期中复习5大类型36个题型（前3章）（举一反三期中专项训练）八年级数学下学期新教材沪科版

期中复习5大类型36个题型（前3章） 【新教材沪科版】 【核心概念建构】 2 【题型1 二次根式有意义的条件】 2 【题型2 二次根式的性质与化简】 3 【题型3 二次根式的乘除法】 4 【题型4 最简二次根式】 6 【题型5 同类二次根式】 7 【题型6 二次根式的相关运算】 8 【题型7 判断是否是一元二次方程】 9 【题型8 一元二次方程的一般形式】 11 【题型9 一元二次方程的解】 11 【题型10 解一元二次方程—直接开平方法】 13 【题型11 解一元二次方程—配方法】 14 【题型12 判断能否构成直角三角形】 15 【能力层级提升】 16 【题型13 二次根式的应用】 16 【题型14 配方法的应用】 21 【题型15 一元二次方程根的判别式】 23 【题型16 解一元二次方程—公式法】 26 【题型17 解一元二次方程—因式分解法】 29 【题型18 一元二次方程根与系数的关系】 30 【题型19 根据实际问题列一元二次方程】 32 【题型20 一元二次方程的应用】 33 【题型21 利用勾股定理求边长】 37 【题型22 勾股数（树）】 39 【题型23 图形上构成直角三角形的点】 41 【运算素养强化】 45 【题型24 二次根式的混合运算】 45 【题型25 二次根式的化简求值】 50 【题型26 一元二次方程的解法】 52 【题型27 利用勾股定理解三角形】 57 【题型28 勾股定理的逆定理证明直角三角形】 59 【几何直观实操】 61 【题型29 利用勾股定理格点作图】 61 【综合思维突破】 65 【题型30 复合二次根式的化简】 65 【题型31 分母有理化】 67 【题型32 换元法解一元二次方程】 71 【题型33 一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合】 73 【题型34 折叠勾股综合】 79 【题型35 勾股逆定理证明】 82 【题型36 勾股定理的应用】 87 【核心概念建构】 【题型1 二次根式有意义的条件】 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）若在实数范围内有意义，则的值可以是（   ） A．6 B．0 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， ∴的值可以是． 故选：B． 2．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是二次根式的意义，零指数幂，有理数的乘方，不等式组，代数式求值，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题关键． 根据二次根式的意义求出x、y的值，代入求值即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，即， ∴， 则， ∴． 故答案为：2． 3．（25-26八年级上·福建泉州·阶段练习）代数式的值最大时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的非负性是解本题的关键．利用二次根式大于等于，则时，代数式的值最大，即可得解． 【详解】解：，， ，且当时，取最小值0， 当时，代数式的值最大，最大值为． 故答案为：． 【题型2 二次根式的性质与化简】 1．化简，结果是（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式因式分解、二次根式的化简、二次根式有意义的条件等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 根据完全平方公式因式分解，再利用二次根式的性质化简解题即可． 【详解】解：由题意得， ∴ ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海·阶段练习）当时，化简二次根式 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的基本化简运算方法是解题的关键． 先判断，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】∵，， 又∵，， ∴，即， ∵ ， 又 ∵，，， ∴原式． 故答案为：． 【题型3 二次根式的乘除法】 1．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）计算 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，积的乘方逆运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据积的乘方逆运算，将其变形为，再由平方差公式计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键． 根据定义进行计算，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·甘肃白银·阶段练习）某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则另一条直角边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算，解题的关键是掌握二次根式的除法法则． 利用二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：根据直角三角形面积公式，另一条直角边长为， 故选：A． 4．计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 5．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题关键．先根据二次根式的运算化简，再利用无理数的估算即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴估计的值应在2和3之间， 故选：B． 【题型4 最简二次根式】 1．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足以下两个条件：一是被开方数不含分母；二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式必须满足的两个条件逐项判断即可． 【详解】解：A．不是最简二次根式，故A不符合题意； B．不是最简二次根式，故B不符合题意； C．不是最简二次根式，故C不符合题意； D．是最简二次根式，故D符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·山西朔州·期末）将化成最简二次根式的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式定义进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为： 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值： ． 【答案】答案不唯一 【分析】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，据此即可解答． 【详解】解：是最简二次根式， ∴，解得：， 整数的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 【题型5 同类二次根式】 1．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）若两个最简二次根式与是同类二次根式，则（   ） A．2 B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的概念是解题的关键． 利用同类二次根式的定义列出关于a的方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵两个最简二次根式与是同类二次根式， ， ． 故选：D． 2．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化为最简二次根式，同类二次根式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用二次根式的性质将题干与选项中的二次根式能化简的分别化简，再作出判断． 【详解】解：，，， 、、、中，能与合并， 故选：A． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）若最简二次根式和最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．由题意得，最简二次根式和是同类二次根式，可得，即可求出的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 的值为4． 故答案为：4 【题型6 二次根式的相关运算】 1．（25-26八年级上·上海·阶段练习）在数轴上点、分别表示和，则两点之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，数轴上两点间的距离，二次根式的加减运算等知识．根据数轴上两点间的距离是用较大的数减去较小的数进行计算即可． 【详解】解：,两点之间的距离 ． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）定义运算“”的运算法则为，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加法运算．根据新定义运算，利用二次根式的运算，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再把所求式子通分变形为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段练习）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握“作差法”比较大小是解题的关键．利用作差法得到，再比较出即可得到答案． 【详解】 ，， ， ， 故答案为：． 【题型7 判断是否是一元二次方程】 1．（25-26九年级上·全国·阶段练习）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．3 B． C．3或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的a值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）下列是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是 2 ，（2）二次项系数不为 0 ，（3）是整式方程，（4）只含有一个未知数，熟练掌握一元二次方程必须满足的四个条件，是解题的关键． 根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：A．不是等式，故不是一元二次方程，不符合题意； B．当时，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程化简后为，是一元二次方程，符合题意； D．该方程不是整式方程，不符合题意；     故选：C． 3．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 的取值范围是且 故答案为：且 【题型8 一元二次方程的一般形式】 1．将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查一元二次方程化为一般形式，掌握一元二次方程化为一般形式是解题的关键． 先通过去括号、移项、合并同类项、然后同时除以二次项的系数得到二次项系数是1的一元二次方程，再确定二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解： ， 所以该方程的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是． 故答案为：1；；． 2．把方程化成的形式，则a、b、c的一组值是（    ） A． B． C． D．2、1、1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先把方程左边去括号，然后把常数项移到方程左边即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【题型9 一元二次方程的解】 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．由于当时，，则可判断该方程一定有一个根为． 【详解】解：当时，，所以若，则一元二次方程一定有一个根为． 故选：A． 2．下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，把代入选项中每个方程进行检验即可得到答案． 【详解】解：把代入，得， ∴，故A不符合题意； 把代入，得， ∴，故B符合题意； 把代入，得， ∴，故C不符合题意； 把代入，得， ∴，故D不符合题意； 故选：B 3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）若是一元二次方程的一个根，则 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解．根据题意将代入方程中，再观察结果和所得方程关系即可得到本题答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【题型10 解一元二次方程—直接开平方法】 1．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故答案为： 2．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键． 根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可． 【详解】解：原方程变形为， 由题意，， 解得：， 故选：B． 3．（2025·上海徐汇·二模）若一元二次方程中的，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，直接开平方法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意得，整理得，运用直接开平方法进行解方程，即可作答． 【详解】∵一元二次方程中的， ∴， ． 或． 故答案为：或 【题型11 解一元二次方程—配方法】 1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）用配方法解关于的一元二次方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．先把常数项移到方程右侧，再把方程两边同时加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 2．（25-26九年级上·新疆伊犁·阶段练习）如果一元二次方程经配方后，得，那么 ． 【答案】5 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．先移项得到，再把方程两边加上9得到，从而得到，然后解关于k的方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 所以， 解得． 故答案为：5． 【题型12 判断能否构成直角三角形】 1．（24-25九年级下·江西鹰潭·期中）下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．6，8，10 B．5，12，13 C．10，15，20 D．7，24，25 【答案】C 【分析】只需验证两短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形. 【详解】解：根据勾股定理逆定理逐一判断： ∵ 选项A，， ∴能作为直角三角形三边长， 不符合题意； ∵ 选项B，， ∴能作为直角三角形三边长， 不符合题意； ∵ 选项C，，，， ∴不能作为直角三角形三边长，符合题意； ∵ 选项D，， ∴能作为直角三角形三边长， 不符合题意 2．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则____________． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而求出的度数． 【详解】解：连接，如图． 由题意得，，， ，． 是等腰直角三角形． ． 【点睛】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的判定，解题关键是通过勾股定理求出三角形三边长度，结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而得出角的度数． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个三角形三边长为、、，则三角形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用三角形面积公式求解．解题的关键是掌握运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：（1）先确定最长边，算出最长边的平方；（2）计算另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴该三角形是直角三角形，且直角边长为和， ∴三角形的面积为：． 故答案为：． 【能力层级提升】 【题型13 二次根式的应用】 1．已知长方形的长a=，宽b=． （1）求该长方形的周长； （2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试计算该正方形的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据长方形的周长公式即可求出答案． （2）根据长方形的面积公式即可求出面积，从而可求出正方形的边长； 【详解】（1）长方形的周长=； （2）长方形的面积=， 根据面积相等，则正方形的边长= ∴正方形周长=×4=． 【点睛】此题考查二次根式的应用，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 2．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）榻榻米具有外观方正大气，空间利用率高等优点，在家庭装修中逐渐流行．如图1是一个榻榻米的实物图，图2是其俯视图，在图2中，隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分，其中①②③④部分图形是全等的矩形，⑤部分图形是正方形，若正方形的面积为，隔板的宽度不计． (1)求正方形的边长； (2)求四个隔板的总长度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)四个隔板的总长度为： 【分析】本题考查的是二次根式的应用． （1）由隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分，可得正方形的面积，进一步求解即可． （2）设全等的矩形的长边为，短边为， 可得，，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：正方形的面积为，在图2中，隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为． （2）解：设全等的矩形的长边为，短边为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个隔板的总长度为：． 3．（25-26八年级上·河南焦作·阶段练习）年河南全省学生劳动教育周活动启动仪式在三门峡市举行．如图，某校实践基地有一块长方形空地，空地的长为，宽为，准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． (1)求种植青菜部分的周长；（结果化为最简二次根式） (2)求种植青菜和香菜部分的面积差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键， （1）利用长方形的周长公式，即可列式作答； （2）长方形的面积减去种植香菜的面积即为种植青菜的面积，从而列式得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴种植青菜部分的周长等于长方形空地的周长为：． ∴种植青菜部分的周长是； （2）解：由题可得：种植香菜部分的面积为：， 种植青菜部分的面积为：， ∴ ∴种植青菜和香菜部分的面积差为． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在一家手工作坊里，木工师傅正在为客户定制一批小型收纳盒，他们选用了一块长方形木板作为原材料．为了满足设计需求，需要对这块木板进行改造．木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为________cm； (2)求长方形木板的周长和面积． 【答案】(1) (2)周长为，面积为 【分析】本题考查二次根式的应用、算术平方根等知识点，根据图形运用相关知识是解题的关键． （1）根据正方形的边长等于面积的算术平方根求解即可； （2）根据（1）中结论求出矩形的长和宽，然后再求长方形木板的周长和面积即可． 【详解】（1）解：正方形的边长为， 故答案为：． （2）解：由题意知，，， 则长方形木板的周长为， 面积为． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）物体在做自由落体运动时，下落到地面的时间（单位：s）和下落高度（单位：m）之间满足关系式，其中取．（不考虑空气阻力） (1)小球从高空自由落下，需要多长时间到达地面？ (2)明明认为，小球从的高空自由落下，到达地面所需要的时间是从高空自由落下所需时间的2倍，你是否认同明明的想法？请说明理由． 【答案】(1)需要到达地面； (2)不认同，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次根式的运算以及对自由落体运动时间与高度关系的应用，熟练掌握二次根式的化简计算是解题的关键． （1）将，代入关系式，计算出时间 （2）先将，代入关系式求出时间，再与（1）中结果比较，判断是否为2倍关系． 【详解】（1）解：把，代入得 （2）解：把，，代入： 因为， 所以不认同明明的想法． 6．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知有两块面积均为108平方厘米的正方形纸板．现甲，乙两种操作方案．甲方案：在纸板上裁出一个面积为24平方厘米，且宽为厘米的长方形纸板①；乙方案：将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②； (1)求甲方案中裁出的长方形纸板①的长； (2)求乙方案中得到的长方形纸板②的面积； (3)小明准备在纸板①，②中选出一个，剪出长2厘米，宽厘米的纸条，请直接写出小明应该选择哪个，才能使剪出的纸条最多？ 【答案】(1)厘米 (2)18平方厘米 (3)小明应该选择长方形纸板①，才能使剪出的纸条最多 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握二次根式运算法则． （1）根据长方形面积公式列式解答即可； （2）先求正方形的边长，然后求出乙方案中长方形的长和宽，然后求出结果即可； （3）分别画图，求出纸板①，②中可以剪出的纸条条数，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：甲方案中裁出的长方形纸板①的长为： （厘米）； （2）解：∵正方形纸板的面积为108平方厘米， ∴正方形的边长为厘米， ∵将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②， ∴乙方案中得到的长方形纸板②的长为： （厘米）， 宽为：（厘米）， ∴乙方案中得到的长方形纸板②的面积为： （平方厘米）； （3）解：长方形纸板①的长为厘米，宽为厘米， 长方形纸板②的长为厘米，宽为厘米， ∵，，，， ∴长方形纸板①和长方形纸板②可以剪出长2厘米，宽厘米的纸条条数，如图所示： ∴长方形纸板①可以剪出6个长2厘米，宽厘米的纸条，长方形纸板②可以剪出4个长2厘米，宽厘米的纸条， ∴小明应该选择长方形纸板①，才能使剪出的纸条最多． 【题型14 配方法的应用】 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查配方法的应用，根据配方法可进行求解． 【详解】解：， ∵无论x取何实数，A的值都不是负数，且， ∴， 解得， 故答案为：． 2．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知为实数，满足，那么的最小值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查解三元一次方程组、配方法的应用．解方程组转化为只含的代数式，利用配方法求最值，是解题的关键．用含的式子表示出，将转化为只含的代数式，利用配方法，求出最值即可． 【详解】解：， ，得，则③， ，得，则④， 把③④代入得， ； ∵， ∴的最小值是14， 故答案为：14． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，非负数的性质，将变形，然后根据非负数的性质和式子的结果，可以求出的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ∴当时，， 解得：， ， 故选：B． 4．已知：a、b、c是的三边，且，的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】等式配方成，利用非负数性求得a、b、c的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 【题型15 一元二次方程根的判别式】 1．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握判断一元二次方程根的情况是解题的关键，利用一元二次方程根的判别式对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根，此项错误； B、∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根，此项错误； C、∵， ∴， ∴方程有两个相等实数根，此项正确； D、， ∴， ∴方程没有实数根，此项错误； 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海金山·期末）若，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式进行判断．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，无实数根． 【详解】解：∵方程中，，，． ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 故方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意且，进行计算即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 4．已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】1或2/2或1 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质等知识点，注意：等腰三角形的两腰相等．已知一元二次方程、、为常数，，①当时，方程有两个不相等的实数根，②当时，方程有两个相等的实数根，③当时，方程没有实数根．分为两种情况：①、是腰，②、其中一个是腰，另一个是底边，分别求出答案即可． 【详解】解：①当、为腰时，， 、是关于的一元二次方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 解得：； ∴， 解得， 此时三角形三边长为：、、，符合三角形三边关系， ②当和3（或和是腰时，， 三角形不是等边三角形， 此时方程有两个不相等的实数根， 、是关于的一元二次方程的两个根， 把代入方程得， 解得：； ∴， 解得，， 此时三角形三边长为：、、，符合三角形三边关系， ∴或2． 故答案为：1或2． 【题型16 解一元二次方程—公式法】 1．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）已知关于的方程，若方程的根都是整数，则满足条件的正整数的值为 ． 【答案】11或9 【分析】本题考查利用求根公式求方程，熟练掌握求根公式以及平方数的定义是解题的关键．本题由求根公式可得：，结合方程的根都是整数以及为平方数进行分析求解即可． 【详解】解：由可知， ， 由题意知方程有实数根， 所以由求根公式可得：， 化简得：， 方程的根都是整数， 为平方数， 设（为正整数）， ，则， 为正整数，为正整数， 和为24的正整数因数，且， ∵， 当时，（舍去）， 当时，，代入验证方程的根是整数，满足条件， 当时，（舍去）， 当时，，代入验证方程的根是整数，满足条件， 正整数的值为11或9． 故答案为：11或9． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解一元一次不等式，解一元二次方程得出，，结合题意得出，解一元一次不等式即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴此方程总有两个实数根， ∴， ∴，， ∵关于x的一元二次方程恰有一个根小于， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）关于的方程，下列解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ，，，， ，， 整理得， 配方得 ，，，， 移项得 ，，或，， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，解一元二次方程的方法，根据等式的性质，解一元二次方程的方法逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、两边同时除以时，未考虑的情况，导致漏解，所以甲错误，故选不符合题意； B、整理得：， ，，， ， ， ，，所以乙错误，故选项不符合题意； C、整理得， 配方得：， ， ， ，，所以丙错误，故选项不符合题意； D、移项得：， ， 或， ，，所以丁正确，故选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）方程的两个根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式． 利用一元二次方程的求根公式进行求解即可． 【详解】解：，， ， 根据求根公式得， ， ∴，， 故选：A． 【题型17 解一元二次方程—因式分解法】 1．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）若的三边长都是方程的根，则的周长是（   ） A．7 B．8 C．7或8 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、三角形的三边关系等知识点，正确解出一元二次方程并分类讨论是解题的关键． 先利用因式分解法求的方程两个根分别是2和3，再结合三角形的三边关系进行分类讨论即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 当2为腰，3为底时，，能构成等腰三角形，此时的周长为； 当3为腰，2为底时，，能构成等腰三角形，此时的周长为． 综上，周长分别为7或8． 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义与因式分解法解一元二次方程．此题难度不大，注意二次项系数不等于零，这是易错点．根据题意可得且，继而求得答案． 【详解】解：由题意，得且， ∴且， ∴． 解得． 故选：B． 3．已知关于的方程的一个根是1，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程；分和分别讨论，即可求解． 【详解】解：当时，， 可得：，符合题意， 当时，方程是一元二次方程， 把代入得， ∴， ∴ 解得：（舍去）或， 综上所述，或 故答案为：或． 【题型18 一元二次方程根与系数的关系】 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2036 B．2035 C．2034 D．2033 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的定义，代数求值，解题的关键是掌握根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据根的定义得出，然后代数求值即可． 【详解】解：根据题意得，， ∵，是方程的两个实数根， ∴ ∴， 故选：B． 2．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ） A．3 B． C．3或1 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系结合，可得出关于m的分式方程，解之即可得出m的值，再根据根的判别式，即可得出m的值，此题得解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 解得：或， 经检验，或均为原分式方程的解． ∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知是方程的两个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据题意得到，，，进而化简求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 【题型19 根据实际问题列一元二次方程】 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形场地的长、宽及小路的宽度，可得出除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形，再结合种植面积为，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地，且小道的宽为， 除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形． 根据题意得：， 故选：D． 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设1人每次都能教会x名同学，根据两次教会全班36人，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设1人每次都能教会x名同学， 根据题意得：． 故选：D． 3．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）某公司去年年底已累计投资200万元，今后两年计划继续增加投资，若两年增加的百分比相同，且使今后两年共投资750万元，设今后两年投资的年平均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程． 设今后两年投资的年平均增长率为x，则今年投资万元，明年投资万元，再根据“今后两年共投资750万元”建立方程． 【详解】解：设今后两年投资的年平均增长率为x，则可列方程为， 故选：D． 【题型20 一元二次方程的应用】 1．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）乒乓球作为陕西中考体育“体质健康测试类”选考项目，因其对体能要求相对较低且趣味性较高，成为同学们选考热点，乒乓球拍的销量也在持续增长．某体育用品店销售一种乒乓球拍，进价为每副42元，按每副66元销售，平均每月能卖出200副，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时，在不亏本的情况下，尽量减少库存，经调研发现，售价每降低2元，平均每月可多卖出20副． (1)小明说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500副．”请你判断小明的说法是否正确？并说明理由； (2)该体育用品店期望销售这种乒乓球拍，平均每月的销售利润为4830元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请用方程的思想说明应采纳谁的意见． 【答案】(1)小明的说法不正确，理由见解析 (2)采纳销售员乙的意见，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程中的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设售价降低元，平均每月的销售量能达到500副，根据“售价每降低2元，平均每月可多卖出20副”列出方程，可求出具体降价金额，从而可求出售价，将售价与进价比较即可得出结论； （2）设售价降低元，可使平均每月的销售利润为4830元，根据利润、售价、进价之间的关系列出方程，解出结果后，再根据增加销售量可以减少库存即可得出结论． 【详解】（1）解：设售价降低元，平均每月的销售量能达到500副， 依题意得，， 解得， 降价后每副的售价为（元）， 进价为每副42元，， 平均每月的销售量能达到500副时会亏本， 小明的说法不正确； （2）解：采纳销售员乙的意见，理由如下： 设降低元， ∵售价每降低2元，平均每月可多卖出20副， ∴售价每降低1元，平均每月可多卖出10副， 由题意得， 解得或， 当时（甲的意见），销售量为副； 当时（乙的意见），销售量为副； ∵尽量减少库存， ∴采纳销售员乙的意见． 2．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 3．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟； (2)小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【分析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟 ，则小凤的跑步速度为每分 ．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可； （2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可． 【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟 ，则小凤的跑步速度为每分 ， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． (1)求通道的宽是多少米． (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】(1)3米 (2)上涨40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是x米，根据题意列出方程，解出x的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨y元，根据题意列出方程，解出y的值，结合优惠大众选择较小的y的值即可解答． 【详解】（1）解：设通道的宽是米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：通道的宽是3米． （2）解：设每个车位的月租金上涨元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位， 依题意，得， 解得， 又要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 【题型21 利用勾股定理求边长】 1．（25-26八年级上·四川雅安·期中）有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【答案】3 【分析】先由勾股定理求解，然后利用折叠的性质得到，再由面积法得到，据此求解即可． 【详解】解：∵有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， 解得． 【点睛】对于本题，重点把握折叠的不变性，勾股定理的应用，以及面积思想的应用，也可以通过设，再对运用勾股定理建立方程求解． 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，将绕点O逆时针旋转得到，求线段的长． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理和旋转的性质．根据勾股定理和旋转的性质即可得到结论． 【详解】解：在中，， ∴， ∵将绕点O逆时针旋转得到， ∴． 3．（24-25八年级下·四川达州·期中）如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 【题型22 勾股数（树）】 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）下列各组数据是勾股数的有（   ） ，，； ，，； ，，； ，，； ，，． A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，勾股数，根据勾股数是三个正整数，且满足只需逐一检查每组数据是否均为正整数，并验证是否满足勾股定理即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股数必须为正整数且满足， ∵，，是整数，且， ∴是勾股数，符合题意； ∵，，不是整数， ∴不是勾股数，不符合题意； ∵，，是整数，且， ∴不是勾股数，不符合题意； ∵，，中不是整数， ∴不是勾股数，不符合题意； ∵，，是整数，且， ∴是勾股数，符合题意； 综上可得：只有和是勾股数，共组， 故选：． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图是一株勾股树，其中四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是7、5、7、9，则正方形的面积是________． 【答案】28 【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方是解答此题的关键． 中间左边正方形的面积=正方形的面积+正方形的面积，中间右边正方形的面积=正方形的面积+正方形的面积，正方形的面积等于中间两个正方形的面积之和，由此即可得出结论． 【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为、，最大正方形的边长为， 由勾股定理得：，，， 即最大正方形的面积为28． 故答案为：28． 3．（24-25八年级下·河北张家口·期中）如图甲是第七届国际数学教育大会（）的会徽，主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成，其中，现把图乙中的直角三角形继续作下去，若的值是整数，且，则符合条件的有________个． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理的应用；探索图形规律，找到规律是解题的关键． 利用勾股定理可求出，得到，即可得到，再根据是整数及，由此可求出n的值的个数． 【详解】解：由题意得 ； ； ； ∵， ∴的值是整数， ∴·的值可以是，，，是整数的有3个． 故答案为：3． 【题型23 图形上构成直角三角形的点】 1．如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（      ） A．个 B．个 C． 个 D．个 【答案】D 【分析】可以分A、B、C分别是直角顶点三种情况进行讨论即可解决． 【详解】解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个； 当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选D． 【点睛】正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 2．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形． 【答案】 或5 4或10 【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可． 【详解】解：如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得：t=10． 故答案为：或5；4或10． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 3．如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动_____秒时，与的边垂直． 【答案】或或． 【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可． 【详解】解：设运动时间为 则， 当时，如图1所示， 过点作于点 ， 中有， ， 中，， 中，， ， ， 解得：； 当时，如图2所示， 由可知， 又 ； 当时，如图3所示， 过点作于点 由知， 中有， 中有， ， 又 当点移动秒或秒或秒时，与边垂直． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键． 【运算素养强化】 【题型24 二次根式的混合运算】 1．（25-26八年级上·辽宁丹东·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算及分母有理化的知识． （1）先化简二次根式，分母有理化，再进行合并即可； （2）先根据二次根式的乘除法法则和完全平方公式进行计算，再进行合并即可； （3）先化简二次根式，分母有理化，再进行合并即可； （4）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 2．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质化简，完全平方公式的运用，分母有理化，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）先利用二次根式的性质化简再合并同类项即可； （2）利用完全平方公式，二次根式形式化简，再合并同类项即可； （3）先算二次根式的乘除法，利用二次根式的性质化简，再合并同类项即可； （4）先分母有理化，计算算术平方根，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 3．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键. （1）原式先化简各二次根式，再合并即可； （2）原式先计算二次根的乘法和除法，再合并即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ； （2）解：根据题意可知：， ∴， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ． 4．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再进行乘法运算，然后合并同类二次根式即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式即可； （4）先计算括号内，再进行除法运算即可； （5）先计算括号内，再进行除法运算即可； （6）根据乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【题型25 二次根式的化简求值】 1．（24-25八年级下·广西玉林·阶段练习）已知， (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的减法法则求出，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案． 【详解】（1）解：，， ，， 则 ； （2），， ∴， ∴ ． 2．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）已知，，满足，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，根据非负数的性质可求出a、b、c的值，再根据平方差公式和二次根式的化简方法把所求式子化简，最后代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，，， ． 3．（25-26八年级上·上海·阶段练习）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先根据二次根式的性质及运算法则化简，再将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 4．（24-25八年级下·西藏·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式化简求值，熟练掌握平方差公式，二次根式性质，是解题的关键． 计算，把条件式代入，即得结果式的值． 【详解】解：∵ ， 且， ∴． 【题型26 一元二次方程的解法】 1．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键． （1）根据直接开平方法步骤计算可得； （2）将常数项移到右边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得； （3）将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， 2．（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法求解即可； （2）先移项，再根据因式分解法求解即可． 【详解】（1） （2） 或 3．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）用适当的方法解下列关于x的方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)，， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，并熟练掌握利用一元二次方程特征选用合适方法解一元二次方程是解题的关键． （1）整理后，利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）先求解，再利用公式法解一元二次方程即可． （3）整理得，利用公式法解一元二次方程即可． （4）先把方程化为，再进一步解方程即可． 【详解】（1）解：， 变形为， ∴， ∴或， 解得：，． （2）解：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． （3）解：， 整理得：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． （4）解：， ∴， ∴， ∴或或， 解得：，，． 4．（25-26九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，求此方程的解． 【答案】(1)见解析 (2)，． 【分析】题目主要考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程， （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将m的值代入利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：将代入方程中， 得， ∴， ∴， 即，． 5．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数的关系是解题的关键， （1）利用方程有两个实数根，得到，代入即可求得k的取值范围； （2）利用根与系数的关系得到，代入，解出关于k的一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴ ∵， ∴， 解得：． （2）解：∵，是方程的两个根 ， ∴， ∵， ∴， 解得：，（舍去）． 【题型27 利用勾股定理解三角形】 1．（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理， ， ∴． （2）解：在中，根据勾股定理，得 ， 则， ∴． 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的应用，解题的关键是通过作高构造直角三角形，利用等腰三角形三线合一的性质求出底边的一半，再用勾股定理求出高． 过点作于点，由得；在中，由勾股定理求出的长度；最后根据三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：过点A作 于点D， 在 中，由勾股定理得 ， ． 3．（25-26九年级上·广西崇左·月考）在中，的对边分别为，已知，，求的度数及的长． 【答案】． 【分析】本题考查了勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理求出三角形的边长．先根据勾股定理求出边的长，再根据等腰直角三角形求出角度即可． 【详解】解： 故的度数均为，的长为． 【题型28 勾股定理的逆定理证明直角三角形】 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在中，分别是和的中点，是的中点，且． (1)求证：是直角三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】该题考查了勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形中位线定理． （1）设，求出，得出，即可证明． （2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，根据三角形中位线定理得出，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴设， 则， ∴， ∴是直角三角形； （2）证明：∵，是的中点， ∴， ∵分别是和的中点，是的中点， ∴， ∴． 2．如图所示，在中，内角、、所对的边分别为、、． （1）求证：的内角和等于180°； （2）若，求证：是直角三角形． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【分析】（1）画出图形，写出已知，求证；过点作，根据平行线性质得出，，代入即可求出答案； （2）化简等式即可得到a2＋c2＝b2，根据勾股定理的逆定理即可得到结论． 【详解】（1）如图所示，过点作， ，，（两直线平行，内错角相等）， （平角的定义）， （等量代换），即：三角形三个内角的和等于180°； （2），， ， ， 是直角三角形． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质及勾股定理的逆定理，根据证明过程运用转化思想是解题的关键． 3．（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，在中，．求证：为直角三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理， 先在中，由勾股定理得到，再在中，由勾股定理的逆定理求证即可．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解决问题的关键． 【详解】解：在中，， 则由勾股定理可得， 在中，，，则，， ， 则为直角三角形． 【几何直观实操】 【题型29 利用勾股定理格点作图】 1．（25-26八年级下·吉林四平·月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画三角形． (1)在图①中画一个，使三角形的面积为3； (2)在图②中画一个，使三角形为等腰三角形且底边长为，腰长为； (3)在图③中画一个，使三角形为直角三角形且一条直角边长为，斜边长为． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）底边取，高取即可满足要求； （2）底边为2易取，根据勾股定理可知当三角形的直角边分别为3和1时则斜边为，由此画三角形即可； （3）由勾股定理可知当一条直角边长为，斜边长为5时，另一条直角边为，由此画三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示： 上图中可知，，， ∴，满足题意要求． （2）解：如图所示： 当三角形的直角边分别为3和1时则斜边为， 上图中，、均为直角边分别为和时对应的斜边， 即，且两个边长为的直角边恰好能组成． （3）解：如图所示： 图中方格为， 若要有一条边长为，则需满足直角边为和， 上图中满足该情况，故， 同理根据勾股定理可得， 另一条直角边需为，图中的长度为． 【点睛】本题考查了勾股定理以及格点三角形的画法；已知三角形的底边，关键是掌握勾股定理． 2．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、点B均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中画一个，使得． (2)在图②中画一个，使得，且． (3)在图③中画一个，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用勾股定理可得，，由勾股定理逆定理可得，那么为等腰直角三角形，则； （2）由勾股定理可得，则，而，再由勾股定理逆定理可得，故； （3）可得，再由三角形内角和定理即可得到． 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）解：如图②，即为所求； （3）解：如图③，即为所求． 3．（25-26八年级上·北京西城·月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． (1)在图①中以线段为腰画一个等腰锐角三角形； (2)在图②中以线段为底画一个等腰直角三角形； (3)在图③中画等腰钝角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查借助网格作图、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形． （1）以点为等腰三角形的顶点，作，即为所求； （2）借助网格作，，可得：，根据勾股定理的逆定理可知是以线段为底的等腰直角三角形； （3）借助网格作．且，是以为底边的等腰三角形． 【详解】（1）解：如下图所示，即为所求作， 由勾股定理可知：， 即是等腰三角形； （2）解：如下图所示，即为所求作， 由图可知，，， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图，为所求作， 如图：．且， 是等腰钝角三角形． 【综合思维突破】 【题型30 复合二次根式的化简】 1．（25-26八年级上·上海·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则． （）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2） ． 2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握题干给定的化简方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （2）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （3）根据题干给定的化简方法，先化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：， ∴，，， ∴； （3）原式 ． 【题型31 分母有理化】 1．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以 所以 ，所以 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ____________；____________； (2)比较大小： ___________（填， ，或中的一种）； (3)计算： ； (4)若，求 的值． 【答案】(1)， (2) (3)2024 (4)7 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，平方差公式，代数式求值． （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将里的分母有理化，然后合并，再和相乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵，， 显然，即 又∵和都是正数， ∴， 故答案为：； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数． 如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如 ，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． (1)解决问题：的一个有理化因式是______，分母有理化，得______； (2)计算：； (3)计算： ① ②已知：，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】本题考查了二次根式的有理化因式、分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是掌握有理化因式的确定方法（利用平方差公式，使两式乘积不含根号）、分母有理化的运算步骤（分子分母同乘有理化因式）以及裂项相消法在二次根式求和中的应用． （1）确定的有理化因式，依据平方差公式，找与相乘后积不含根号的式子；对分母有理化，需分子分母同乘消去分母的根号． （2）先对分母有理化，再将、化为最简二次根式，最后合并同类二次根式． （3）①将每一项分式分母有理化后裂成“”的形式，中间项抵消后计算； ②先化简、，再用平方差公式简化计算，避免直接平方的复杂运算． 【详解】（1）解：∵，积为不含根号的实数，   ∴的一个有理化因式是；   ，   故答案为：；； （2）解：            ； （3）①解：                  ； ②解：，   ；   ∴       【题型32 换元法解一元二次方程】 1．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： (1)解方程，则______； (2)若，求______． 【答案】(1)5或 (2)5 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． （1）仿照例题，将看作整体，因式分解后得出，再求解即可． （2）仿照例题，将看作整体，因式分解后得出，再求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴， 故答案为：5或； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∵不论a、b为何值，，即， ， 故答案为：5． 2．（24-25九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】(1)； (2)，，互为倒数； (3)， 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和换元法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）先写出的友好方程，然后再解得其友好方程的答案，通过观察，可猜想出原方程与友好方程两根之间的关系； （3）由（2）可知，的两个根分别是，，将整理为：，那么有或，从而解得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程与称为一对“友好方程”， 一元二次方程的“友好方程”为； 故答案为：； （2）解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为， 解，得到， 解得，， 观察可知，，； 所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数． 故答案为：，，互为倒数； （3）解：已知关于的方程的两根是，， 那么的两个根分别是，， 将整理为：， 那么有或， 即，； 故答案为：，． 【题型33 一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合】 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数m、n满足、，求的值． (2)已知实数p、q满足、，且，求的值． (3)已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 【答案】(1) (2)1 (3)7 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式等知识，正确理解一元二次方程根与系数关系，并能对相关式子进行变形是解题关键． （1）根据题意得到m，n是方程的两个不相等的实数根，得到，变形为整体代入即可求解； （2）变形为，结合得到p、可看作方程的两根，得到，变形为即可求解； （3）根据、得到a、b是方程的两个根，即可得到，根据，即可求出，得到c的最大值为7． 【详解】（1）解：∵实数m、n满足、，， ∴m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴p、可看作方程的两根， ∴， ∴； （3）解：∵、， ∴a、b是方程的两个根， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴c的最大值为7． 2．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程． (1)根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程； (2)若关于的方程是倍“梅石花”方程，直接写出的最小值是_________． (3)若方程为“状元来”方程，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． （1）利用因式分解法解方程可得，由此即可得； （2）设这个方程的两个根为，则可得，，将代入化简即可得；化简可得，再根据可得，由此即可得； （3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，则可得，代入化简即可得证． 【详解】（1）解：， ， 解得， ∵， ∴是4倍“梅石花”方程， 故答案为：4． （2）解：设这个方程的两个根为， ∴，， ∴， ∴，为正整数， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为1， 故答案为：1． （3）证明：∵可化成， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 3．（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1) ； 或； (2)，该方程的“幸运数”为 (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“幸运方程”的定义，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系； （1）把代入方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解； 根据“幸运数”的定义可得方程，解方程可求得的值； （2）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“幸运数”定义求解即可； （3）根据是“幸运方程”得出的两个根为整数，设方程的两个分别为，根据根与系数的关系得出，进而根据为整数，得出的值为或，求得，根据与互为“开心数”得出方程，进而分或，分别代入，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，代入得，， ∴，即， 故答案为：； 依题意， ， 整理得，， 解得，， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“幸运方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， 当时，方程化为， ∴； ∴方程的“幸运数”为； （3）解：∵是“幸运方程” ∴的两个根为整数， 设方程的两个根分别为， ∴ ∴ ∴， ∴ ∵为整数， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上所述，的值为或； 方程的“幸运数”为， 当时， 当时， ∴ 方程的“幸运数”为 ∵与互为“开心数”， ∴，即 当时，方程为： 解得：或（舍去，不是整数） 当时，方程为： 解得： 综上所述，或 【题型34 折叠勾股综合】 1．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）如图，在中，，，，将沿折叠，点C的对应点E落在上，再将沿折叠，使得点A的对应点恰好与点E重合，则的长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．先由折叠的性质得到，，根据，求出，进而求出，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得到，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 89．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，关键是线段的转换； 设，利用折叠及勾股定理可得，，由是等腰直角三角形及折叠可得，则可求. 【详解】解：设， 由折叠可知，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴， 由折叠可知：， ∵矩形中， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：B． 90．（24-25八年级上·福建三明·期中）在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键． （1）先证，再证明进而得出即可； （2）设x，则，在中用勾股定理求解即可； （3）先求出，得出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵折叠后点B与点C重合， ∴， 在中， ∴， ∴， ， ，即D是的中点； （2）解：∵直线是对称轴， ∴， ∵， 设，则 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型35 勾股逆定理证明】 1．（25-26七年级上·全国·期中）如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，理解并熟练运用相关定理是解题关键． （1）连接，利用勾股定理及其逆定理证明即可； （2）结合（1）的结论，利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：； （2）解：∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用勾股定理逆定理可得结论； （2）首先确定的长，进而可得的长，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵的垂直平分线分别交、于点、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）解：∵，且， ∴ ∴， ∴． 由（1）得是直角三角形，且， ∴． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见详解； (2)见详解． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于熟练掌握勾股定理的逆定理以及全等三角形的判定与性质． （1）利用勾股定理的逆定理求出即可得出结论； （2）设的中点为N，连接，则为等腰直角三角形，求出，证明，可得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， 是直角三角形； （2）证明：设的中点为N，连接， ， ，是直角三角形，， 为等腰直角三角形， ， ， 在和中，， ， ， ． 4．如图，在四边形中，，，，， (1)求证：； (2)求证：，； (3)求证：（提示：尝试用两种不同的方法表示梯形的面积）； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理的运用，三角形的面积，梯形，等腰直角三角形． （1）由勾股定理的逆定理可得出结论； （2）由三角形外角的性质得到，由即可证明，得到； （3）由梯形，三角形面积公式即可证明问题． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ； （3）证明：∵梯形的面积， 梯形的面积， ， ， ． 【题型36 勾股定理的应用】 1．（24-25八年级上·广东茂名·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解， 【详解】解：根据题意得 在中，，， ， ∴， 在中，，， ， ∴， ∴底部边缘A处与C之间的距离的长为． 故选：D． 2．（25-26八年级上·贵州·期末）今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》），题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是（  ）（“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈尺） A．10尺，11尺 B．11尺，12尺 C．12尺，13尺 D．13尺，14尺 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设尺，则：尺， 在中，， ∴， 解得， ∴尺，尺， 即这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺，13尺， 故选：C． 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，求出，即可求出E站离A站的距离． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴． 故选：D． 4．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为，高为的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为，蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用——最短路径问题，要求长方体中两点之间的最短路径，则将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答即可，熟练掌握知识点的应用解题的关键． 【详解】解：如图， ∴，，由勾股定理得：； 如图， ∴，， 由勾股定理得，； 如图， ∵长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ∴，， 在直角三角形中，根据勾股定理得：， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是， 故选：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习5大类型36个题型（前3章） 【新教材沪科版】 【核心概念建构】 2 【题型1 二次根式有意义的条件】 2 【题型2 二次根式的性质与化简】 2 【题型3 二次根式的乘除法】 2 【题型4 最简二次根式】 3 【题型5 同类二次根式】 3 【题型6 二次根式的相关运算】 3 【题型7 判断是否是一元二次方程】 3 【题型8 一元二次方程的一般形式】 4 【题型9 一元二次方程的解】 4 【题型10 解一元二次方程—直接开平方法】 4 【题型11 解一元二次方程—配方法】 4 【题型12 判断能否构成直角三角形】 5 【能力层级提升】 5 【题型13 二次根式的应用】 5 【题型14 配方法的应用】 7 【题型15 一元二次方程根的判别式】 7 【题型16 解一元二次方程—公式法】 7 【题型17 解一元二次方程—因式分解法】 8 【题型18 一元二次方程根与系数的关系】 8 【题型19 根据实际问题列一元二次方程】 8 【题型20 一元二次方程的应用】 9 【题型21 利用勾股定理求边长】 11 【题型22 勾股数（树）】 11 【题型23 图形上构成直角三角形的点】 12 【运算素养强化】 13 【题型24 二次根式的混合运算】 13 【题型25 二次根式的化简求值】 14 【题型26 一元二次方程的解法】 14 【题型27 利用勾股定理解三角形】 15 【题型28 勾股定理的逆定理证明直角三角形】 15 【几何直观实操】 16 【题型29 利用勾股定理格点作图】 16 【综合思维突破】 17 【题型30 复合二次根式的化简】 17 【题型31 分母有理化】 18 【题型32 换元法解一元二次方程】 19 【题型33 一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合】 20 【题型34 折叠勾股综合】 21 【题型35 勾股逆定理证明】 22 【题型36 勾股定理的应用】 23 【核心概念建构】 【题型1 二次根式有意义的条件】 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）若在实数范围内有意义，则的值可以是（   ） A．6 B．0 C．7 D．8 2．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）若，则 ． 3．（25-26八年级上·福建泉州·阶段练习）代数式的值最大时，的值为 ． 【题型2 二次根式的性质与化简】 1．化简，结果是（    ） A． B． C． D．4 2．（25-26八年级上·上海·阶段练习）当时，化简二次根式 【题型3 二次根式的乘除法】 1．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）计算 ． 2．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么 ． 3．（25-26八年级上·甘肃白银·阶段练习）某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则另一条直角边长为（    ） A． B． C． D． 4．计算结果为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【题型4 最简二次根式】 1．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西朔州·期末）将化成最简二次根式的结果为 ． 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值： ． 【题型5 同类二次根式】 1．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）若两个最简二次根式与是同类二次根式，则（   ） A．2 B． C．3 D．1 2．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）若最简二次根式和最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【题型6 二次根式的相关运算】 1．（25-26八年级上·上海·阶段练习）在数轴上点、分别表示和，则两点之间的距离是 ． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）定义运算“”的运算法则为，则 ． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，， ． 4．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段练习）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“=”） 【题型7 判断是否是一元二次方程】 1．（25-26九年级上·全国·阶段练习）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．3 B． C．3或 D．0 2．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）下列是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【题型8 一元二次方程的一般形式】 1．将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 2．把方程化成的形式，则a、b、c的一组值是（    ） A． B． C． D．2、1、1 【题型9 一元二次方程的解】 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 2．下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）若是一元二次方程的一个根，则 【题型10 解一元二次方程—直接开平方法】 1．方程的解为 ． 2．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．0 3．（2025·上海徐汇·二模）若一元二次方程中的，则的值为 ． 【题型11 解一元二次方程—配方法】 1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）用配方法解关于的一元二次方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·新疆伊犁·阶段练习）如果一元二次方程经配方后，得，那么 ． 【题型12 判断能否构成直角三角形】 1．（24-25九年级下·江西鹰潭·期中）下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．6，8，10 B．5，12，13 C．10，15，20 D．7，24，25 2．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则____________． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个三角形三边长为、、，则三角形的面积为______． 【能力层级提升】 【题型13 二次根式的应用】 1．已知长方形的长a=，宽b=． （1）求该长方形的周长； （2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试计算该正方形的周长． 2．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）榻榻米具有外观方正大气，空间利用率高等优点，在家庭装修中逐渐流行．如图1是一个榻榻米的实物图，图2是其俯视图，在图2中，隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分，其中①②③④部分图形是全等的矩形，⑤部分图形是正方形，若正方形的面积为，隔板的宽度不计． (1)求正方形的边长； (2)求四个隔板的总长度（结果保留根号）． 3．（25-26八年级上·河南焦作·阶段练习）年河南全省学生劳动教育周活动启动仪式在三门峡市举行．如图，某校实践基地有一块长方形空地，空地的长为，宽为，准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． (1)求种植青菜部分的周长；（结果化为最简二次根式） (2)求种植青菜和香菜部分的面积差． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在一家手工作坊里，木工师傅正在为客户定制一批小型收纳盒，他们选用了一块长方形木板作为原材料．为了满足设计需求，需要对这块木板进行改造．木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为________cm； (2)求长方形木板的周长和面积． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）物体在做自由落体运动时，下落到地面的时间（单位：s）和下落高度（单位：m）之间满足关系式，其中取．（不考虑空气阻力） (1)小球从高空自由落下，需要多长时间到达地面？ (2)明明认为，小球从的高空自由落下，到达地面所需要的时间是从高空自由落下所需时间的2倍，你是否认同明明的想法？请说明理由． 6．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知有两块面积均为108平方厘米的正方形纸板．现甲，乙两种操作方案．甲方案：在纸板上裁出一个面积为24平方厘米，且宽为厘米的长方形纸板①；乙方案：将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②； (1)求甲方案中裁出的长方形纸板①的长； (2)求乙方案中得到的长方形纸板②的面积； (3)小明准备在纸板①，②中选出一个，剪出长2厘米，宽厘米的纸条，请直接写出小明应该选择哪个，才能使剪出的纸条最多？ 【题型14 配方法的应用】 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是 ． 2．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知为实数，满足，那么的最小值为 ． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 4．已知：a、b、c是的三边，且，的形状是 ． 【题型15 一元二次方程根的判别式】 1．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海金山·期末）若，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 4．已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【题型16 解一元二次方程—公式法】 1．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）已知关于的方程，若方程的根都是整数，则满足条件的正整数的值为 ． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为 ． 3．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）关于的方程，下列解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ，，，， ，， 整理得， 配方得 ，，，， 移项得 ，，或，， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）方程的两个根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型17 解一元二次方程—因式分解法】 1．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）若的三边长都是方程的根，则的周长是（   ） A．7 B．8 C．7或8 D．13 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 3．已知关于的方程的一个根是1，则 ． 【题型18 一元二次方程根与系数的关系】 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2036 B．2035 C．2034 D．2033 2．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ） A．3 B． C．3或1 D．或1 3．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知是方程的两个根，则代数式的值是 ． 【题型19 根据实际问题列一元二次方程】 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）某公司去年年底已累计投资200万元，今后两年计划继续增加投资，若两年增加的百分比相同，且使今后两年共投资750万元，设今后两年投资的年平均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【题型20 一元二次方程的应用】 1．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）乒乓球作为陕西中考体育“体质健康测试类”选考项目，因其对体能要求相对较低且趣味性较高，成为同学们选考热点，乒乓球拍的销量也在持续增长．某体育用品店销售一种乒乓球拍，进价为每副42元，按每副66元销售，平均每月能卖出200副，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时，在不亏本的情况下，尽量减少库存，经调研发现，售价每降低2元，平均每月可多卖出20副． (1)小明说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500副．”请你判断小明的说法是否正确？并说明理由； (2)该体育用品店期望销售这种乒乓球拍，平均每月的销售利润为4830元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请用方程的思想说明应采纳谁的意见． 2．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 3．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 4．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． (1)求通道的宽是多少米． (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【题型21 利用勾股定理求边长】 1．（25-26八年级上·四川雅安·期中）有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，将绕点O逆时针旋转得到，求线段的长． 3．（24-25八年级下·四川达州·期中）如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【题型22 勾股数（树）】 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）下列各组数据是勾股数的有（   ） ，，； ，，； ，，； ，，； ，，． A．组 B．组 C．组 D．组 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图是一株勾股树，其中四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是7、5、7、9，则正方形的面积是________． 3．（24-25八年级下·河北张家口·期中）如图甲是第七届国际数学教育大会（）的会徽，主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成，其中，现把图乙中的直角三角形继续作下去，若的值是整数，且，则符合条件的有________个． 【题型23 图形上构成直角三角形的点】 1．如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（      ） A．个 B．个 C． 个 D．个 2．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形． 3．如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动_____秒时，与的边垂直． 【运算素养强化】 【题型24 二次根式的混合运算】 1．（25-26八年级上·辽宁丹东·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) 2．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算： (1) (2) 4．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型25 二次根式的化简求值】 1．（24-25八年级下·广西玉林·阶段练习）已知， (1)求的值． (2)求的值． 2．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）已知，，满足，求代数式的值． 3．（25-26八年级上·上海·阶段练习）先化简，再求值：，其中 4．（24-25八年级下·西藏·期中）已知，求的值． 【题型26 一元二次方程的解法】 1．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 2．（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段练习）解方程： (1) (2) 3．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）用适当的方法解下列关于x的方程： (1) (2) (3) (4) 4．（25-26九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，求此方程的解． 5．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求k的值． 【题型27 利用勾股定理解三角形】 1．（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长． (1) (2) 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，求的面积． 3．（25-26九年级上·广西崇左·月考）在中，的对边分别为，已知，，求的度数及的长． 【题型28 勾股定理的逆定理证明直角三角形】 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在中，分别是和的中点，是的中点，且． (1)求证：是直角三角形； (2)求证：． 2．如图所示，在中，内角、、所对的边分别为、、． （1）求证：的内角和等于180°； （2）若，求证：是直角三角形． 3．（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，在中，．求证：为直角三角形． 【几何直观实操】 【题型29 利用勾股定理格点作图】 1．（25-26八年级下·吉林四平·月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画三角形． (1)在图①中画一个，使三角形的面积为3； (2)在图②中画一个，使三角形为等腰三角形且底边长为，腰长为； (3)在图③中画一个，使三角形为直角三角形且一条直角边长为，斜边长为． 2．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、点B均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中画一个，使得． (2)在图②中画一个，使得，且． (3)在图③中画一个，使得． 3．（25-26八年级上·北京西城·月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． (1)在图①中以线段为腰画一个等腰锐角三角形； (2)在图②中以线段为底画一个等腰直角三角形； (3)在图③中画等腰钝角三角形． 【综合思维突破】 【题型30 复合二次根式的化简】 1．（25-26八年级上·上海·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 【题型31 分母有理化】 1．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以 所以 ，所以 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ____________；____________； (2)比较大小： ___________（填， ，或中的一种）； (3)计算： ； (4)若，求 的值． 2．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数． 如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如 ，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． (1)解决问题：的一个有理化因式是______，分母有理化，得______； (2)计算：； (3)计算： ① ②已知：，，求的值． 【题型32 换元法解一元二次方程】 1．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： (1)解方程，则______； (2)若，求______． 2．（24-25九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【题型33 一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合】 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数m、n满足、，求的值． (2)已知实数p、q满足、，且，求的值． (3)已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 2．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程． (1)根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程； (2)若关于的方程是倍“梅石花”方程，直接写出的最小值是_________． (3)若方程为“状元来”方程，求证：． 3．（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 【题型34 折叠勾股综合】 1．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）如图，在中，，，，将沿折叠，点C的对应点E落在上，再将沿折叠，使得点A的对应点恰好与点E重合，则的长为________． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建三明·期中）在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 【题型35 勾股逆定理证明】 1．（25-26七年级上·全国·期中）如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求证：． 4．如图，在四边形中，，，，， (1)求证：； (2)求证：，； (3)求证：（提示：尝试用两种不同的方法表示梯形的面积）； 【题型36 勾股定理的应用】 1．（24-25八年级上·广东茂名·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·贵州·期末）今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》），题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是（  ）（“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈尺） A．10尺，11尺 B．11尺，12尺 C．12尺，13尺 D．13尺，14尺 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 4．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为，高为的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为，蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $