精品解析：江西省南昌市第二十八中学 2025-2026 学年下学期阶段性质量评估 九年级数学

江西省南昌市第二十八中学2025-2026学年下学期阶段性质量评估九年级数学 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据互为倒数两个数的乘积等于1进行解答即可得． 【详解】解：的倒数是． 故选A． 【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 2. 一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的表面展开图，熟练掌握常见几何体的表面展开图是解题的关键． 根据三棱柱的表面展开图，即可得到答案． 【详解】解：的表面展开图为， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．∵，∴A错误； B．∵，∴B错误； C．∵，∴C正确； D．∵，∴D错误． 4. 使有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 全体实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理结合直角三角形的性质进行求解即可. 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又∵， ∴. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，……，照此规律，点第2020次跳动至点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第2020次跳动后，纵坐标为；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第2020次的跳动得到的横坐标也在y轴的右侧。的横坐标为1，的横坐标为2，的横坐标为3，依此类推可得到的横坐标． 【详解】经过观察可得：和的纵坐标均为1，和的纵坐标均为2，和的纵坐标均为3，因此可以推知点的纵坐标为；再观察图可知4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第2020次的跳动得到的横坐标也在y轴的右侧．的横坐标为1，的横坐标为2，的横坐标为3，依此类推可得到的横坐标为（n是4的倍数）．故点的横坐标是；所以点第2020次跳动至点的坐标是． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 单项式的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的系数的知识点，熟练掌握单项式系数的定义是解题的关键． 根据单项式系数就是单项式中的数字因数，进行解答即可． 【详解】解：单项式的系数是． 故答案为：． 8. 中国空间站离地球的远地点距离约为，其中用科学记数法可表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 因式分解：____． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 10. 一个不透明的口袋中有3种颜色的小球，其中红球个，黄球个，白球个（小球除颜色外，其它完全相同）．随机摸出一个小球，若摸出白球的概率为，则的的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率、一元一次方程的解法．首先根据随机摸出一个小球，摸出白球的概率为，可知白球占总数的，所以小球的总数可以表示为，也可以表示为，从而得到关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：随机摸出一个小球，摸出白球的概率为， 白球占总数的， 根据题意可得：， 解方程得：， 的值为． 故答案为： ． 11. 如图1，把一个等腰三角形分割成三块，恰好能按图方式拼放，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，正切，等腰三角形的判定，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据题意，得，，从而得，，．根据，得，，利用三角函数即可得解。 【详解】如图，根据题意，得，， ∴， ∴， ∴， ∴，即． ， ． ． ∴， ． ． 12. 如图，中，，E，F分别是边上的点，连接，将沿着折叠，得到，当与其中一边平行时，的度数是_____________. 【答案】或或 【解析】 【分析】本题是翻折变换，平行线的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．分三种情况讨论，利用翻折变换和平行线的性质及三角形内角和定理，可求的度数． 【详解】解：如图1，当时，延长交于点H， ∴， ∵， ∴， 由折叠可得：，， ， ； 如图2，设与交于点H，     当时， ∴， ∴， ∵将沿着者折叠， ∴； ∴； 如图3，当时，     ， ∴， ∵将沿着者折叠， ∴； 综上，的度数是或或 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算和证明 （1）． （2）如图，．求证：． 【答案】（1） （2） 证明：， 即， ∵在和中， ． 【解析】 【分析】（1）先逐项化简，再进行加减运算即可； （2）先证明，再利用即可得证． 【小问1详解】 解:； 【小问2详解】 略 14. 如图是一个由小正方形构成的8×8的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，经过，，三个格点，请仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）在图1中，画的切线； （2）在图2中，画的弦，使点为弧的中点． 【答案】（1） 如图1中，直线即为所求． （2） 如图2中，线段即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，切线的判定，垂径定理； （1）取格点，证明是直角三角形，且得出，即可得出是的切线 （2）取的格点，则，进而证明，根据垂径定理，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， 根据网格可得， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴ 又∵是直径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图， 取的格点，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点为弧的中点． 15. 先化简，再求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的乘除法计算，然后将数值代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 16. 将数、、0分别写在三张完全相同的不透明空白卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀后置于桌面，甲同学从中随机抽取一张卡片后（不放回），乙同学从剩余的卡片中随机抽取一张． （1）甲同学抽到的卡片上数字是0的概率是______； （2）用画树状图或列表的方法，求甲、乙两个同学抽到的卡片上的数字都是负数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙两个同学抽到的卡片上的数字都是负数的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有3张卡片，且写有数字0的卡片只有一张， ∴甲同学从中抽取一张卡片，抽到的卡片上数字是0的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲、乙两个同学抽到的卡片上的数字都是负数的结果数有2种， ∴甲、乙两个同学抽到的卡片上的数字都是负数的概率为． 17. 如图，直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． （1）求反比例函数解析式； （2）求（O为坐标原点）的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）把点代入解析式可求得b值，把点代入解析式可求得k值，即可求得反比例函数的解析式. （2）根据题意，，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，性质是解题的关键. 【小问1详解】 解：∵直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． ∴把点代入解析式得， 解得； ∴直线解析式， 把点代入解析式得， 故点 把点代入解析式得， 故反比例函数的解析式为. 【小问2详解】 解：由，，得， 根据题意，得． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 乡村振兴，亮化先行．如图是某地一新型太阳能路灯的示意图，灯杆垂直于地面，是灯臂，灯杆与灯臂的夹角，D，E两点分别在地面和灯杆上，斜拉绳恰好与点C在同一条直线上，且米，米． （1）求的长； （2）已知该路灯的灯臂的长为2米，求灯臂的端点距离地面的高度．（结果精确到米，） 【答案】（1）6米 （2）灯臂的端点距离地面的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得， 然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）过点作， 交的延长线于点， 先利用平角定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长， 再分别在和中， 利用锐角三角函数的定义求出和的值，从而列出方程进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵米， 米， (米)， 【小问2详解】 解：过点作， 交的延长线于点， ∵， ∴， 在中， 米， (米) ， 在中，， 在中， ， ∵， ， 解得： (米)， ∴灯臂的端点距离地面的高度约为米． 19. 为了响应市政府发布的《城市污水处理提质三年行动方案》，环保部门委托某治污公司购买台污水处理设备．现有两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表．经调查：购买台型设备和台型设备共用万元，购买台型设备和台型设备共用万元． 设备型号 型 型 价格（万元/台） 处理污水量（吨/月） （1）求的值． （2）经审计局预算：该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过万元，若每月要求处理污水量不低于吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案并求出该方案所需的购买资金． 【答案】（1）， （2）购买型设备台，型设备台，所需的购买资金为万元 【解析】 【分析】（）根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （）设购买型设备台，则购买型设备台，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，进而得到的值，可得购买方案，求出每一种购买方案的资金，再比较即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得， 即，； 【小问2详解】 解：设购买型设备台，则购买型设备台， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或， 当时，购买资金为万元； 当时，购买资金为万元； ∵， ∴为了结约资金，应购买型设备台，型设备台，所需的购买资金为万元． 20. 如图，为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与的延长线交于点E，于点D，平分． （1）求证：是半圆O的切线； （2）若，B为的中点，，垂足为点F，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆O的半径， ∴是半圆O的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理解三角形．熟练掌握证明切线的方法并使用面积相等法是解决本题的关键． （1）根据平行线的判定可得，再根据垂直即可证明； （2）先根据边长结合勾股定理可求解的长度，再由面积相等法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵在中，，. ∴， ， 即， 解得． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 根据表中提供的信息解答下列问题： 组别 成绩分组（分） 频数 百分数 1 2 2 3 b 4 10 5 c 6 6 合计 a （1）频数分布表中的__________，__________，__________； （2）若将抽取的学生成绩绘制成扇形统计图，成绩为“”所在扇形对应圆心角的度数为__________； （3）若该校共有1200名学生，估计全校数学成绩不低于84分的学生有多少人？ 【答案】（1），， （2） （3）780人 【解析】 【分析】（1）根据第一组的频数为2，百分数为，计算即可得出的值，用的值乘以第三组的百分数即可得出的值，用减去其它组的百分数，即可得出的值； （2）用乘以成绩为“”的人数所占的比例即可得出结果； （3）用乘以不低于84分的百分数即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵第一组的频数为2，百分数为， ∴， ∵第三组的百分数为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵的百分数为， ∴频数为（人）， ∵的频数为6人， ∴成绩为“”所在扇形对应圆心角的度数为． 【小问3详解】 解：∵不低于84分的百分数为， ∴全校数学成绩不低于84分的学生有（人）． 答：估计全校数学成绩不低于84分的学生有780人． 22. 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练．如图所示，在某次试投中，实心球经过的路线是抛物线．已知实心球出手处A距离地面的高度是米，当实心球运行的水平距离为3米时，达到最大高度米的处，实心球的落地点为处． （1）如图，已知于点，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系，点的坐标为______； （2）求出抛物线的解析式； （3）已知此次比赛成绩的核定方式为实心球出手处点A至球落地处的水平距离（即的长），则小明此次投掷的成绩是多少米？ 【答案】（1）建立坐标系，如下图， （2） （3）小明此次投掷的成绩是8米 【解析】 【分析】此题考查利用二次函数解决实际问题，理解函数定义是关键， （1）根据题意画出坐标系直接写出坐标即可； （2）用待定系数法求出二次函数表达式； （3）求C点横坐标即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 由抛物线经过点， 得， 解得， ； 【小问3详解】 解：时，， ，（舍）， 答：小明此次投掷的成绩是8米． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1，在中，，，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为． （1）问题发现 当时，______；当时，______． （2）拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决 绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长______． 【答案】（1）； （2） 没有， 证明：如图， 当时，的大小没有变化， ， ， ， ， ； （3）满足条件的的长为或 【解析】 【分析】（1）当时，在Rt中，勾股定理，可求的长，然后根据点分别是边的中点，分别求出的大小，即可求出的的值；当时，可得，然后根据，可求的值； （2）首先判断出，再根据，判断出，然后由相似三角形的对应边成比例，可求解； （3）分两种情形：当点在的延长线上时；当点在线段上时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：当时， Rt中，， ， 点分别是边的中点， ，， ， 故答案为：； 如图， 当时，可得， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当点在的延长线上时， 在Rt中，，， ， ， ， ； 如图，当点在线段上时， 在Rt中，，， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省南昌市第二十八中学2025-2026学年下学期阶段性质量评估九年级数学 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 6 2. 一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 使有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 全体实数 5. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，……，照此规律，点第2020次跳动至点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 单项式的系数是______． 8. 中国空间站离地球的远地点距离约为，其中用科学记数法可表示为__________． 9. 因式分解：____． 10. 一个不透明的口袋中有3种颜色的小球，其中红球个，黄球个，白球个（小球除颜色外，其它完全相同）．随机摸出一个小球，若摸出白球的概率为，则的的值为________． 11. 如图1，把一个等腰三角形分割成三块，恰好能按图方式拼放，则________． 12. 如图，中，，E，F分别是边上的点，连接，将沿着折叠，得到，当与其中一边平行时，的度数是_____________. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算和证明 （1）． （2）如图，．求证：． 14. 如图是一个由小正方形构成的8×8的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，经过，，三个格点，请仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）在图1中，画的切线； （2）在图2中，画的弦，使点为弧的中点． 15. 先化简，再求值，其中． 16. 将数、、0分别写在三张完全相同的不透明空白卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀后置于桌面，甲同学从中随机抽取一张卡片后（不放回），乙同学从剩余的卡片中随机抽取一张． （1）甲同学抽到的卡片上数字是0的概率是______； （2）用画树状图或列表的方法，求甲、乙两个同学抽到的卡片上的数字都是负数的概率． 17. 如图，直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． （1）求反比例函数解析式； （2）求（O为坐标原点）的面积． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 乡村振兴，亮化先行．如图是某地一新型太阳能路灯的示意图，灯杆垂直于地面，是灯臂，灯杆与灯臂的夹角，D，E两点分别在地面和灯杆上，斜拉绳恰好与点C在同一条直线上，且米，米． （1）求的长； （2）已知该路灯的灯臂的长为2米，求灯臂的端点距离地面的高度．（结果精确到米，） 19. 为了响应市政府发布的《城市污水处理提质三年行动方案》，环保部门委托某治污公司购买台污水处理设备．现有两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表．经调查：购买台型设备和台型设备共用万元，购买台型设备和台型设备共用万元． 设备型号 型 型 价格（万元/台） 处理污水量（吨/月） （1）求的值． （2）经审计局预算：该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过万元，若每月要求处理污水量不低于吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案并求出该方案所需的购买资金． 20. 如图，为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与的延长线交于点E，于点D，平分． （1）求证：是半圆O的切线； （2）若，B为的中点，，垂足为点F，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 根据表中提供的信息解答下列问题： 组别 成绩分组（分） 频数 百分数 1 2 2 3 b 4 10 5 c 6 6 合计 a （1）频数分布表中的__________，__________，__________； （2）若将抽取的学生成绩绘制成扇形统计图，成绩为“”所在扇形对应圆心角的度数为__________； （3）若该校共有1200名学生，估计全校数学成绩不低于84分的学生有多少人？ 22. 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练．如图所示，在某次试投中，实心球经过的路线是抛物线．已知实心球出手处A距离地面的高度是米，当实心球运行的水平距离为3米时，达到最大高度米的处，实心球的落地点为处． （1）如图，已知于点，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系，点的坐标为______； （2）求出抛物线的解析式； （3）已知此次比赛成绩的核定方式为实心球出手处点A至球落地处的水平距离（即的长），则小明此次投掷的成绩是多少米？ 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1，在中，，，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为． （1）问题发现 当时，______；当时，______． （2）拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决 绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $