4.2提公因式法（2）教学设计2025-2026学年 北师大 版八年级数学下册

2 提公因式法（第2课时） 一、学习任务分析 因式分解是对整式的一种变形，它与整式乘法是互逆变形的关系，被广泛地应用于初等数学的运算中。提公因式法是因式分解的基本方法，通过逆向运用分配律，将多项式中各项的公因式“提”到括号外面，从而把多项式分解为此公因式与另一个因式的积的形式。 本节课是北师大版初中数学八年级（下册）第四章“因式分解”的第2节“提公因式法”的第2课时，主要内容为探索公因式为多项式的提公因式法。本课时是第1课时的延续与深化，将提取公因式的范围从单项式公因式拓展至多项式公因式。公因式为多项式时，要将其看作一个整体，作为每一项的一个因式进行提取；若公因式处于隐形状态，则需要先对多项式进行变形，其中包括解决符号差异问题，再提取公因式。本课时的学习为后续解方程、代数式求值、分式运算等内容的学习奠定了必要的知识基础。 二、学生起点分析 学生知识技能基础：在小学阶段，学生学习了分解质因数；进入初中阶段后，学生经历了由数到字母、由特殊到一般的思维过程，掌握了整式乘法的运算。通过前两节课的学习，学生了解了因式分解的概念及意义，明晰了因式分解与整式乘法之间的联系，会运用提公因式法进行公因式为单项式的因式分解，并且掌握了提公因式法的步骤和方法。 学生活动经验基础：在整式乘法的学习过程中，学生积累了一定的观察、归纳、猜想、验证的经验，也具备了一定的合作与交流能力；本课时内容是在上一课时内容的基础上进行的深入学习，采用的活动方式也相似，故学生有较好的活动经验。 三、教学目标 1.经历用提公因式法因式分解的过程，感悟整体思想和转化思想。 2.能用提公因式法进行公因式为多项式的因式分解，发展观察、推理、运算等能力。 3.在把多项式用图形面积表示出来的过程中，感受数形结合思想，发展几何直观。 教学重点：用提公因式法进行公因式为多项式的因式分解。 教学难点：利用因式分解指导拼图，借助拼图过程理解因式分解。 四、教学过程设计 【第一环节】知识回顾，结构关联 1.活动内容 把下列各式因式分解： （1）am＋2bm；（2）5xy＋20x2y2。 思考： （1）什么是因式分解？因式分解和整式乘法之间有什么关系？ （2）积为多项式的整式乘法有哪些类型？ （3）结合上节课的学习内容，猜想本节课的研究内容。 2.活动目的 通过具体题目让学生回顾因式分解的概念、提公因式法的概念及其步骤和依据，为新知的学习筑牢基础；引导学生回顾因式分解和整式乘法的关系，以关联性呈现的方式凸显知识的内在联系；引导学生归纳出上节课提取的公因式均为单项式，进而引出本节课研究的内容。这两道题目与本课时中例1的题目结构相似，题目的设置也为后续学习做好铺垫。 3.注意事项 教学时，学生应能较为轻松地完成因式分解的相关练习。在学生完成解答后，教师不必急于进行新内容的教学，可继续通过追问引导学生回顾确定公因式的方法及如何用提公因式法分解因式，让学生充分交流和表达，为后面新知的学习打下基础。 【第二环节】新知引入，自主探索 1.活动内容 例1 把下列各式因式分解： （1）a(x－3)＋2b(x－3)； （2）y(x＋1)＋y2(x＋1)2。 例2 把下列各式因式分解： （1）a(x－y)＋b(y－x)； （2）6(m－n)3 －12(n－m)2。 思考·交流 利用提公因式法进行因式分解，你积累了哪些经验？与同伴进行交流。 2.活动目的 通过观察、类比上节课所学的内容确定公因式，从而进行因式分解，并引导学生得出公因式可以是单项式，也可以是多项式。当公因式是一个多项式时，应将它看作一个整体，让学生充分感悟整体思想是数学学习中一种重要且常用的思想方法。例2中的题目涉及符号的变化，能够锻炼学生处理符号的能力。同时在计算过程中，引导学生将其转化成例1的形式，体验转化的数学思想。通过“思考·交流”帮助学生进行总结，并及时梳理学习内容。 3.注意事项 本课时的两个例题是上一课时例题的深化，公因式由单项式过渡到多项式，难度逐渐提高。出示例1，教师可以进行引导：你能类比前面的方法对下列各式进行因式分解吗？引导学生发现公因式既可以是单项式也可以是多项式。例1第（1）题，大部分学生会把x－3看作一个整体，这样原式就可看成一个二项式，第一项是a(x－3)，第二项是2b(x－3)，这两项均含有公因式x－3，所以可以用提公因式法进行因式分解。对于学习有困难的同学，教师可以引导其比较am＋2bm和a(x－3)＋2b(x－3)的结构形式，让学生得出把x－3看作一个整体提取公因式即可。若学生在因式分解的过程中将其展开，则给予学生试错的机会，并引导其发现展开变形可能会离“积”的形式越来越远，从而加深其对因式分解本质的认识。教学例1第（2）题时，除了像例1第（1）题那样分析，还要关注一些细节，如提取公因式y(x＋1)后，第一项还剩下“1”，不要漏掉；最后的结果书写形式要规范，培养学生良好的数学学习习惯。 例2是在例1的基础上解决符号问题。出示例2后，让学生先不要急于动笔做题，而是要观察、思考和上一例题的区别，能否将新问题转化为已经解决过的问题，渗透转化思想。教学时要引导学生正确理解，两个只有符号不同的多项式的关系，通过讨论总结处理符号的技巧。例2第（2）题也可以将(m－n)3转化成－(n－m)3进行提公因式，教学时应让学生体会因式分解的不同形式。 “思考·交流”活动中可以引导学生讨论如何确定公因式，例1、例2的因式分解与多项式乘多项式有什么关系，提公因式应注意哪些问题，等等。 【第三环节】动手操作，拼图验证 1.活动内容 尝试·思考 如图，有三张不同型号的长方形卡片。 （1）你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗？ （2）你能用这三张卡片拼成一个长方形吗？ （3）依据（1）（2）拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解结果？你是怎样想的？ ① ② ③ 2.活动目的 此活动设计的两种拼图，既能验证第1课时公因式为单项式的提公因式法，又能验证本课时公因式为多项式的提公因式法。同时，借助几何图形对运算进行直观解释，体现了代数和几何之间的内在联系和统一性，能让学生更好地理解相关知识，发展几何直观。 3.注意事项 教学时，教师可以提醒学生按要求拼图，卡片①和②拼成一个长方形，卡片①②③拼成一个大长方形。引导学生利用拼图中图形的面积不变，从整体、各部分之和两个角度表达图形的面积，从而得到an＋bn＝n(a＋b)、n(a＋b)＋m(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)这样的多项式的因式分解，巧借拼图将数学符号语言与数学图形语言进行了结合，让图形变化归一成简约的代数变形表达，从而在动手操作中培养学生的核心素养。 【第四环节】体验新知，学以致用 1.活动内容 （1）观察下列各组式子： ①2a＋b 和 a＋b； ②5m (a－b)和－a＋b； ③3(a＋b)和－a－b； ④x 2－y 2和x 2＋y 2。 其中有公因式的是 。 （2）把下列各式因式分解： ① x(a＋b)＋y(a＋b)； ② 6(p＋q)2－12(q＋p)； ③ a(m－2)＋b(2－m)； ④ mn(m－n)－m(n－m)2。 （3）先因式分解，再计算求值：(3－x)2＋3(x－3)，其中x＝－3。 2.活动目的 将单一形式的课后练习题改编为不同形式的题目，激发学生的学习兴趣。 第（1）题帮助学生确定公因式，为下一题准确利用提公因式法进行因式分解做准备。 第（2）题旨在进一步提升学生利用提公因式法进行因式分解的熟练度，加深对提公因式法的理解。 第（3）题是体验因式分解的价值，使计算更简便。 3.注意事项 教师要及时发现学生可能出现的问题，并进行分析、纠正。 【第五环节】总结提升，纳入系统 1.活动内容 （1）本节课我们是怎样利用提公因式法进行因式分解的？ （2）利用提公因式法进行因式分解时，需要注意哪些问题？ （3）你还有哪些想继续探究的问题？ 2.活动目的 总结与梳理是学习过程中必不可少的一个环节，学生通过总结与反思，梳理自己的收获，提出自己的疑惑，发表自己的观点，养成良好的学习和思考习惯。 3.注意事项 该环节学生可以对本节课探索提公因式法分解因式的过程进行回顾反思，感悟整体、转化、类比、数形结合等数学思想方法；也可以总结利用提公因式法进行多项式的因式分解过程中的注意事项；还可以对其他因式分解方法的学习进行展望。学生只要言之有理，教师都应予以鼓励，不必要求其面面俱到。 【第六环节】因材施教，分层作业 1.活动内容 （1）必做题：教科书习题4.2第3，4，5（3）题。 （2）选做题：①试着写出一个可以进行因式分解的多项式，并用图形解释； ②自己设计一个拼图，并依据拼图的过程和结果写出一个多项式的因式分解结果。 2.活动目的 必做题能够进一步巩固提公因式法进行因式分解的方法，是学生需掌握的基础知识；选做题培养学生的几何直观和推理能力，供学有余力的学生尝试解决，为不同水平的学生提供发展的空间。 3.注意事项 学生可以根据自己的学习情况，自主选择是否挑战选做题。 学科网（北京）股份有限公司 $