9.2轴对称 巩固练习 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

2025-2026学年苏科版数学七年级下册 9.2轴对称 （巩固练习） 【典型例题】 【例1】我国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】下列四幅七巧板拼成的“人形”图形中，是轴对称图形的是（   ） A．握手B．您好C．拜托 D．谢谢 【例3】下列图形中：线段；角；长方形；梯形；平行四边形；圆；等边三角形．其中，一定是轴对称图形有　　个． 【例4】如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有　　种． 【例5】指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们作出来． 【例6】如图，在中，． (1)利用直尺和圆规作直线l，使点B、C关于直线l对称；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设直线l交于点D，连接，则的周长是 ． 【举一反三】 【变式1】如图，△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，∠B＝35°，∠C'＝50°，则∠A＝（　　） A．90° B．85° C．95° D．105° 【变式2】桌面上有A，B两个球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示4个点中，可以瞄准的点是（　　） A．D B．E C．F D．G 【变式3】有下列几何图形：等边三角形；线段；角；正方形；任意三角形；长方形；梯形；圆．其中，一定是轴对称图形的有 ．（只填序号） 【变式4】如图，与关于直线l对称，若，，则 ， ． 【变式5】马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米．当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【变式6】如图，在中，，，，点D，E分别在，上，且和关于对称． (1)求的长； (2)求的周长． 【巩固练习】 1.下列各图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2.从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　） A．10：21 B．10：51 C．12：01 D．15：01 3.如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 4.如图，把长方形沿折叠后，点落在点处，交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5.如图，直线l是四边形的对称轴．若，有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.已知点与点，点与点都关于直线成轴对称，并且点、所在的直线与点、所在的直线相交于点，连接，判断下列结论：①；②点在直线上；③直线；④，其中正确的结论有 （只填写序号）． 7.在等腰直角三角形、等边三角形、半圆、正方形这四种常见的轴对称图形中，对称轴最多的是 ． 8.如图，和关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，点、、、在同一条直线上，若，则的长度为 ． 9.如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若△PMN的周长为5cm，则P1P2＝　　cm． 10.一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点A滚向桌边PQ，碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚入点Q，一共反弹两次．已知AB，BC，CQ都是直线，PQ∥RS，且∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCQ的平分线CM垂直于RS，若∠CQR＝33°，则∠ABP的度数为　　． 11.如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以、、为顶点的格点三角形，使它与关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复）       12.如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 13.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，的顶点都在小正方形的顶点上， (1)在图中画出，使与关于所在直线对称，点与点是对称点； (2)求四边形的面积． 14.如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°． （1）求出BF的长度； （2）求∠CAD的度数； （3）连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？ 15.古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答：    （1）证明：如图3，在直线l上另取任一点，连结，，，    ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， ∴ ． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型． （2）问题解决 如图，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程，即的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）    答案解析 【典型例题】 【例1】我国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【例2】下列四幅七巧板拼成的“人形”图形中，是轴对称图形的是（   ） A．握手B．您好C．拜托 D．谢谢 【答案】D 【例3】下列图形中：线段；角；长方形；梯形；平行四边形；圆；等边三角形．其中，一定是轴对称图形有　　个． 【答案】5 【例4】如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有　　种． 【答案】8 【例5】指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们作出来． 【答案】4个图形对称轴的条数分别为1条、2条、2条、4条．如答图所示． 【例6】如图，在中，． (1)利用直尺和圆规作直线l，使点B、C关于直线l对称；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设直线l交于点D，连接，则的周长是 ． 【答案】（1）解：如图所示，直线即为直线l； （2）解：∵点B、C关于直线l对称， ∴， ∴的周长 【举一反三】 【变式1】如图，△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，∠B＝35°，∠C'＝50°，则∠A＝（　　） A．90° B．85° C．95° D．105° 【答案】C 【变式2】桌面上有A，B两个球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示4个点中，可以瞄准的点是（　　） A．D B．E C．F D．G 【答案】A 【变式3】有下列几何图形：等边三角形；线段；角；正方形；任意三角形；长方形；梯形；圆．其中，一定是轴对称图形的有 ．（只填序号） 【答案】 【变式4】如图，与关于直线l对称，若，，则 ， ． 【答案】 2厘米 95度 【变式5】马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米．当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【答案】如图，作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地点C，交河边于点D，连接，， ∴，， ∴， 根据“两点之间，线段最短”知，此时是最短为， ∴所走路线即为． 【变式6】如图，在中，，，，点D，E分别在，上，且和关于对称． (1)求的长； (2)求的周长． 【答案】（1）解：∵和关于对称， ∴， ∴. （2）∵和关于对称， ∴， ∴的周长. 【巩固练习】 1.下列各图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 2.从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　） A．10：21 B．10：51 C．12：01 D．15：01 【答案】A 3.如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 4.如图，把长方形沿折叠后，点落在点处，交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 5.如图，直线l是四边形的对称轴．若，有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 6.已知点与点，点与点都关于直线成轴对称，并且点、所在的直线与点、所在的直线相交于点，连接，判断下列结论：①；②点在直线上；③直线；④，其中正确的结论有 （只填写序号）． 【答案】①②③④ 7.在等腰直角三角形、等边三角形、半圆、正方形这四种常见的轴对称图形中，对称轴最多的是 ． 【答案】正方形 8.如图，和关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，点、、、在同一条直线上，若，则的长度为 ． 【答案】 9.如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若△PMN的周长为5cm，则P1P2＝　　cm． 【答案】5 10.一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点A滚向桌边PQ，碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚入点Q，一共反弹两次．已知AB，BC，CQ都是直线，PQ∥RS，且∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCQ的平分线CM垂直于RS，若∠CQR＝33°，则∠ABP的度数为　　． 【答案】57° 11.如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以、、为顶点的格点三角形，使它与关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复）    【答案】如图，即为所求作：    12.如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 【答案】点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E， ， ， ∵的周长为18，的周长为32， ∴， ， 13.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，的顶点都在小正方形的顶点上， (1)在图中画出，使与关于所在直线对称，点与点是对称点； (2)求四边形的面积． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：． 14.如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°． （1）求出BF的长度； （2）求∠CAD的度数； （3）连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？ 【答案】（1）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4cm，FC＝1cm， ∴BC＝ED＝4cm， ∴BF＝BC﹣FC＝3cm． （2）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°， ∴∠EAD＝∠BAC＝76°， ∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝76°﹣58°＝18°． （3）解：直线MN垂直平分线段EC．理由如下：如图， ∵E，C关于直线MN对称， ∴直线MN垂直平分线段EC． 15.古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答：    （1）证明：如图3，在直线l上另取任一点，连结，，，    ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， ∴ ． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型． （2）问题解决 如图，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程，即的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）    【答案】（1）解：由题意可知， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）解：分别过P作和的对称点，分别为和，然后连接分别交和于一点，即为点E和点F，如图所示：    ∵是点P，的对称轴，是点P，的对称轴， 所以，， 那么的周长为， 所以三点共线， 即两点之间，线段最短，那么的周长最小． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $