专题06 因式分解全章12种题型（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材浙教版

专题06 因式分解（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 因式分解的意义 题型02 用提公因式法分解因式 题型03 用平方差法分解因式 题型04 判断是否能用公式法分解因式 题型05 用平方差法分解因式 题型06 用完全平方公式分解因式 题型07 用完全平方公式分解因式 题型08 利用因式分解进行简便计算 题型09 利用因式分解求值 题型10 利用因式分解求最值 题型11 因式分解在新定义问题中的应用 题型12 因式分解在阅读理解的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 因式分解的概念 理解因式分解的定义，能正确区分因式分解与整式乘法，判断变形是否正确. 基础必考点，多以选择题、判断题考查概念辨析，难度低，属于送分题，常与整式乘法对比出题. 提公因式法 会正确确定公因式，能熟练提取公因式进行分解，注意符号、系数与不漏项 期中最基础、最核心的必考点，选择、填空、解答题全覆盖，是所有因式分解的第一步. 平方差公式法 掌握平方差公式结构特征，能识别平方差型多项式，正确运用公式分解. 高频核心考点，选择题、填空题单独考查，解答题常与提公因式综合考查，难度中等. 完全平方公式法 掌握完全平方式特征，熟练运用完全平方公式分解，注意符号与中间项. 期中最重要考点，各类题型均会出现，易判断失误、漏项，是重点易错点与高频失分点. 综合因式分解 掌握 “一提二套四查” 步骤，能综合运用提公因式与公式法分解到底. 解答题必考大题，要求分解彻底、规范书写，分值高，是计算能力重点考查内容. 因式分解的应用 会用因式分解进行简便计算、代数式求值、整除判断等简单应用. 中档小题常见，灵活度较高，常与代数求值结合，考查公式与方法的灵活运用. 知识点01 因式分解 ◆1、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【注意】（1）因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，乘积中相同因式的积要写成幂的形式. （2）分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止. （3)因式分解是式子的恒等变形，形式改变但值不变. 知识点02 公因式 ◆1、公因式：若多项式中各项都有一个公共的因式，我们就把这个公共因式叫做这个多项式各项的公因式． ◆2、找出多项式的公因式的一般步骤： （1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； （2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； （3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 知识点03 提公因式法分解因式 ◆1、提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ◆2、提公因式法：提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积． 【注意】（1）.多项式第一项系数为负时，一般提出负号，并将各项都变号． （2）公因式的提取要彻底,分解因式的最后结果中，每个因式中不能有同类项和公因式． （3）提取公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样，当多项式的某一项和公因式相同时，提取公因式后该项变为1，不要漏掉这一项． 知识点04 用平方差公式分解因式 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． ◆1、平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． ◆2、语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. ◆3、运用平方差公式的条件 （1）多项式有两项． （2）这两项的符合相反，并且都是完全平方数． ◆4、运用平方差公式分解因式的步骤: 一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差,若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项与正平方项交换放在后面． 二定: 确定公式中的“a”和“b”,除“a”和“b”是单独一个数或字母外，,其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体． 三套: 套用平方差公式进行分解． 四整理: 将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式． 拓展：运用平方差公式分解因式时，首先将式子写成两数平方差的形式，公式中的“a”和“b”可以是常数，也可以是单项式或多项式． 知识点05 用完全平方公式分解因式 ◆1、字母表示: a2+2ab+b2＝（a+b）2， a2﹣2ab+b2＝ （a﹣b）2 ． ◆2、语言叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方、和或差取决于乘积的2倍的符号． ◆3、完全平方式的特点： ①必须是三项式(或可以看成三项的)； ②有两个数或式的平方和； ③有上面两数之积的 ±2 倍． ◆4、运用完全平方公式分解因式的步骤: 一写: 把多项式写成a2±2ab+b2的形式． 二定: 观察多项式特点,确定a，b． 三套: 套用完全平方公式进行分解． 四整理: 因式分解的结果能化简的要进行化简． 题型一 因式分解的意义 解｜题｜技｜巧 判断是否为因式分解，抓住两点：①左边是多项式，右边是整式乘积；②与整式乘法互逆，结果不能有加减，必须分解彻底。 【典例1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江台州·期中）下列变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）下列从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型二 确定公因式 解｜题｜技｜巧 三步走找准公因式，系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂，整体多项式也可作为公因式；首项为负时，记得把负号一并纳入公因式。 【典例1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）多项式的各项公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·浙江·期中）单项式与的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·浙江·期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 题型三 用提公因式法分解因式 解｜题｜技｜巧 用多项式每一项除以公因式，得到剩余因式；首项负则先提负号，括号内各项全部变号；提取后检查余式，确保无公因式可提，才算分解完成。 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）因式分解：________． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）因式分解． (1)； (2)． 【变式2】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）分解因式： (1) (2) 【变式2】（23-24八年级下·全国·期末）分解因式： (1) (2) 题型四 判断是否能用公式法分解因式 解｜题｜技｜巧 先读懂材料方法，模仿材料步骤，对目标式进行提公因式、套公式分解，按要求作答。 【典例1】下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【变式1】（22-23八年级上·江苏南通·期末）下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列各式：①；②；③； ④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（　　） （1）（2）（3）（4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五 用平方差法分解因式 解｜题｜技｜巧 提公因式后括号内有同类项要合并，相同因式写成幂的形式，避免括号内有可合并项，保证结果最简规范。 【典例1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）下列各式在整式范围内可以用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】要使多项式能运用平方差公式进行分解因式，整式可以是（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式3】平方差公式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 题型六 用完全平方公式分解因式 解｜题｜技｜巧 认准结构——两项、异号、能写成平方形式，套用公式$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$，先把各项化为平方形式再套公式，不跳步。 【典例1】（22-23七年级下·山东聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（22-23七年级下·浙江绍兴·期中）因式分解：=__________________ 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·期中）因式分解：______ 【变式3】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型七 因式分解方法的综合应用 解｜题｜技｜巧 遵循一提二套三检查：先提公因式，再用公式，最后验证是否分解彻底，不能再分解为止。 【典例1】因式分解： (1)； (2)． 【变式1】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）分解因式． (1)； (2)； (3)． 【变式2】（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【变式3】分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型八 利用因式分解进行简便计算 解｜题｜技｜巧 观察算式，提取公因数或套用公式凑整；先算括号内整数，再算外层，简化大数硬算。 【典例1】用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式1】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）用因式分解的相关方法，进行简便计算： (1) (2) 【变式2】用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式3】用乘法公式进行简便计算． (1)； (2)； (3)． 题型九 利用因式分解求值 解｜题｜技｜巧 先把式子彻底分解因式，再代入数值计算；简化运算，减少计算错误，提高正确率。 【典例1】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，则代数式的值为（   ） A．30 B．36 C．42 D．48 【变式1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知，，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【变式2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）若，则__________． 【变式3】（23-24七年级下·浙江温州·期中）若是方程组的解，则的值是______． 题型十 利用因式分解求最值 解｜题｜技｜巧 将式子配方成完全平方式，利用(  )2≥0，平方项为 0 时取最值，直接写出最大 / 最小值。 【典例1】请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：． 任务： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)用配方法分解因式：； (3)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【变式1】【阅读材料】把整式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如： ①用配方法因式分解： 解： ②求的最小值． 解： 即的最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)利用上述方法进行因式分解：； (3)求的最小值． 【变式2】在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方 式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题 步骤如下： 的最小值为4 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中①；②；③；④是完全平方式的有________．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则k的值等于________（k为常数） (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【变式3】（23-224七年级下·浙江宁波·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：， 解：原式 ②，利用配方法求的最小值： 解： 因为，所以．当时，有最小值5 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：_____ (2)用配方法因式分解： (3)若，求的最大值 题型十一 因式分解在新定义问题中的应用 解｜题｜技｜巧 先理解新定义规则，再按要求对多项式因式分解，结合定义条件列式求解。 【典例1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有（    ） A．12个 B．13个 C．14个 D．15个 【变式1】在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 【变式2】定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”. （1）若，，直接写出，的“如意数”； （2）如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数” ； （3）已知，且，的“如意数”为，请用含的式子表示. 【变式3】【阅读材料】 如果一个整数能表示成（其中，都是不等于零的整数）的形式，则称这个数为“方和数”． 例1：因为，且2，1都是不等于零的整数，所以5是“方和数”； 例2：当，都是正整数时，因为，且，都是不等于零的整数，所以是“方和数”． 【解决问题】 (1)写出一个小于30的“方和数”：________； (2)试说明：当是大于1的整数时，与都是“方和数”； (3)若（其中，都是正整数，是常数）是“方和数”，求的值． 题型十二 因式分解在阅读理解的应用 解｜题｜技｜巧 先读懂材料方法，模仿材料步骤，对目标式进行提公因式、套公式分解，按要求作答。 【典例1】泉小伍是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，分别对应下列六个字：吉，爱，我，西，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．美丽 B．我爱美丽 C．西吉美 D．我爱西吉 【变式1】求证：对于任意整数，多项式的值都能被16整除． 【变式2】阅读下列材料：提取公因式法和公式法是初中阶段最常用分解因式的方法，但有些多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：．这种分解因式的方法叫“分组分解法”，利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)有人说，无论，取何实数，代数式去的值总是正数，请说明理由． 【变式3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）对于任意非负整数，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． (1)下列两个数：①，②，其中不是“2次幂差数”的是______(填序号)； (2)若为与的“2次幂差数”，且，是两个连续的正整数，证明：为奇数； (3)若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）在下列等式中，从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m和n的值分别为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．24 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）对于算式，下列说法错误的是(   ) A．能被2022整除 B．能被2023整除 C．能被2024整除 D．能被2025整除 6．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）分解因式：__． 7．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）分解因式：__________． 8．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）若有理数使得二次三项式能用完全平方公式因式分解，则______． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（22-23七年级下·浙江金华·期中）已知是任何实数，若，，则的大小关系（    ） A． B． C． D．无法判断 10．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，，，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．多项式能用完全平方公式分解因式，则______． 12．若多项式可以用完全平方公式分解因式，则的值为：_________． 13．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则的值为________． 14．（23-24七年级下·湖南永州·期末）已知，，则_________． 15．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则代数式__________． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 16．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）分解因式： (1) (2) (3) (4) 17.材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如分解因式： 材料2：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： (1)根据材料1将因式分解； (2)根据材料2将因式分解； (3)结合材料1和材料2，将因式分解． 18．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）现场学习： 若x满足，求的值． 解：设，，则，，∴． 实践操作：请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若x满足，求的值； (2)若，求的值； (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是，上的点，且，，长方形的面积是 12，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． (4) 19．配方法是数学中重要的一种思想．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”．解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式 ； （2）若可配方成（m、n为常数），则 ； 探究问题： （3）已知，求的值； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 20．（24-25七年级下·江苏常州·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 ； 例如：求代数式的最小值， ．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)已知，（为任意实数），求的最小值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 因式分解（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 因式分解的意义 题型02 用提公因式法分解因式 题型03 用平方差法分解因式 题型04 判断是否能用公式法分解因式 题型05 用平方差法分解因式 题型06 用完全平方公式分解因式 题型07 用完全平方公式分解因式 题型08 利用因式分解进行简便计算 题型09 利用因式分解求值 题型10 利用因式分解求最值 题型11 因式分解在新定义问题中的应用 题型12 因式分解在阅读理解的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 因式分解的概念 理解因式分解的定义，能正确区分因式分解与整式乘法，判断变形是否正确. 基础必考点，多以选择题、判断题考查概念辨析，难度低，属于送分题，常与整式乘法对比出题. 提公因式法 会正确确定公因式，能熟练提取公因式进行分解，注意符号、系数与不漏项 期中最基础、最核心的必考点，选择、填空、解答题全覆盖，是所有因式分解的第一步. 平方差公式法 掌握平方差公式结构特征，能识别平方差型多项式，正确运用公式分解. 高频核心考点，选择题、填空题单独考查，解答题常与提公因式综合考查，难度中等. 完全平方公式法 掌握完全平方式特征，熟练运用完全平方公式分解，注意符号与中间项. 期中最重要考点，各类题型均会出现，易判断失误、漏项，是重点易错点与高频失分点. 综合因式分解 掌握 “一提二套四查” 步骤，能综合运用提公因式与公式法分解到底. 解答题必考大题，要求分解彻底、规范书写，分值高，是计算能力重点考查内容. 因式分解的应用 会用因式分解进行简便计算、代数式求值、整除判断等简单应用. 中档小题常见，灵活度较高，常与代数求值结合，考查公式与方法的灵活运用. 知识点01 因式分解 ◆1、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【注意】（1）因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，乘积中相同因式的积要写成幂的形式. （2）分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止. （3)因式分解是式子的恒等变形，形式改变但值不变. 知识点02 公因式 ◆1、公因式：若多项式中各项都有一个公共的因式，我们就把这个公共因式叫做这个多项式各项的公因式． ◆2、找出多项式的公因式的一般步骤： （1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； （2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； （3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 知识点03 提公因式法分解因式 ◆1、提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ◆2、提公因式法：提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积． 【注意】（1）.多项式第一项系数为负时，一般提出负号，并将各项都变号． （2）公因式的提取要彻底,分解因式的最后结果中，每个因式中不能有同类项和公因式． （3）提取公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样，当多项式的某一项和公因式相同时，提取公因式后该项变为1，不要漏掉这一项． 知识点04 用平方差公式分解因式 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． ◆1、平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． ◆2、语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. ◆3、运用平方差公式的条件 （1）多项式有两项． （2）这两项的符合相反，并且都是完全平方数． ◆4、运用平方差公式分解因式的步骤: 一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差,若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项与正平方项交换放在后面． 二定: 确定公式中的“a”和“b”,除“a”和“b”是单独一个数或字母外，,其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体． 三套: 套用平方差公式进行分解． 四整理: 将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式． 拓展：运用平方差公式分解因式时，首先将式子写成两数平方差的形式，公式中的“a”和“b”可以是常数，也可以是单项式或多项式． 知识点05 用完全平方公式分解因式 ◆1、字母表示: a2+2ab+b2＝（a+b）2， a2﹣2ab+b2＝ （a﹣b）2 ． ◆2、语言叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方、和或差取决于乘积的2倍的符号． ◆3、完全平方式的特点： ①必须是三项式(或可以看成三项的)； ②有两个数或式的平方和； ③有上面两数之积的 ±2 倍． ◆4、运用完全平方公式分解因式的步骤: 一写: 把多项式写成a2±2ab+b2的形式． 二定: 观察多项式特点,确定a，b． 三套: 套用完全平方公式进行分解． 四整理: 因式分解的结果能化简的要进行化简． 题型一 因式分解的意义 解｜题｜技｜巧 判断是否为因式分解，抓住两点：①左边是多项式，右边是整式乘积；②与整式乘法互逆，结果不能有加减，必须分解彻底。 【典例1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，是解题的关键．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，即可得到答案． 【详解】解：A. ，左边为二次多项式，右边是的平方，即两个相同整式的乘积，符合因式分解的定义； B. ，左边是乘积形式，右边展开为多项式，属于整式乘法，而非因式分解； C. ，右边的式子不是整式，不符合要求； D. ，左边是乘积形式，右边为展开后的多项式，属于乘法运算，不是因式分解； 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·浙江台州·期中）下列变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解，把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式分解为几个整式的乘积形式． 【详解】解：选项A：右边括号内出现分式，不符合因式分解要求整式乘积的条件，排除． 选项B：右边为，是多项式相加而非乘积形式，未完成因式分解，排除． 选项C：左边分解为两个一次整式的乘积，且展开后与原式相等，符合因式分解的定义． 选项D：左边是乘积形式，右边为展开后的多项式，属于整式乘法而非因式分解，排除． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解， 根据定义逐项判断，即将一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做因式分解． 【详解】解：因为A没有将一个多项式化成几个整式乘积的形式，所以不符合题意； 因为B属于整式乘法，所以不符合题意； 因为C符合定义，所以正确； 因为D是单项式的变形，不是因式分解，所以D不符合题意． 故选：C． 【变式3】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）下列从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，且变形后左右两边相等，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、从左到右是整式乘法，是将乘积化为多项式，故不属于因式分解； B、等式右边不是几个整式乘积的形式，故不属于因式分解； C、等式右边的是分式，不是整式，不符合因式分解定义中分解为整式乘积的形式，故不属于因式分解； D、符合因式分解的所有要求，属于因式分解； 题型二 确定公因式 解｜题｜技｜巧 三步走找准公因式，系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂，整体多项式也可作为公因式；首项为负时，记得把负号一并纳入公因式。 【典例1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）多项式的各项公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是公因式，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式．由公因式的定义求解． 【详解】解：多项式的各项公因式是 故选：D． 【变式1】（23-24七年级下·浙江·期中）单项式与的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式； 【详解】与的公因式是， 故选：D． 【点睛】本题考查了公因式：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 【变式2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式． 【详解】解：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab， ∴公因式为3ab． 故选：D． 【点睛】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义和公因式的确定方法是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级下·浙江·期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可． 【详解】解：， ∴应提取的公因式是， 故选：D． 题型三 用提公因式法分解因式 解｜题｜技｜巧 用多项式每一项除以公因式，得到剩余因式；首项负则先提负号，括号内各项全部变号；提取后检查余式，确保无公因式可提，才算分解完成。 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键；根据提公因式法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）先提取公因式，然后即可求解； （2）提取公因式，然后即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 【变式2】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用提公因式法分解因式，一个多项式有公因式首先提取公因式． （1）直接提公因式分解即可； （2）直接提公因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式2】（23-24八年级下·全国·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式； （1）直接提公因式分解因式即可； （2）直接提公因式分解因式即可． 【详解】（1）； （2）． 题型四 判断是否能用公式法分解因式 解｜题｜技｜巧 先读懂材料方法，模仿材料步骤，对目标式进行提公因式、套公式分解，按要求作答。 【典例1】下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可． 【详解】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 【变式1】（22-23八年级上·江苏南通·期末）下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先明确能用平方差公式分解因式的条件：多项式为两项，两项符号相反，且每一项都可化为平方的形式，再逐一判断即可得出符合条件的个数． 【详解】解：①，两项同号，不符合，不能分解； ②，符合条件，能分解； ③，符合条件，能分解； ④不是多项式，无法进行因式分解； ⑤，符合条件，能分解； 综上符合条件的共有3个． 【变式2】（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列各式：①；②；③； ④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故选：B． 【变式3】下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（　　） （1）（2）（3）（4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解中的公式法，涉及完全平方公式以及平方差公式，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：，故（1）符合题意； 不能运用公式法分解因式，故（2）不符合题意； ，故（3）符合题意； ，不能运用公式法分解因式，故（4）不符合题意； 所以能运用公式法分解因式的有（1）和（3）， 故选：B 题型五 用平方差法分解因式 解｜题｜技｜巧 提公因式后括号内有同类项要合并，相同因式写成幂的形式，避免括号内有可合并项，保证结果最简规范。 【典例1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）下列各式在整式范围内可以用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反． 【详解】解：A、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项不合题意； B、-a2+b2符合平方差公式的特点，可用平方差公式分解因式，符合题意； C、-a2-b2两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项不合题意． D、-a2-4b中，b不能表示成一个有理数的平方，不能在有理数范围内用平方差公式分解因式，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解答此题的关键． 【变式1】要使多项式能运用平方差公式进行分解因式，整式可以是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A.是完全平方公式因式分解，不合题意； B.不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意； C.，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意； D. ，能用平方差公式因式分解，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键． （1）运用平方差公式进行分解即可； （2）运用平方差公式进行分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3】平方差公式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】（1）根据，将原式进行变形，再利用平方差公式即可得； （2）根据，将原式进行变形，再利用平方差公式即可得； （3）先利用平方差公式，再计算整式的加减，然后提取公因式4和即可得； （4）先利用平方差公式，再计算整式的加减即可得； （5）先利用平方差公式、提取公因式，再提取公因式即可得； （6）先利用平方差公式，再计算整式的加减，然后提取公因式2即可得． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ． 【点睛】本题考查了利用平方差公式、提取公因式进行因式分解，熟练掌握并灵活运用平方差公式是解题关键． 题型六 用完全平方公式分解因式 解｜题｜技｜巧 认准结构——两项、异号、能写成平方形式，套用公式$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$，先把各项化为平方形式再套公式，不跳步。 【典例1】（22-23七年级下·山东聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据完全平方公式进行判断，即可． 【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式； ②； ③，不能用完全平方公式分解因式； ④； ⑤．， 所以能用完全平方公式分解因式的有3个． 故选：C 【点睛】本题考查了因式分解——运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法；平方差公式：；完全平方公式：． 【变式1】（22-23七年级下·浙江绍兴·期中）因式分解：=__________________ 【答案】 【分析】根据完全平方公式直接求解即可得到答案； 【详解】解：原式， 故答案为：； 【点睛】本题考查公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·期中）因式分解：______ 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 用完全平方公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式因式分解即可； （2）利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用完全平方公式因式分解即可； （4）先去括号，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解：． 题型七 因式分解方法的综合应用 解｜题｜技｜巧 遵循一提二套三检查：先提公因式，再用公式，最后验证是否分解彻底，不能再分解为止。 【典例1】因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答； （2）利用提公因式法进行分解，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 【变式1】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）分解因式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了因式分解，熟练运用相关方法是解题的关键． （1）利用提取公因式法，即可解答； （2）先利用提取公因式法，再利用公式法，即可解答； （3）先利用提取公因式法，再利用公式法，即可解答； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2】（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用平方差公式分解，再合并同类项，最后提公因式即可； （2）先合并同类项，再提公因式即可分解； （3）利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式3】分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，做这样的题目首先要提公因式，提完公因式后再利用公式法进行因式分解，需要注意观察最后是否因式分解彻底，以及符号问题，不要写错了． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式； （2）利用平方差公式分解因式，注意分解彻底； （3）利用整体的思想，运用完全平方公式分解因式即可； （4）利用整体思想，运用平方差公式分解因式即可； 【详解】（1） （2） （3） （4） 题型八 利用因式分解进行简便计算 解｜题｜技｜巧 观察算式，提取公因数或套用公式凑整；先算括号内整数，再算外层，简化大数硬算。 【典例1】用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)10404 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）用因式分解的相关方法，进行简便计算： (1) (2) 【答案】(1)4045 (2) 【分析】（1）根据平方差公式求解即可； （2）根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】此题考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 【变式2】用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用提公因式进行因式分解，有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）先利用提公因式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可； （2）先利用提公因式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式3】用乘法公式进行简便计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)9801 (2) (3)1 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： 题型九 利用因式分解求值 解｜题｜技｜巧 先把式子彻底分解因式，再代入数值计算；简化运算，减少计算错误，提高正确率。 【典例1】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，则代数式的值为（   ） A．30 B．36 C．42 D．48 【答案】B 【分析】此题主要考查了平方差公示的运用，代数式求值，先利用平方差公式进行因式分解，再代入计算即可求值． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知，，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】将所求代数式化为，再代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式的方法是解答的关键． 【变式2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）若，则__________． 【答案】 【分析】根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【变式3】（23-24七年级下·浙江温州·期中）若是方程组的解，则的值是______． 【答案】9 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，把代入方程组得关于，的方程组，利用加减消元法求出和的值，再把所求代数式分解成，再代入计算即可． 【详解】把代入方程组得：， ①②得：， ①②得：， ， 故答案为：9． 题型十 利用因式分解求最值 解｜题｜技｜巧 将式子配方成完全平方式，利用(  )2≥0，平方项为 0 时取最值，直接写出最大 / 最小值。 【典例1】请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：． 任务： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)用配方法分解因式：； (3)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1)64 (2) (3)当时，有最大值，最大值是7 【分析】本题考查完全平方公式的应用，配方法进行因式分解，非负数的性质等，将各小题中的多项式配方是求解本题的关键． （1）先将配方得，然后根据是一个完全平方式得，由此即可得出的值； （2）先配成完全平方，再用平方差公式分解； （3）先配方，再利用非负数的性质求最值即可． 【详解】（1）解： ， 是一个完全平方式， ， ； （2）解： ； （3）解： ． ． 当时，有最大值，最大值是7． 【变式1】【阅读材料】把整式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如： ①用配方法因式分解： 解： ②求的最小值． 解： 即的最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)利用上述方法进行因式分解：； (3)求的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3)1 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式解答即可； （2）先根据完全平方公式配方，再用平方差公式分解； （3）先根据完全平方公式配方，再利用偶次方的性质求解． 【详解】（1）解：∵， ∴所添常数项为4． 故答案为：4； （2）解： （3）解： ∵ ∴ ∴的最小值为1． 【变式2】在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方 式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题 步骤如下： 的最小值为4 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中①；②；③；④是完全平方式的有________．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则k的值等于________（k为常数） (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1)③ (2) (3)代数式有最大值，最大值为． 【分析】本题主要考查了完全平方式和因式分解的应用，熟知完全平方公式是解题的关键： （1）如果两个多项式A、B满足，那么A就叫做完全平方式，据此求解即可； （2）根据题意可知两平方项为，据此确定一次项即可得到答案； （3）仿照题意利用完全平方公式把原式变形为，再根据偶次方的非负性即可得到答案． 【详解】（1）解：①不是完全平方式；②不是完全平方式；③是完全平方式；④不是完全平方式， 故答案为：③； （2）解：∵是一个完全平方式，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式有最大值，最大值为． 【变式3】（23-224七年级下·浙江宁波·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：， 解：原式 ②，利用配方法求的最小值： 解： 因为，所以．当时，有最小值5 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：_____ (2)用配方法因式分解： (3)若，求的最大值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式，对于，，得，故常数项为； （2）将凑成，再用平方差公式分解； （3）将凑成，结合即可得到的最大值． 【详解】（1）解：根据完全平方公式，需要添加的常数项为一次项系数一半的平方，即， 即， 故添加一个常数为； （2）解： ； （3）解： ， ， ，， 即当时，取得最大值． 题型十一 因式分解在新定义问题中的应用 解｜题｜技｜巧 先理解新定义规则，再按要求对多项式因式分解，结合定义条件列式求解。 【典例1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有（    ） A．12个 B．13个 C．14个 D．15个 【答案】B 【分析】此题考查了新定义，完全平方公式，理解“完全数”的定义是解题关键．根据“完全数”的概念求解即可． 【详解】解：设两个自然数分别为a，b 由题意可得， ∴小于180且不重复的“完全数”有：，，，，，，，，，，，，， 综上所述，任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有13个． 故选：B． 【变式1】在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键． 对多项式先进行因式分解，再代值求出各因式的值，然后组合成密码． 【详解】， 当时，，，， 密码可能为14、13、15的组合，即141315． 故选：B． 【变式2】定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”. （1）若，，直接写出，的“如意数”； （2）如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数” ； （3）已知，且，的“如意数”为，请用含的式子表示. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【分析】（1）根据“如意数”的定义即可求出c； （2）先根据“如意数”的定义列出c的代数式，然后对等式右边因式分解，结合乘方的非负性即可证明； （3）根据“如意数”的定义构建方程，求出b即可. 【详解】解：（1）根据题意，； （2）根据题意，， ∵， ∴即； （3）∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查因式分解的应用.能根据“如意数”的定义去计算（或列式）是解决此题的先决条件，能灵活运用因式分解法因式分解是解决此题的关键.尤其在（3）中能用因式分解法将化为是解决此问的关键. 【变式3】【阅读材料】 如果一个整数能表示成（其中，都是不等于零的整数）的形式，则称这个数为“方和数”． 例1：因为，且2，1都是不等于零的整数，所以5是“方和数”； 例2：当，都是正整数时，因为，且，都是不等于零的整数，所以是“方和数”． 【解决问题】 (1)写出一个小于30的“方和数”：________； (2)试说明：当是大于1的整数时，与都是“方和数”； (3)若（其中，都是正整数，是常数）是“方和数”，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)见解析； (3)的值为13． 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“方和数”的定义即可得出答案； （2）根据“方和数”的定义和完全平方公式即可得出结论； （3）先化简，再根据“方和数”的定义得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是“方和数”， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：∴，且，2都是不等于零的整数， ∴是“方和数”； ∵，且，3都是不等于零的整数， ∴是“方和数”； （3）解：∴， 根据“方和数”的意义得：， 解得：， ∴的值为13． 题型十二 因式分解在阅读理解的应用 解｜题｜技｜巧 先读懂材料方法，模仿材料步骤，对目标式进行提公因式、套公式分解，按要求作答。 【典例1】泉小伍是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，分别对应下列六个字：吉，爱，我，西，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．美丽 B．我爱美丽 C．西吉美 D．我爱西吉 【答案】D 【分析】本题考查因式分解．将多项式因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到四个因式，分别对应密码手册中的字，组合后匹配选项． 【详解】解：∵ ， 又∵ ，， ∴原式 = ， 根据密码手册：→爱，→我，→吉，→西， ∴因式分解结果对应密码信息“我爱西吉”． 故选：D． 【变式1】求证：对于任意整数，多项式的值都能被16整除． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了分解因式，利用平方差公式把式子分解因式得到，据此可证明结论． 【详解】证明： ， 多项式的值都能被16整除． 【变式2】阅读下列材料：提取公因式法和公式法是初中阶段最常用分解因式的方法，但有些多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：．这种分解因式的方法叫“分组分解法”，利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)有人说，无论，取何实数，代数式去的值总是正数，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了整式的因式分解，理解题中例子并将式子合理分组是解题的关键． （1）前两项和后两项先分组，再分别分解因式，最后提取公因式分解； （2）把45分成25、16、4，与、与分别构成完全平方式，再利用非负数的和说明即可． 【详解】（1）解： （2）解： ， 所以无论，取何实数，代数式的值总是正数． 【变式3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）对于任意非负整数，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． (1)下列两个数：①，②，其中不是“2次幂差数”的是______(填序号)； (2)若为与的“2次幂差数”，且，是两个连续的正整数，证明：为奇数； (3)若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 【答案】(1)② (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程组的应用，解决本题的关键是按照平方差公式将式子进行因式分解． （1）需要根据“2次幂差数”的定义，分别对和进行分析，看是否能找到满足条件的非负整数和． （2）已知，是两个连续的正整数，即，代入化简后判断其奇偶性． （3）将，，代入，得到关于和的等式，然后通过变形求解关于的表达式，再根据为非负整数求其最小值． 【详解】（1）解：设，， 则， 因为， 因为数，为非负整数， 所以有或， 解得： (不合题意，舍去)或， 所以， 所以是“2次幂差数”； 设，， 则， 因为， 因为数，为非负整数， 所以有或， 解得： (不合题意，舍去)或 (不合题意，舍去)， 所以不是“2次幂差数”． 故答案为：②． （2）因为，是两个连续的正整数， 所以，则 ，因为是正整数，是偶数， 偶数加为奇数，所以为奇数， 所以为奇数． （3）已知，， 代入得：， 即， ，因为为非负整数，要使最小， 则时， ， ． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）在下列等式中，从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、的右边是和的形式，不符合因式分解定义，该选项不符合题意； B、是整式乘法，不符合因式分解定义，该选项不符合题意； C、的右边是和的形式，不符合因式分解定义，该选项不符合题意； D、，符合因式分解定义，该选项符合题意． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m和n的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解-十字相乘法．将因式分解结果化为多项式形式，然后根据系数相等求出m和n． 【详解】解：∵关于x的二次三项式分解因式的结果为， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．24 【答案】D 【分析】本题考查了求整式的值，先进行因式分解化为，代入计算即可求解；掌握因式分解及整体代入法是解题的关键． 【详解】解：原式， 当，时， 原式 ； 故答案：D． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的判断，需满足“多项式转化为整式乘积的形式”且分解结果正确，据此逐一进行判断即可. 【详解】A. 是整式乘法展开，未进行因式分解，错误； B. 右边为和的形式，未形成乘积，错误； C. ，正确提取公因式并应用平方差公式，分解正确； D. ，与原式中间项符号不符，分解错误. 综上，正确答案为C. 5．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）对于算式，下列说法错误的是(   ) A．能被2022整除 B．能被2023整除 C．能被2024整除 D．能被2025整除 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，将原式分解因式，判断各选项是否为因式的因数． 【详解】解： 故选：A． 6．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）分解因式：__． 【答案】 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 直接找出公因式，进而提取公因式得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）分解因式：__________． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式；把后两项提取负号后提取公因式即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 8．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）若有理数使得二次三项式能用完全平方公式因式分解，则______． 【答案】 【分析】根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用完全平方公式进行因式分解．解题的关键在于对完全平方公式的熟练掌握． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（22-23七年级下·浙江金华·期中）已知是任何实数，若，，则的大小关系（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】利用“作差法”计算的值，再与零进行比较大小，即可得到答案． 【详解】解： ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的计算法则是正确解答的前提，理解“作差法”比较大小是解决问题的关键． 10．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，，，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法将配方成，再求出、和即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，，， ∴， 故选：C． 11．多项式能用完全平方公式分解因式，则______． 【答案】 【分析】根据完全平方公式的特征即可得解，中间项系数的绝对值为两平方项底数的系数积的2倍． 【详解】解：∵多项式能用完全平方公式分解因式， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方式．先根据两平方项确定出两个数，在根据完全平方公式的乘积的二倍即可确定m的值．根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 12．若多项式可以用完全平方公式分解因式，则的值为：_________． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解问题，掌握完全平方公式因式分解确定待定系数是解题关键．先利用完全平方公式进行因式分解，再比较一次项的系数列方程求解即可． 【详解】解：多项式可以用完全平方公式分解因式， ， ， ，解得或． 故答案为：或 ． 13．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据长方形面积公式和周长公式得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（23-24七年级下·湖南永州·期末）已知，，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用．提取公因式分解因式，把，，整体代入即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为： 15．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则代数式__________． 【答案】2023 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是整体代入求值．由，得到，再将原式变形为，代入数据计算即可． 【详解】解：因为， 所以， ． 故答案为：2023． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 16．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键． （1）提公因式即可； （2）先变形，再提公因式即可； （3）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （4）先利用平方差形式分解因式，再分别提公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17.材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如分解因式： 材料2：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： (1)根据材料1将因式分解； (2)根据材料2将因式分解； (3)结合材料1和材料2，将因式分解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解．看懂和理解题例是解决本题的关键． （1）根据题干提供的信息直接进行因式分解即可； （2）令，利用材料2的方法，进行因式分解即可； （3）设，把原多项式换元后因式分解，再代入即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：设， 则原式 ． （3）解：， 则 ， ． 18．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）现场学习： 若x满足，求的值． 解：设，，则，，∴． 实践操作：请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若x满足，求的值； (2)若，求的值； (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是，上的点，且，，长方形的面积是12，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． (4) 【答案】(1)12 (2)262 (3)32 【分析】（1）先根据题中提供的方法，类比计算即可； （2）设，，求出，，然后结合求出，即可求解； （3）先确定长方形的长，宽，因此有，设，，则有，，结合求出，即可求解． 【详解】（1）解：设，，则，， ∴． （2）解：设，，则，，， ∵， ∴， ∴，即； （3）解：由题意得，长方形的长，宽，则， 设，，则有，， ∵， ∴ ∴，或（舍去）． 所以阴影部分的面积为：， 答：阴影部分的面积为32． 19．配方法是数学中重要的一种思想．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”．解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式 ； （2）若可配方成（m、n为常数），则 ； 探究问题： （3）已知，求的值； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据“完美数”的定义求解即可； （2）利用配方法把原式变形，求出，，即可求解； （3）利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性求得，，即可求解； （4）利用配方法把原式变形，再根据“完美数”的定义求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得，， 故答案为：； （2）∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：； （4）， ∵S为“完美数”， ∴， ∴． 【点睛】本题考查配方法的应用、“完美数”的定义，熟记完全平方公式是解题的关键． 20．（24-25七年级下·江苏常州·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 ； 例如：求代数式的最小值， ．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)已知，（为任意实数），求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过添加9构造完全平方式，再减去9使原式值不变，转化为平方差公式，最后分解为； （2）先计算，添加构造完全平方式，再减去，转化为，利用平方非负性得最小值为，即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）∵，为任意实数）， ∴ ， ∵， ∴ ∴当时，的最小值是． 【点睛】解决本题的关键是通过添加适当的项构造完全平方式，结合平方差公式分解因式、利用非负数性质求字母值，以及通过完全平方式的非负性求代数式的最值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $