第17章 一元二次方程及其应用全章12种题型（复习讲义）数学新教材沪科版八年级下册

第17章 一元二次方程及其应用（复习讲义） 1.理解掌握一元二次方程的定义、一般形式及相关概念，会识别方程的各项系数，能判断一个方程是否为一元二次方程； 2.掌握一元二次方程的基本解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），理解根的判别式的意义，能根据方程特点灵活选择解法，并判断方程根的情况； 3.理解一元二次方程与一元一次方程、分式方程等的扩充关系，能够结合运算与变形，理解方程的 “降次” 思想，并能利用根与系数的关系解决简单计算问题； 4.应用一元二次方程的知识解决实际问题，能够运用方程建模思想、运算法则与运算律解决一些复杂的数学问题，如面积问题、增长率问题、利润问题及实际情境中的最值与估算问题。 一、一元二次方程的概念与一般形式 （一） 一元二次方程的定义 定义：一般地，如果一个整式方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程. 核心特征： 1.只含1个未知数（一元）; 2.未知数最高次数为2（二次）; 3.是整式方程（分母不含未知数，根号不含未知数）. （二）一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2+bx+c=0（其中 a≠0，a,b,c 是常数）. a：二次项系数 b：一次项系数 c：常数项 核心区别： 1.若a=0，方程退化为一元一次方程 bx+c=0; 2.若b=0，方程为 ax2+c=0（缺一次项）; 3.若c=0，方程为 ax2+bx=0（缺常数项）. 二、一元二次方程的解法 （一）直接开平方法 适用方程：形如(x+m)2=n（n≥0）的方程解法：两边直接开平方，得x+m=±n，即x=−m±n. （二） 配方法 步骤： 1.化二次项系数为1（若 a≠1，方程两边同除以a）; 2.移项：将常数项移到方程右边; 3.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方; 4.变形：将左边写成完全平方式(x+p)2=q; 5.开方求解：若q≥0，用直接开平方法求解. （三） 公式法 求根公式：对于ax2+bx+c=0(a≠0)，当判别式Δ=b2−4ac≥0 时，. 根的判别式：Δ=b2−4ac： 1.Δ>0：方程有两个不相等的实数根; 2.Δ=0：方程有两个相等的实数根; 3.Δ<0：方程没有实数根. （四） 因式分解法 适用方程：能因式分解为 (mx+n)(px+q)=0 的形式解法：根据“若两个因式的积为 0，则至少一个因式为 0”，得 mx+n=0 或 px+q=0，分别求解. 三、根与系数的关系（韦达定理） 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若方程的两根为 x1,x2，则：x1+x2=,x1⋅x2=,应用：已知一根求另一根、求代数式的值、构造新方程等. 四、一元二次方程的实际应用 （一）常见应用类型 1.面积问题：根据图形面积公式列方程（如矩形、正方形、三角形面积）; 2.增长率问题：公式 a(1±x)n=b（a 为基数，x 为增长率 / 降低率，n 为次数，b 为结果）; 3.利润问题：利润 = (售价 - 进价) × 销售量，根据利润关系列方程; 4.动点/路径问题：结合几何图形，用含未知数的代数式表示边长，再根据勾股定理或面积公式列方程. （二）解题步骤 1.审题：找出等量关系; 2.设未知数：直接设或间接设; 3.列方程：根据等量关系列出一元二次方程; 4.解方程：选择合适方法求解; 5.检验：检验根是否符合方程及实际意义，舍去不合理解; 6.作答：写出答案. 题型一 一元二次方程的定义判断 【例1】（24-25九年级上·广东广州·月考）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·辽宁鞍山·月考）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（12-13八年级下·浙江湖州·期中）下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（16-17九年级上·湖北襄阳·期末）下列方程中，一元二次方程共有（    ）个． ①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2 A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 一元二次方程的定义求参数 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）当____时，关于的方程是一元二次方程． 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·单元测试）已知是一元二次方程，则的值为______． 【变式2-2】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（   ） A．0 B．2 C． D．或2 【变式2-3】（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 题型三 一元二次方程的解求参数 【例3】（2025·重庆·一模）若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A．2 B． C． D．2或0 【变式3-1】（2024·广东深圳·中考真题）一元二次方程的一个解为，则______． 【变式3-2】（24-25九年级上·重庆·月考）关于x的一元二次方程的一个解是，则（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【变式3-3】（24-25九年级上·重庆·期末）若为方程的一个解，则代数式的值为（   ） A．2001 B．2007 C．2019 D．2025 题型四 一元二次方程解的估算 【例4】（22-23八年级下·安徽六安·期中）根据下表的对应值，试判断一元二次方程 的一个解的取值范围是（　　） x 1 4 0.06 0.02 A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）根据下列表格对应值，判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） x A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东深圳·月考）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【变式4-3】（22-23八年级下·安徽合肥·期中）探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为________． 题型五 直接开平方法——解一元二次方程 【例5】（24-25九年级下·全国·假期作业）用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5-1】（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：． 【变式5-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）解方程：． 【变式5-3】（17-18九年级上·安徽马鞍山·期末）解方程：． 题型六 配方法——解一元二次方程 【例6】（2022·甘肃武威·中考真题）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（2023·新疆·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级下·安徽池州·期末）用配方法解方程，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 题型七 公式法——解一元二次方程 【例7】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25九年级上·安徽合肥·月考）利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（22-23九年级上·全国·单元测试）解方程 (1)2x2+4x+1=0 （配方法） (2)x2+6x=5（公式法） 题型八 因式分解法——解一元二次方程 【例8】（24-25八年级下·安徽安庆·月考）用因式分解法解一元二次方程，将它转化为两个一元一次方程是 （ ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-1】解方程：． 【变式8-2】（17-18九年级上·江苏盐城·月考）解方程：． 【变式8-3】（19-20八年级下·安徽滁州·月考）用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 题型九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例9】（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【变式9-1】（2025·安徽·中考真题）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式9-3】（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 题型十 利用根的判别式求参数 【例10】（2023·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D．9 【变式10-1】（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2025·山东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【变式10-3】（20-21九年级上·湖南永州·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 题型十一 一元二次方程根与系数的关系 【例11】（2023·天津·中考真题）若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值______． 【变式11-3】（2022·山东日照·中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________． 题型十二 一元二次方程的实际应用 【例12】（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2024·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______．    【变式12-2】（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【变式12-3】（25-26九年级上·重庆·期中）某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． (1)求、两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 基础巩固通关测 1．（24-25九年级上·广东广州·月考）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是______． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 4．（2025·福建福州·三模）若是方程的根，则代数式的值是_____． 5．（22-23九年级上·福建宁德·月考）根据表格中的信息，估计一元二次方程（a、b、c为常数，）的一个解x的范围为（   ） A． B． C． D． 6．（20-21九年级上·江苏南京·期末）方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 7．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）用配方法解方程：． 8．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 9．（24-25九年级上·江苏常州·期中）方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 10．（2010·湖北荆门·中考真题）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________． 11．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根为，求代数式的值． 12．（2023·广西·中考真题）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． (2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 能力提升进阶练 14．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是_______． 15．（23-24九年级上·安徽阜阳·月考）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 16．（2021·安徽亳州·模拟预测）若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有两个实数根 17．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　 A． B． C． D． 18．（2018·山东滨州·一模）已知：关于x的一元二次方程 (1)已知x=2是方程的一个根，求m的值； (2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB<AC）的边长，当BC=时，△ABC是直角三角形，求此时m的值． 19．（25-26九年级上·重庆·期中）某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． (1)求、两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 20．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．    （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是__________． （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是__________． 21．（2022·湖北黄石·一模）阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． (3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 一元二次方程及其应用（复习讲义） 1.理解掌握一元二次方程的定义、一般形式及相关概念，会识别方程的各项系数，能判断一个方程是否为一元二次方程； 2.掌握一元二次方程的基本解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），理解根的判别式的意义，能根据方程特点灵活选择解法，并判断方程根的情况； 3.理解一元二次方程与一元一次方程、分式方程等的扩充关系，能够结合运算与变形，理解方程的 “降次” 思想，并能利用根与系数的关系解决简单计算问题； 4.应用一元二次方程的知识解决实际问题，能够运用方程建模思想、运算法则与运算律解决一些复杂的数学问题，如面积问题、增长率问题、利润问题及实际情境中的最值与估算问题。 一、一元二次方程的概念与一般形式 （一） 一元二次方程的定义 定义：一般地，如果一个整式方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程. 核心特征： 1.只含1个未知数（一元）; 2.未知数最高次数为2（二次）; 3.是整式方程（分母不含未知数，根号不含未知数）. （二）一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2+bx+c=0（其中 a≠0，a,b,c 是常数）. a：二次项系数 b：一次项系数 c：常数项 核心区别： 1.若a=0，方程退化为一元一次方程 bx+c=0; 2.若b=0，方程为 ax2+c=0（缺一次项）; 3.若c=0，方程为 ax2+bx=0（缺常数项）. 二、一元二次方程的解法 （一）直接开平方法 适用方程：形如(x+m)2=n（n≥0）的方程解法：两边直接开平方，得x+m=±n，即x=−m±n. （二） 配方法 步骤： 1.化二次项系数为1（若 a≠1，方程两边同除以a）; 2.移项：将常数项移到方程右边; 3.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方; 4.变形：将左边写成完全平方式(x+p)2=q; 5.开方求解：若q≥0，用直接开平方法求解. （三） 公式法 求根公式：对于ax2+bx+c=0(a≠0)，当判别式Δ=b2−4ac≥0 时，. 根的判别式：Δ=b2−4ac： 1.Δ>0：方程有两个不相等的实数根; 2.Δ=0：方程有两个相等的实数根; 3.Δ<0：方程没有实数根. （四） 因式分解法 适用方程：能因式分解为 (mx+n)(px+q)=0 的形式解法：根据“若两个因式的积为 0，则至少一个因式为 0”，得 mx+n=0 或 px+q=0，分别求解. 三、根与系数的关系（韦达定理） 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若方程的两根为 x1,x2，则：x1+x2=,x1⋅x2=,应用：已知一根求另一根、求代数式的值、构造新方程等. 四、一元二次方程的实际应用 （一）常见应用类型 1.面积问题：根据图形面积公式列方程（如矩形、正方形、三角形面积）; 2.增长率问题：公式 a(1±x)n=b（a 为基数，x 为增长率 / 降低率，n 为次数，b 为结果）; 3.利润问题：利润 = (售价 - 进价) × 销售量，根据利润关系列方程; 4.动点/路径问题：结合几何图形，用含未知数的代数式表示边长，再根据勾股定理或面积公式列方程. （二）解题步骤 1.审题：找出等量关系; 2.设未知数：直接设或间接设; 3.列方程：根据等量关系列出一元二次方程; 4.解方程：选择合适方法求解; 5.检验：检验根是否符合方程及实际意义，舍去不合理解; 6.作答：写出答案. 题型一 一元二次方程的定义判断 【例1】（24-25九年级上·广东广州·月考）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（24-25九年级上·辽宁鞍山·月考）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 依次分析每个选项是否符合一元二次方程的定义． 【详解】解：A、方程，展开可得，即，整理为．它只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是整式方程，所以是一元二次方程； B、方程，分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程； 、方程，当时，方程变为，此时未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； D、方程，整理可得，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 故选：A． 【变式1-2】（12-13八年级下·浙江湖州·期中）下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．含有两个未知数，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．是一元二次方程，故此选项符合题意； D．等式左边不是整式，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】（16-17九年级上·湖北襄阳·期末）下列方程中，一元二次方程共有（    ）个． ①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的定义一一判定即可． 【详解】解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； ②ax2+bx+c＝0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； ③不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； ④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； ⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； ⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程． 综上所述，一元二次方程共有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 题型二 一元二次方程的定义求参数 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）当____时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程中，方程最高次数为二次；二次项系数． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·单元测试）已知是一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（   ） A．0 B．2 C． D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和常数项的概念，解题的关键是根据常数项为0求出可能的m值，再依据一元二次方程二次项系数不为0的条件筛选出正确结果． 根据方程常数项是0，列出关于m的方程求出m的可能值；再根据一元二次方程的定义，二次项系数，排除不符合的m值，得到最终结果． 【详解】解：已知关于x的一元二次方程的常数项是0． 一元二次方程的常数项是不含未知数的项，即． 解这个方程：，即 ∴ 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即，解得． 因此，． 故选：C． 【变式2-3】（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 题型三 一元二次方程的解求参数 【例3】（2025·重庆·一模）若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A．2 B． C． D．2或0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得，又根据可得，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-1】（2024·广东深圳·中考真题）一元二次方程的一个解为，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，由题意可得，解方程即可得解． 【详解】解：∵一元二次方程的一个解为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25九年级上·重庆·月考）关于x的一元二次方程的一个解是，则（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念，使方程两边成立的未知数的值叫方程的解． 利用一元二次方程解的定义得到，然后再对所求代数式变形，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴，即， ∴． 故选A． 【变式3-3】（24-25九年级上·重庆·期末）若为方程的一个解，则代数式的值为（   ） A．2001 B．2007 C．2019 D．2025 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，根据方程的解得到，把代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵为方程的一个解， ∴， 则， ∴， 故选：D 题型四 一元二次方程解的估算 【例4】（22-23八年级下·安徽六安·期中）根据下表的对应值，试判断一元二次方程 的一个解的取值范围是（　　） x 1 4 0.06 0.02 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用表中数据得到，于是可判断x在范围内取某一个值时，，所以得到一元二次方程的一解的取值范围． 【详解】解：∵当时，当时， ∴当x在中取一个值时，， ∴一元二次方程的某一个解的取值范围是． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解． 【变式4-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）根据下列表格对应值，判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程的根．根据表格得到当时，，当时，，即可得到在时，存在一个的值，使，即可． 【详解】解：由表格可知：当时，， 当时，， ∴当时，存在一个的值，使， 即：方程的一个解的范围是； 故选：C． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东深圳·月考）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令（，a，b，c为常数），根据表格信息，进而可求解． 【详解】解：令（，a，b，c为常数）， 当时，， 当时，， 时，二次函数的函数值范围为， 即方程的一个解x的范围是． 故选：C． 【变式4-3】（22-23八年级下·安徽合肥·期中）探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为________． 【答案】3 【分析】观察图表，确定的值为0时的范围，然后确定对应的的范围，进而可得结果． 【详解】解：由图表可知，， ∴对应的的范围为， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解题的关键在于理解一元二次方程的解的含义． 题型五 直接开平方法——解一元二次方程 【例5】（24-25九年级下·全国·假期作业）用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)，． 【分析】本题主要考查了开平方法解一元二次方程，方程变形后利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解即可． 【详解】（1）解：， 开方得：或， 解得：，； （2）解：， 方程变形得：， 开方得：，； （3）解：， 方程变形为：， 方程开方得：， 解得：； （4）解：， 方程变形得：， 开方得：， 解得：，． 【变式5-1】（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 先移项，再用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， 或， 解得：或， ∴原方程的根为：，． 【变式5-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了平方根，解一元二次方程，把方程化为：，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】解：， 移项，得， 方程两边同时除以2，得， 开平方，得， 解得：，． 【变式5-3】（17-18九年级上·安徽马鞍山·期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程．用直接开平方法求解可． 【详解】解：， 开方得， ∴或， ∴，． 题型六 配方法——解一元二次方程 【例6】（2022·甘肃武威·中考真题）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 【变式6-1】（2023·新疆·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 【变式6-2】（24-25八年级下·安徽池州·期末）用配方法解方程，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法，通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，确定正确选项即可． 【详解】解： 移项：将常数项移到方程右边 配方：取一次项系数4的一半（即2），平方得4，两边同时加上4： 化简：左边写成完全平方形式，右边合并常数项：， 故选：B． 【变式6-3】（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 则，即， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 题型七 公式法——解一元二次方程 【例7】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 【变式7-1】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，把原方程化为形如（其中a、b、c是常数，）的形式即可得到答案． 【详解】解：， ， 则，，， 故选：C． 【变式7-2】（24-25九年级上·安徽合肥·月考）利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，公式法解一元二次方程的过程：先确定的值，代入计算判别式，当，方程有实数根，当，方程无实数根，当时，将的值代入求根公式求解方程． 【详解】解： ，，， ， ， ， 一元二次方程的两个根，其中较小的根为． 故选：B． 【变式7-3】（22-23九年级上·全国·单元测试）解方程 (1)2x2+4x+1=0 （配方法） (2)x2+6x=5（公式法） 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）配方法求解可得； （2）公式法求解可得． 【详解】（1）（1）解：2x2+4x=﹣1， x2+2x=﹣ ， x2+2x+1=﹣ +1，即（x+1）2= ， ∴x+1=± ， 则x=﹣1± ∴ （2）解：x2+6x﹣5=0， ∵a=1，b=6，c=﹣5， ∴△=36﹣4×1×（﹣5）=56， 则x= =﹣3 ，． 【点睛】本题考查了公式法和配方法解一元二次方程，熟悉用公式法和配方法解一元二次方程的解题步骤是解题的关键． 题型八 因式分解法——解一元二次方程 【例8】（24-25八年级下·安徽安庆·月考）用因式分解法解一元二次方程，将它转化为两个一元一次方程是 （ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】题目主要考查因式分解法解一元二次方程，理解因式分解方法是解题关键 根据因式分解法的原理，若两数相乘为零，则至少有一个因数为零，将原方程的每个因式分别等于零，即可转化为两个一元一次方程，即可求解 【详解】解：原方程为 ， 根据因式分解法，若两数乘积为0，则至少有一个数为0， ∴， 故选：C 【变式8-1】解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查利用因式分解法求一元二次方程的解．方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：分解因式得：，即， 可得：或， 解得：，． 【变式8-2】（17-18九年级上·江苏盐城·月考）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 【详解】解：方法一、， 移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 方程的解为：，； 方法二、 其中，，， ， ，即， 方程的解为：，； 方法三、， 因式分解得：， 或， 方程的解为：． 【变式8-3】（19-20八年级下·安徽滁州·月考）用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键． （1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可； （2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得； （3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可； （4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得． 【详解】（1）， ， ， ∴； （2）， ， ， ， ∴，； （3）， ，，， ， ∴， 即； （4）， ， ， ∴． 题型九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例9】（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况． 先分别写出各项系数，，，再求出，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：， ，，， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式9-1】（2025·安徽·中考真题）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项B： ，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项D： ，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 【变式9-2】（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况”是解本题的关键．对于，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，据此即可解答． 【详解】解：， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式9-3】（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 题型十 利用根的判别式求参数 【例10】（2023·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】C 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【变式10-1】（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ < 0时，方程无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式10-2】（2025·山东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 【变式10-3】（20-21九年级上·湖南永州·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了根的判别式，根据题意可得，然后结合即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故选：． 题型十一 一元二次方程根与系数的关系 【例11】（2023·天津·中考真题）若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 【变式11-1】（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 【详解】解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 【变式11-2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，根据根与系数的关系可得，则，解方程可得或，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式11-3】（2022·山东日照·中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________． 【答案】/-0.125 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可． 【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=， ∵x12+x22=， ∴（x1+x2）2-2x1x2=， ∴4m2-m=， ∴m1=-，m2=， ∵Δ=16m2-8m＞0， ∴m＞或m＜0时， ∴m=不合题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，． 题型十二 一元二次方程的实际应用 【例12】（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为， 根据题意可得， 故选：B． 【变式12-1】（2024·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______．    【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为， 由题意得，， 同理得， 解得或（舍去）， ∴小路的宽为， 故答案为：． 【变式12-2】（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人 (2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【变式12-3】（25-26九年级上·重庆·期中）某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． (1)求、两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 【答案】(1)A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元 (2)A款水杯降低了6元 【分析】本题主要考查分式方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）先求出B款水杯的进价，九月份A款水杯销量，九月份B款水杯销量，设A款水杯降低了元，再根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元， 根据题意，可列出方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， B款水杯的售价为（元）， ∴A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元． （2）解：B款水杯的进价为（元）， 九月份A款水杯销量为（只）， 九月份B款水杯销量为（只）， 设A款水杯降低了元， 根据题意，可列出方程：， 解得，， 因为是降价促销，所以不符合题意，舍去， ∴A款水杯降低了6元． 基础巩固通关测 1．（24-25九年级上·广东广州·月考）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可． 【详解】解：依题意可得， 解得， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，判断一个数是不是一元二次方程的解，将此数代入这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，就是方程的根；若不相等，就不是方程的根．理解和掌握一元二次方程的解的定义解题的关键．将各选项中的的值一一代入方程进行验证即可作出判断． 【详解】解：A．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； B．当时， 左边，右边，左边＝右边， ∴是方程的解，故此选项符合题意； C．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：B． 4．（2025·福建福州·三模）若是方程的根，则代数式的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，先由一元二次方程根的定义得到，再将整体代入求解即可得到答案．熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的根， ，即， ， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·福建宁德·月考）根据表格中的信息，估计一元二次方程（a、b、c为常数，）的一个解x的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应该在与之间，从表中选择合适的数据即可． 【详解】解：由表中数据得： 当时，， 当时，， 使方程成立的一个解应该在与之间， ． 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键． 6．（20-21九年级上·江苏南京·期末）方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法解方程即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解： ， 或 ， ∴ ，， 故选：． 7．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】根据配方的基本步骤，解答即可． 本题考查了配方法解方程，熟练掌握解题方法是解题的关键． 【详解】解： 或 ∴，． 8．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握方法是解题的关键． （1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， 或， 或 （2）解： ， ， ， ， ， 或． 9．（24-25九年级上·江苏常州·期中）方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根．先求出的值，再判断，即可解题． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 10．（2010·湖北荆门·中考真题）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程（是常数且）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据题意得出，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得：且， 故答案为：且 ． 11．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根为，求代数式的值． 【答案】(1)见解析 (2)0 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴方程总有实数根； （2）解：由根与系数的关系可得，，， ∴ ． 12．（2023·广西·中考真题）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 13．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． (2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 【答案】(1)该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为 (2)销售单价应定位元 【分析】（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022年年底“阳光玫瑰”的种植面积=该基地2020年年底“阳光玫瑰”的种植面积乘上（该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率）的平方，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为； （2）解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得： ∵“阳光玫瑰”的售价为20元，使消费者尽可能获得实惠 ∴销售单价应定位元． 能力提升进阶练 14．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是_______． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分、两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式求解即可． 【详解】解：当时，． 当时，可得，解得：，符合题意； 当时，可得，解得：，不符合题意； 当时， ，则 ∴． ∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数， ∴，解得：，，解得：，即． 综上可得，实数m的取值范围是或． 故答案为：或． 15．（23-24九年级上·安徽阜阳·月考）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，分为等腰三角形的底和腰两种情形，讨论求解即可得到答案，应用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】解：当为底时，由题意得， 解得， 此时一元二次方程为， 解得， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去； 当为腰时，将代入方程得， ， 解得或， 当时，一元二次方程为， 解得，， 三边长为，可以构成三角形； 当时，一元二次方程为， 解得，， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去， 综上，， 故选：． 16．（2021·安徽亳州·模拟预测）若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有两个实数根 【答案】B 【分析】先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可判断选项． 【详解】解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a， ∵a﹣b＝3， ∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得， b＜﹣2，b2﹣4（3+b）= b2﹣4b﹣12= (b+2)(b﹣6) ∵b+2＜0， b-6＜0， ∴(b+2)(b-6) ＞0， 所以，原方程有有两个不相等的实数根； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解，解题关键是求出根的判别式，利用因式分解判断值的正负． 17．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根与系数的关系得出，，再设方程的为，，根据根与系数的关系得出，，从而得出方程的两根为，，然后由，求出，的取值范围，从而得出结论． 【详解】解：方程有两个根和， ，， 设方程的两根为，， 则，， ，， ， 方程的两根为，， ，， ，， ，， ， 方程的较小根的范围为． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是利用根与系数的关系得出两个方程根之间的关系． 18．（2018·山东滨州·一模）已知：关于x的一元二次方程 (1)已知x=2是方程的一个根，求m的值； (2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB<AC）的边长，当BC=时，△ABC是直角三角形，求此时m的值． 【答案】(1)m=0或m=1 (2)m=0或m=1 【分析】（1）把x=2代入方程得到关于m的一元二次方程，然后解关于m的方程即可； （2）先计算出判别式，再利用求根公式得到，，则AC=m+2，AB=m+1．因为△ABC是直角三角形，所以当BC或AC为斜边时根据勾股定理分别解关于m的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵x=2是方程的一个根， ∴， ∴m=0或m=1； （2）解：∵△=， ∴x= ∴，， ∴AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根， ∴AC=m+2>0，AB=m+1>0． ∴m>-1． ∵BC=，△ABC是直角三角形， ∴当BC为斜边时，有， 解这个方程，得(不符合题意，舍去)，； 当AC为斜边时，有， 解这个方程，得． 综上所述，当m=0或m=1时，△ABC是直角三角形． 【点睛】此题考查了解一元二次方程和直角三角形的判定，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程，熟练运用勾股定理进行分类讨论． 19．（25-26九年级上·重庆·期中）某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． (1)求、两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 【答案】(1)A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元 (2)A款水杯降低了6元 【分析】本题主要考查分式方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）先求出B款水杯的进价，九月份A款水杯销量，九月份B款水杯销量，设A款水杯降低了元，再根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元， 根据题意，可列出方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， B款水杯的售价为（元）， ∴A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元． （2）解：B款水杯的进价为（元）， 九月份A款水杯销量为（只）， 九月份B款水杯销量为（只）， 设A款水杯降低了元， 根据题意，可列出方程：， 解得，， 因为是降价促销，所以不符合题意，舍去， ∴A款水杯降低了6元． 20．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．    （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是__________． （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是__________． 【答案】 6 / 【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可． （2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可． 【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∵，边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得， 故答案为：6． （2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵有且只有一个的值， ∴， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键． 21．（2022·湖北黄石·一模）阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． (3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值． 【答案】(1)；； (2)； (3)-1 【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得． 【详解】（1），； 故答案为；； （2），，且， 、可看作方程， ，， ； （3）把变形为， 实数和可看作方程的两根， ，， ． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． 1 / 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