精品解析： 山东省滕州市蒋庄矿区中学2021-2022学年下学期(第4周） 周周练八年级数学试题

山东省滕州市蒋庄矿区中学2021-2022学年下学期（第4周）周周练八年级数学试题 一、单选题 1. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边的是（　　） A. 3，4，5 B. 2，3， C. 8，15，17 D. 32，42，52 2. 如图，ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC，如果BC＝8cm，则DEC的周长是（ ） A. 6cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm 3. 如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE、AF，若△AEF的周长为2，则BC的长是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 无法确定 4. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABC的周长为19cm，则△ABD的周长为（　　） A. 10cm B. 13cm C. 16cm D. 18cm 5. 如图，在中，， ，垂足为D．与关于直线对称，点B的对称点是点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 7. 在中，，，是斜边上的高，若，则斜边的长为（ ） A. 8cm B. 6cm C. 4cm D. 2cm 8. 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）　 A. 45° B. 50° C. 60° D. 75° 9. 如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是（　　） A. B. C. D. 10. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 11. △ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD，则下列结论错误的是（　　） A. AD＝BD B. ∠BDC＝72° C. S△ABD：S△BCD＝BC：AC D. △BCD的周长＝AB+BC 12. 等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A. B. C. D. 或 13. 如图，在ABC中，∠C=90°，分别以A、B为圆心画弧，所画的弧交于两点，再连接该两点所在直线交BC于点D，交AB于E ，连接AD．若BD=2，则AD的长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 14. 如图，在等边三角形中，为边上的高，与的平分线交于点.已知的面积为2，则的面积为（ ） A. 18 B. 12 C. 9 D. 6 15. 下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；③两点之间线段最短；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等．其中假命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 16. 如果等腰三角形的两条边长分别为和，那么它的周长为______________． 17. 如图，在中，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB，AC于M，N，则的周长为_______ 18. 如图，在中，，D，E是内的两点，AE平分，，若BD=6cm，DE=4cm，则BC的长是______cm． 19. 如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．若BE∥AC，则∠C=____． 20. 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=___． 21. 如图，，点E在AD上，且，，则的大小为______． 三、解答题 22. 如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E． （1）当∠BDA=100°时，∠DEC= °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）； （2）当DC等于多少时，ABD≌DCE，请说明理由； （3）点D在运动过程中，ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 23. 在长方形ABCD中，截取如图所示的阴影部分，已知EC＝5，CF＝5，FG＝4，EG＝3，∠EGF＝90°． （1）连接EF，求证：∠FEC＝90°； （2）求出图中阴影部分的面积． 24. 如图，在△ABC中，AB=AC． （1）用无刻度直尺和圆规作图：(保留作图痕迹，不写作法) ①作∠BAC的平分线交BC于点D． ②作边AC的中点E，连接DE． （2）在(1)所作的图中，若AD=12，BC=10，求DE的长． 25. 如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P，连接CP． （1）求证：CP平分∠ACB； （2）若AP＝4，△ABC的周长为20，求△ABC的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省滕州市蒋庄矿区中学2021-2022学年下学期（第4周）周周练八年级数学试题 一、单选题 1. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边的是（　　） A. 3，4，5 B. 2，3， C. 8，15，17 D. 32，42，52 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵32+42＝52，∴能作为直角三角形的三边，故本选项不符合题意； B、∵22+（）2＝32，∴能作为直角三角形的三边，故本选项不符合题意； C、∵82+152＝172，∴能作为直角三角形的三边，故本选项不符合题意； D、∵（32）2+（42）2=337≠625=（52）2，∴不能作为直角三角形的三边，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 2. 如图，ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC，如果BC＝8cm，则DEC的周长是（ ） A. 6cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线性质求出，根据勾股定理求出，求出的周长，即可得出答案． 【详解】解：平分，，， ， 由勾股定理得：，， ， 的周长是， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线性质，勾股定理的应用，解题的关键是注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 3. 如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE、AF，若△AEF的周长为2，则BC的长是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式即可求出． 【详解】解：的垂直平分线交于点， ， 的垂直平分线交于点． ， 的周长． 故选：A． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 4. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABC的周长为19cm，则△ABD的周长为（　　） A. 10cm B. 13cm C. 16cm D. 18cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质计算．△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC． 【详解】解：∵AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足， ∴AD＝DC，AC＝2AE＝6cm， ∵△ABC的周长为19cm， ∴AB+BC＝13cm， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝13cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应线段相等． 5. 如图，在中，， ，垂足为D．与关于直线对称，点B的对称点是点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过折叠角相等， 计算得∠BAD，进而用余角进行计算． 【详解】解：∵，且，， ∴， ∴. 故选：C． 【点睛】本题考查折叠以及直角三角形中角的转化与计算，属于中考常考题型． 6. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可． 【详解】解：由作法得EF垂直平分AB， ∴MB＝MA， ∴BM+MD＝MA+MD， 连接MA、DA，如图， ∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号）， ∴MA+MD的最小值为AD， ∵AB＝AC，D点为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵ ∴ ∴BM+MD长度的最小值为5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 7. 在中，，，是斜边上的高，若，则斜边的长为（ ） A. 8cm B. 6cm C. 4cm D. 2cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质得出，，代入求出即可． 【详解】解：是斜边上的高， ， ，， ，， ， ， ， 故选：A 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和含角的直角三角形的性质，能根据含角的直角三角形的性质得出和是解此题的关键，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半． 8. 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）　 A. 45° B. 50° C. 60° D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据直角三角形可得，再根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：如图，， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 9. 如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理得到BC＝3，过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到CD＝DE，根据全等三角形的性质得到BE＝BC＝3，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°， ∴， 过D作DE⊥AB于E， ∵BD平分∠ABC，∠C＝90°， ∴CD＝DE， 在Rt△BCD与Rt△BED中， ， ∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）， ∴BE＝BC＝3， ∴AE＝2， ∵AD2＝DE2+AE2， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解． 10. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 11. △ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD，则下列结论错误的是（　　） A. AD＝BD B. ∠BDC＝72° C. S△ABD：S△BCD＝BC：AC D. △BCD的周长＝AB+BC 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图痕迹发现BD平分，然后根据等腰三角形的性质进行依次判断即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， 由作图痕迹发现BD平分， ∴， ∴，，故A、B正确； ∵， ∴， 结合图形可得：与的高相同， ∴，故C错误； 的周长为：，故D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及角平分线的作法，三角形内角和定理等，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键． 12. 等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分当顶角为时，当底角为时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当顶角为时，则底角度数为，成立； 当底角为时，则顶角的度数为，成立； ∴这个等腰三角形的顶角为或， 故选D． 13. 如图，在ABC中，∠C=90°，分别以A、B为圆心画弧，所画的弧交于两点，再连接该两点所在直线交BC于点D，交AB于E ，连接AD．若BD=2，则AD的长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】如图，根据画图过程可得直线ED是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，由画图过程得：直线ED是线段AB的垂直平分线， ∴AD=BD=2， 故选：D． 【点睛】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，能得到直线ED是线段AB的垂直平分线是解答的关键． 14. 如图，在等边三角形中，为边上的高，与的平分线交于点.已知的面积为2，则的面积为（ ） A. 18 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】在等边三角形中，为边上的高，可知，EC为的角平分线，可知，可知为等腰三角形，可知．在中，，所以，在和中，高相等，所以，所以． 【详解】∵等边三角形中，是边上的高， ∴． ∵EC为的角平分线， ∴． ∴ ∴为等腰三角形， ∴． 在中，， ∴， 在和中，高相等， ∴， 在等边三角形中，是边上的高， ∴是的垂直平分线（三线合一） ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形三线合一的性质， 还需要记住角所对的直角边是斜边的一半，灵活的运用三角形面积公式，通过高和底的比确定面积的比例，最终轻松求解． 15. 下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；③两点之间线段最短；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等．其中假命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称的定义和等腰三角形的性质，可判断①；根据线段垂直平分线的性质，可判断②；根据两点之间线段最短是一个公理，可判断③；根据三角形全等的判定条件，可判断④，由此即可选择． 【详解】等腰三角形是轴对称图形，故①是真命题； 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故②是真命题； 两点之间线段最短，故③是真命题； 两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形不一定全等，故④为假命题． 故选A． 【点睛】本题考查判断命题真假．掌握正确的命题就是真命题，错误的命题就是假命题是解答本题的关键． 二、填空题 16. 如果等腰三角形的两条边长分别为和，那么它的周长为______________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．分两种情况：①当腰长为时；②当腰长为时，结合三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：①当腰长为时，则这个等腰三角形的三边长分别为，和， 此时，不满足三角形的三边关系，舍去； ②当腰长为时，则这个等腰三角形的三边长分别为，和， 此时，满足三角形的三边关系，它的周长为； 综上，它的周长为， 故答案为：15． 17. 如图，在中，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB，AC于M，N，则的周长为_______ 【答案】6 【解析】 【分析】根据BE、CE是角平分线和MN//BC可以得出MB=ME，NE=NC，继而可以得出△AMN的周长=AB+AC，从而可以得出答案． 【详解】解：∵BE，CE分别是∠ABC与∠ACB的角平分线， ∴∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠ECB， ∵MN//BC， ∴∠MEB=∠EBC，∠NEC=∠ECB， ∴∠MBE=∠MEB，∠NCE=∠NEC， ∴MB=ME，NC=NE， ∵AB=AC=3， ∴△AMN的周长 =AM+ME+NE+AN =AM+MB+AN+NC =AB+AC =3+3 =6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质和等腰三角形的判定，是一道综合题，能够推出MB=ME，NE=NC是解题的关键． 18. 如图，在中，，D，E是内的两点，AE平分，，若BD=6cm，DE=4cm，则BC的长是______cm． 【答案】10 【解析】 【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案． 【详解】解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N， ∵AB=AC，AE平分∠BAC， ∴AN⊥BC，BN=CN， ∵∠DBC=∠D=60°， ∴△BDM为等边三角形， ∴BD=DM=BM=6， ∵DE=4， ∴EM=6-4=2， ∵△BDM为等边三角形， ∴∠DMB=60°， ∵AN⊥BC， ∴∠ENM=90°， ∴∠NEM=30°， ∴NM==1， ∴BN=6-1=5， ∴BC=2BN=10（cm）， 故答案为10． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，以及含30°角的直角三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键． 19. 如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．若BE∥AC，则∠C=____． 【答案】60°##60度 【解析】 【分析】根据平行线的性质证得∠EAC=90°，由等腰三角形的性质和已知条件证得∠1=∠2=∠3=30°，可得∠BAC=60°，进而得到△ABC为等边三角形，由等边三角形的性质可得∠C的度数． 【详解】解：∵AE⊥BE，∴∠E=90°． ∵BE//AC，∴∠EAC=90°． ∵AB平分∠DAE，∴∠1=∠2． ∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴∠1=∠3， ∴∠1=∠2=∠3=30°， ∴∠BAC=∠1+∠3=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠C=60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，证得∠1=∠2=∠3=30°是解决问题的关键． 20. 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=___． 【答案】2 【解析】 【分析】过P点作PE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得到PE=PD，再利用平行线的性质得到∠PCE=∠AOB=30°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到PE=PC=2，从而得到PD的长． 【详解】解：过P点作PE⊥OB于E，如图， ∵∠AOP=∠BOP=15°， ∴OP平分∠AOB，∠AOB=30°， 而PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE=PD， ∵PC∥OA， ∴∠PCE=∠AOB=30°， ∴PE=PC=×4=2， ∴PD=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形的性质和平行线的性质． 21. 如图，，点E在AD上，且，，则的大小为______． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】由得到∠C=∠CED=70°，由三角形内角和定理得到∠D=40°，再由得到∠D=∠A=40°． 【详解】解：∵， ∴∠C=∠CED=70°， 由三角形内角和定理可知：∠D=180°-∠C-∠CED=180°-70°-70°=40°， ∵， ∴∠A=∠D=40°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质等，熟练掌握等腰三角形的性质及平行线的性质是解题的关键． 三、解答题 22. 如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E． （1）当∠BDA=100°时，∠DEC= °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）； （2）当DC等于多少时，ABD≌DCE，请说明理由； （3）点D在运动过程中，ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）100°，小 （2）当DC=2，ABD≌DCE，见解析 （3）可以，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据∠BDA=100°以及∠ADE=40°，即可得出∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE，进而求出∠DEC的度数； （2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE； （3）分三种情况讨论：①当DA=DE时，②当AD=AE时，③当EA=ED时，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=180°-100°-40°=40°， ∠DEC=180°-∠EDC-∠C=180°-40°-40°=100°， 点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小； 故答案为：100°，小； 【小问2详解】 解：当DC=2时，△ABD≌△DCE， 理由：∵∠C=40°， ∴∠DEC+∠EDC=140°， 又∵∠ADE=40°， ∴∠ADB+∠EDC=140°， ∴∠ADB=∠DEC， 又∵AB=DC=2， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； 【小问3详解】 解：可以，理由如下： ∵∠B=∠C=40°，∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°， 分三种情况讨论： ①当DA=DE时，∠DAE=∠DEA， ∵∠ADE=40°，∠ADE+∠DAE+∠DEA=180°， ∴∠DAE=（180°-40°）÷2=70°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-70°=30°， ∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°， ∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-30°=110°； ②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°， ∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°， ∴∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=180°-40°-40°=100°， 又∵∠BAC=100°， ∴∠DAE=∠BAE， ∴点D与点B重合，不合题意； ③当EA=ED时，∠DAE=∠ADE=40°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-40°=60°， ∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°， ∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-60°=80°， 综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 23. 在长方形ABCD中，截取如图所示的阴影部分，已知EC＝5，CF＝5，FG＝4，EG＝3，∠EGF＝90°． （1）连接EF，求证：∠FEC＝90°； （2）求出图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）先求EF，再利用勾股定理的逆定理得出△EFC为直角三角形，即可得证； （2）先求出和的面积，再利用得出阴影部分的面积． 【详解】解：（1）∵∠EGF＝90°，根据勾股定理得： EF=， ∵，， ∴， ∴△EFC为直角三角形， ∴∠FEC=90°； （2）∵，， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 24. 如图，在△ABC中，AB=AC． （1）用无刻度直尺和圆规作图：(保留作图痕迹，不写作法) ①作∠BAC的平分线交BC于点D． ②作边AC的中点E，连接DE． （2）在(1)所作的图中，若AD=12，BC=10，求DE的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）6.5 【解析】 【分析】（1）按要求用尺规作图即可； （2）由等腰三角形三线合一的性质得，DC=5，根据勾股定理求出AC=13，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出DE即可． 【小问1详解】 解：①如图，线段AD即为所求作的线段； ②如图，点E，线段DE即为所求， 【小问2详解】 解：，AD是的平分线， ，， ， ， 点E是AC的中点， ， 答：DE的长为6.5． 【点睛】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握基本作图，三线合一的性质，勾股定理是解此题的关键 25. 如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P，连接CP． （1）求证：CP平分∠ACB； （2）若AP＝4，△ABC的周长为20，求△ABC的面积． 【答案】（1）见解析 （2）20 【解析】 【分析】（1）过点P作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E，作PF⊥AC于F，根据角平分线的性质可得PD＝PE，PD＝PF，可得，进而根据角平分线的判定定理即可证明CP平分∠ACB； （2）根据∠CAB＝60°，则∠PAB＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得,根据（1）的结论可得，进而根据三角形的面积公式求解即可 【小问1详解】 证明：过点P作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E，作PF⊥AC于F， 则PD，PE，PF分别是P到AB，BC，CA的距离， ∵∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P， ∴PD＝PE，PD＝PF， ∴CP平分∠ACB； 【小问2详解】 解：∵∠CAB＝60°， ∴∠PAB＝30°， 在Rt△PAD中，PA＝4， ∴PD＝2， ∴S△ABC＝S△APB＋S△BPC＋S△CPA ＝AB•PD＋BC•PE＋CA•PF ＝（AB＋BC＋CA）•PD ＝×20×2 ＝20． 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，掌握角平分线的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $