22.2 函数的表示 课时2 利用函数图象解决实际问题 课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

22.2 函数的表示 课时2 利用函数图象解决实际问题 第二十二章 函数 人教版 数学 八年级 下册 22051 01 通过观察函数图象，能从函数图象中获取相关信息. 02 掌握分析实际问题中函数图象的方法，能结合图象解决对应情境下的具体问题，会由函数图象构建问题情境. 学习目标 22051 函数图象的定义是什么？ 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 本节课，我们重点学习利用函数图象解决一些实际问题. 复习导入 22051 问题1 有根弹簧原长10 cm，每挂1kg重物，弹簧伸长0.5 cm，设所挂的重物为m kg，受力后弹簧的长度为l cm，根据上述信息完成下表： 受力后弹簧的长度l是所挂重物m的函数吗？ m/kg 0 1 2 3 3.5 … l/cm ... 答：是, l=0.5m+10. 11.75 11.5 11 10.5 10 这里是怎样表示弹簧的长度l与所挂重物x之间的函数关系的？ 列表格来表示的 函数的三种表示方法 探究新知 22051 问题2 如图是某地某一天的气温变化图. （1）指出其中的两个变量是 ， . （2）其中 是 的函数，自变量是 . 气温T 时间t 气温T 时间t 时间t 这里是怎样表示气温T与时间t之间的函数关系的？ 用平面直角坐标系中的一个图象来表示的． 探究新知 22051 【思考】下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温 T 如何随时间 t 的变化而变化. 气温 T 与时间 t 是函数关系吗？ 由图可以看出，气温T随时间t的变化而变化，对于时间t的每一个确定的值，气温T都有唯一确定的值与其对应.因此，气温T是时间t的函数，右图是这个函数的图象. 探究新知 22051 (1)从这个函数图象可知：这一天中___时气温最低，最低气温为______，___时气温最高，最高气温为_________； (2)从___时至___时气温呈下降状态，从4时至14时气温呈上升状态，从___时至___时气温又呈下降状态. 4 ﹣3℃ 14 8℃ 0 14 14 24 你从图象中得到了哪些信息？ 探究新知 22051 分析：李明离家的距离y是时间x的函数，由图象中有两段平行于x轴的线段可知，李明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里. 解：(1)由纵坐标看出，食堂离李明家0.6 km；由横坐标看出，李明从家到食堂用了8 min. (1)食堂离李明家多远？李明从家到食堂用了多长时间？ 图2 探究新知 22051 图2 (2)李明吃早餐用了多长时间？ (2)由横坐标看出，25－8=17，李明吃早餐用了17mim. (3)由纵坐标看出，0.8－0.6=0.2，食堂离图书馆0.2km； 由横坐标看出，28－25=3，李明从食堂到图书馆用了3 min. (3)食堂离图书馆多远？李明从食堂到图书馆用了多长时间？ 探究新知 22051 ①看清横、纵坐标各表示哪个量，这一变化过程属于哪种变化；②从左向右，分析每段图象上，自变量和函数如何变化；③平行于横轴的线段，自变量在变，函数值不变． ①是图象的最大值或最小值；②是随着自变量逐渐增加时函数值是增加了还是减少了，还是不变(变化趋势)；③是观察图象是否是几种变化情况的组合，以便分情况讨论变化规律． 从函数图象中获取信息时要做到： 从函数图象获取信息时应注意三点： 探究新知 22051 活动1：下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家. 其中x表示时间，y表示小明离他家的距离. 根据图象回答下列问题： (1)菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？ (2)小明给菜地浇水用了多少时间？ (3)菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用 了多少时间？ (4)小明给玉米地锄草用了多长时间？ (5)玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家 的平均速度是多少？ 任务二：能结合图象解决对应情境下的具体问题． 探究新知 22051 下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x 表示时间，y表示小明离他家的距离． (1)由纵坐标看出，菜地离小明家1.1千米； 由横坐标看出，小明走到菜地用了15分钟． (2)由平行线段的横坐标可看出，小明给菜地 浇水用了10分钟． (3)由纵坐标看出，菜地离玉米地0.9千米． 由横坐标看出，小明从菜地到玉米地用了12分钟． 给菜地浇水 去玉米地 从家里去菜地 探究新知 22051 (4)由平行线段的横坐标可看出，小明给玉米地锄草用了18分钟． (5)由纵坐标看出，玉米地离小明家2千米． 由横坐标看出，小明从玉米地走回家用了25分钟．所以平均速度为：2÷25=0.08(千米/分钟)． 回家 给玉米地锄草 (4)小明给玉米地锄草用了多长时间？ (5)玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？ 探究新知 22051 解答图象信息题主要运用数形结合思想，化图象信息为数字信息. 主要步骤如下： (1)了解横、纵轴的意义； (2)从图象形状上判定函数与自变量的关系； (3)抓住图象中端点，拐点等特殊点的实际意义. 探究新知 22051 函数的三种表示法： y = 2x+2 图象法、 列表法、 解析式法． 探究新知 22051 一水库的水位在最近5 h内持续上涨，下表记录了这5 h内6 个时间点的水位高度，其中 t 表示时间，y表示水位高度． 　 （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？ t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 函数表示方法的相互转化 探究新知 22051 t/h y/m O 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 解：可以看出，这6个点 ，且每小时水位 . 由此猜想，在这个时间段中水位可能是以同一速度均匀上升的. 在同一直线上 上升0.3m 5 3 O 5 探究新知 22051 （2）水位高度 y 是不是为时间 t 的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？ 解：由于水位在最近5小时内持续上涨，对于时间t的每一个确定的值，水位高度y 都有 的值与其对应，所以y t 的函数. 函数解析式为： . 变量的取值范围是： . 它表示在这 小时内，水位匀速上升的速度为 ，这个函数可以近似地表示水位的变化规律. 唯一 是 y=0.3t+3 0≤t≤5 5 0.3m/h 探究新知 22051 【探究】构建合适的问题情境，使其中的变量之间的函数关系可以分别用图1和图2中的图象来表示. 图1 图2 探究新知 22051 分析：从图像中可以看出，距离s先增加后减少，且在t=20分钟时达到最大值900米，最终在t=40分钟时回到原点.这种变化趋势可以对应一个“去程和返程”的情境. 图1 图2 举例：哥哥与妹妹同时外出，哥哥和妹妹以相同的速度同时从家外出,20min后到达距离家900m的书店.哥哥到达书店后，立即以原来的速度返回家中(如图1)，妹妹留在书店看了10min书后加快了速度返回家中(如图2).. 探究新知 22051 函数的表示方法 解析式法：反映了函数与自变量之间的数量关系 列表法：反映了函数与自变量的数值对应关系 图象法：反映了函数随自变量的变化而变化的规律 课堂小结 22051 1.某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，他们一天生产零件y(个)与生产时间t(h)的函数关系如图所示. (1)根据图象填空：①____先完成一天的 生产任务；在生产过程中，____因 机器故障停止生产_____h； ②当t=_______时，甲、乙生产的零件个数相等. 甲 甲 2 3或5.5 课堂练习 22051 2.甲、乙两人以相同路线前往距离单位10千米的培训中心参加学习.图中l甲，l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程s(千米)随时间t(分钟)变化的函数图象，以下说法中错误的是（ ） A.乙比甲提前12分钟到达 B.甲的平均速度为15千米/小时 C.乙出发6分钟后追上甲 D.乙走了8千米后遇到甲 D 课堂练习 22051 3.小明同学骑自行车去郊外春游，骑行1h后，自行车出现故障，维修好后继续骑行，他离家的距离y(km)与所用的时间x(h)之间关系的图象如图所示.根据图象回答下列问题： (1)小明到达离家最远的地方用了多长时间？此时离家多远？ 解：(1) 由图象可知，小明到达离家最远的地方用了 3 h，此时离家 30 km. 课堂练习 22051 $