专题01相交线与平行线 11大题型突破(期中复习专项训练)2025－2026学年人教版七年级数学下册

专题01相交线与平行线 基础/常考题型 提升/难点题型 题型01 相交线 题型07 根据平行线性质探究角的关系 题型02 垂线与点到直线的距离 题型08 根据平行线性质求角的度数 题型03 同位角.内错角.同旁内角 题型09 根据平行线判定与性质求角度 题型04 用直角.三角板画平行线 题型10 根据平行线判定与性质证明 题型05 平行公理 题型06 平行线的判定与性质 题型11命题与证明(常考) 知识点01:相交线（必背基础） 1.对顶角相等 2.邻补角互补（和为 180°） 3.垂线段最短，点到直线的距离是垂线段的长度 4.三线八角：同位角、内错角、同旁内角的识别 知识点02:平行线（核心考点） 1.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 2.平行推论：若a∥b，b∥c，则a∥c 3.判定（由角→线）： 同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补 ⇒ 两直线平行 4.性质（由线→角）： 两直线平行 ⇒ 同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补 知识点03:命题与证明（常考规范） 1.命题 = 题设（条件）+ 结论 2.假命题可举反例说明 3.证明需标注理论依据（定义 / 公理 / 定理） 题型01相交线(共6题) 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，直线相交于点，若，则________°． 【答案】 【分析】本题考查对顶角相等以及邻补角的性质。掌握“对顶角相等”“邻补角之和为”等知识点是解题的关键． 先利用对顶角相等的性质，由且求出（或）的度数，再利用邻补角的性质求出的度数． 【详解】，为对顶角， ， ． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·宁夏中卫·期中）如图，直线与相交于点O，平分．若，则的度数是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】利用角平分线的定义求出的度数，再利用平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线相交于点O，平分，且．若，则的度数为______． 【答案】或． 【分析】本题考查邻补角，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．由角平分线的性质可得，结合，可求得的度数，然后分两种情况求解即可． 【详解】∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 作，如图所示： ∴， ∵， ∴； 如图所示： ∵， ∴． 综上可知，的度数为或． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线，相交线和邻补角，根据两条直线相交有对邻补角，即可解决问题． 【详解】解：∵两条直线相交有对邻补角， ∴过点作9条直线，从条直线中选条的组合数为，则邻补角对数为； 9条不同的直线分别与直线、、相交，确定邻补角对数是， ∴总共对， 故选：D． 5．（25-26七年级上·全国·期中）如图，O为直线上一点，，平分，．    (1)求出的度数； (2)请判断是否平分？请说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查几何图形中的角度计算，角的和差关系，角平分线的定义等： （1）根据已知，，由邻补角性质可得，即可得出，再根据平分，由角平分线定义可得，结合，最后由计算即可得出答案； （2）由（1）可知，由，再根据，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：平分，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 6．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，邻补角有______对，互补的角有______对． (2)如图1，设，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置． ①设，则______． ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)3，4 (2) (3)①；②，理由见解析 【分析】本题考查几何图形中的角度计算，角平分线的定义，邻补角的定义等． （1）根据邻补角和互补的定义求解即可； （2）由互补可得，由角平分线的定义可得，再结合即可求解； （3）① 由，得，进而可得，最后根据互补的定义求解；②设，， 则，再用含m和n的式子表示出，即可求解． 【详解】（1）解：邻补角有：与，与，与，共3对； 互补的角有：与，与，与，与，共4对； 故答案为：3，4； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； ②， 理由：设，， 由①得， ， ∴， ∴， 即． 题型02垂线与点到直线的距离(共4题) 7．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）下列三个日常现象：其中可以用“垂线段最短”来解释的是________．（填序号） 【答案】① 【分析】本题考查了垂线段最短以及直线、线段的相关知识，熟练掌握垂线的性质是解题的关键． 根据垂线的性质：垂线段最短即可得到结论． 【详解】解：可以用“垂线段最短”来解释①， 可以“两点之间线段最短” 来解释②， 可以用“两点确定一条直线” 来解释③， 故答案为：①． 8．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，直线，相交于点O，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直定义，对顶角相等，解题关键是掌握垂直定义和对顶角相等． 先根据对顶角相等和已知条件求出，再根据垂直定义求出，从而求出答案即可． 【详解】解：∵直线，相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9．（24-25七年级下·黑龙江鸡西·期中）如图，直线，相交于点，于点若，则 ______． 【答案】/50度 【分析】先根据已知条件和垂直定义求出，再根据和已知条件，求出，最后根据对顶角相等求出即可． 本题主要考查了对顶角和邻补角，解题关键是熟练掌握对顶角的性质和垂直定义． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图所示，火车站、码头分别位于，两点，直线和分别表示河流与铁路． (1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由． (2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由． (3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由． 【答案】(1)沿走，两点之间线段最短，画图见解析 (2)沿走，垂线段最短，画图见解析 (3)沿走，垂线段最短，画图见解析 【分析】本题考查了两点之间线段最短，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，连接，则沿走，两点之间线段最短； （2）理解题意，过点作直线，沿走，垂线段最短． （3）理解题意，过点A作直线，沿走，垂线段最短． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 依题意，沿走，两点之间线段最短． （2）解：过点作直线，如图所示， 依题意，沿走，垂线段最短． （3）解：过点A作直线，如图所示， 依题意，沿走，垂线段最短． 11．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线、交于点，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角相等，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． （1）先利用对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答； （2）分在直线的上方和在直线的下方两种情况，然后分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． （2）①如图，当在直线的上方时， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图，当在直线的下方时， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． 题型03同位角.内错角.同旁内角(共4题) 12．（23-24七年级下·河南周口·期中）如图，图案“4”中有a对同位角，b对内错角，c对同旁内角，则________． 【答案】1 【详解】解：同位角有：与，共1对，则； 内错角有：与，共1对，则； 同旁内角有：与，共1对，则； ∴． 13．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在所标识的角中，下列说法不正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是邻补角 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角，同位角，内错角，邻补角的定义，熟练掌握对顶角，同位角，内错角，邻补角的定义是解题的关键．根据对顶角，同位角，内错角，邻补角的定义进行判断即可． 【详解】解：与是对顶角，故A正确； 与是内错角，故B正确； 与是同旁内角，故C不正确； 与是邻补角，故D正确； 故选C． 14．（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图，与是内错角的是__________． 【答案】 【分析】内错角在截线的两侧，在被截线的内侧． 【详解】如图所示，与∠C是内错角的是∠2，∠3； 故答案是：∠2，∠3． 【点睛】本题考查了内错角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手． 15．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图，淇淇把筷子的一端放入水杯中，筷子的另一端露出水面，可以看见筷子在水中会偏折，原本下端应在位置的筷子出现在了的位置，这就是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变，我们所看见的筷子的位置也就发生了改变． (1)的同位角有　　　； (2)淇淇使用工具测得，，求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查三线八角，几何图形中角度的计算，熟练掌握同位角的定义，是解题的关键： （1）根据同位角的定义找型即可； （2）平角的定义求出的度数，再利用角的和差关系求出的度数即可． 【详解】（1）解：由图可知：的同位角有，，； 故答案为：，，； （2）∵， ∴， ∵， ∴． 题型04用直角.三角板画平行线(共3题) 16．（24-25八年级上·广西南宁·期中）下列关于画图的语句正确的是（    ）． A．画直线 B．画射线 C．已知A、B、C三点，过这三点画一条直线 D．过直线AB外一点画一直线与AB平行 【答案】D 【分析】直接利用直线、射线的定义分析得出答案． 【详解】解：A、画直线AB＝8cm，直线没有长度，故此选项错误； B、画射线OA＝8cm，射线没有长度，故此选项错误； C、已知A、B、C三点，过这三点画一条直线或2条、三条直线，故此选项错误； D、过直线AB外一点画一直线与AB平行，正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了直线、射线的定义及画平行线，正确把握相关定义是解题关键． 17．（2025·四川达州·一模）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤： ①沿三角尺的边作出直线CD； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB； ④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是：_____． 【答案】③②④① 【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是③②④①， 故答案我③②④①． 【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要是考查的尺规作图及平行公理的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）按照作平行线的方法画图即可； （2）按照作平行线的方法画图即可； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行，即可解题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：，， ， 故答案为：． 题型05平行公理(共4题) 19．（23-24七年级下·河南·月考）如图，若，，则与的位置关系是______．（填“平行”或“相交”）． 【答案】平行 【分析】本题主要考查了平行公理，根据平行于同一直线的两直线平行即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：平行． 20．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是：（    ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判定即可． 【详解】解∶ ，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故选∶D． 21．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是___________．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查平行线和相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 22．（24-25七年级下·四川自贡·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点C作轴于B． (1)请写出A、B点的坐标；，. (2)如图2，过点B作交y轴于D，且，分别平分与，求的度数； (3)如图1，在y轴上是否存在点P，使得和的面积相等？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；0；2；0 (2) (3)P点的坐标为或 【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，从而可得到点A和点B的坐标； （2）如图2所示：过E作．首先依据平行线的性质可知，，接下来，依据平行公理的推理可得到，然后，依据平行线的性质、角平分线的性质可得到，，最后，依据求解即可； （3）①当P在y轴正半轴上时，设点，过点P作轴交的延长线于M，过A作轴交的延长线于N，然后，用含t的式子表示出，的长，然后依据列方程求解即可；②当P在y轴负半轴上时，过P作轴交的延长线于M，过A作交于N，设点，然后用含a的式子表示出、的长，最后，依据列方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）， ，， ，， ，． 故答案为：；0；2；0． （2）如图，过E作． 轴， 轴，， ． 又， ， ． ， ， ，． ，分别平分，， ，， ． （3）①当P在y轴正半轴上时，如图， 设点，过点P作轴交的延长线于M，过A作轴交的延长线于N，则，，，． ， ， ， 解得， 即点P的坐标为． ②当P在y轴负半轴上时，如图，过P作轴交的延长线于M，过A作交于N． 设点，则，，． ， ， 解得， 点P的坐标为． 综上所述，P点的坐标为或． 【点睛】本题是三角形的综合应用，坐标与图形，解答本题主要应用了非负数的性质、三角形的面积公式，平行线的性质，依据三角形的面积公式、梯形的面积公式依据图形中相关图形之间的面积关系列出关于a和t的方程是解题的关键． 题型06平行线的判定与性质(共6题) 23．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，现给出下列条件：①；②；③；④；能判定的条件有___________（填序号）；能判定的条件有___________（填序号）． 【答案】 ①③④ ② 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键． 【详解】①， ． ②， ． ③， ． ④， ． 综上，能判定的条件有①③④；能判定的条件有②． 故答案为：①③④；②． 24．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，点在直线上，且，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质，得出的度数，再根据平角的定义求出的度数． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 25．（24-25七年级下·天津宝坻·月考）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，有下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的有______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．根据三角板各角角度、三角形内角和定理求出角的度数，再根据角之间的关系逐一判断即可． 【详解】解：， ， ， 故正确； ，， ， 又， ， ， 故正确； 如下图所示， ，， ， 又， 是等边三角形， ， ， 与不平行， 故不成立； 如下图所示，， ， 又， ， ， 故正确； 故答案为： ． 26．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作，由平行线的传递性可得，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，即可求得角，，的关系； 本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行的性质、过拐点作辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 27．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，已知，，，试说明：．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式： 解：（已知）， （ ）． （ ） （已知）， （ ）． （ ）． ∴（ ） 即：， ∵（已知） ∴（ ） 即：， ∴（ ） 【答案】；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理，完善证明过程即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 即， ∵（已知）， ∴（等量代换）， 即， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 28．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）已知直线，直线分别与直线，相交于点，，点，分别在直线，上，且在直线的左侧，点是直线上一动点（不与点，重合），设，，． (1)当点在线段上运动时，试探索，，之间的关系，并给出证明； (2)当点在线段外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断（1）中的结论是否还成立？若不成立，请你探索，，之间的关系（不需要证明）． 【答案】(1)，证明见解析 (2)不成立．①当点在线段的延长线上，，理由见解析；②当点在线段的延长线上，，理由见解析 【分析】（1）过点作，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）不成立，分两种情况：①当点在线段的延长线上，②当点在线段的延长线上，分别画出图形，然后根据平行公理推论的应用及“两直线平行，内错角相等”即可得出结论． 【详解】（1）解：． 证明：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）解：不成立． 有两种情况： ①当点在线段的延长线上，此时， 理由：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； ②当点在线段的延长线上，此时， 理由：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 题型07根据平行线性质探究角的关系(共4题) .29．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补，解题关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 依据平行线的性质得出，，进而得到，，据此可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 30．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，与相交于点，与相交于点，则下列说法正确的是（   ） ①若，则； ②若，则； ③； ④． A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐一判断即可． 【详解】解：①若，则， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②如图，延长交于点G， ∵， ∴， 若， 则， ∴，故②正确； ③分别过点作，则， ∴， ∴ ， ∵ ∴，故③正确； ④由③知， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 则当且仅当时，，故④错误． 故选：B． 31．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，则，，的大小关系是________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，作平行线是解题的关键； 分别过点C、D作，则，则，；由，由此即可求得三个角间的关系． 【详解】解：如图，分别过点C、D作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 即， 故答案为：． 32．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图1，线段，若点E是平面内一点且点E不在所在的直线上，连接，作的角平分线与的角平分线交于点G． (1)如图2，若点E在所在直线的上方， ①若，则 ； ②若，则 ； ③探究与的数量关系，并说明理由． (2)若点E在平面内其它位置时，与之间的数量关系是否与（1）相同？画图探究，并根据图形直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；②；③；理由见解析 (2)不同，见解析 【分析】（1）作，根据平行线的性质，结合角平分线的定义以及角的和差关系推出，再逐一进行作答即可； （2）分三种情况分别画图，作答即可． 【详解】（1）解：作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵作的角平分线与的角平分线交于点G， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，； ③， 理由：由上可知：， ∴； （2）解：不同，当点在之间时，分2种情况： ①如图：作，则， ∴， ∴， 同理：， ∵作的角平分线与的角平分线交于点G， ∴， ∴； ②如图：作，则， 则：， ∴， 由①知：， ∴， ∴； 当点在下方时，如图： 同（1）法可知：． 题型08根据平行线的性质求角的度数(共4题) 33．（24-25七年级下·吉林松原·期中）用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质、平行线的性质；关键是利用数形结合的思想解题；根据对顶角的性质和平行线的性质，可以求得的度数，从而可以得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 34．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知直线，将一块含角的直角三角板，按如图方式放置，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若，则的度数为______ 【答案】/48度 【分析】根据直角三角板得到，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵是直角三角板， ， ， ． 35．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，有A，B，C三个地点，且，从地测地的方位角是北偏西，那么从地测得地的方位角是（   ） A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．北偏东 【答案】D 【分析】本题考查与方向角有关的计算，平行线的性质，根据题意，结合角的和差关系求出的度数，平行线的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意，， ∵， ∴， ∴从地测得地的方位角为北偏东； 故选D． 36．（2024七年级下·浙江·专题练习）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，， (1)若三角板如图1摆放时，则______，______ (2)现固定位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点H，求的度数； (3)将（2）中的固定，在绕点A以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当的边与的一条边平行时，所需的时长为t秒,请求出符合条件t的值． 【答案】(1)15，150； (2)； (3)t的值为2或6或． 【分析】（1）如图1中，过点E作，证明，可得结论； （2）如图2中，同法可证利用角平分线的定义求出，，可得结论； （3）分五种情形：如图，当时．如图，当时．如图，当时．如图，当时．如图中，当时，分别求出的度数． 【详解】（1）解：如图1中，过点E作， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：15，150； （2）解：如图2中，过H点作， , ∴, 根据平行线的性质可得:, ∴, 即 ， ， ， ， ， ，分别平分，， ，， ； （3）解：如图，当时， 此时， ，，（秒）， ； 如图，当时， 此时， ，（秒）， ； 如图，当时， 此时，，， （秒）， 满足条件的t的值为2或6或 题型09 根据平行线判定与性质求角度(共4题) 37．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知直线，，，则______． 【答案】/80度 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，过作，由平行的判性质得，，即可求解． 【详解】解：过作， ， ， ， ， ， 故答案为：． 38．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，六边形中，，，若，，则的度数是________． 【答案】120 【分析】如图，过点B作，过点C作，由平行得到，然后求出，推出，得到，同理得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点B作，过点C作， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 39．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，已知直线，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作，过点D作，可得，得出，，，利用，求出，再求出，即可求解． 【详解】如图，过点B作，过点D作， ∵直线， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 40．（24-25七年级下·广东湛江·期末）如图，在中，点、在边上，点在边上，点在上，与的延长线交于点，，． (1)判定和的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查平行线的判定与性质． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质得，等量代换得到，即可得和的位置关系； （2）由平行线的性质得到，，根据角的和差得出，再根据，即可得的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型10 根据平行线判定与性质证明(共4题) 41．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，已知．不添加辅助线，请再添加一个条件，使成立．四位同学分别给出了答案，①；②；③；④．你认为正确的有________（请填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 由平行线的性质得，结合等式的性质可判断①；由得，从而可判断②；添加无法证明，可判断③；由可知，从而可判断④． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ②∵， ∴，故正确； ③添加无法证明，故错误； ④∵， ∴，故正确； 故答案为：①②④． 42．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，，点在上，连接，已知，下列结论：①与互为同位角；②；③平分；④．其中所有正确结论的序号为___________． 【答案】②③ 【分析】本题考查同旁内角，对顶角相等，角平分的定义，平行线的判定和性质，根据同旁内角的定义判断①，根据内错角相等两直线平行判断②，进而根据平行线的性质以及已知条件判断③，根据已知条件结合角平分线的定义得出，即可判断④，即可求解． 【详解】解：与位于之间，的右侧，与互为同旁内角，故①错误； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，故④错误， 故答案为：②③． 43．（24-25七年级下·全国·期中）如图，点D在上，点F，G分别在的延长线上，平分交于点O，且，．在不添加辅助线的条件下，图中与 (不含)相等的角有（   ）    A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，先证明，得到，，角平分线得到，进而得到，证明，推出，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在不添加辅助线的条件下，图中与相等的角有5个， 故选 B． 44．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）如图，，，平分． (1)求证：． (2)与的位置关系如何． (3)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）证明，即可得到； （2）证明，即可得到； （3）利用平行线性质结合角平分线证明即可． 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ； （3）证明：， ， ， ，， 又平分，即， ， 平分． 题型11 命题与证明(共6题) 45．（24-25八年级上·海南海口·期中）把命题“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式：___________________． 【答案】如果两个角相等，那么它们的余角相等 【分析】本题考查了改写命题． 将命题改写成“如果…那么…”的形式，需明确题设和结论，“如果”后接题设，“那么”后接结论． 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，题设是“两个角相等”，结论是“它们的余角相等”， 因此改写成“如果两个角相等，那么它们的余角相等”． 故答案为：如果两个角相等，那么它们的余角相等． 46．（25-26九年级上·北京海淀·月考）某校为校庆做筹备工作，共有十项工序，筹备过程需满足以下要求： （1）只能在两项工序均完成后才能开始； （2）只能在两项工序均完成后才能开始； （3）只能在两项工序均完成后才能开始； （4）其余每项工序相互独立，无先后依赖关系； （5）一项工序只能由一名员工负责，该工序完成后员工才能接手其他工序．各项工序所需时间如表所示： 工序 所需时间（天） 20 18 19 15 14 11 6 5 4 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名员工合作完成筹备工作，则至少需要___________天才能全部完成；若要在最短时间内合作完成筹备工作，则最少需要_______________名员工共同参与． 【答案】 25 5 【分析】本题可通过分析各工序的先后依赖关系，理安排工序，分别计算出单独完成和合作完成时的最短时间与最少员工数． 工序A(20天)、B(18天)可并行这部分最长时间由 A 决定，为20天，之后H(5天)才能开始．工序C(19天)、D(15天)可并行最长时间由C决定，为19天，之后J(3天)才能开始． 工序E(14天)、G(6天)可并行最长时间由E决定，为14天，之后I(4天)才能开始． 工序 F(11天)可单独进行．然后，计算各部分的时间即可得出答案． 把各工序的时间相加然后除以最短的天数即可得出答案。 【详解】解：A、B并行后H所需时间∶(天)． C、D 并行后J所需时间∶(天)． E、G并行后I时间∶(天) F单独所需时间∶11天． 取各部分时间的最大值，即25天，所以单独完成最少需要25天． （人） 因为员工为整数， 所以人数取5， 所以，最少需5名员工共同参与． 故答案为：25；5 47．（24-25七年级下·北京·期中）下列说法中错误的个数是（　　） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （2）在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）三角形的三条中线交点必在三角形的内部； （4）“相等的角是对顶角”是一个真命题； （5）有一条公共边并且和为的两个角互为邻补角； （6）点到直线的垂线的长度叫做这点到直线的距离． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题，根据平行公理，垂直定义，三角形中线，对等角，邻补角定义，点到直线的距离逐一排除即可，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：（）平行公理指出，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； （）同一平面内，过一点（无论是否在直线上）有且仅有一条直线与已知直线垂直，原说法正确； （）三角形的三条中线交点必在三角形的内部，原说法正确； （）“相等的角是对顶角”是一个假命题，原说法错误； （）邻补角需满足“一边公共，另一边互为反向延长线”，原说法错误； （）点到直线的距离是垂线段的长度，原说法错误； 综上，错误的命题为（）、（）、（）、（），共个， 故选：． 48．（24-25七年级下·四川自贡·期末）如图，已知、、分别是线段、、上的点，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”互换，所得命题是真命题吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； （2）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：所得命题是真命题，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 49．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题． (1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号） (2)请证明你选择的命题． 【答案】(1)①②，③或②③，①或①③，② (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案； （2）根据平行直线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，再结合平行直线的判断方法，即可证得． 【详解】（1）解：①选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ②选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ③选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； （2）解：①如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③如果，，那么； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 50．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【详解】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01相交线与平行线 基础/常考题型 提升/难点题型 题型01 相交线 题型07 根据平行线性质探究角的关系 题型02 垂线与点到直线的距离 题型08 根据平行线性质求角的度数 题型03 同位角.内错角.同旁内角 题型09 根据平行线判定与性质求角度 题型04 用直角.三角板画平行线 题型10 根据平行线判定与性质证明 题型05 平行公理 题型06 平行线的判定与性质 题型11命题与证明(常考) 知识点01:相交线（必背基础） 1.对顶角相等 2.邻补角互补（和为 180°） 3.垂线段最短，点到直线的距离是垂线段的长度 4.三线八角：同位角、内错角、同旁内角的识别 知识点02:平行线（核心考点） 1.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 2.平行推论：若a∥b，b∥c，则a∥c 3.判定（由角→线）： 同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补 ⇒ 两直线平行 4.性质（由线→角）： 两直线平行 ⇒ 同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补 知识点03:命题与证明（常考规范） 1.命题 = 题设（条件）+ 结论 2.假命题可举反例说明 3.证明需标注理论依据（定义 / 公理 / 定理） 题型01相交线(共6题) 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，直线相交于点，若，则________°． 2．（24-25七年级下·宁夏中卫·期中）如图，直线与相交于点O，平分．若，则的度数是（   ） A． B． C． D．不能确定 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线相交于点O，平分，且．若，则的度数为______． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 5．（25-26七年级上·全国·期中）如图，O为直线上一点，，平分，．    (1)求出的度数； (2)请判断是否平分？请说明理由． 6．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，邻补角有______对，互补的角有______对． (2)如图1，设，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置． ①设，则______． ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 题型02垂线与点到直线的距离(共4题) 7．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）下列三个日常现象：其中可以用“垂线段最短”来解释的是________．（填序号） 8．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，直线，相交于点O，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·黑龙江鸡西·期中）如图，直线，相交于点，于点若，则 ______． 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图所示，火车站、码头分别位于，两点，直线和分别表示河流与铁路． (1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由． (2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由． (3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由． 11．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线、交于点，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 题型03同位角.内错角.同旁内角(共4题) 12．（23-24七年级下·河南周口·期中）如图，图案“4”中有a对同位角，b对内错角，c对同旁内角，则________． 13．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在所标识的角中，下列说法不正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是邻补角 14．（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图，与是内错角的是__________． 15．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图，淇淇把筷子的一端放入水杯中，筷子的另一端露出水面，可以看见筷子在水中会偏折，原本下端应在位置的筷子出现在了的位置，这就是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变，我们所看见的筷子的位置也就发生了改变． (1)的同位角有　　　； (2)淇淇使用工具测得，，求的度数． 题型04用直角.三角板画平行线(共3题) 16．（24-25八年级上·广西南宁·期中）下列关于画图的语句正确的是（    ）． A．画直线 B．画射线 C．已知A、B、C三点，过这三点画一条直线 D．过直线AB外一点画一直线与AB平行 17．（2025·四川达州·一模）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤： ①沿三角尺的边作出直线CD； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB； ④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是：_____． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 题型05平行公理(共4题) 19．（23-24七年级下·河南·月考）如图，若，，则与的位置关系是______．（填“平行”或“相交”）． 20．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是：（    ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 21．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是___________．（填序号） 22．（24-25七年级下·四川自贡·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点C作轴于B． (1)请写出A、B点的坐标；，. (2)如图2，过点B作交y轴于D，且，分别平分与，求的度数； (3)如图1，在y轴上是否存在点P，使得和的面积相等？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 题型06平行线的判定与性质(共6题) 23．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，现给出下列条件：①；②；③；④；能判定的条件有___________（填序号）；能判定的条件有___________（填序号）． 24．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，点在直线上，且，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级下·天津宝坻·月考）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，有下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的有______． 26．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，已知，，，试说明：．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式： 解：（已知）， （ ）． （ ） （已知）， （ ）． （ ）． ∴（ ） 即：， ∵（已知） ∴（ ） 即：， ∴（ ） 28．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）已知直线，直线分别与直线，相交于点，，点，分别在直线，上，且在直线的左侧，点是直线上一动点（不与点，重合），设，，． (1)当点在线段上运动时，试探索，，之间的关系，并给出证明； (2)当点在线段外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断（1）中的结论是否还成立？若不成立，请你探索，，之间的关系（不需要证明）． 题型07根据平行线性质探究角的关系(共4题) .29．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是______． 30．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，与相交于点，与相交于点，则下列说法正确的是（   ） ①若，则； ②若，则； ③； ④． A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ ∵， ∴， 若， 31．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，则，，的大小关系是________． 32．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图1，线段，若点E是平面内一点且点E不在所在的直线上，连接，作的角平分线与的角平分线交于点G． (1)如图2，若点E在所在直线的上方， ①若，则 ； ②若，则 ； ③探究与的数量关系，并说明理由． (2)若点E在平面内其它位置时，与之间的数量关系是否与（1）相同？画图探究，并根据图形直接写出与之间的数量关系． 题型08根据平行线的性质求角的度数(共4题) 33．（24-25七年级下·吉林松原·期中）用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则______度． 34．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知直线，将一块含角的直角三角板，按如图方式放置，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若，则的度数为______ 35．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，有A，B，C三个地点，且，从地测地的方位角是北偏西，那么从地测得地的方位角是（   ） A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．北偏东 36．（2024七年级下·浙江·专题练习）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，， (1)若三角板如图1摆放时，则______，______ (2)现固定位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点H，求的度数； (3)将（2）中的固定，在绕点A以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当的边与的一条边平行时，所需的时长为t秒,请求出符合条件t的值． 题型09 根据平行线判定与性质求角度(共4题) 37．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知直线，，，则______． 38．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，六边形中，，，若，，则的度数是________． 39．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，已知直线，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 40．（24-25七年级下·广东湛江·期末）如图，在中，点、在边上，点在边上，点在上，与的延长线交于点，，． (1)判定和的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 题型10 根据平行线判定与性质证明(共4题) 41．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，已知．不添加辅助线，请再添加一个条件，使成立．四位同学分别给出了答案，①；②；③；④．你认为正确的有________（请填序号）． 42．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，，点在上，连接，已知，下列结论：①与互为同位角；②；③平分；④．其中所有正确结论的序号为___________． 43．（24-25七年级下·全国·期中）如图，点D在上，点F，G分别在的延长线上，平分交于点O，且，．在不添加辅助线的条件下，图中与 (不含)相等的角有（   ）    A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 44．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）如图，，，平分． (1)求证：． (2)与的位置关系如何． (3)求证：平分． 题型11 命题与证明(共6题) 45．（24-25八年级上·海南海口·期中）把命题“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式：___________________． 46．（25-26九年级上·北京海淀·月考）某校为校庆做筹备工作，共有十项工序，筹备过程需满足以下要求： （1）只能在两项工序均完成后才能开始； （2）只能在两项工序均完成后才能开始； （3）只能在两项工序均完成后才能开始； （4）其余每项工序相互独立，无先后依赖关系； （5）一项工序只能由一名员工负责，该工序完成后员工才能接手其他工序．各项工序所需时间如表所示： 工序 所需时间（天） 20 18 19 15 14 11 6 5 4 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名员工合作完成筹备工作，则至少需要___________天才能全部完成；若要在最短时间内合作完成筹备工作，则最少需要_______________名员工共同参与． 47．（24-25七年级下·北京·期中）下列说法中错误的个数是（　　） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （2）在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）三角形的三条中线交点必在三角形的内部； （4）“相等的角是对顶角”是一个真命题； （5）有一条公共边并且和为的两个角互为邻补角； （6）点到直线的垂线的长度叫做这点到直线的距离． A．个 B．个 C．个 D．个 48．（24-25七年级下·四川自贡·期末）如图，已知、、分别是线段、、上的点，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”互换，所得命题是真命题吗？请说明理由． 49．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题． (1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号） (2)请证明你选择的命题． 50．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $