6.1 正比例的意义和图像-【七彩课堂】2025-2026学年六年级数学下册同步教学设计（苏教版）

正比例的意义和图像。(教材第56~60页) 1.引导学生理解正比例的意义,能根据正比例的意义判断两个相关联的量是不是成正比例。 2.培养学生的抽象概括能力和分析判断能力。 重点:引导学生理解正比例的意义。 难点:引导学生通过观察、发现、思考两种相关联的量的变化规律。 课件。 教师提出如下问题: 已知路程和时间,怎样求速度?已知总价和数量,怎样求单价? 已知工作总量和工作时间,怎样求工作效率? 1.教学例1。 (1)课件出示:一辆汽车1小时行驶80千米,2小时行驶160千米,3小时行驶240千米,4小时行驶320千米,5小时行驶400千米,6小时行驶480千米,7小时行驶560千米,8小时行驶640千米…… 出示下表,填表。 时间/时 路程/千米 思考:在填表过程中你发现了什么? 教师点拨:时间变化,路程也随着变化,我们就说时间和路程是两种相关联的量。 (2)计算路程与对应时间的比值。 师:通过计算,你发现了什么? 教师指出:相对应的两个数的比值一样或固定不变,在数学上叫作一定,用式子表示它们的关系是:=速度(一定)。(板书) 教师小结:时间和路程是两种相关联的量,路程随着时间的变化而变化,时间扩大,路程随着扩大;时间缩小,路程也随着缩小。即=速度(一定)。 2.教学教材第57页的“试一试”。 (1)出示表格。 (2)观察表,你发现了什么规律? 写出几组对应的总价和数量的比,并比较比值的大小。用式子表示它们的关系:=单价(一定)。 (3)抽象概括正比例的意义。 师:比较这两道题,思考并讨论这两道题有什么共同点。 教师小结并板书:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫作成正比例的量,它们的关系叫作成正比例关系。 (4)通过例题,进一步理解正比例的意义。 (5)如果用x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的比值(一定),正比例关系怎样用字母表示呢?=k(一定) 根据正比例的意义以及表示正比例的式子想一想:构成正比例关系的两种量必须具备哪些条件? 3.教学例2。 师:从图中你获得了哪些数学信息? 生:点A表示1小时行80千米,点B表示5小时行400千米。 师:你能根据图中的信息说一说其他各点表示的意义吗? 生:2小时行160千米;3小时行240千米;4小时行320千米;6小时行480千米,7小时行560千米。 师:图中所描的点在一条直线上吗?(在)根据图中的信息,你还能知道什么? 学生讨论回答。 生1:根据图中信息,我发现了路程与时间的比值是一定的,都是80。 生2:当时间变化时,路程也随之变化。时间和路程是两种相关联的量,并且比值一定,所以它们成正比例关系。 教师指出:路程和时间是相关联的两种量,并且比值一定。所以,我们可以判断路程和时间成正比例关系。 学生独立解答:根据图像判断,这辆汽车2.5小时行驶多少千米?行驶440千米需要多少小时? 学生解答后,集体反馈,并说明理由。 【设计意图:认识成正比例的量之后,引导学生分析“构成正比例关系的两种量必须具备的条件”,既帮助学生巩固了正比例的意义,学会根据正比例的含义判断两种量是否成正比例关系,又让学生进一步体验生活中成正比例关系存在的数量很多】 师:在本节课的学习中,你有哪些收获? 学生自由交流各自的收获体会。 正比例的意义和图像 　　两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫作成正比例的量,它们的关系叫作成正比例关系。 =速度(一定)　　=k(一定) 正比例图像是一条直线。 A类 下图表示每小时行驶60千米的汽车1小时、2小时、3小时……所行使的路程。根据图像判断,这辆汽车2.5小时行驶多少千米?4.5小时呢? (考查知识点:正比例;能力要求:运用正比例知识解决简单的实际问题) B类 下面是甲、乙两个工程队挖水渠进度统计图。 (1)你认为哪个队施工速度快?为什么? (2)如果丙队每天都挖80米,请你在图中画出丙队的施工“线”。 (考查知识点:正比例;能力要求:运用正比例知识解决简单的实际问题) 课堂作业新设计 A类: 这辆汽车2.5小时行驶150千米,4.5小时行驶270千米。 B类: (1)我认为甲队的施工速度快,因为从图上能看出来甲队每天挖水渠40米,乙队2天才挖水渠40米,每天只挖20米,所以甲队的施工速度快。 (2)如图所示: 教材习题 教材第57页“练一练” 1. (1)答案不唯一,例如:25:1=25　50:2=25　100:4=25　比值都相等。 (2)生产零件的数量和时间成正比例。因为生产零件的数量和时间是两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,且生产零件的数量÷时间=每小时生产的零件数量(一定),也就是比值一定,所以生产零件的数量与时间成正比例。 2. 做的套数和用布的米数成正比例。因为做的套数和用布的米数是两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,且用布的米数÷做的套数=每套用布的米数(一定),也就是比值一定,所以做的套数和用布的米数成正比例。 教材第58页“练一练” (1)小玲打字的数量和所用的时间成正比例。因为打字的数量和所用的时间是两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,且打字的数量÷时间=速度(一定),也就是比值一定,所以打字的数量与所用时间成正比例。 (2) (3)小玲5分钟可以打字250个;打750个字需要15分钟。 教材第59~60页“练习十” 1. 订阅《趣味数学》的总价和数量成正比例。因为总价和数量是两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,且总价÷数量=单价(一定),也就是比值一定,所以订阅《趣味数学》的总价和数量成正比例。 2. 正方形边长/cm 1 2 3 4 正方形周长/cm 4 8 12 16 正方形面积/cm2 1 4 9 16 　　3. (1)他们骑车行的路程和时间成正比例。因为他们骑车的路程和时间是两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,且路程÷时间=速度(一定),也就是比值一定,所以他们骑车的路程和时间成正比例。 (2)他们20分钟大约行5千米;行10千米大约要用37分钟。 4. (1)10　15　20　25 (2) (3)购买彩带的总价和长度成正比例。因为总价和长度是两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,且总价÷长度=单价(一定),也就是比值一定,所以购买彩带的总价和长度成正比例。 (4)购买3.5米彩带需要17.5元。 5. (1) (2)物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例。因为物体的质量和弹簧伸长的长度是两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,且弹簧伸长的长度÷物体的质量=挂每千克物体弹簧伸长的长度(一定),也就是比值一定,所以物体的质量和弹簧伸长的长度成正比例。 (3)如果挂上质量5千克的物体,弹簧应伸长1.25厘米;要使弹簧伸长4厘米,应挂上16千克的物体。 学科网（北京）股份有限公司 $ 本单元是在学生已学习了比和比例等知识的基础上进行教学的,主要让学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量。正、反比例的知识在日常生活和工农业生产中有着广泛的应用,而且还是今后进一步学习中学数学、物理、化学等知识的重要基础,因而学好这部分知识是非常重要的。通过学习这部分知识,还可以帮助学生加深对过去学过的数量关系的认识,使学生初步学会从变量的角度来认识两个量之间的关系,从而初步体会函数的思想。本单元的教学重点是认识正、反比例的意义。 学生已学习了比和比例等知识为本单元的学习奠定了知识基础;正、反比例的知识在日常生活和工农业生产中有着广泛的应用,学生接触到较多的素材,但是缺乏细致、深入的了解,这些为本单元的系统学习做了生活经验方面的准备。 　　1. 使学生结合实际情景认识成正比例和反比例的量,能根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。 2. 使学生初步认识正比例的图像是一条直线,能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线,能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。 3. 使学生在认识成正比例、反比例的量的过程中,初步体会数量之间的相互依存的关系,感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型,进一步提升思维水平。 4. 使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系,增强探索数学知识和规律的意识,养成积极主动的参与学习活动的习惯,提高学好数学的自信心 1. 结合生活中的典型实例,让学生从“变化”中看到“不变”,体会并理解正、反比例的意义。正、反比例的意义比较抽象,它们都是表示两个相关联的变量之间关系的一种数学模型。在正比例里,一种量扩大(或缩小),另一种量也随着扩大(或缩小),但这两种量中相对应的两个数的比值是一定的;在反比例里,一种量扩大(或缩小),另一种量反而缩小(或扩大),但这两种量中相对应的两个数的积是一定的。理解正、反比例的意义,首先要通过具体的实例让学生看到两种量的变化情况,体会正比例和反比例所研究的是两个变量之间的关系,然后再引导学生进一步探索两种量在变化过程中存在的规律;并用关系式来表示出这种规律,从而帮助学生把握正、反比例概念的本质。 2. 借助直观的图像,帮助学生进一步认识成正比例量的变化规律,并为以后的学习做适当储备。认识正比例的意义之后,让学生初步认识正比例的图像,理解图像上点所表示的实际意义,清楚地认识正比例图像的特点,并借助直观的图像进一步理解两种量同时扩大或缩小的变化规律。 3. 练习的安排体现一定的层次性,帮助学生逐步提高判断成正比例、反比例的量的能力。通过由易到难,逐渐深入的练习,有助于学生进一步加深对正、反比例意义的理解,使他们能够从整体上把握各种量之间的比例关系,同时进一步提高判断成正比例、反比例的量的能力。 1　正比例的意义和图像………………………………………………………………1课时 2　反比例的意义 ……………………………………………………………………1课时 3　大树有多高…………………………………………………………………………1课时 学科网（北京）股份有限公司 $