母有理化）。 （三）最简二次根式 定义：满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 1.被开方数不含分母（即分母中不含根号）； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 三、二次根式的加减运算 （一）同类二次根式 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 核心特征： 1.先化为最简二次根式； 2.被开方数完全相同。 （二）二次根式的加减法则 法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。合并同类二次根式与合并同类项类似，只把系数相加减，被开方数和根指数不变。 步骤： 1.化简：将每个二次根式化为最简二次根式； 2.找同类：找出被开方数相同的最简二次根式； 3.合并：将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数保持不变。 四、二次根式的混合运算 运算顺序：与实数的运算顺序一致，先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里面的。 运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，分配律在二次根式运算中仍然适用。 分母有理化：运算结果若分母含根号，需通过分子分母同乘分母的有理化因式，将分母化为有理数或整式。 题型一 二次根式的识别 【例1】（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级下·云南临沧·月考）下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 题型二 求二次根式中的参数 【例2】（23-24八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的和为0，则的值为_____． 【变式2-1】（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 【变式2-2】（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-3】（2024八年级上·全国·专题练习）如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 题型三 二次根式有意义的条件 【例3】（2025·北京·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【变式3-1】（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）函数中，自变量x的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式3-3】（2022·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D．且 题型四 二次根式的乘除混合运算 【例4】（24-25八年级下·安徽安庆·月考）计算： (1)； (2)． 【变式4-1】（2024·广东茂名·一模）计算：___________． 【变式4-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）计算_____． 【变式4-3】（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）计算： (1)； (2)． 题型五 分母有理化 【例5】（2023·上海·中考真题）计算： 【变式5-1】（22-23八年级下·四川德阳·月考）化简的结果是___________． 【变式5-2】（21-22八年级上·上海普陀·期中）已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式 【变式5-3】（2021九年级·全国·专题练习）阅读下列解题过程： ＝＝-1； ＝＝-； ＝＝-＝2-； … 解答下列各题： （1）＝　　； （2）观察下面的解题过程，请直接写出式子＝　　． （3）利用这一规律计算：（+…+）×（+1）． 题型六 最简二次根式的判断 【例6】（17-18八年级下·全国·单元测试）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24八年级下·广西南宁·月考）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（17-18八年级下·内蒙古·月考）下列二次根式：是最简二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式6-3】（18-19八年级下·河南周口·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 题型七 已知最简二次根式求参数 【例7】（22-23八年级上·河北沧州·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则____. 【变式7-1】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式7-2】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【变式7-3】（2023八年级下·浙江·专题练习）若最简根式与是同类二次根式，则_____． 题型八 比较二次根式的大小 【例8】（17-18八年级上·贵州贵阳·期中）比较大小：______（填“，，”）． 【变式8-1】（25-26八年级上·四川成都·期中）比较大小：_____ （填“”“ ”“”） 【变式8-2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【变式8-3】（21-22七年级下·江西抚州·月考）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型九 复合二次根式的化简 【例9】（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）化简：____________________． 【变式9-1】（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【变式9-2】（21-22八年级下·安徽芜湖·期中）阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题： 化简： (1)； (2)； (3)． 【变式9-3】（25-26八年级上·广西来宾·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 题型十 同类二次根式 【例10】（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（14-15八年级下·全国·期中）下列二次根式中，不能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式， 关键是掌握被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式． 【变式10-2】（18-19八年级下·江苏泰州·期末）若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为______． 【变式10-3】（24-25八年级上·广东河源·期中）下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型十一 二次根式的混合运算 【例11】（2022·重庆·中考真题）估计的值应在（    ） A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间 【变式11-1】（13-14八年级下·江西宜春·期末）计算：． 【变式11-2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1) (2) 【变式11-3】（24-25八年级上·四川成都·期末）计算： (1) (2) 题型十二 已知字母的值，化简求值 【例12】（24-25八年级上·湖南常德·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式12-1】（10-11七年级上·四川泸州·期中）先化简，再求值：，其中 【变式12-2】（2021·辽宁鞍山·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【变式12-3】（2023·福建厦门·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 题型十三 已知条件式，化简求值 【例13】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式13-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知，，求： (1)的值． (2)的值． 【变式13-2】（24-25八年级下·安徽六安·月考）已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【变式14-3】（23-24八年级下·安徽蚌埠·月考）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 题型十四 二次根式的应用 【例14】（17-18八年级下·全国·单元测试）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【变式14-1】（18-19八年级上·北京海淀·期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A．78 B． C． D． 【变式14-2】（23-24八年级下·安徽淮南·期中）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别为12和27，则阴影部分的周长为_________． 【变式14-3】（23-24八年级下·安徽池州·月考）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量×高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 基础巩固通关测 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（2022·江苏徐州·中考真题）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西南宁·月考）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是_______． 5．（2023八年级下·浙江·专题练习）若最简根式与是同类二次根式，则_____． 7．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 8．（21-22八年级上·山东济南·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题： (1)化简：______，______（n为正整数） (2)比较大小：______（填“”，“”或“”） (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：______ 9．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）计算： (1)； (2)． 10．（24-25八年级上·江西抚州·期末）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1) (2) 12．（20-21八年级下·安徽阜阳·期末）先化简，再求值：，其中． 13．（22-23八年级下·河南商丘·月考）已知，，求： (1)代数式的值； (2)代数式的值． 14．（23-24八年级下·吉林·月考）已知，，求代数式的值． 15．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ） A． B． C． D． 能力提升进阶练 16．（22-23九年级上·四川遂宁·月考）若，则 化简后的结果是（      ） A．xy B． C． D． 18．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，则a的值为 __________． 19．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）新版北师八年级（上）数学教材页第题指出：设一个三角形的三边长分别为，，则有下列面积公式；（海伦公式）．（秦九韶公式）． (1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为，即，，， ∴______． 根据海伦公式可得：______． (2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 20．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）阅读与思考 如果两个正数、，即、，则有：① 又② ③ ， 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、的算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：，； 即：函数的最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为____________________； (2)已知，则函数的最小值为_____，此时的值为_____； (3)若，试求函数的最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16章 二次根式（复习讲义） 1.理解掌握二次根式的定义、表示方法及性质，会判断二次根式有意义的条件，掌握二次根式的双重非负性； 2.掌握二次根式的基本性质与运算法则，能熟练进行二次根式的乘除、加减运算，会对二次根式进行化简，理解最简二次根式、同类二次根式的概念； 3.理解二次根式与实数的扩充关系，能够结合运算与化简，理解二次根式在实数体系中的地位，并能利用这种联系解决代数式化简问题； 4.应用二次根式的运算与性质解决实际问题，能够运用二次根式的运算法则、运算律解决一些复杂的数学问题，如含二次根式的代数式化简、实数混合运算及实际情境中的估算与最值问题。 一、二次根式的概念与基本性质 （一）二次根式的定义 定义：一般地，形如（≥0）的式子叫做二次根式，其中“”叫做二次根号，叫做被开方数。 核心特征： 1.含有二次根号 “”； 2.被开方数a必须是非负数（≥0），即被开方数可以是正数、0，也可以是代数式（只要其值非负）； 3.形式上是 “根号下非负数” 的结构。 （二）二次根式的基本性质 性质1：双重非负性 ≥0（当≥0时），且被开方数≥0。即：二次根式本身的值是非负数，被开方数也必须是非负数。 性质 2：平方运算 ()2= (≥0) 文字表述：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 性质 3：开方与绝对值 =∣∣ 文字表述：一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值。 二、二次根式的乘除运算 （一）二次根式的乘法法则 法则：⋅=（≥0, b≥0） 文字表述：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 逆用（积的算术平方根）：=⋅(≥0, b≥0) 作用：用于二次根式的化简，将被开方数中能开得尽方的因数或因式开出来。 （二）二次根式的除法法则 法则：=（≥0, b>0）文字表述：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 逆用（商的算术平方根）：=(≥0, b>0)作用：用于二次根式的化简，将分母中的根号化去（分母有理化）。 （三）最简二次根式 定义：满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 1.被开方数不含分母（即分母中不含根号）； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 三、二次根式的加减运算 （一）同类二次根式 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 核心特征： 1.先化为最简二次根式； 2.被开方数完全相同。 （二）二次根式的加减法则 法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。合并同类二次根式与合并同类项类似，只把系数相加减，被开方数和根指数不变。 步骤： 1.化简：将每个二次根式化为最简二次根式； 2.找同类：找出被开方数相同的最简二次根式； 3.合并：将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数保持不变。 四、二次根式的混合运算 运算顺序：与实数的运算顺序一致，先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里面的。 运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，分配律在二次根式运算中仍然适用。 分母有理化：运算结果若分母含根号，需通过分子分母同乘分母的有理化因式，将分母化为有理数或整式。 题型一 二次根式的识别 【例1】（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 【变式1-1】（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 【变式1-2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的定义，把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式； B、∵，∴不是二次根式； C、当时，，不是二次根式； D、∵，∴一定是二次根式． 故选：D． 【变式1-3】（24-25八年级下·云南临沧·月考）下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫做二次根式判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有，，，，共五个． 故选C． 题型二 求二次根式中的参数 【例2】（23-24八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的和为0，则的值为_____． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ，， 解得：，， ； 故答案：． 【变式2-1】（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 【答案】B 【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论． 【详解】解：由题意得：，解得， 又因为是整数， ∴是完全平方数， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键． 【变式2-2】（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为2， 故选：A． 【变式2-3】（2024八年级上·全国·专题练习）如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的定义，根据二次根式的定义可得：，，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：是二次根式，且值为5， ， 解得． 故的算术平方根为． 题型三 二次根式有意义的条件 【例3】（2025·北京·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3-1】（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ，解得． 故选：A． 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）函数中，自变量x的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得且 ． 故选D． 【变式3-3】（2022·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：依题意， ∴且 故选B 【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键． 题型四 二次根式的乘除混合运算 【例4】（24-25八年级下·安徽安庆·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键， （1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解； （2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式4-1】（2024·广东茂名·一模）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）计算_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算，熟练掌握二次根式的乘除法运算法则是解题关键． 先计算二次根式的乘法和化简，再进行有理数的除法运算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式4-3】（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键； （1）按照从左至右的顺序进行计算即可； （2）按照从左至右的顺序进行计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式      ． 题型五 分母有理化 【例5】（2023·上海·中考真题）计算： 【答案】 【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键． 【变式5-1】（22-23八年级下·四川德阳·月考）化简的结果是___________． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式5-2】（21-22八年级上·上海普陀·期中）已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式 【答案】A 【分析】求出a与b的值即可求出答案． 【详解】解：∵a＝＝+2，b＝2+， ∴a＝b， 故选：A． 【点睛】本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a与b的值，本题属于基础题型． 【变式5-3】（2021九年级·全国·专题练习）阅读下列解题过程： ＝＝-1； ＝＝-； ＝＝-＝2-； … 解答下列各题： （1）＝　　； （2）观察下面的解题过程，请直接写出式子＝　　． （3）利用这一规律计算：（+…+）×（+1）． 【答案】（1）；（2）；（3）2020 【分析】（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案； （2）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案； （3）根据（1）和（2）的结论，先分母有理化，经加减运算后，再利用平方差公式计算，即可得到答案． 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ 故答案为：； （2） 故答案为：； （3）（+…+）×（+1） ＝（+…+）×（+1） ＝（）×（+1） ＝ ＝2020． 【点睛】本题考查了二次根式和数字规律的知识：解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算、数字规律、平方差公式的性质，从而完成求解． 题型六 最简二次根式的判断 【例6】（17-18八年级下·全国·单元测试）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的两个条件逐项判定即可． 【详解】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意； B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意； C、被开方数含分母，故C不符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的判定条件为：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【变式6-1】（23-24八年级下·广西南宁·月考）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，化简二次根式，根据最简二次根式的定义进行求解即可：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式是二次根式叫做最简二次根式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【变式6-2】（17-18八年级下·内蒙古·月考）下列二次根式：是最简二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】利用最简二次根式的定义:(1)被开方数不含开方开的尽的数或因式，(2)被开方数中不含分母，分别判断即可． 【详解】是最简二次根式的有，． 故选：A 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及将二次根式化为最简二次根式的方法是解决本题的关键． 【变式6-3】（18-19八年级下·河南周口·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】A、，则不是最简二次根式，此项不符题意； B、是最简二次根式，此项符合题意； C、，则不是最简二次根式，此项不符题意； D、，则不是最简二次根式，此项不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键． 题型七 已知最简二次根式求参数 【例7】（22-23八年级上·河北沧州·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则____. 【答案】4 【分析】此题考查了同类二次根式的概念，解答本题的关键是掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识点．根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可得出答案． 【详解】解：∵， 又∵是最简二次根式， ∴根据同类二次根式的性质有：， 解得：， 故答案为：4． 【变式7-1】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 【变式7-2】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】3 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据同类二次根式的概念，它们的被开方数相同，列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：3． 【变式7-3】（2023八年级下·浙江·专题练习）若最简根式与是同类二次根式，则_____． 【答案】2 【分析】根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：2． 【点睛】此题考查的是同类二次根式与最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键． 题型八 比较二次根式的大小 【例8】（17-18八年级上·贵州贵阳·期中）比较大小：______（填“，，”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，利用平方法将无理数的大小转化为有理数的大小比较成为解题的关键． 将无理数的大小转化为有理数的大小比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 【变式8-1】（25-26八年级上·四川成都·期中）比较大小：_____ （填“”“ ”“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． 通过比较两个数的平方值来判断大小即可． 【详解】解：，， 由于， 所以． 故答案为：． 【变式8-2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 【变式8-3】（21-22七年级下·江西抚州·月考）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把化为再结合从而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， 而 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键． 题型九 复合二次根式的化简 【例9】（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）化简：____________________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的运算，根据完全平方公式将化成，再由二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式9-1】（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 【变式9-2】（21-22八年级下·安徽芜湖·期中）阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题： 化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将变形为，然后得出，求出结果即可； （2）将变形为，然后得出，求出结果即可； （3）将变形为，然后得出，求出结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了利用二次根式性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解题意． 【变式9-3】（25-26八年级上·广西来宾·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16或32 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，理解题意是解决本题的关键． （1）将7转化为，进行求解即可； （2）先将算术平方根内部的式子结合题意进行转化即可求解； （3）根据可得，进而根据题意即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解： ； （3）解： 由题意得， ， ∴， ∵，且，，均为正整数， ∴，的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则． 题型十 同类二次根式 【例10】（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【变式10-1】（14-15八年级下·全国·期中）下列二次根式中，不能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案． 【详解】解：A、，能与合并，故A不符合题意； B、，能与合并，故B不符合题意； C、，不能与合并，故C符合题意； D、，能与合并，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式， 关键是掌握被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式． 【变式10-2】（18-19八年级下·江苏泰州·期末）若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．由题意得，与最简二次根式是同类二次根式，据此即可求出x的值． 【详解】解：能与最简二次根式合并同类项，， ， 解得：． 故答案为：4． 【变式10-3】（24-25八年级上·广东河源·期中）下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再看被开方数是否相同，判断即可，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、，与是同类二次根式，不合题意； 、，与不是同类二次根式，符合题意； 、，与是同类二次根式，不合题意； 、，与是同类二次根式，不合题意； 故选：． 题型十一 二次根式的混合运算 【例11】（2022·重庆·中考真题）估计的值应在（    ） A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】先化简，利用，从而判定即可． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键． 【变式11-1】（13-14八年级下·江西宜春·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得． 【详解】解：， ， ． 【变式11-2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算： （1）先将二次根式化简为最简根式，再从左往右依次计算即可； （2）利用二次根式的加减乘除运算法则进行计算． 【详解】（1）原式 （2）原式． 【变式11-3】（24-25八年级上·四川成都·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，立方根、绝对值、平方根和算术平方根的计算，以及完全平方公式和平方差公式的应用； （1）根据立方根，化简绝对值，二次根式的性质化简，再进行加减计算即可求解； （2）根据完全平方公式以及平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型十二 已知字母的值，化简求值 【例12】（24-25八年级上·湖南常德·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据，根据二次根式混合运算法则进行计算． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式12-1】（10-11七年级上·四川泸州·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，化简二次根式，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将除法转化为乘法运算，再进行加减运算，最后再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，原式． 【变式12-2】（2021·辽宁鞍山·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据分式的混合运算的运算法则把原式化简为，再代入求值． 【详解】解： ． 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 【变式12-3】（2023·福建厦门·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值及二次根式的化简，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 题型十三 已知条件式，化简求值 【例13】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）对原式根据完全平方公式进行因式分解，然后代入求值即可； （2）对原式根据平方差公式进行因式分解，然后代入求值即可． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ． 【变式13-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知，，求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了完全平方公式的变形计算，平方差公式，二次根式的混合运算． （1）将字母的值代入，即可求解． （2）先计算，进而根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ 【变式13-2】（24-25八年级下·安徽六安·月考）已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的混合运算； （1）先求解，，再把原式化为，再代入计算即可； （2）把原式化为，再代入计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ． （2）解：由（1）得，， ． 【变式14-3】（23-24八年级下·安徽蚌埠·月考）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分母有理化，已知字母的值，化简求值： （1）先进行分母有理化，求出的值，将多项式因式分解后，代值计算即可； （2）先通分进行化简后，代值计算即可． 【详解】（1） ， ； （2）． 题型十四 二次根式的应用 【例14】（17-18八年级下·全国·单元测试）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出、的长度，从而求出空白部分面积．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片， 小正方形边长为：，大正方形边长为， ， 图中空白部分的面积为：， 故选：B． 【变式14-1】（18-19八年级上·北京海淀·期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A．78 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的实际应用，求出大正方形的边长，分割法求出余下部分的面积即可． 【详解】解：∵两个小正方形的面积为和， ∴两个小正方形的边长为和， ∴大正方形的边长为， ∴余下部分的面积为， 故选：D． 【变式14-2】（23-24八年级下·安徽淮南·期中）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别为12和27，则阴影部分的周长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式化简，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． 先根据正方形的面积得出正方形的边长，进而得出阴影部分的长和宽，即可解答． 【详解】解：∵两相邻正方形的面积分别为12和27， ∴两相邻正方形的边长分别为和， ∴阴影部分长为，宽为， ∴阴影部分的周长， 故答案为：． 【变式14-3】（23-24八年级下·安徽池州·月考）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量×高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1) (2)；严禁高空抛物 【分析】（1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据根，求得高度，再根据公式物体质量×高度，计算能量即可．本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． 【详解】（1）∵，, ∴． （2）∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， 对人构成伤害， 故严禁高空抛物． 基础巩固通关测 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的定义，把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式； B、∵，∴不是二次根式； C、当时，，不是二次根式； D、∵，∴一定是二次根式． 故选：D． 2．（2022·江苏徐州·中考真题）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，得到不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：C． 3．（23-24八年级下·广西南宁·月考）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，化简二次根式，根据最简二次根式的定义进行求解即可：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式是二次根式叫做最简二次根式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是_______． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的化简，化简二次根式后判断是个平方数是求解本题的关键．得出是一个平方数，进而求解即可． 【详解】解：∵是一个整数， ∴是一个平方数， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 5．（2023八年级下·浙江·专题练习）若最简根式与是同类二次根式，则_____． 【答案】2 【分析】根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：2． 【点睛】此题考查的是同类二次根式与最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键． 6．（18-19八年级下·江苏连云港·期末）比较大小：________（填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，而， ∴， 故答案为：． 7．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】2 【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴可得：， 则 ∴ = = = =2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键． 8．（21-22八年级上·山东济南·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题： (1)化简：______，______（n为正整数） (2)比较大小：______（填“”，“”或“”） (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：______ 【答案】(1) ； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，分子分母分别乘以，，即可求解； （2）先求出和，即可求解； （3）根据题意，原式可变形为，即可求解． 【详解】（1）解：； ， 故答案是：，； （2）解：∵，， 且， ∴， ∴， ∴， 故答案是：＜； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的分母有理化，二次根式的混合运算，比较二次根式的大小，明确题意，理解题意是解题的关键． 9．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键， （1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解； （2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 10．（24-25八年级上·江西抚州·期末）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加法、减法、除法分别进行进行计算即可得到答案． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；     B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 11．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算： （1）先将二次根式化简为最简根式，再从左往右依次计算即可； （2）利用二次根式的加减乘除运算法则进行计算． 【详解】（1）原式 （2）原式． 12．（20-21八年级下·安徽阜阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】1－a；． 【分析】先将分式化简，再把的值代入求解即可 【详解】解： ＝1－a 当时，原式 【点睛】本题考查了分式的化简，实数的运算，利用因式分解化简是解题的关键． 13．（22-23八年级下·河南商丘·月考）已知，，求： (1)代数式的值； (2)代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式即可得答案； （2）由于，方便运算，故可考虑将代数式化为含和的项，再整体代入和的值，进行代数式的求值运算． 【详解】（1） ； （2）由已知： ， ， 故：原式． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，由于直接代入计算复杂容易出错，因此可考虑整体代入，本题考查了整体代入的思想． 14．（23-24八年级下·吉林·月考）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式，二次根式的混合运算，先计算，，再把原式化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 15．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 依据题意，有一个长方形面积是，宽是，则它的长为：，进而得解． 【详解】解：由题意，一个长方形面积是，宽是， 它的长为：， 故选：A． 能力提升进阶练 16．（22-23九年级上·四川遂宁·月考）若，则 化简后的结果是（      ） A．xy B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，有意义可得，进而即可求解． 【详解】解：∵，有意义， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，得出是解题的关键． 17．（22-23八年级下·安徽芜湖·月考）计算的结果是_________． 【答案】 【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到是解题的关键. 18．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，则a的值为 __________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简计算，分母有理化，还涉及因式分解，难度较大，正确计算化简是解题的关键． 先分母有理化化简，然后对分子提取公因式，再分母有理化即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 19．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）新版北师八年级（上）数学教材页第题指出：设一个三角形的三边长分别为，，则有下列面积公式；（海伦公式）．（秦九韶公式）． (1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为，即，，， ∴______． 根据海伦公式可得：______． (2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查三角形面积的计算方法，实数的运算，二次根式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握实数的计算，二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据实数的运算法则即可求解； （2）根据材料提示，运用二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：解：∵，，， ∴，，， ∴ ． 20．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）阅读与思考 如果两个正数、，即、，则有：① 又② ③ ， 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、的算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：，； 即：函数的最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为____________________； (2)已知，则函数的最小值为_____，此时的值为_____； (3)若，试求函数的最小值． 【答案】(1)完全平方公式 (2)， (3) 【分析】本题考查了求最值的应用，通过阅读题目材料掌握有关方法是解题关键． （1）识别运算步骤②所运用的公式． （2）把原函数化成，即可得到解答； （3）对函数进行变形，得到时，的最小值为 ． 【详解】（1）解：步骤②中运用的是完全平方公式，即（这里）， 故答案为：完全平方公式； （2）解： ， ． ． 当且仅当时取等号，解方程，得，即． 函数的最小值为，此时的值为， 故答案为：，； （3）解：， ， 将函数变形为． ， 当且仅当时取等号，解方程，得，即，， 函数的最小值为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $