4.2 提公因式法第1课时（教学课件）-2025--2026学年北师大版数学八年级下册

第1课时　公因式为单项式的因式分解 4.2 提公因式法 第四章　因式分解 初中数学北师大版（2024）八年级下册 1.理解公因式的概念，能确定多项式各项的公因式.(难点) 2.会用提公因式法将公因式为单项式的多项式分解因式.(重点) 学习目标 1.什么叫作因式分解？ 2.整式乘法与因式分解有何联系？ 3.简便计算，看谁算的快： 3.14×4.8＋3.14×5.2. 课堂引入 公因式 1 问题1　在多项式ma＋mb＋mc中，各项有相同的因式吗？多项式x3＋4x2＋3x呢？多项式mb2＋nb＋b呢？ 提示　多项式ma＋mb＋mc中各项相同的因式是m；多项式x3＋4x2＋3x中各项相同的因式是x；多项式mb2＋nb＋b中各项相同的因式是b. 公因式：我们把多项式各项都含有的 ，叫作这个多项式各项的 . 相同因式 公因式 知识梳理 问题2　8m－12的公因式有哪些？选哪一个将其提出来后，得到的另一个因式不再有公因式？试将其分解因式；x3－x2呢？a2b＋ab2c呢？ 提示　8m－12的公因式有两个：2，4； 选4，8m－12＝4(2m－3). x3－x2公因式有两个：x，x2； 选x2，x3－x2＝x2(x－1). a2b＋ab2c的公因式有三个：a，b，ab； 选ab，a2b＋ab2c＝ab(a＋bc). 确定多项式各项的公因式要从系数、字母及相同字母的指数三方面入手： (1)系数：各项系数(包括常数项)的最大公因数； (2)字母：各项相同的字母(或相同因式)； (3)字母指数：取各相同字母(或相同因式)的最小指数. 知识梳理 例1　多项式8a2b－12a3b2c的公因式是 A.8a2b B.12a3b2c C.4ab D.4a2b √ 解析　8a2b－12a3b2c中公因式的系数是8和－12的最大公因数为4；字母取各项都含有的相同字母a，b并且取相同字母a的最低指数2，取相同字母b的最低指数1， 所以8a2b－12a3b2c中的公因式是4a2b. 跟踪训练1　(1)2a2与4ab的公因式为　　　.  2a (2)找出下列各式的公因式. ①4x3＋12x2； ②3a－9ab； ③－2a4＋a2b3－a3c； ④2x2y3z5－6xy2z4＋4x3y4z3. 解　①4x2. ②3a. ③a2. ④2xy2z3. 用提公因式法进行因式分解 2 问题3　(1)请用简便方法计算：×5＋×8＋×11. 提示　×5＋×8＋×11＝×(5＋8＋11)＝×24＝18. (2)利用乘法分配律的逆运算ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，可以将含有公因式的多项式进行因式分解吗？例如将多项式4x3＋12x2＋8x分解因式. 提示　4x3＋12x2＋8x＝4x·x2＋4x·3x＋4x·2＝4x(x2＋3x＋2). 如果一个多项式的各项含有________，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个__________的形式.这种因式分解的方法叫作____ ________.如pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c). 公因式 因式乘积 提公 因式法 知识梳理 例2　(课本P110例1)把下列各式因式分解： (1)2mn＋4m2；(2)7p2－21p； (3)8a3b2－12ab3c＋ab；(4)－24x3＋12x2－28x. 解　(1)2mn＋4m2＝2m·n＋2m·2m＝2m(n＋2m). (2)7p2－21p＝7p·p－7p·3＝7p(p－3). (3)8a3b2－12ab3c＋ab＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1＝ab(8a2b－12b2c＋1). (4)－24x3＋12x2－28x＝－(24x3－12x2＋28x) ＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7) ＝－4x(6x2－3x＋7). 反思感悟 提公因式法的步骤(分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，并确定另一个公因式，即将多项式化为两个因式的乘积. 当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数.在提出“－”号时，多项式的各项都要变号. 跟踪训练2　将下列各式分解因式： (1)a2－5a； (2)ab＋ac； (3)4a3b2－6ab3c； (4)x2y－2x2y3－3x3y. 解　(1)原式＝a(a－5). (2)原式＝a(b＋c). (3)原式＝2ab2(2a2－3bc). (4)原式＝x2y(1－2y2－3x). 课堂小结 1.多项式9a3b2＋27ab3c的公因式是 A.abc B.9ab2 C.ab2 D.9ab2c 课堂练习 √ 解析　多项式9a3b2＋27ab3c中系数9，27的最大公因数是9，相同字母是a，b，a的最低指数是1，b的最低指数是2，故公因式是9ab2. 2.下列各组式子中，没有公因式的是 A.4a2bc与8abc2 B.a3b2＋1与a2b3－1 C.b(a－2b)2与a(2b－a)2 D.x＋1与x2－1 √ 课堂练习 3.把多项式－4a3＋4a2－16a分解因式为 A.－a(4a2－4a＋16) B.a(－4a2＋4a－16) C.－4(a3－a2＋4a) D.－4a(a2－a＋4) √ 课堂练习 4.多项式4x3－6x2＋2x的公因式是　　　.  2x 解析　∵多项式4x3－6x2＋2x，各项系数4，－6，2的最大公因数为2，各项都含有x，x的最低指数为1， ∴该多项式的公因式为2x. 课堂练习 5.因式分解： (1)4mx－6my＋2m； (2)－ab＋a2b2－a3b2. 解　(1)4mx－6my＋2m＝2m(2x－3y＋1). (2)－ab＋a2b2－a3b2＝－ab(1－ab＋a2b). 课堂练习 6　(1)下列等式从左到右的变形，是因式分解的是 A.2x(x－3)＝2x2－6x B.12m2n＝3m2×4n C.x2－ D.x2－y2＝(x＋y)(x－y) √ 解析　2x(x－3)＝2x2－6x，不是因式分解，故A不符合题意； 12m2n＝3m2×4n，不是因式分解，故B不符合题意； x2－，因为不是整式，故不是因式分解，故C不符合题意； x2－y2＝(x＋y)(x－y)，是因式分解，故D符合题意. 谢谢 $