第16章 二次根式（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪科版八年级下册

第16章 二次根式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、是最简二次根式，本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：B． 2．下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 3．二次根式取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得， ， 故选：C． 4．已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【答案】D 【详解】解：∵是整数， ∴设，其中为整数且， 则， ∴． 又∵是自然数， ∴，即， ∴， ∴可取0，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴的可能值为13，12，9，4，最小值为4． 故选：D． 5．若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴（负数的立方为负）， 故，从而，根式有意义． ∵， ∴， 又∵，且，∴， ∴原式， 即，与选项A一致． 故选：A． 6．已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 【答案】A 【详解】解：∵和同时有意义， ∴且， ∴． 将代入，得． ∴． 故选A． 7．设，则最接近的整数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， ， 所以最接近的整数是2017， 故选：C． 8．已知两个二次根式：，，将这两个二次根式进行如下操作：第一次操作：将与的和记为，差记为；第二次操作：将与的和记为，差记为；第三次操作：将与的和记为，差记为……；以此类推．则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】解：第一次操作：，， 则； 第二次操作：，， 则， 第三次操作：，， 则； 第四次操作：，， 则； 第5次操作：， ， 则． 故选：C． 9．若（a，b为连续整数），则a，b的值分别为（    ） A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【答案】C 【详解】解：， ∵，， ∴， ∵（a，b为连续整数）， ∴， 故选：C. 10．已知是实数，且满足，则相应的的值为(        ) A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3 【答案】D 【详解】解：根据二次根式的有意义的条件，得 或或 解得或或 当时，； 当时，； 当时，． 的值为或或． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：因为， ， 因为，所以，即， 因为，，所以． 故答案为：． 12．计算：的结果等于________． 【答案】1 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：1． 13．实数在数轴上的位置如图所示：则化简为_____ 【答案】6 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故答案为：6. 14．在进行实数的化简时，我们可以用“”，如，利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式． （1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值______； （2）设n为正整数，若，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为______． 【答案】 15 10 【详解】（1）解：∵，m为正整数，是整数， ∴m的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵，n为正整数，y是大于1的整数， ∴当时，， ∵当n增大时，y减小， ∴当时，， ∴y的最大值与y最小值的差为， 故答案为：10． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由，得， ，． 原式 ． 16．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为______； (2)若x，y为实数，且，求的值． 【详解】（1）解：， ∴，， 解得：，， 那么， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 则， 那么， 则或， 那么或， 即的值是7或3． 17．我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 【详解】（1）解：依题意，， ∵， ∴ 即． （2）解：由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 18．分母有理化：． 以下是小明同学的解答过程： 请根据小明同学的解法，完成下面问题： (1)化简： ； (2)计算． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 19．请阅读以下材料，并完成相应的任务． 斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列按照一定顺序排列着的一列数称为数列后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵如梅花、飞燕草、万寿菊等的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用． 斐波那契数列中的第个数可以用表示其中是自然数且这是用无理数表示有理数的一个范例． (1)根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第个数和第个数； (2)证明：斐波那契数列中连续三个数，，存在以下关系：． 【详解】（1）解：第1个数，即当时， ； 第2个数，即当时， ． （2）证明：当时， ， 斐波那契数列中连续三个数，，存在以下关系：． 20．综合与实践 （1）计算：用“，，”填空． ________；________；________． 猜想：（，）． （2）利用上述结论解决下面问题： 如图，某同学准备做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝，请你计算用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【详解】解：（1）由题意，， ． ； ， ． ； ， ． ； ， ． ． 故答案为：，，，． （2）对角线相互垂直， ． ． ． ． 用来做对角线的竹条至少要厘米． 21．观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第6个等式：___________； (2)请写出第n个等式：___________； (3)求的值． 【详解】（1）解：观察，如的下标2，与中被开方数：5和3，得出，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1； 因此第6个等式，， 得， 故答案为：； （2）解：由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，， 所以第n个等式为， 故答案为：； （3）解： ． 22．观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． 【详解】（1）解：根据题干中的规律，可得 第4个式子为：； （2）解：根据题干中的规律，可得 第个式子为：； 证明： 左边 右边， 等式成立； （3）解： ，，   原式 ． 23．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； (2)的算术平方根为_________________； (3)若，且、、均为正整数，求的值； (4)化简：． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：；； （2）解：∵， 故答案为：； （3）解：∵， ∴，，即， ∵、、均为正整数， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，； ∴的值为或； （4）解：∵ ， ∴． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16章 二次根式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．二次根式取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 5．若，则（） A． B． C． D． 6．已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 7．设，则最接近的整数是（   ） A． B． C． D． 8．已知两个二次根式：，，将这两个二次根式进行如下操作：第一次操作：将与的和记为，差记为；第二次操作：将与的和记为，差记为；第三次操作：将与的和记为，差记为……；以此类推．则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 9．若（a，b为连续整数），则a，b的值分别为（    ） A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 10．已知是实数，且满足，则相应的的值为(        ) A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．比较大小：_____（填“”“”或“”）． 12．计算：的结果等于________． 13．实数在数轴上的位置如图所示：则化简为_____ 14．在进行实数的化简时，我们可以用“”，如，利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式． （1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值______； （2）设n为正整数，若，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为______． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 16．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为______； (2)若x，y为实数，且，求的值． 17．我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 18．分母有理化：． 以下是小明同学的解答过程： 请根据小明同学的解法，完成下面问题： (1)化简： ； (2)计算． 19．请阅读以下材料，并完成相应的任务． 斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列按照一定顺序排列着的一列数称为数列后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵如梅花、飞燕草、万寿菊等的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用． 斐波那契数列中的第个数可以用表示其中是自然数且这是用无理数表示有理数的一个范例． (1)根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第个数和第个数； (2)证明：斐波那契数列中连续三个数，，存在以下关系：． 20．综合与实践 （1）计算：用“，，”填空． ________；________；________． 猜想：（，）． （2）利用上述结论解决下面问题： 如图，某同学准备做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝，请你计算用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 21．观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第6个等式：___________； (2)请写出第n个等式：___________； (3)求的值． 22．观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． 23．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； (2)的算术平方根为_________________； (3)若，且、、均为正整数，求的值； (4)化简：． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $