列方程解应用题（课件）-2025-2026学年五年级下册数学沪教版

列方程解应用题专题 第 3 课 时 教师教案 | 3月21日 1.7.2013 大家好，今天我们继续学习列方程解应用题的专题，这是第三课时的内容。本节课我们将深入探讨多种类型的应用题，通过列方程的方法来解决它们。希望通过今天的学习，大家能熟练掌握这些解题技巧。 ‹#› 目录 几何公式与图形方程 Geometry & Equations 几倍量线段方程 Multiple Segment Eq 和倍、差倍问题 Sum & Multiple Problems 和差问题 Sum & Difference 盈亏问题(分配/拿取) Profit & Loss Problems 归一、归总问题 Unitary Method 工程效率问题 Engineering Efficiency 综合练习与提升 Comprehensive Practice 总结与回顾 Summary & Review 1.7.2013 本次课程我们将学习七个主要的题型，分别是几何公式应用、几倍量线段方程、和倍差倍问题、和差问题、盈亏问题、归一归总问题以及工程效率问题。我们将逐一进行讲解和练习。 ‹#› 题型1：几何公式、图形方程应用 核心考点：几何图形周长与面积公式的灵活运用及方程建模思想 1.7.2013 首先，我们来看第一个题型：几何公式和图形方程的应用。这类题目主要考察我们对基本几何图形周长和面积公式的掌握，并通过列方程来解决相关问题。 ‹#› 核心公式 长方形 周长 = 2 × (长 + 宽) 面积 = 长 × 宽 正方形 周长 = 4 × 边长 面积 = 边长 × 边长 平行四边形 面积 = 底 × 高 三角形 面积 = 底 × 高 ÷ 2 梯形 面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 学习提示 牢记公式是解决几何问题的基础，注意区分周长与面积的计算单位。 数学几何基础公式总结 · 2026版 1.7.2013 在解决几何问题之前，我们先来回顾一下常用的周长和面积公式，这些是我们解题的基础。请大家熟记这些公式。 ‹#› 例题讲解 题目描述 一个正方形的一条边增加5厘米，另一条边增加8厘米后，所得的长方形面积比原来增加了170平方厘米。求原来正方形的面积。 解题分析 设原正方形边长为x厘米。增加的面积由三部分组成：一个5x的长方形、一个8x的长方形，以及一个5×8的小长方形，三者之和为170平方厘米。 列出方程 5x + 8x + 5 × 8 = 170 关键思路：将不规则增加的面积拆解为规则图形面积之和 1.7.2013 我们来看一个具体的例子。这道题的关键是理解增加的面积是由哪几个部分组成的。通过设未知数，我们可以很清晰地列出方程来求解。 ‹#› 练习题 1.两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是240平方厘米，这个平行四边形的底边是20厘米，高是多少厘米？ 2.一个长方形，长是宽的1.6倍，如果宽增加3厘米，这个长方形就变成一个正方形，这个长方形的长和宽各是多少厘米？ 3.正方形ABFD的边长为10厘米，它的面积比直角三角形BFE的面积大30平方厘米，DE的长是多少厘米？ 4.平行四边形和三角形拼成梯形，平行四边形底6.4米，高4.5米。梯形面积39.6平方米，下底是多少米？ 5.用一根铁丝围成一个边长为3.4厘米的正方形，如果再用它围成一个长是3.9厘米的长方形，那么它的宽是多少厘米？ 6.一个长方形的周长是120厘米，它的宽是17厘米，这个长方形的长是多少厘米？ 7.在平行四边形ABCD中,AB长8厘米,BC长5厘米,AE长7.2厘米,问:AF长多少厘米? 温馨提示 注意分析题目中的几何关系，正确找出等量关系并列出方程求解。 1.7.2013 接下来是练习题时间，请大家尝试用我们刚才学到的方法来解决这些问题。注意分析题目中的几何关系，正确列出方程。 ‹#› 几何题型练习1详解 题目 两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是240平方厘米，这个平行四边形的底边是20厘米，高是多少厘米？ 1. 分析思路 两个梯形拼成平行四边形，面积翻倍。设高为x厘米，总面积 = 240 × 2 = 480 cm²。 2. 列出方程 根据平行四边形面积公式：底 × 高 = 面积 即：20 × x = 240 × 2 3. 解方程 20x = 480 x = 480 ÷ 20 = 24 4. 最终答案 经过计算，这个平行四边形的高是： 24 厘米 1.7.2013 我们来看几何题型的第一道练习题。两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，那么平行四边形的面积就是一个梯形面积的两倍，也就是480平方厘米。我们设高为x厘米，根据平行四边形面积公式底乘高等于面积，列出方程20x等于480，解得x等于24。所以高是24厘米。 ‹#› 几何题型练习2详解 题目：一个长方形，长是宽的1.6倍，如果宽增加3厘米，这个长方形就变成一个正方形，这个长方形的长和宽各是多少厘米？ 解题步骤 1. 分析题意 宽增加3cm变正方形，说明长比宽多3cm。设宽为x，长为1.6x。 2. 列出方程 根据长 - 宽 = 3，列出方程：1.6x - x = 3 3. 解方程求宽 0.6x = 3 → x = 3 ÷ 0.6 → x = 5 (厘米) 4. 计算长 长 = 1.6 × 宽 = 1.6 × 5 = 8 (厘米) 答案：这个长方形的长是8厘米，宽是5厘米。 1.7.2013 第二题，长方形的长是宽的1.6倍，当宽增加3厘米就变成正方形，这说明长和宽的差是3厘米。我们设宽为x厘米，长就是1.6x厘米，根据长减宽等于3厘米，列出方程1.6x减x等于3，解得x等于5，这是宽。长就是1.6乘以5，等于8厘米。 ‹#› 几何题型练习3详解 题目描述 正方形ABFD的边长为10厘米，它的面积比直角三角形BFE的面积大30平方厘米，DE的长是多少厘米？ 解题步骤 1. 分析：设DE的长为x厘米，则直角三角形BFE的底FE = FD + DE = 10 + x厘米，高BF = 10厘米。 2. 列方程：正方形面积 - 三角形面积 = 30，即 10×10 - [(10+x)×10÷2] = 30。 3. 解方程：100 - (50 + 5x) = 30 → 50 - 5x = 30 → 5x = 20 → x = 4。 答案：DE的长是 4 厘米。 1.7.2013 第三题稍微复杂一些。我们设DE的长度为x厘米，那么三角形BFE的底就是10加x厘米，高是10厘米。根据题意，正方形的面积减去三角形的面积等于30平方厘米，我们据此列出方程并求解，得到x等于4。所以DE的长是4厘米。 ‹#› 几何题型练习4详解 题目 右图是一个平行四边形和一个三角形拼成的梯形，平行四边形的底是 6.4 米，高是 4.5 米。这个梯形的面积是 39.6 平方米，它的下底是多少米？ 解题步骤 1. 分析：梯形面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2。设下底为 x 米，上底 = 平行四边形底 = 6.4 米。 2. 列方程：(6.4 + x) × 4.5 ÷ 2 = 39.6 3. 解方程：(6.4 + x) × 4.5 = 79.2 → 6.4 + x = 17.6 → x = 11.2 答案：梯形的下底是 11.2 米。 1.7.2013 第四题，梯形是由平行四边形和三角形拼成的，所以梯形的上底就是平行四边形的底6.4米。我们设下底为x米，根据梯形面积公式列出方程，求解得到x等于11.2。所以梯形的下底是11.2米。 ‹#› 几何题型练习5详解 题目：用一根铁丝围成一个边长为3.4厘米的正方形，如果再用它围成一个长是3.9厘米的长方形，那么它的宽是多少厘米？ 分析思路：关键在于铁丝长度不变，即正方形的周长 = 长方形的周长。设长方形的宽为 x 厘米。 列出方程：根据长方形周长公式 2 × (长 + 宽) = 周长，得：2 × (3.9 + x) = 3.4 × 4 计算求解：2 × (3.9 + x) = 13.6 → 3.9 + x = 6.8 → x = 6.8 - 3.9 → x = 2.9 最终答案：长方形的宽是2.9厘米。 1.7.2013 第五题，关键是铁丝的长度不变，也就是周长相等。正方形的周长是3.4乘以4，等于13.6厘米。我们设长方形的宽为x厘米，根据长方形周长公式列出方程，解得x等于2.9。所以长方形的宽是2.9厘米。 ‹#› 几何题型练习6详解 题目 一个长方形的周长是120厘米，它的宽是17厘米，这个长方形的长是多少厘米？ 1. 分析题意 长方形周长 = 2 × (长 + 宽)。设长为 x 厘米。 2. 列出方程 2 × (x + 17) = 120 3. 解方程 x + 17 = 60 → x = 60 - 17 → x = 43 4. 最终答案 长方形的长是43厘米。 1.7.2013 第六题是基础的周长问题。我们设长方形的长为x厘米，根据周长公式列出方程2乘以x加17的和等于120，解得x等于43。所以长方形的长是43厘米。 ‹#› 几何题型练习7详解 题目 如图,在平行四边形ABCD中,AB长8厘米,BC长5厘米,AE长7.2厘米,问:AF长多少厘米? 解题步骤 分析：利用平行四边形面积不变性质，不同底高乘积相等。设AF长x厘米。 列方程：BC × AE = AB × AF → 5 × 7.2 = 8 × x 解方程：36 = 8x → x = 36 ÷ 8 = 4.5 答案：AF长 4.5 厘米。 1.7.2013 最后一道几何题，利用平行四边形面积不变的性质来解题。我们可以用BC乘以AE得到面积，也可以用CD（也就是AB）乘以AF得到面积。设AF为x厘米，列出方程5乘以7.2等于8x，解得x等于4.5。所以AF长4.5厘米。 ‹#› 题型2：几倍量线段方程 建立数量关系 · 求解线段长度 · 几何思维应用 1.7.2013 接下来我们学习第二种题型：几倍量线段方程。这类题目通常会给出一个数是另一个数的几倍多几或少几的关系，我们需要通过设未知数来建立方程。 ‹#› 核心概念与公式 核心概念 已知一个数是另一个数的几倍多（少）几，结合两数和/差求未知数。解题的关键在于找准“1倍量”（标准量）并设为 x，再根据倍数关系，用含 x 的式子表示出几倍量。 解题公式 1倍量 × 倍数 ± 多出（少）的数 = 几倍量 注：列方程时需注意“多”与“少”对应符号的变化 1.7.2013 解决这类问题的关键是找准“1倍量”，也就是标准量，通常我们把它设为x。然后根据题目中的倍数关系，用含有x的式子表示出几倍量，最后根据和或差的关系列出方程。 ‹#› 梯度例题 基础：乙数是x，甲数是乙数的3倍多4，甲数是22，求乙数。 方程：3x + 4 = 22 提高：甲数是乙数的4倍少5，甲乙两数和是40，求乙数。 方程：x + (4x - 5) = 40 拔高：甲数比乙数的2倍多8，丙数是甲数的3倍，三数和为122，求乙数。 方程：x + (2x + 8) + 3(2x + 8) = 122 1.7.2013 这里有三个不同梯度的例子，从基础到提高再到拔高，大家可以看到，虽然题目变得复杂，但解题的思路是一致的，都是先设1倍量为x，再表示出其他量，最后列方程求解。 ‹#› 练习题 1. 服装厂做校服：现在每套用布2米，比原来每套节省0.2米，现在做880套校服的布料原来能做多少套？ 2. 买衣服问题：一套衣服270元，上衣的价格是裤子的1.5倍。问:上衣和裤子各是多少元? 3. 图书角书籍：漫画书和科普书共100本，增加8本漫画书后，漫画书是科普书的2倍。问:科普书有多少本? 4. 猴山猴子数量：共有猴子104只，小猴的数量是大猴的4倍少6只。问:大猴和小猴分别有多少只? 5. 除法算式求解：被除数除以除数，商8余6，四数之和为236。问:被除数、除数各是多少? 1.7.2013 请大家独立完成这些练习题，检验一下自己是否掌握了几倍量线段方程的解法。注意找准1倍量，并正确表示出其他量之间的关系。 ‹#› 练习题1详解 题目：服装厂做校服，现在每套用布2米，比原来每套节省0.2米，现在做880套校服的布料原来能做多少套？ 1. 分析题意 核心等量关系：布料的总米数是不变的。设原来能做 x 套。 2. 列出方程 原来每套用布：2 + 0.2 = 2.2 米 方程：2.2x = 2 × 880 3. 求解过程 2.2x = 1760 x = 1760 ÷ 2.2 x = 800 答：原来能做800套校服。 关键思路：寻找不变量（总布料），利用“单价 × 数量 = 总价”模型建立方程 1.7.2013 我们来看第一道练习题。这道题的关键是抓住“布料总米数不变”这个等量关系。我们设原来能做x套，原来每套的用布量比现在多0.2米，也就是2.2米。根据总米数相等，我们可以列出方程2.2x等于2乘以880，解得x等于800。所以，原来能做800套校服。 ‹#› 练习题2详解 题目：妈妈给小巧买一套衣服一共用去270元，上衣的价格是裤子的1.5倍。问:上衣和裤子各是多少元? 分析：上衣价格 + 裤子价格 = 总价。设裤子的价格为x元，则上衣的价格为1.5x元。 列方程：x + 1.5x = 270 解方程：2.5x = 270 → x = 270 ÷ 2.5 → x = 108 求上衣价格：1.5x = 1.5 × 108 = 162（元） 答案：裤子 108 元，上衣 162 元。 1.7.2013 第二题，这是一个典型的和倍问题。我们设裤子的价格为x元，因为上衣是裤子的1.5倍，所以上衣就是1.5x元。它们的总价是270元，所以方程是x加1.5x等于270，解得x等于108，这是裤子的价格。上衣的价格就是1.5乘以108，等于162元。 ‹#› 练习题3详解 题目 班级图书角里有漫画书和科普书共100本，后来增加了8本漫画书，现在漫画书的本数是科普书的2倍。问:科普书有多少本? 1. 思路分析 增加8本漫画书后，总数变为108本。此时漫画书是科普书的2倍。设科普书为 x 本，则漫画书为 2x 本。 2. 列出方程 根据数量关系列方程：x + 2x = 100 + 8 3. 解方程过程 合并同类项：3x = 108 系数化为1：x = 108 ÷ 3 = 36 4. 最终答案 答：科普书有36本。 1.7.2013 第三题，注意题目中的变化。增加8本漫画书后，总数变成了108本，这时漫画书是科普书的2倍。我们设科普书的数量为x本，那么现在的漫画书就是2x本。它们的和是108本，所以方程是x加2x等于108，解得x等于36，也就是科普书有36本。 ‹#› 练习题4详解 题目：猴山上共有猴子104只，小猴的数量是大猴的4倍少6只。问：大猴和小猴分别有多少只？ 1. 分析：大猴数量 + 小猴数量 = 总数。设大猴有 x 只，则小猴有 (4x - 6) 只。 2. 列方程：x + (4x - 6) = 104 3. 解方程：5x - 6 = 104 → 5x = 110 → x = 22 4. 求小猴数量：4x - 6 = 4 × 22 - 6 = 88 - 6 = 82（只） 答案：大猴 22 只，小猴 82 只。 1.7.2013 第四题，这是一个几倍量少几的问题。我们设大猴的数量为x只，那么小猴的数量就是4x减6只。它们的总数是104只，所以方程是x加上4x减6等于104，解得x等于22，这是大猴的数量。小猴的数量就是4乘以22再减6，等于82只。 ‹#› 练习题5详解 题目：被除数除以除数，商8余6，并且被除数、除数、商、余数的和是236。问：被除数、除数各是多少？ 1. 分析：根据除法关系，被除数 = 除数 × 商 + 余数。设除数为 x，则被除数为 (8x + 6)。 2. 列方程：(8x + 6) + x + 8 + 6 = 236 3. 解方程：9x + 20 = 236 → 9x = 216 → x = 24 4. 求被除数：8 × 24 + 6 = 198 答案：除数是 24，被除数是 198。 1.7.2013 最后一题，这道题需要我们利用除法中各部分的关系。我们知道被除数等于除数乘以商加余数。所以设除数为x，被除数就是8x加6。题目告诉我们这四个数的和是236，所以我们把它们加起来等于236，列出方程并求解，得到除数是24，被除数是198。 ‹#› 题型3：和倍、差倍问题 题型4：和差问题 掌握核心解题思路，轻松应对数学挑战 1.7.2013 接下来我们学习两种非常经典的问题：和倍、差倍问题以及和差问题。这两种问题都有固定的解题思路，掌握了方法就会非常简单。 ‹#› 核心概念与公式 和倍、差倍问题 核心概念：已知两数和（或差）与倍数关系，求两数。通常以小数为1倍量。 解题公式： 和倍：小数 = 和 ÷ (倍数+1)，大数 = 小数 × 倍数 差倍：小数 = 差 ÷ (倍数-1)，大数 = 小数 × 倍数 和差问题 核心概念：已知两数的和与差，不涉及倍数关系，可直接设未知数求解。 解题公式： 大数：(和 + 差) ÷ 2 小数：(和 - 差) ÷ 2 解题小贴士： 无论是哪种问题，关键在于找准“1倍量”或“标准量”。如果公式记不清，画线段图或列简易方程（如设小数为x）也是非常有效的解题方法。 1.7.2013 和倍问题是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数。差倍问题则是已知两个数的差和倍数关系。而和差问题更简单，只需要知道和与差即可。大家可以记住这些公式，也可以通过列方程来理解。 ‹#› 梯度例题 和倍问题 甲乙和为60，甲是乙的2倍，求乙。 x + 2x = 60 差倍问题 甲比乙多36，甲是乙的5倍，求甲乙两数。 5x - x = 36 和差问题 两数和50，差10，求小数。 x + (x+10) = 50 解题核心：无论是哪种类型，核心都是设未知数（通常设小数为x），根据题目描述的数量关系建立方程求解。 1.7.2013 我们来看几个简单的例子。无论是和倍、差倍还是和差问题，我们都可以通过设小数为x，然后根据题目中的关系列出方程，求解过程非常直接。 ‹#› 题型5：盈亏问题(分配、拿取） 一元一次方程应用专题 · 数学思维训练 核心考点：寻找“盈”与“亏”的等量关系，建立数学模型 1.7.2013 第五种题型是盈亏问题，这类问题通常涉及到分配物品或者拿取东西，会出现“盈”（多余）和“亏”（不足）的情况，我们需要找到其中的等量关系来列方程。 ‹#› 练习题 一堆煤，原计划每天烧3吨，后来改进方法，每天只烧2.4吨，结果多烧了15天。问:原计划烧多少天?这堆煤共有多少吨? 小亚准备在假期里看一本书，计划每天看12页，实际每天看14页，结果提前3天看完了这本书。问:小亚计划用多少天看完这本书?这本书一共有多少页? 一辆汽车从甲地去乙地，原计划平均每小时行60千米，可以准时到达。实际平均每小时行65千米，结果早到了12分钟。问:原计划行多少小时?甲、乙两地相距多少千米? 学校准备了相同数量的篮球和足球分别分给四、五年级，五年级每班分到12个足球，四年级每班分到10个篮球，足球和篮球都正好分完，四年级比五年级多1个班级。问:四、五年级各有多少个班级? 同学们用长绳测量一口井的深度，将绳子对折，绳子露出井口4.5米;将绳子对折后再对折，绳子低于井口0.5米。问:井深和绳长各多少米? 1.7.2013 这些盈亏问题的练习题，请大家仔细分析题目中的“盈”和“亏”分别是什么，找到不变的量，比如煤的总量、书的总页数等，然后列出方程求解。 ‹#› 盈亏题型练习1详解 题目：一堆煤，原计划每天烧3吨，后来改进方法，每天只烧2.4吨，结果多烧了15天。问：原计划烧多少天？这堆煤共有多少吨？ 1. 分析思路 煤的总量不变。设原计划烧x天，则实际烧了(x + 15)天。 2. 列出方程 原计划总量 = 实际总量，即 3x = 2.4(x + 15) 3. 解方程 3x = 2.4x + 36 → 0.6x = 36 → x = 60 (天) 4. 求总量 3x = 3 × 60 = 180（吨） 答案：原计划烧60天，这堆煤共有180吨。 1.7.2013 我们来看盈亏问题的第一道练习题。这道题的关键是煤的总量不变。我们设原计划烧x天，那么实际就烧了x加15天。根据总量相等，我们列出方程3x等于2.4乘以x加15的和，解得x等于60，这是原计划的天数。煤的总量就是3乘以60，等于180吨。 ‹#› 盈亏题型练习2详解 题目：小亚准备在假期里看一本书，计划每天看12页，实际每天看14页，结果提前3天看完了这本书。问:小亚计划用多少天看完这本书?这本书一共有多少页? 解题思路与步骤 1. 关键分析 书的总页数不变。设计划用 x 天看完，则实际用了 (x - 3) 天。 2. 列出方程 计划总页数 = 实际总页数，即：12x = 14(x - 3) 3. 解方程过程 12x = 14x - 42 → 2x = 42 →x = 21 4. 计算总页数 代入计划天数：12 × 21 =252（页） 答案：小亚计划用21天看完，这本书一共有252页。 1.7.2013 第二题，书的总页数是不变的。我们设计划用x天看完，实际提前了3天，也就是用了x减3天。根据总页数相等列出方程12x等于14乘以x减3的差，解得x等于21。所以计划用21天，总页数是12乘以21，等于252页。 ‹#› 盈亏题型练习3详解 题目：一辆汽车从甲地去乙地，原计划平均每小时行60千米，可以准时到达。实际平均每小时行65千米，结果早到了12分钟。问：原计划行多少小时？甲、乙两地相距多少千米？ 思路分析 路程不变。设原计划行x小时。 12分钟 = 0.2小时，实际用时：x - 0.2 列出方程 根据“原计划路程 = 实际路程”： 60x = 65(x - 0.2) 求解过程 60x = 65x - 13 5x = 13 解得：x = 2.6 (小时) 原计划行驶时间：2.6小时 甲乙两地相距：156千米 1.7.2013 第三题，路程不变。我们设原计划行x小时，实际早到了12分钟，也就是0.2小时，所以实际用时是x减0.2小时。根据路程相等列出方程60x等于65乘以x减0.2的差，解得x等于2.6小时。路程就是60乘以2.6，等于156千米。 ‹#› 盈亏题型练习4详解 题目： 学校准备了相同数量的篮球和足球分别分给四、五年级，五年级每班分到12个足球，四年级每班分到10个篮球，足球和篮球都正好分完，四年级比五年级多1个班级。问:四、五年级各有多少个班级? 1. 分析题意 篮球总数 = 足球总数。设五年级有x个班级，则四年级有(x + 1)个班级。 2. 列出方程 根据等量关系：五年级足球总数 = 四年级篮球总数，即 12x = 10(x + 1) 3. 解方程 12x = 10x + 10 → 2x = 10 → x = 5 4. 求四年级班级数 x + 1 = 5 + 1 = 6（个） 答案：五年级有5个班级，四年级有6个班级。 1.7.2013 第四题，篮球和足球的数量是相同的。我们设五年级有x个班级，四年级就有x加1个班级。根据足球总数等于篮球总数，列出方程12x等于10乘以x加1的和，解得x等于5，这是五年级的班级数。四年级就是5加1，等于6个班级。 ‹#› 盈亏题型练习5详解 题目描述：同学们用长绳测量一口井的深度，将绳子对折，绳子露出井口4.5米；将绳子对折后再对折，绳子低于井口0.5米。问：井深和绳长各多少米？ 解题思路与步骤： 1. 分析：绳长不变。设井深为 x 米。 2. 列方程：第一次测量的绳长 = 第二次测量的绳长，即 2(x + 4.5) = 4(x - 0.5) 3. 解方程：2x + 9 = 4x - 2 → 2x = 11 → x = 5.5 4. 求绳长：2(x + 4.5) = 2 × (5.5 + 4.5) = 20（米） 最终答案：井深 5.5 米，绳长 20 米。 1.7.2013 最后一道盈亏问题，关键是绳长不变。我们设井深为x米，第一次对折后，绳长是2倍的x加4.5米；第二次对折后，绳长是4倍的x减0.5米。根据绳长相等列出方程，解得x等于5.5米，这是井深。绳长就是2乘以5.5加4.5的和，等于20米。 ‹#› 题型6：归一、归总问题 解决复杂应用题的基石 · 先求单一量 vs 先求总量 1.7.2013 接下来是归一和归总问题。归一问题是先求出单一量，而归总问题是先求出总量，它们是解决许多复杂问题的基础。 ‹#› 核心概念与公式 归一问题 (归一) 核心概念：先求单一量（1人/1台/1小时的工作量）。 解题公式： 总量 ÷ 份数 ÷ 份数 = 单一量 归总问题 (归总) 核心概念：先求总量，再根据总量求份数或单一量。 解题公式： 单一量 × 份数 × 份数 = 总量 解题关键总结： 解决归一问题，关键是先求出“单一量”，比如一个人一小时能做多少个零件。而归总问题则是先算出总的工作量，再根据新的条件去求解。两者互为逆运算，逻辑相反。 1.7.2013 解决归一问题，关键是先求出“单一量”，比如一个人一小时能做多少个零件。而归总问题则是先算出总的工作量，再根据新的条件去求解。 ‹#› 梯度例题 基础：归一问题 4台机器2小时做80个零件，1台1小时做几个？ 4 × 2 × x = 80 提高：正归一应用 5人3天做150道题，8人5天做多少道？ (150 ÷ 5 ÷ 3) × 8 × 5 = x 拔高：归总问题 6台机器8小时完成任务，要4小时做完，需几台？ 4x = 6 × 8 核心思路：无论是归一还是归总，解题关键在于围绕“单一量”和“总量”建立等量关系，通过方程求解未知量。 1.7.2013 这三个例子分别展示了归一、归总以及两者结合的问题。大家可以看到，无论是哪种情况，我们都是围绕着“单一量”和“总量”这两个核心来建立方程的。 ‹#› 题型7：工程效率问题 小学数学应用题专题解析 · 难点突破 1.7.2013 最后一种题型是工程效率问题，这是应用题中的一个难点，但只要掌握了方法，就会变得很清晰。我们通常把工作总量看作单位“1”。 ‹#› 核心概念与公式 核心概念解析 工作总量：一般把整件工作看作单位“1”，是计算的基础。 工作效率：单位时间内完成的工作量。公式：效率 = 1 ÷ 时间。 工作时间：完成全部工作所花费的总时长。 常用解题公式 基本公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 合作效率：合作总效率 = 各个个体效率之和 合作时间：合作时间 = 1 ÷ 合作总效率 解题关键点：解决工程问题的核心在于“化整为零”，将总工作量设为1，通过求出各自的效率，再利用“合作效率之和”来计算合作完成时间。 1.7.2013 在工程问题中，我们首先要明确工作总量、工作效率和工作时间这三个基本量的关系。特别是合作问题，关键是求出合作效率，即每个人效率的和。 ‹#› 梯度例题与练习 梯度例题解析 基础题：合作完成 甲10天完成，乙15天完成，合作几天完成？ 方程：(1/10 + 1/15)x = 1 提高题：求单独效率 甲乙合作6天完成，甲单独10天完成，乙单独几天完成？ 方程：(1/10 + 1/x) × 6 = 1 拔高题：分段工作量 甲做5天，乙做3天，共完成7/10，甲单独10天完成，求乙效。 方程：(1/10)×5 + 3x = 7/10 课堂实战演练 练习 1：师徒加工零件 师傅每小时120个，徒弟每小时90个。徒弟先做180个后师傅开始，师傅工作几小时后两人数量相等？ 练习 2：打字任务 小胖每分钟40字，小丁丁先打60字后小胖开始，15分钟后同时完成。求小丁丁的打字速度。 提示：注意区分“同时工作”与“先后工作”的时间节点。 1.7.2013 我们来看几个工程问题的例子和练习题。这些题目有的是合作完成，有的是有先后顺序的工作，大家要注意分析题目中的工作过程，正确计算工作效率和工作时间。 ‹#› 工程题型练习1详解 题目 师徒两人加工同一种零件，师傅平均每小时加工120个，徒弟平均每小时加工90个。徒弟先加工了180个零件后，师傅才开始工作，师傅工作几小时后，两人做的零件数相等？ 分析：徒弟先做的 + 徒弟后做的 = 师傅做的。设师傅工作 x 小时后两人零件数相等。 列方程：根据题意列出等量关系：180 + 90x = 120x 解方程：移项合并得：120x - 90x = 180 → 30x = 180 →x = 6 答案：师傅工作6小时后，两人做的零件数相等。 1.7.2013 我们来看工程问题的第一道练习题。徒弟先做了180个，之后师傅才开始工作。我们设师傅工作x小时后两人零件数相等，那么徒弟总共做了180加90x个，师傅做了120x个。根据数量相等列出方程，解得x等于6。所以师傅工作6小时后，两人做的零件数相等。 ‹#› 工程题型练习2详解 题目描述 小胖和小丁丁各自打一份字数相同的文件。小胖平均每分钟打40个字，小丁丁先打60个字后，小胖才开始打，15分钟后两人同时完成任务，小丁丁平均每分钟打几个字？ 等量关系分析：小丁丁先打的 + 小丁丁后打的 = 小胖打的。设小丁丁平均每分钟打x个字。 列出方程：60 + 15x = 40 × 15 解方程过程：60 + 15x = 600 → 15x = 540 → x = 36 最终答案：小丁丁平均每分钟打36个字。 1.7.2013 第二题，小丁丁先打了60个字，然后两人同时打了15分钟完成。我们设小丁丁每分钟打x个字，那么他总共打了60加15x个字，小胖打了40乘以15个字。根据字数相等列出方程，解得x等于36。所以小丁丁平均每分钟打36个字。 ‹#› 工程题型练习3详解 题目 甲、乙两个生产组要完成零件的加工任务，甲组平均每小时加工40个零件，乙组平均每小时加工50个零件。两组同时开始加工，经过多少时间可以完成225个零件？ 1. 分析题意 等量关系： 甲组工作量 + 乙组工作量 = 总工作量 设时间为 x 小时。 2. 列出方程 根据分析列出等式： 40x + 50x = 225 3. 解方程 合并同类项并计算： 90x = 225 x = 225 ÷ 90 =2.5 4. 得出答案 最终结论： 经过2.5小时可以完成225个零件。 解题技巧：工程问题核心在于找到“工作效率”与“工作时间”的关系。当多人合作时，总效率等于各部分效率之和，利用“总工作量 = 效率和 × 时间”列方程求解是最直接的方法。 1.7.2013 第三题是合作完成任务的问题。我们设经过x小时完成，甲组每小时做40个，乙组每小时做50个，他们的效率和是90个每小时。根据总工作量等于效率和乘以时间，列出方程90x等于225，解得x等于2.5小时。 ‹#› 工程题型练习4详解 题目 甲乙两个工程队合修一条1950米长的公路，25天完成。已知甲队平均每天修38米，乙队平均每天修路多少米？ 解题思路 1. 题意分析 等量关系：甲队总工作量 + 乙队总工作量 = 总工作量。设乙队每天修x米。 2. 列出方程 根据“效率和 × 时间 = 总工作量”列出方程： (38 + x) × 25 = 1950 3. 解方程过程 38 + x = 1950 ÷ 25 38 + x = 78 → x = 40 4. 最终答案 答：乙队平均每天修路40米。 1.7.2013 第四题，两队合作25天修完1950米的路。我们设乙队每天修x米，那么两队每天一共修38加x米。根据总工作量等于效率和乘以时间，列出方程并求解，得到x等于40。所以乙队平均每天修路40米。 ‹#› 工程题型练习5详解 题目描述 师徒两人加工同样的零件，徒弟每小时加工20个，师傅每小时加工30个，徒弟先加工50个后，师傅再开始工作。问：师傅工作几小时后，师徒两人加工的零件个数相等？ 解题步骤 分析：徒弟先做的 + 徒弟后做的 = 师傅做的。设师傅工作 x 小时后两人零件数相等。 列方程：50 + 20x = 30x 解方程：30x - 20x = 50 → 10x = 50 → x = 5 最终答案 师傅工作5小时后，师徒两人加工的零件个数相等。 1.7.2013 最后一题，和第一题类似。徒弟先做50个，师傅再开始工作。设师傅工作x小时后数量相等，徒弟总共做了50加20x个，师傅做了30x个。列出方程求解，得到x等于5。所以师傅工作5小时后，两人加工的零件个数相等。 ‹#› 感谢观看 勤加练习 · 掌握方法 · 提升能力 1.7.2013 今天的课程就到这里，我们学习了七种不同类型的列方程解应用题。希望大家通过练习，能够熟练掌握这些解题方法，提高解决实际问题的能力。感谢大家的观看！ ‹#› $