精品解析：内蒙古包头市三校联考2025-2026学年九年级下学期中考一模数学试题

数学 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 某食品保存的温度是，以下几个温度中，不适合储存这种食品的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得出温度范围，根据温度范围即可得到答案． 【详解】解：，， 是适合存储这种食品的温度范围是：至， ∵，选项A符合题意； ∵，选项B不符合题意； ∵，选项C不符合题意； ∵，选项D不符合题意； 故选： A． 2. 下列人工智能App图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，已知与互补，平分，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据题意，由条件得到，从而得到，结合角平分线得到，即可得到的度数． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4. 一元一次不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； 该不等式组的解集为， 在同一数轴上表示以上不等式解集为： ． 5. 点是矩形的对角线的中点，是边的中点，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质可知，，根据三角形中位线的性质可知，利用勾股定理可求，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求的长度． 【详解】解：在矩形中，， ，， 又点是矩形的对角线的中点，是边的中点，， ， ， 点为的中点，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理、三角形的性质，解决本题的关键是根据图形的性质求出相关线段之间的关系． 6. 在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【详解】解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 7. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ） A 8 B. 16 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， 由作图知：平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又的面积为8， ∴的面积是， 故选B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，，若，则实数k的值为（） A. 8 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点B的坐标为，设点A坐标为，根据得到，解方程并进一步即可得到点A坐标为，利用待定系数法即可求出实数k的值． 【详解】解：对于一次函数，当时，，解得， ∴点B的坐标为， ∴ ∵点C坐标为， ∴ ∴， 设点A坐标为， ∴ ∵， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴， ∴点A坐标为， ∵反比例函数的图象过点A， ∴， 解得． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，解题的关键是掌握概率公式． 用绿球的个数除以总球的个数即可得出答案． 【详解】解：袋子中绿球的个数为6， 球的总数为13， 所以抽到绿球的概率为， 故答案为：． 10. 智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人每分钟采摘的苹果总数为_______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，每个机械手每分钟采摘10个苹果，m个机械手同时工作时，总采摘数为每个机械手的效率之和． 【详解】解：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数， 故答案为：． 11. 如图，是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长三角形玻璃破损的两条边，交于点，过点作于点，先在直角中，求出的长度，再在直角中，求出的长度即可． 【详解】解：如图，延长三角形玻璃破损的两条边，交于点，过点作于点， ， ， 在直角中， ，，， ， ， ， ， ， 在直角中， ，，， ． 12. 如图，在矩形中，，，连接．点为上的一点，连接，且平分，连接交于点，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质和解直角三角形，先根据矩形中，，，得出，再解直角三角形得出， 再利用相似求出即可． 【详解】解：在矩形中，，， ∴， ， ∴， ∵平分， ∴， ， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算或化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 14. 某校提倡数学学习与生活紧密结合，数学问题要源于生活，用于生活．为此学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组： A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：99 80 99 86 99 96 90 100 89 82 八年级10名学生的竞赛成绩是： 94 90 94 （部分数据被污染） 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 92 93 a 52 八年级 92 b 100 50.4 八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出 ， ，并补全条形统计图． （2）该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别为600人和700人，估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀（）的学生共有多少人． （3）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“生活中的数学”知识较好？请说明理由（一条即可）． 【答案】（1），；补全统计图见解析 （2）850人 （3）八年级成绩较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，条形统计图，用样本估计总体，掌握计算方法是解题关键． （1）找出七年级成绩出现次数最多的数即为七年级成绩的众数，找出八年级成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，根据各个组的频数之和为10，可求出的八年级B组的人数，补全统计图即可； （2）根据样本中七、八年级成绩的优秀率，估计总体的优秀率，进而计算七、八年级的优秀的人数即可． （3）从中位数、众数角度得出八年级的成绩较好． 【小问1详解】 解：七年级10名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是99，共出现3次， 故众数为99，即， 八年级B组的人数为， 八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组：，由题意可知，C组共三个数据，分别是， ∴中位数是， 即， 补全统计图如下： 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意可得，（人） 答：估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀() 的学生共有人； 【小问3详解】 解：八年级成绩较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好． 15. “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商场欲购进一批头盔，已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元． （1）购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进个这两种型号的头盔，总费用不超过元，则最多可购进乙型头盔多少个？ 【答案】（1）购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元； （2）最多可购进乙型头盔个． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意，找出等量关系，列方程组，求解即可； （2）根据题意，列不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元， 根据题意得， 解得， 答：购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元． 【小问2详解】 解：设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个， 根据题意得： 解得， ∴的最大值为， 答：最多可购进乙型头盔个． 16. 如图，为外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足． （1）求证：平分； （2）证明：； （3）若射线与相切于点A，，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理求得，再利用，求得，据此即可证明平分； （2）利用半径相等求得，利用三角形的外角性质可证明，推出，可证明，等量代换即可证明结论成立； （3）利用切线的性质结合，证明，设，则，利用，列式计算求得，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵为的直径， ∴，即，， ∵， ∴， ∴，即平分； 【小问2详解】 证明：连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵射线与相切于点A， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴设，则， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识．作出合适的辅助线是解题的关键． 17. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为． （1）求雕塑高OA． （2）求落水点C，D之间距离． （3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】（1）；（2）22米；（3）不会 【解析】 【分析】（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】解：（1）由题意得，A点在图象上． 当时， ． （2）由题意得，D点在图象上． 令，得． 解得：（不合题意，舍去）． （3）当时，， ， ∴不会碰到水柱． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质． 18. 四边形是边长为的正方形，是的中点，连结，点是射线上一动点(不与点重合)，连结，交于点． （1）如图1，当点是边的中点时，求证：； （2）如图2，当点与点重合时，求的长； （3）在点运动的过程中，当线段为何值时，？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】(1)根据正方形的性质得到AB=AD，再由E、F分别是AB、BC的中点即可证明； (2)证明，然后再根据对应边成比例即可求出AG； (3)先证明DM=MG，然后在Rt△ADM中由勾股定理求出DM，进而求出CM，再证明，根据对应边成比例即可求出BF． 【详解】解：(1)证明:四边形是正方形， ， 点分别是的中点， ， ， . (2)在正方形中，， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． (3)当时，.理由如下: 由(2)知，当点与重合(即)时， ， 点应在的延长线上(即)， 如图所示，设交于点， 若使， 则有， ， 又， ， ， 中，， 即， ， ， ， ， ， 即， ∴， ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】此题是四边形和相似三角形的综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，中点的性质，解本题的关键是三角形相似的判定的应用，难点是准确找出相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 某食品保存的温度是，以下几个温度中，不适合储存这种食品的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列人工智能App图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知与互补，平分，那么（ ） A. B. C. D. 4. 一元一次不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 点是矩形的对角线的中点，是边的中点，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过点的坐标还可以是（ ） A B. C. D. 7. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ） A 8 B. 16 C. 12 D. 24 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，，若，则实数k的值为（） A. 8 B. C. 6 D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________． 10. 智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人每分钟采摘的苹果总数为_______个． 11. 如图，是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为______． 12. 如图，在矩形中，，，连接．点为上的一点，连接，且平分，连接交于点，则的长为_____． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算或化简： （1）计算：； （2）化简：． 14. 某校提倡数学学习与生活紧密结合，数学问题要源于生活，用于生活．为此学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组： A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：99 80 99 86 99 96 90 100 89 82 八年级10名学生的竞赛成绩是： 94 90 94 （部分数据被污染） 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 92 93 a 52 八年级 92 b 100 50.4 八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出 ， ，并补全条形统计图． （2）该校七、八年级参加此次竞赛活动人数分别为600人和700人，估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀（）的学生共有多少人． （3）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“生活中的数学”知识较好？请说明理由（一条即可）． 15. “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商场欲购进一批头盔，已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元． （1）购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进个这两种型号的头盔，总费用不超过元，则最多可购进乙型头盔多少个？ 16. 如图，为外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足． （1）求证：平分； （2）证明：； （3）若射线与相切于点A，，，求的值． 17. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为． （1）求雕塑高OA． （2）求落水点C，D之间的距离． （3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明． 18. 四边形是边长为的正方形，是的中点，连结，点是射线上一动点(不与点重合)，连结，交于点． （1）如图1，当点是边的中点时，求证：； （2）如图2，当点与点重合时，求的长； （3）在点运动的过程中，当线段为何值时，？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $