上海市宝山区2024届高三下学期期中教学质量监测数学试题

2023学年第二学期期中 高三年级数学学科教学质量监测试卷 考生注意： 1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4．可使用符合规定的计算器答题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1. 抛物线的焦点坐标为______. 2. 已知，则_______. 3. 将化为有理数指数幂的形式为_______. 4. 已知向量，，若，则实数 . 5. 设实数满足，则 . 6. 有一组数从小到大排列为：，，，，，. 若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为_______. 7. 已知集合，且，则实数的值为 . 8. 在数列中，，则_______. 9. 某公司为了了解某商品的月销售量（单位：万件）与月销售单价（单位：元/件）之间的关系，随机统计了个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表： 月销售单价（元/件） 10 15 20 25 30 月销售量（万件） 11 10 8 6 5 由表中数据可得回归方程中，试预测当月销售单价为元/件时，月销售量为 万件. 10. 已知双曲线，以双曲线的右顶点为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为_______. 11. 某区域的地形大致如下左图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描. 假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地； 假设2：视探照灯为点，且距离地面米； 假设3：探照灯照射在地面上的光斑是椭圆. 当探照灯以某一俯角从侧扫描到侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环. 由此，通过调整的俯角，逐次扫描形成扇环、、. 第一次扫描时，光斑的长轴为，米，此时在探照灯处测得点的俯角为（如下右图）.记，经测量知米，且是公差约为米的等差数列，则至少需要经过 次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕. 12. 空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分. 13. 已知，则 （ ）. A． B． C． D． 14. 已知随机变量服从正态分布. 若，则（ ）. A． B． C． D． 15. 已知直线与平面，则下列命题中正确的是 （ ）. A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 16. 数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”. 现有如下两个命题： ①等比数列为“某数列”； ②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得. 则下列选项中正确的是 （ ）. A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在中，角的对边分别为， 已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状. 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径. （1）求证：； （2）若圆柱的体积为，求异面直线与所成角的大小. 19．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分） 在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投次，每投进一次得2分，否则得分. 已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该次投进的概率为. (1) 求甲投篮次得