精品解析： 广东省广州市第八十九中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年广东省广州八十九中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使有意义，则x的值可以是（ ） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义即被开方数为非负数得出x的取值范围，然后判断即可． 【详解】解：要使有意义， 则， 解得， 观察四个选项，选项D符合题意． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开尽方的因数或因式． 逐一分析各选项是否满足最简二次根式的两个条件，排除不符合的选项，确定符合条件的选项． 【详解】解：A、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式，此选项不符合题意； B、，被开方数不含分母，且不含能开尽方的因数，是最简二次根式，此选项符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，此选项不符合题意； D、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式，此选项不符合题意． 故选：． 3. 已知一个直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 直接利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵一个直角三角形两直角边长分别为3和4， ∴这个直角三角形的斜边长． 故选：A． 4. 下列各曲线中，不是关于的函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的判断，根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应进行即可，正确理解函数的定义是解题的关键． 【详解】、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是关于的函数； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是关于的函数； 、对给定的的值，有几个值与之对应，不是关于的函数； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是关于的函数； 故选：． 5. 如图，数轴上的点表示的数为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和数轴的综合应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键. 先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再结合点P在数轴上的位置确定的值. 【详解】解：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度为：， 斜边长度即为点P到原点的距离，且点P在数轴上位于原点右侧， 点P表示的数为，即为.   故选：B． 6. 如图，在中，，为中点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：，为中点， ， ， ， 故选：A ． 7. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐一分析选项，找出不符合条件的选项即可． 【详解】解：A．，，两组对边分别相等，符合平行四边形的判定定理，能判定为平行四边形，故A不符合题意； B．，，两组对边分别平行，符合平行四边形的定义，能判定为平行四边形，故B不符合题意； C．，，仅一组对边平行且另一组对边相等，无法保证四边形是平行四边形，例如，等腰梯形满足此条件，但不是平行四边形，故C符合题意； D．，，一组对边平行且相等，符合平行四边形的判定定理，能判定为平行四边形，故D不符合题意． 故选：C． 8. 如图是一个长，宽，高分别是，，的长方体无盖盒子，已知一根木棒长为，且通过计算发现，能放入此木棒的无盖盒子的规格是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理分别求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， A选项，由勾股定理得：， ，故选项A不符合题意； B选项，由勾股定理得：， ，故选项B不符合题意； C选项，由勾股定理得：， ，故选项C不符合题意； D选项，由勾股定理得： ，故选项D符合题意． 9. 如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据含角的直角三角形和勾股定理求出，证明四边形为平行四边形，根据平移的性质求出，根据平行四边形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 由平移的性质可知：，， 四边形为平行四边形， 点A对应直尺的刻度为14，点对应直尺的刻度为0， ， ． 10. 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．若与交点为，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，根据折叠的性质，推出，得到，进而证明，得即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可知：直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵对折至，折痕为， ∴， ∴， 故选：． 二、多选题：本题共1小题，共6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 11. 如图，和都是等边三角形．点A是边上一个动点，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若连接，则 C. D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理等知识，证明是解决本题的关键． 连接，由等边三角形的性质可推导出，而，所以，可判断A符合题意；再证明，得，则，可判断B符合题意；由，推导出，则，所以，结合A和D重合时可判断C不符合题意；当时，的长最小，此时的面积最小，作辅助线，求得，可得，可判断D符合题意，由此可得． 【详解】解：如图1，连接，设交于点L， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ，故A符合题意； 在和中， ， ， ， ， ，故B符合题意； ，， ， ， ， 当点A和点D重合时，，故C不符合题意； 点A是边上一动点， 当时，的长最小，此时的面积最小， 如图2，，设交于点T， 则，， ，， ，， ，， ， ， ， 的最小值为，故D符合题意． 综上，选项ABD正确. 三、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 12. 一支签字笔的单价为元，李老师买了支，总价为元，则 ______，其中变量是______． 【答案】 ①. ②. 和 【解析】 【分析】本题考查常量与变量，掌握总价单价数量及变量的定义是解题的关键．根据总价单价数量写出关于的函数关系式，再由变量的定义判断哪些是变量即可． 【详解】解：，其中变量是和． 故答案为：，和． 13. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用中位线的性质计算即可． 【详解】∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， 又BC=12， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，中位线平行且等于第三边的一半，熟记中位线的性质是解题的关键． 14. “正方形的四个角都是直角”的逆命题可以写成______，该逆命题是______命题（填写“真”或“假”）． 【答案】 ①. 四个角都是直角的四边形是正方形 ②. 假 【解析】 【详解】解：“正方形的四个角都是直角”的逆命题可以写成“四个角都是直角的四边形是正方形”，该逆命题是假命题（理由是：四个角都是直角的四边形是矩形，而矩形不一定是正方形）． 15. 顺次连接正方形四边中点所得的四边形的面积与原正方形的面积的比为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作图，利用中位线定理可证明顺次连接正方形四边中点所得的四边形与原正方形相似，且相似比是，所以可求得的四边形的面积与原正方形的面积的比为． 【详解】解：如图： 四边形是正方形， ，， ，F，G，H是正方形各边的中点， ， ，， ，， 同理：， 四边形是正方形， 四边形四边形， 设，则，， 所得的四边形的面积与原正方形的相似比为， 所得的四边形的面积与原正方形的面积的比为． 16. 如图，将矩形沿直线翻折，使点与边上的点重合，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据四边形是矩形，得，而沿着过点A的直线折叠，使点D落在边上，落点为E，有，，在中，，可得，设，则，在中可得，即可解得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵沿着过点D的直线折叠，使点D落在边上，落点为E， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形中的折叠为题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理列方程解决问题． 四、解答题：本题共8小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算括号里面的，再算除法即可； （2）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 已知：，，求： （1）； （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）将a、b的值代入式子，根据二次根式的运算法则求出结果； （2）将a、b的值代入式子，根据二次根式的运算法则求出结果． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：，， ． 19. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】只要证明，即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，即， 又， ，即， 四边形是平行四边形． 20. 如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点． （1）求线段的长度； （2）试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）是等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； 【小问1详解】 解：每个小正方形的边长均为1， 根据勾股定理得，； 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形，理由如下： 连接， 根据勾股定理得，，，， ， 为等腰直角三角形． 21. 如图，在中，，点E，F分别是的中点， （1）尺规作图：作的平分线交于点D，连接，（保留作图痕迹，不写作法）． （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，菱形的判定，等腰三角形的性质，掌握基本的尺规作图是解题的关键． （1）利用尺规作图——作角的平分线作图即可； （2）根据三线合一得到然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，点D即为所作； 【小问2详解】 证明：∵，平分， ∴ 又∵点E，F分别是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形． 22. 现有一块长为、宽为的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截取两个面积分别是和的正方形木板？ 【答案】能够在这块木板上截取两个分别是和的正方形木板 【解析】 【分析】根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是和，显然只需比较两个正方形的边长的和与的大小即可． 【详解】解：， 由于， 可知，， 答：能够在这块木板上截取两个分别是和的正方形木板． 23. 同学用两副三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分四边形也是平行四边形直角三角板互不重叠，两个直角三角形斜边上的高都为 （1）①直接写出：一副三角板中的两个直角三角形的直角边结果用h表示； ②求四边形的面积． （2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： ①不与给定的图形状相同； ②画出拼图的4个三角形的边． 【答案】（1）①角三角板直角边长为，角三角板直角边为和；②； （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形和角的直角三角形的三边关系，根据平行四边形的性质来构造图形是本题解题的关键． （1）①根据等腰直角三角形和角的直角三角形的三边关系求解即可； ②根据长方形的面积公式求解即可； （2）根据平行四边形对边相等，邻角互补进行拼接即可． 【小问1详解】 解：①作和的高，两个直角三角形斜边上的高都为，如图：则， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∵，， ∴，则， ， 角三角板直角边长为，角三角板直角边为和； ②， ， 平行四边形为矩形， ，， ； 【小问2详解】 解：①顶角为时， ②顶角为时， 24. 如图，正方形中，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，连接、和，设运动时间为． （1）当时，如图①所示，则______； （2）若，则______； （3）连接，与和分别交于点，，如图②所示： ①若，求的长和此时的值； ②求证：点是的中点． 【答案】（1） （2） （3）①；；②见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，再根据勾股定理求解即可； （2）根据，得到，，再根据勾股定理即可求解； （3）①根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到，推出，得到，求得，最后根据勾股定理求出；②过作交于，根据平行线的性质和全等三角形的判定与性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， ，， ； 【小问2详解】 解：， ，， ，， ，即， 解得（负值已舍去）； 【小问3详解】 ①解：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②证明：过作交于， 则，， ∵， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 点是的中点． 【点睛】综合应用正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省广州八十九中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使有意义，则x的值可以是（ ） A. 2 B. C. 5 D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 4. 下列各曲线中，不是关于的函数的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，数轴上的点表示的数为，则为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，为中点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图是一个长，宽，高分别是，，的长方体无盖盒子，已知一根木棒长为，且通过计算发现，能放入此木棒的无盖盒子的规格是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 9. 如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．若与交点为，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、多选题：本题共1小题，共6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 11. 如图，和都是等边三角形．点A是边上一个动点，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若连接，则 C. D. 的最小值为 三、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 12. 一支签字笔的单价为元，李老师买了支，总价为元，则 ______，其中变量是______． 13. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为______． 14. “正方形的四个角都是直角”的逆命题可以写成______，该逆命题是______命题（填写“真”或“假”）． 15. 顺次连接正方形四边中点所得的四边形的面积与原正方形的面积的比为______． 16. 如图，将矩形沿直线翻折，使点与边上的点重合，若，则__________． 四、解答题：本题共8小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知：，，求： （1）； （2） 19. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且，求证：四边形是平行四边形． 20. 如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点． （1）求线段的长度； （2）试判断的形状，并说明理由． 21. 如图，在中，，点E，F分别是的中点， （1）尺规作图：作的平分线交于点D，连接，（保留作图痕迹，不写作法）． （2）求证：四边形是菱形． 22. 现有一块长为、宽为的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截取两个面积分别是和的正方形木板？ 23. 同学用两副三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分四边形也是平行四边形直角三角板互不重叠，两个直角三角形斜边上的高都为 （1）①直接写出：一副三角板中的两个直角三角形的直角边结果用h表示； ②求四边形的面积． （2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： ①不与给定的图形状相同； ②画出拼图的4个三角形的边． 24. 如图，正方形中，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，连接、和，设运动时间为． （1）当时，如图①所示，则______； （2）若，则______； （3）连接，与和分别交于点，，如图②所示： ①若，求的长和此时的值； ②求证：点是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $