专题01 相交线与平行线全章22种题型（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材浙教版

专题01 相交线与平行线 题型1 对顶角相等 题型13 平行线的性质与角的度数（难点） 题型2 画垂线 题型14 平行线的生活应用（重点） 题型3 垂线段最短 题型15 平行线判定与性质求角的度数（难点） 题型4 点到直线距离（重点） 题型16 平行线判定与性质进行证明（难点） 题型5 平行公理 题型17 猪蹄模型（难点） 题型6 同位角相等，两直线平行（重点） 题型18 铅笔头模型（难点） 题型7 内错角相等，两直线平行（重点） 题型19 靴子模型（难点） 题型8 同旁内角互补，两直线平行（重点） 题型20 骨折模型（难点） 题型9 两直线平行，同位角相等（重点） 题型21 图形的平移 题型10 两直线平行，内错角相等（重点） 题型22 利用平移求解 题型11 两直线平行，同旁内角互补（重点） 题型23 平移与实际问题 题型12 平行线的性质与角的关系（难点） 题型1 对顶角相等（共3小题） 1．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，当剪刀口减少时，的度数（　　） A．增大 B．减少 C．增大 D．减少 【答案】B 【分析】本题考查对顶角，理解对顶角的定义是正确解答的前提．根据对顶角的性质进行判断即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∴当剪刀口减少时，的度数也减少， 故选∶B． 2．（25-26七年级上·浙江温州·期末）图1是一把多功能对角尺，图2是其示意图，点在线段上，是的补角，平分． (1)若为直角，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，一元一次方程的应用． （1）由可得，进一步结合角平分线的定义求解即可． （2）设， 可得，证明，，进一步解方程可得答案． 【详解】（1）解：∵为直角， ∴． ∵是的补角， ∴， ∵平分， ∴． ∴． （2）解：设，而， ∴． ∵是的补角， ∴三点共线， ∴， ∵平分， ∴． ∴， 解得， ∴． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线和相交于点，射线，在内部，与互余，平分． (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，解答即可； （2）设，则，，列方程解答即可． 本题考查了角的平分线，互余，角的倍数，解方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵与互余， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴． （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 题型2 画垂线（共3小题） 1．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，在同一平面内过点画直线的垂线，能画（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】此题主要考查了垂线的性质，根据“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”即可得出答案． 【详解】解：根据“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”得：在同一平面内过点A画直线m的垂线，只能画一条． 故选：B． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·月考）如图，平面上有3个点，，． (1)作线段，射线和直线；过点作直线的垂线，垂足为． (2)比较线段长短：_____（填“”或“”或“”）．能说明这个结论正确的依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_____． 【答案】(1)图见解析 (2)，垂线段最短 【分析】本题考查画直线，线段和垂线，以及垂线段最短，熟练掌握相关概念和性质，是解题的关键： （1）根据要求作图即可； （2）根据垂线段最短，进行比较，作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：，理由是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 3．（24-25七年级下·浙江·月考）如图，已知直线和点．    (1)过点画的垂线，垂足为，连接，． (2)填空：线段______的长度是点到直线的距离． (3)比较线段的大小：______（用“”“”或“”连接），理由：______． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)，垂线段最短 【分析】本题考查画垂线，点到直线的距离，垂线段最短： （1）根据要求，画图即可； （2）根据点到直线的垂线段的长度即为点到直线的距离，作答即可； （3）根据垂线段最短，进行作答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）线段的长度是点到直线的距离； 故答案为：； （3），理由是：垂线段最短． 题型3 垂线段最短（共3小题） 1．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线l表示一段河道，点P表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，其理由是________． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，理解“从直线外一点，到直线上任意一点所引的线段中，垂直线段最短”是正确解答的关键．根据“垂线段最短”进行解答即可． 【详解】解：沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）校运动会测量跳远成绩时，应用的数学基本事实是_________． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据垂线段最短进行解答即可． 【详解】解：校运动会测量跳远成绩时，应用的数学基本事实是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 3．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店． (1)在公路l上找一个路口M，使得的值最小； (2)现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线（请简要说明作图依据）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查两点之间线段最短、垂线段最短： （1）根据两点之间线段最短，连接交直线l于点M，此时的值最小； （2）根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，只需作于点N即可； 【详解】（1）解：如图所示，点M即为所求： （2）解：如图所示． 题型4 点到直线距离（共3小题） 1．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，．于点，则点到直线的距离是（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，熟记点到直线的距离的定义是解题关键．根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离解答即可得． 【详解】解：∵于点， ∴点到直线的距离是线段的长度． 故选：C． 2．（25-26七年级上·浙江·假期作业）如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键．先明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线所作垂线段的长度，再找到点C到的垂线段，对比选项中线段的长度是否与该垂线段相等． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，点C到所在直线的距离，是从C向所作垂线段的长度， 观察图形，，因此的长度就是点C到的距离． 故选：D． 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图是小明在运动会跳远比赛中的示意图，点A，B是他落地时脚后跟所在位置，则这次跳远成绩是图中哪条线段的长度（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据“跳远成绩是离起跳线较近的脚后跟到起跳线的距离”、“点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度”，选择答案即可，正确判断点到直线的距离是解题的关键． 【详解】解：∵点A，B是小明落地时脚后跟所在位置，跳远成绩是离起跳线较近的脚后跟到起跳线的距离， ∴这次跳远成绩是图中线段的长度， 故选：C． 题型5 平行公理（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）下列说法中正确的个数为（    ） ①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直． ②有且只有一条直线垂直于已知直线． ③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． ⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于直线的位置关系和平行公理的知识点，解题的关键在于准确理解直线的平行、垂直关系以及平行公理．根据在同一平面内，两条直线的位置关系，垂直的性质，平行线平行公理及推论，点到直线的距离等逐一进行判断即可． 【详解】解：因为在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①不正确； 因为，在平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故②不正确； 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．故③正确； 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．故④不正确； 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故⑤不正确． 所以正确的是③，有1个． 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列说法：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；相等的两个角是对顶角；经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直相关性质，垂线段最短的性质，对顶角相等的性质，平行线的相关性质，根据垂直相关性质，垂线段最短的性质，对顶角相等的性质，平行线的相关性质逐一排除即可，熟记教材中的定义以及性质是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，不符合题意； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，原说法正确，符合题意； 相等的两个角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意； 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原说法正确，符合题意； ∴正确的有， 故选：． 3．（24-25七年级下·浙江台州·期中）下列说法中，正确的有（　　） ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行． ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】本题需根据平行公理、垂直性质及点到直线的距离定义，对四个说法逐一判断．分别分析每个说法是否符合相应的数学定义与性质．本题主要考查了平行公理、垂线性质以及点到直线的距离的定义，熟练掌握这些数学定义和性质是解题的关键． 【详解】解：①错误．垂直于同一条直线的两条直线必须在同一平面内才互相平行，原说法缺少前提条件． ②正确．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线性质． ③正确．经过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行，符合平行公理． ④错误．点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身． 综上，正确的说法为②③， 故选B． 题型6 同位角相等，两直线平行（共3小题） 1．（2026·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，点在直线上，边在直线上，直线被所截．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定可逐个判定即可． 【详解】解：A、∵，， ∴的邻补角的度数为，故的邻补角即的同位角不等于， ∴不成立，故选项A不符合题意； B、∵，， ∴的对顶角度数为，故的对顶角即的内错角不等于， ∴不成立，故选项B不符合题意； C、，， ∴的邻补角，故的邻补角即的同位角不等于， ∴不成立，故选项C不符合题意； D、∵，，， ∴， ∴，故选项D符合题意． 2．（2026·浙江·模拟预测）如图，已知直线被直线所截，则下列选项正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行线的判定，逐项判断，即可求解． 【详解】解：根据图形可知， A、和是邻补角，相等不能得到两直线平行，故选项A错误，不符合题目要求； B、和是内错角，内错角相等，两直线平行，选项B正确，符合题目要求； C、和是同旁内角，相等不能得到两直线平行，故选项C错误，不符合题目要求； D、，，，而和是同旁内角，相等不能得到两直线平行，故选项D错误，不符合题目要求． 故选：B． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（   ） ①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作． 作法：    ②要求：过直线外一点P作这条直线的平行线． 作法：    ③要求：过直线外一点P作这条直线的垂线． 作法：    ④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作． 作法：    A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定等知识，平移的性质，平行线的判定，垂直的定义逐步判断各情境即可． 【详解】解∶①如图， 根据三角板的特征知∶， ∴，故作法正确； ②如图， 根据三角板的特征知∶， 无法得出， ∴不能说明，故作法不正确． ③如图， 根据三角板的特征知∶， ∴，故作法正确； ④如图， 根据平移的性质知∶ ， ∴，故作法正确； 故选∶B． 题型7 内错角相等，两直线平行（共3小题） 1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，关键在于找准两个角之间的关系． 直接利用平行线的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：A．，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，故不符合题意； B．，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，故符合题意； C．，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，故不符合题意； D．，利用同旁内角互补，两直线平行，可判断出，故不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，木条，与木条钉在一起，，转动木条，当 ______时，木条与平行． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角、同位角相等两直线平行是解题的关键； 由内错角相等，两直线平行，即可得到答案． 【详解】解：, 要使木条，由内错角相等，两直线平行得： 当时，． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图， 于点A，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)根据题中的条件，能判断与平行吗？如果能，请说明理由；如果不能，添加一个条件，使它们平行． 【答案】(1)，理由见详解 (2)根据题中的条件不能判断与平行，可添加条件（答案不唯一）．理由见详解 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再根据“内错角相等，两直线平行”可得； （2）根据题中的条件不能判断与平行，可添加条件，然后根据“内错角相等，两直线平行”可得； 本题主要考查了垂直的定义和平行线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：根据题中的条件不能判断与平行，可添加条件（答案不唯一）．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型8 同旁内角互补，两直线平行（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线，被直线所截，若要使，则需具备条件（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，应该在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的关系上入手，满足三者中的任一个都能使，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．与是一对对顶角，它们相等对于证明两直线平行没有帮助，故A不符合题意； B．与是一对邻补角，它们互补对于证明两直线平行没有帮助，故B不符合题意； C．与是一对同旁内角，但并不互补，所以不能推出两直线平行，故C不符合题意； D．，同旁内角互补，两直线平行，可得，故D符合题意 故选D ． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，在下列四组条件中，能证明的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行等内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、无法证明，故该选项不符合题意； C、∵，∴，故该选项符合题意； D、∵，∴，故该选项不符合题意； 故选：C 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，下列条件中能判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，能根据图形准确找出同位角、内错角和同旁内角是解决问题的关键．结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项进行判断即可得到结论． 【详解】解∶A．∵，∴，不能判断，故选项A不符合题意； B．∵，∴，不能判断，故选项B不符合题意； C．∵，∴，能判断，故选项C符合题意； D．根据无法证明两直线平行，故选项D不符合题意； 故选∶C． 题型9 两直线平行，同位角相等（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，当，与不平行时，则下列角中与相等的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，找到相等关系的角是解题的关键．由平行线的性质，可知与相等的角有． 【详解】解：∵，与不平行， ∴， 故答案为： 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列说法中正确的个数为（    ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； ④两条直线被第三条直线所做，同位角相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的定义、垂直的性质、平行公理及同位角，根据平行线的定义、垂直的性质、平行公理及同位角的性质逐一判断各说法的正确性即可． 【详解】①错误．平行线需满足“在同一平面内不相交”，原说法缺少“同一平面内”的条件． ②正确．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，符合垂直的性质． ③正确．平行公理指出：经过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行． ④错误．只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，原说法未限定平行条件． 故选C． 3．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【详解】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质、平行公理及推论．根据平行线的性质、判定定理及平行公理逐项分析． 【分析】A． 两条直线被第三条直线所截，只有当这两条直线平行时，同位角才相等．若两条直线不平行，同位角不一定相等，故A错误． B． 垂直于同一条直线的两条直线互相平行，需限定在同一平面内．若不在同一平面，可能存在异面情况，故B错误． C． 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．若点在已知直线上，则无法作平行线，故C缺少“直线外一点”的条件，错误． D． 在同一平面内，若两条直线均平行于第三条直线，则它们互相平行．此结论符合平行线的传递性，故D正确． 故选：D． 题型10 两直线平行，内错角相等（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江金华·月考）如图，直线，将一直角三角形的直角顶点置于直线上，若，则______． 【答案】127 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：∵直线，， ∴， 故答案为：127． 2．（23-24七年级下·浙江金华·期中）（1）请在网格图中画一个三角形，使得三角形中的一个角等于． （2）若每个小正方形边长为个单位，则三角形的面积=___________． 【答案】（）见解析；（）． 【分析】本题考查了在网格内作平行线，平行线的性质，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据网格特点，过作即可； （）用长方形面积减去三个直角三角形面积即可． 【详解】解：（）如图，过作，则即为所求； 理由：∵， ∴； （）三角形的面积为 ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，． (1)判断，是否平行，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质， （1）根据平行线的性质及已知说明，再根据平行线的判定证明即可； （2）根据平行线的性质解答即可； 解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行． 【详解】（1）解：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的度数为． 题型11 两直线平行，同旁内角互补（共3小题） 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，下列关于学校位置的描述正确的是（    ） A．位于小明家北偏东方向上的1200米处 B．位于小明家南偏西方向上的1200米处 C．位于小明家北偏东方向上的1200米处 D．位于小明家北偏西方向上的1200米处 【答案】A 【分析】本题考查方向角，掌握方向角的定义以及平行线的性质是正确解答的关键；根据方向角的定义以及平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴学校位于小明家北偏东方向上的1200米处． 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质判断求解即可． 【详解】解：A、若，不是同位角、内错角等特殊位置关系的角，不能判定，故该选项错误，不符合题意； B、若，则，故该选项正确，符合题意． C、若，则，故该选项错误，不符合题意； D、若，则，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，、分别是、上的点，若，则．完成下面的说理过程： 已知， 根据（           ）， 得_ _． 又根据（              ）， 得． 【答案】内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是本题的关键． 运用平行线的性质和判定，即可得出答案． 【详解】解：已知， 根据内错角相等，两直线平行， 得． 又根据两直线平行，同旁内角互补， 得． 故答案为：内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补 题型12 平行线的性质与角的关系（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质得出，由平角定义得到，即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴； 故选：B ． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知长方形，现将长方形先沿着对角线向上折到如图1的位置，此时线段与交于点E，且，再将三角形沿着向下折叠．如图2，当点恰好落在线段上时，则______；如图3，当点落在下方，且时，则______（用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质等，熟练运用相关知识探索角之间的数量关系是解题的关键． 答题空1：先证，，再在中，运用三角形内角和定理，求得，最后求得； 答题空2：通过翻折的性质和平行线性质得到， 又，从而得到，最后得到． 【详解】解：答题空1：当点恰好落在线段上时， ， ∴， ∵长方形， ∴，， ∴， ∵将长方形沿着对角线向上折到如图1的位置， ∴， ∵， ∴，， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 答题空2：当点落在下方，且时， 由折叠的性质，， ∵， ∴， ∵长方形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质，， ∴， ∵， ∴， 整理得，． 故答案为：， 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，与交于点E． (1)当，，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G， ①若，，求的度数； ②当，求的度数（用含α的式子表示）； (3)如图3，P为线段上一点，为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，设为，为，为，则之间的数量关系是________． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，理解角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点E作（点K在点E的右侧），证明，进而得，，则，则，再代入即可求解； （2）根据，得，再根据角平分线定义得，，由（1）得，，则，，由此可得出的度数； ②根据角平分线定义设，，则，，根据，得，由（1）得，，进而得，，再代入化简即可得出答案； （3）依题意有以下两种情况：①当点N在直线a，b之间时，设，则，，根据角平分线的定义设，则，由（1）得，，进而得，由此可得出之间的数量关系；②当点N在直线b的下方时，过点N作直线a（点H在点N的左侧），设，则，设，则，由（1）得，再根据平行线的性质求出，则，由此可得出之间的数量关系，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：过点E作（点K在点E的右侧），如图1所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①同上可得：， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由（1）得：，， ∴，， ∴； ②∵平分，平分， 设，， ∴，， 由（1）得：， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴，， ∴； （3）解： ∵N为的角平分线上一点，且， ∴有以下两种情况： ①当点N在直线a，b之间时，如图3①所示： 设， ∵， ∴， ∴， ∵N为的角平分线上一点， ∴设， ∴， 由（1）得：，， 又∵， ∴， ∴， 即：； ②当点N在直线b的下方时，过点N作直线a（点H在点N的左侧），如图3②所示： 设， ∵， ∴， ∵N为的角平分线上一点， ∴设，则， 由（1）得：， ∵，直线a， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即 综上所述：之间的数量关系是：或， 故答案为：或． 题型13 平行线的性质与角的度数（共3小题） 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）将一把直尺和一块含有角的直角三角板按如图所示方式放置，直角三角板的一个顶点在直尺一边上，若，则的度数为_____°． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 由题意可得，由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： 2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，将两块含角的三角板和含角的三角板按如图所示的位置放置，若，则的度数为_________°． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角板，平行线的性质，先确定各角的度数，再根据平行线的性质求出，然后根据角的关系求出． 【详解】解：根据题意可知． ， ， ， ， 故答案为：15． 3．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，已知，． (1)请说明的理由． (2)若平分，时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）根据平行线的性质得到，可知，即可证明； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ∵， ， ； （2）解：，， ， 平分， ． 题型14 平行线的生活应用（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先根据作出图形，利用平行线的性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：当第一次向右拐时 （如图1）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ，且向左拐， A、B错误； 当第一次向左拐时 （如图2）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ，且向右拐， D错误， 故选：C． 2．（2025·浙江·二模）如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，求出，结合，即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：C． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是___________度． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，先根据题意作出图形，再根据平行线得到，，，接着根据镜面反射可得，，最后根据平角列方程求解即可． 【详解】解：如图，与平行的光线经过第一次镜面反射后得到线段，经过第二次镜面反射后得到射线，交于， ∵经过两次镜面反射后，与原光线夹角为， ∴， ∵与平行的光线， ∴，，， 由镜面反射可得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 题型15 平行线判定与性质求角的度数（共3小题） 1．（24-25八年级上·浙江杭州·月考）将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，含角的直角三角尺的直角顶点E在含角的直角三角尺的斜边上，且点F在的延长线上，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由题意得，，，结合可得，进而可判定，根据平行线的性质可求出的度数． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，，． (1)判定与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，结合已知证明即可； （2）根据平行线的性质，结合角的平分线解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：，理由如下： ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． （2）解：∵，， ∴； ∵是的平分线， ∴； ∵， ∴． 3．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）如图，已知，． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，又由得到，即可得到，即可证明； （2）求出，，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型16 平行线判定与性质进行证明（共3小题） 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，直线交，于点，，，分别平分，，判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据两直线平行找出相等的角是关键． 先由得到，再由角平分线的定义证明，即可证明． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，直线与被直线所截，与，分别交于点P，O，且，． (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据题意可得，进而可知，结合可证明，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）根据平分线的定义及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：平分 、 ． 3．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，，过点B的直线交于点G，在之间作射线，与互余．    (1)试说明：； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质及角平分线的有关计算． （1）由平行得，结合已知求出即可证出结论； （2）先求出，根据角平分线得，即可求出结论． 【详解】（1）证明：∵， ， 与互余， ， ， ； （2）解：∵，， ， ，平分， ， ． 题型17 猪蹄模型（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，与相交于点，与相交于点，则下列说法正确的是（   ） ①若，则； ②若，则； ③； ④． A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐一判断即可． 【详解】解：①若，则， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②如图，延长交于点G， ∵， ∴， 若， 则， ∴，故②正确； ③分别过点作，则， ∴， ∴ ， ∵ ∴，故③正确； ④由③知， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 则当且仅当时，，故④错误． 故选：B． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）如图，，则________． 【答案】 【分析】作平行线，根据平行线的性质构造等量关系即可求解． 【详解】解：分别过点，，作，，， 则， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵ ， ， ． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． (1)求证：． (2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． (3)如图3，连结，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若（n为整数且），求的值（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点F作，根据两直线平行内错角相等进行求解即可； （2）设，而，可得，由（1）得：，由，再建立方程求解即可； （3）设，而，可得，如图，记的交点为，表示，结合平行线的性质可得，求解，证明，进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作， ， ， ， ； （2）解：设，而， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：设，而， ∴， 如图，记的交点为， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，因式分解的应用，分式的约分，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用角度关系进行运算是解本题的关键． 题型18 铅笔头模型（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，小楚将一块直角三角板的点放置在直线上，点在直线与直线之间，边与直线相交于点，边与直线相交于点，其中． (1)若，求的度数； (2)旋转三角板，并保持本题主干部分的所有条件不变． ①当时，求的度数； ②说明与的差是定值． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查了平行线性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）利用平行线性质推出，再结合平角定义求解，即可解题； （2）①过点作，利用平行线性质和判定推出，结合，进而得到，再结合平角定义求解，即可解题； ②设，由①可知，，推出，，再作差计算，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：①过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②设， 由①可知，， ， ， ， ， ， 与的差是定值． 2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，直线，被直线所截，，一块含角的直角三角板（，）按如图1放置，点E，F分别在直线，上，且，的平分线交直线于点H． (1)填空：_（填“”，“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)将三角板沿直线左右移动，并保持（点F不与点N重合），设，在平移的过程中求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1)= (2) (3)或 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线定义等知识，正确作辅助线和分类讨论是解答本题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，进而可求解； （2）由平行线的性质可得；由角平分线的定义可得，再利用平行线的性质即可求解； （3）可分两种情况：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴, 故答案为：=； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在直角三角形中 ，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当点在点的左侧时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴, ∵， ∴； ②当点在点的右侧时，如图， 同理得，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴, ∵， ∴； 综上，的度数为或． 3．（16-17七年级下·山东济南·期中）如图，已知，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，交射线AM于点C，D． (1)求的度数． (2)当点P运动时，与的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，求的度数． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）利用平行线的性质得出的度数，再结合角平分线的定义求出； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义，分析与的关系； （3）通过角的等量关系和已知条件，求出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ． 平分，平分， ， ， ． （2）不变，． 证明：， ， 平分， ， ． （3）解：， ， 当时，， ， ． 由（1）可知，， ． 【点睛】本题考查平行线与角平分线的综合应用，掌握利用平行线的性质得出角的关系，结合角平分线的定义进行角的计算与推导是解题的关键． 题型19 靴子模型（共3小题） 1．（23-24七年级下·浙江金华·月考）如图，与交于点E，点G在直线上，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，角度的相关计算，由已知条件可得出，过点H作，由平行线的性质可得出②，设，则，， 可判断③④． 【详解】解：∵， ∴， ∴①正确； 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵ ∴， 即， ∴②正确． 设，则，， 由②知 作， ， ， ∴，无法判断是否为， ∴③错误； ∴， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：C． 2．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）（1）已知直线，点为平行线，之间的一点．如图，若，，平分，平分，求的度数． （2）（探究）如图，当点在直线的上方时，若，，和的角平分线交于点，求的度数；若与的角平分线交于点与的角平分线交于点．以此类推，求的度数． （3）（变式）如图，的角平分线的反向延长线和的补角的角平分线交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】； ； ． 【分析】过点作，根据平行线的判定可知，利用平行线的性质可证，，再根据角之间的位置关系可得； 过点作，可得，利用平行线的性质可得：，同理可得：，根据规律可得：； 过点作，可得：，根据平行线的性质可得：，由可得：，所以可得． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， ， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ； 解：如下图所示，过点作， ， ， ，， ， ， 和分别是和的角平分线， ，， ， 同理：， 以此类推，可得：； 解：， 理由如下： 如下图所示，过点作， ， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， 由可知， ． 【点睛】本题考查了平行线性质以及类比思想的运用、探索图形的规律，解决本题的关键是作辅助线，构造出平行线，利用平行线的性质找角之间的关系，运用类比的思想推导出角之间的规律． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图1，直线与直线互相平行，、分别是和上的两个点，连接，在直线的右侧取一点，满足，． (1)如图1，若，则_______； (2)如图2，在直线上方平面内取一点，直线交于，满足，，求． (3)如图3，作、的平分线、交于、，作射线和交于，且使得，，当四边形的一边与平行时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平角的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上判定和性质及分类讨论的思想是解题的关键． （1）设，则，在利用平角的定义求出，再根据平行线的性质得到，建立方程求解即可； （2）过点作，设，求出，根据已知结合平行线的性质得到，，，进而得到，即可求解； （3）分当时，当时，当时，当时，四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； （2）解：过点作， 设， ∵，，， ∴，即， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴，即， ∴； ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，则， ∴， ∴，即； 如图，当时，则， ∴； 如图，当时，则， ∵，， ∴，即， 解得：， ∴； 当时，则，即， 解得：（不符合实际，舍去）； 综上，当四边形的一边与平行时，的度数为或或． 题型20 骨折模型（共3小题） 1．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）如图，直线，平分，平分，点，，在同一直线上，若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键．作，，根据平行公理的推论，平行线的性质，对顶角的性质和角平分线的性质表示出和，再结合即可求出． 【详解】如图，作，， 则， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， 设， ∵， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知直线，点、分别是直线和上的两点，点为直线和之间的一点，连接、． (1)如图1，若，试说明； (2)如图2，在（1）的结论下，点是直线下方一点，满足平分，平分．若，求的度数； (3)如图3，点是直线上方一点，连结、，若点为线段上一点，的延长线为的三等分线，平分，，则_________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，准确识图、熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作，证明，得，，则，即可得出结论； （2）过点作，先求出，根据平分，设，得，则，由（1）的结论得，即可求解； （3）设点在的延长线上，过点作，再分以下两种情况：①当时，设，根据平分，设，则，由（1）的结论得，得，，则，再根据即可求解；②当时，设，则，设，则，由（1）的结论得，同①得，根据，即可得出，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点作（点在点的左侧），如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作（点在点的左侧），如图所示： ∵平分， ∴， ∵平分， 设， ∵ ∴， ∴， ∴， 由（1）的结论得：， ∴； （3）解：设点在的延长线上，过点作（点在点的右侧）， ∵的延长线为的三等分线， 有以下两种情况： ①当时，如图所示： 设，则， ∴， ∴， ∵平分， 设， ∴， ∴， 由（1）的结论得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②当时，如图所示： 设，则， ∴， ∵平分， 设， ∴， ∴， 由（1）的结论得：， 同①得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 综上所述：或． 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·浙江湖州·月考）已知：直线，一块三角板，其中，． (1)如图1，三角板的顶点H落在直线上，并使与直线相交于点G，若，求的度数． (2)如图2，当三角板的顶点F落在直线上，且顶点H仍在直线上时，与直线相交于点M，试确定、、的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当三角板的顶点F落在直线上，点H在、之间，点E落在直线时，在线段上取点P，连接并延长交直线于点T，在线段上取点K，连接并延长交的角平分线于点Q，若，且，说明：． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，设，通过计算是解题的关键． （1）利用两直线平行，同位角相等和平角的意义解答即可； （2）利用平行线的性质和三角形内角和定理的推论解答即可； （3）设，利用平行线的性质和角平分线的定义在中，通过计算，利用同位角相等，两直线平行判定即可得出结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）、、的数量关系为：． 理由：∵， ∴， ∵， ∴． （3）设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型21 图形的平移（共3小题） 1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的基本性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键；根据平移的性质可知平移后的图形不改变图形的形状、大小、方向； 【详解】解：根据平移不改变图形的形状、大小和方向，将图所示的图案通过平移后可以得到B选项中的图案，其它三个选项皆改变了方向，故错误． 故选：B． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列图形由左侧图形平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：由平移得到 故选：C 3．（25-26七年级上·浙江·假期作业）在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平移的概念，正确掌握平移的概念是解题的关键． 根据平移的概念逐一判断即可求解． 【详解】解：根据平移的概念可得①②④是由平移得到的，③无法平移得到． 故答案为：①②④． 题型22 利用平移求解（共3小题） 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）把周长相等的正方形甲和长方形乙分别按如图方式放置在周长为52的大长方形内(有重叠）．阴影部分①和②的周长之和为40，则正方形甲的边长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平移，由已知可得中间重叠部分长方形的周长为，由平移可知，甲、乙的周长和等于长方形的周长加上中间重叠部分长方形的周长，即可得甲、乙的周长和为，进而得到甲的周长为，即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵大长方形的周长为52，阴影部分①和②的周长之和为40， ∴中间重叠部分长方形的周长为， 由平移可知，甲、乙的周长和等于长方形的周长加上中间重叠部分长方形的周长， ∴甲、乙的周长和为， ∵甲和乙的周长相等， ∴甲的周长为， ∴正方形甲的边长为， 故答案为：． 2．（22-23七年级下·浙江温州·期末）如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是___________．    【答案】3 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离及平移的性质，根据数轴上平移前后对应点的位置即可得出结果，理解掌握平移的性质是解题关键． 【详解】解：∵长方形平移到长方形的位置，且对应点B到的距离为：， ∴平移的距离是3， 故答案为：3． 3．（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）已知大正方形的边长为，小正方形的边长为，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以的速度沿水平方向向右平移，设平移的时间为，两个正方形重叠部分的面积为．完成下列问题： (1)平移时，___________． (2)根据小正方形向右平移的运动过程中，两正方形重叠部分的面积表示不同，可以把整个运动过程分为三类，请填写下表： 运动状态 不等式表示运动时间的范围 两正方形重叠部分的面积（cm2） 第一种运动状态 第二种运动状态 第三种运动状态 第四种运动状态 0 (3)当时，小正方形平移的距离为多少厘米？ 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据路程=速度×时间求出平移的距离，再根据重叠部分是长方形列式计算即可得解； （2）分四种情况计算所得图形面积即可； （3）小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离． 【详解】（1）解：时，小正方形向右移动， ； （2）解：当时，重叠面积； 当时，此时小正方形完全在大正方形内部，重叠部分就是小正方形的面积，， 当时，小正方形逐渐离开大正方形，重叠部分的长为，所以； 当或时，两正方形无重叠，则； 填表如下 运动状态 不等式表示运动时间的范围 两正方形重叠部分的面积（cm2） 第一种运动状态 第二种运动状态 4 第三种运动状态 第四种运动状态 或 0 （3）解：时，重叠部分宽为， ①如图，小正方形平移距离为； ②如图，小正方形平移距离为． 综上所述，小正方形平移的距离为或． 题型23 平移与实际问题（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图是校园内一块长为，宽为的长方形空地，中间设计一条宽为的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟知图形平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为，宽为的矩形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得，绿化区的面积是． 故选：B． 2．（24-25七年级下·浙江金华·月考）如图，在长为，宽为的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为，其他部分均种植花草．则种植花草的面积是______． 【答案】1125 【分析】本题考查了图形的平移的性质，可以根据平移的性质，此小路相当于一条横向长为米与一条纵向长为米的小路，种植花草的面积总面积小路的面积小路交叉处的面积，计算即可． 【详解】解：解：根据题意得小路的面积相当于横向与纵向的两条小路的面积，所以种植花草的面积为：， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江温州·月考）如图，在方格纸中，的三个顶点和点M都在小方格的顶点上．按要求作图： (1)过点M作直线的平行线； (2)将平移至，使点M落在平移后的三角形内部（不含边界）． (3)请描述（2）中，到的平移过程． 【答案】(1) (2) (3)先向右平移5个单位，再向下平移1个单位 【分析】本题考查了平行线的作图、图形的平移作图及平移过程的描述，涉及网格中几何图形的操作．解题的关键是利用网格特点确定直线方向和平移距离，结合图形位置关系完成作图和描述． （1）根据网格中直线的倾斜趋势，过点 M 作与 方向一致的直线即为平行线； （2）通过网格确定平移方向和距离，使平移后的包含点M在内部； （3）根据原三角形与平移后三角形的位置变化，描述平移的方向和格数． 【详解】（1）解：所作平行线l如图所示． （2）解：平移得到的如图所示． （3）解： 先向右平移 5 个单位,再向下平移一个单位，得到． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线 题型1 对顶角相等 题型13 平行线的性质与角的度数（难点） 题型2 画垂线 题型14 平行线的生活应用（重点） 题型3 垂线段最短 题型15 平行线判定与性质求角的度数（难点） 题型4 点到直线距离（重点） 题型16 平行线判定与性质进行证明（难点） 题型5 平行公理 题型17 猪蹄模型（难点） 题型6 同位角相等，两直线平行（重点） 题型18 铅笔头模型（难点） 题型7 内错角相等，两直线平行（重点） 题型19 靴子模型（难点） 题型8 同旁内角互补，两直线平行（重点） 题型20 骨折模型（难点） 题型9 两直线平行，同位角相等（重点） 题型21 图形的平移 题型10 两直线平行，内错角相等（重点） 题型22 利用平移求解 题型11 两直线平行，同旁内角互补（重点） 题型23 平移与实际问题 题型12 平行线的性质与角的关系（难点） 题型1 对顶角相等（共3小题） 1．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，当剪刀口减少时，的度数（　　） A．增大 B．减少 C．增大 D．减少 2．（25-26七年级上·浙江温州·期末）图1是一把多功能对角尺，图2是其示意图，点在线段上，是的补角，平分． (1)若为直角，求的度数． (2)若，求的度数． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线和相交于点，射线，在内部，与互余，平分． (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 题型2 画垂线（共3小题） 1．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，在同一平面内过点画直线的垂线，能画（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 2．（25-26七年级上·浙江宁波·月考）如图，平面上有3个点，，． (1)作线段，射线和直线；过点作直线的垂线，垂足为． (2)比较线段长短：_____（填“”或“”或“”）．能说明这个结论正确的依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_____． 3．（24-25七年级下·浙江·月考）如图，已知直线和点．    (1)过点画的垂线，垂足为，连接，． (2)填空：线段______的长度是点到直线的距离． (3)比较线段的大小：______（用“”“”或“”连接），理由：______． 题型3 垂线段最短（共3小题） 1．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线l表示一段河道，点P表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，其理由是________． 2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）校运动会测量跳远成绩时，应用的数学基本事实是_________． 3．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店． (1)在公路l上找一个路口M，使得的值最小； (2)现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线（请简要说明作图依据）． 题型4 点到直线距离（共3小题） 1．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，．于点，则点到直线的距离是（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 2．（25-26七年级上·浙江·假期作业）如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图是小明在运动会跳远比赛中的示意图，点A，B是他落地时脚后跟所在位置，则这次跳远成绩是图中哪条线段的长度（　　） A． B． C． D． 题型5 平行公理（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）下列说法中正确的个数为（    ） ①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直． ②有且只有一条直线垂直于已知直线． ③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． ⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列说法：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；相等的两个角是对顶角；经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江台州·期中）下列说法中，正确的有（　　） ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行． ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 题型6 同位角相等，两直线平行（共3小题） 1．（2026·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，点在直线上，边在直线上，直线被所截．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江·模拟预测）如图，已知直线被直线所截，则下列选项正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（   ） ①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作． 作法：    ②要求：过直线外一点P作这条直线的平行线． 作法：    ③要求：过直线外一点P作这条直线的垂线． 作法：    ④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作． 作法：    A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 题型7 内错角相等，两直线平行（共3小题） 1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，木条，与木条钉在一起，，转动木条，当 ______时，木条与平行． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图， 于点A，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)根据题中的条件，能判断与平行吗？如果能，请说明理由；如果不能，添加一个条件，使它们平行． 题型8 同旁内角互补，两直线平行（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线，被直线所截，若要使，则需具备条件（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，在下列四组条件中，能证明的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，下列条件中能判定的条件是（   ） A． B． C． D． 题型9 两直线平行，同位角相等（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，当，与不平行时，则下列角中与相等的角是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列说法中正确的个数为（    ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； ④两条直线被第三条直线所做，同位角相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行 题型10 两直线平行，内错角相等（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江金华·月考）如图，直线，将一直角三角形的直角顶点置于直线上，若，则______． 2．（23-24七年级下·浙江金华·期中）（1）请在网格图中画一个三角形，使得三角形中的一个角等于． （2）若每个小正方形边长为个单位，则三角形的面积=___________． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，． (1)判断，是否平行，并说明理由； (2)若，，求的度数． 题型11 两直线平行，同旁内角互补（共3小题） 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，下列关于学校位置的描述正确的是（    ） A．位于小明家北偏东方向上的1200米处 B．位于小明家南偏西方向上的1200米处 C．位于小明家北偏东方向上的1200米处 D．位于小明家北偏西方向上的1200米处 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，、分别是、上的点，若，则．完成下面的说理过程： 已知， 根据（           ）， 得_ _． 又根据（              ）， 得． 题型12 平行线的性质与角的关系（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知长方形，现将长方形先沿着对角线向上折到如图1的位置，此时线段与交于点E，且，再将三角形沿着向下折叠．如图2，当点恰好落在线段上时，则______；如图3，当点落在下方，且时，则______（用含n的代数式表示）． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，与交于点E． (1)当，，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G， ①若，，求的度数； ②当，求的度数（用含α的式子表示）； (3)如图3，P为线段上一点，为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，设为，为，为，则之间的数量关系是________． 题型13 平行线的性质与角的度数（共3小题） 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）将一把直尺和一块含有角的直角三角板按如图所示方式放置，直角三角板的一个顶点在直尺一边上，若，则的度数为_____°． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，将两块含角的三角板和含角的三角板按如图所示的位置放置，若，则的度数为_________°． 3．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，已知，． (1)请说明的理由． (2)若平分，时，求的度数． 题型14 平行线的生活应用（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 2．（2025·浙江·二模）如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是___________度． 题型15 平行线判定与性质求角的度数（共3小题） 1．（24-25八年级上·浙江杭州·月考）将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，含角的直角三角尺的直角顶点E在含角的直角三角尺的斜边上，且点F在的延长线上，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，，． (1)判定与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 3．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）如图，已知，． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 题型16 平行线判定与性质进行证明（共3小题） 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，直线交，于点，，，分别平分，，判断和的位置关系，并说明理由． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，直线与被直线所截，与，分别交于点P，O，且，． (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 3．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，，过点B的直线交于点G，在之间作射线，与互余．    (1)试说明：； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 题型17 猪蹄模型（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，与相交于点，与相交于点，则下列说法正确的是（   ） ①若，则； ②若，则； ③； ④． A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 2．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）如图，，则________． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． (1)求证：． (2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． (3)如图3，连结，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若（n为整数且），求的值（用含n的代数式表示）． 题型18 铅笔头模型（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，小楚将一块直角三角板的点放置在直线上，点在直线与直线之间，边与直线相交于点，边与直线相交于点，其中． (1)若，求的度数； (2)旋转三角板，并保持本题主干部分的所有条件不变． ①当时，求的度数； ②说明与的差是定值． 2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，直线，被直线所截，，一块含角的直角三角板（，）按如图1放置，点E，F分别在直线，上，且，的平分线交直线于点H． (1)填空：_（填“”，“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)将三角板沿直线左右移动，并保持（点F不与点N重合），设，在平移的过程中求的度数（用含α的代数式表示）． 3．（16-17七年级下·山东济南·期中）如图，已知，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，交射线AM于点C，D． (1)求的度数． (2)当点P运动时，与的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，求的度数． 题型19 靴子模型（共3小题） 1．（23-24七年级下·浙江金华·月考）如图，与交于点E，点G在直线上，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 2．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）（1）已知直线，点为平行线，之间的一点．如图，若，，平分，平分，求的度数． （2）（探究）如图，当点在直线的上方时，若，，和的角平分线交于点，求的度数；若与的角平分线交于点与的角平分线交于点．以此类推，求的度数． （3）（变式）如图，的角平分线的反向延长线和的补角的角平分线交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图1，直线与直线互相平行，、分别是和上的两个点，连接，在直线的右侧取一点，满足，． (1)如图1，若，则_______； (2)如图2，在直线上方平面内取一点，直线交于，满足，，求． (3)如图3，作、的平分线、交于、，作射线和交于，且使得，，当四边形的一边与平行时，求的度数． 题型20 骨折模型（共3小题） 1．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）如图，直线，平分，平分，点，，在同一直线上，若，则_____． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知直线，点、分别是直线和上的两点，点为直线和之间的一点，连接、． (1)如图1，若，试说明； (2)如图2，在（1）的结论下，点是直线下方一点，满足平分，平分．若，求的度数； (3)如图3，点是直线上方一点，连结、，若点为线段上一点，的延长线为的三等分线，平分，，则_________． 3．（23-24七年级下·浙江湖州·月考）已知：直线，一块三角板，其中，． (1)如图1，三角板的顶点H落在直线上，并使与直线相交于点G，若，求的度数． (2)如图2，当三角板的顶点F落在直线上，且顶点H仍在直线上时，与直线相交于点M，试确定、、的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当三角板的顶点F落在直线上，点H在、之间，点E落在直线时，在线段上取点P，连接并延长交直线于点T，在线段上取点K，连接并延长交的角平分线于点Q，若，且，说明：． 题型21 图形的平移（共3小题） 1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列图形由左侧图形平移得到的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江·假期作业）在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的________． 题型22 利用平移求解（共3小题） 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）把周长相等的正方形甲和长方形乙分别按如图方式放置在周长为52的大长方形内(有重叠）．阴影部分①和②的周长之和为40，则正方形甲的边长为______． 2．（22-23七年级下·浙江温州·期末）如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是___________．    3．（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）已知大正方形的边长为，小正方形的边长为，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以的速度沿水平方向向右平移，设平移的时间为，两个正方形重叠部分的面积为．完成下列问题： (1)平移时，___________． (2)根据小正方形向右平移的运动过程中，两正方形重叠部分的面积表示不同，可以把整个运动过程分为三类，请填写下表： 运动状态 不等式表示运动时间的范围 两正方形重叠部分的面积（cm2） 第一种运动状态 第二种运动状态 第三种运动状态 第四种运动状态 0 (3)当时，小正方形平移的距离为多少厘米？ 题型23 平移与实际问题（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图是校园内一块长为，宽为的长方形空地，中间设计一条宽为的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江金华·月考）如图，在长为，宽为的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为，其他部分均种植花草．则种植花草的面积是______． 3．（24-25七年级下·浙江温州·月考）如图，在方格纸中，的三个顶点和点M都在小方格的顶点上．按要求作图： (1)过点M作直线的平行线； (2)将平移至，使点M落在平移后的三角形内部（不含边界）． (3)请描述（2）中，到的平移过程． / 学科网（北京）股份有限公司 $