精品解析：安徽定远县育才学校2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

定远育才学校2025-2026学年上学期高二1月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知四面体中，、、两两垂直，， 与平面所成的角为，则点到平面的距离为（   ） A. B. C. D. 2. 直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是圆上的动点，以点为圆心，为半径作圆，设圆与圆交于A，B两点，则下列点中，直线一定不经过（ ） A B. C. D. 4. 已知椭圆的上顶点为，左顶点为，平行于的直线交椭圆于，两点，的中点为，且，则椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 5. 在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果. 某校数学兴趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点，在直线l上，是边长为1的等边三角形，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，，依次类推（其中点，，，，共线，点，，，，共线，点，，，，共线）. 由上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为（ ） A B. C. D. 6. 数列中，已知对任意正整数n，有，则（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线有这样的光学性质：沿平行于抛物线对称轴的方向射入一条光线，经抛物线反射后，光线一定经过抛物线的焦点.已知从点（）沿平行于轴的方向射入一条光线，经抛物线：反射后交抛物线于另外一点，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A. B. 平面 C. 向量与的夹角是120° D. 与所成角的余弦值为 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”若满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆：相切，则下列结论正确的是（ ） A. 圆上的点到原点的最大距离为 B. 圆上存在三个点到直线的距离为 C. 若点在圆上，则的最小值是 D. 若圆与圆有公共点，则 10. 若数列是等差数列，公差为，则下列对数列的判断正确的有（ ） A. 若，则数列是等差数列 B. 若，则数列是等差数列 C. 若，则数列是公差为等差数列 D. 若，则数列是公差为的等差数列 11. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的顶点到其渐近线的距离为2 B. 若F为C的左焦点，点P在C上，则满足的点M的轨迹方程为 C. 若A，B在C上，线段AB的中点为，则线段AB的方程为 D. 若P为双曲线上任意一点，则点P到点和到直线的距离之比恒为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得________斤金．（不作近似计算） 13. 已知直线经过点和点，直线经过点和点，若与没有公共点，则实数a的值为______． 14. 双曲线右焦点为F，点P， Q在双曲线上，且关于原点对称． 若， 则的面积为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列前项和为，，，数列满足，． （1）证明：数列是等比数列，并求数列与数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 16. 已知三点，，在圆C上. （1）求圆C的标准方程； （2）过原点O的动直线l与圆C相交于A，B两点，求线段的中点P的轨迹W的方程； （3）在（2）的条件下，若过点的直线m与曲线W有两个交点，求直线m的斜率的取值范围. 17. 如图，四棱锥的底面为菱形且，底面ABCD，，，E为PC的中点. （1）求二面角平面角的正切值； （2）在线段PC上是否存在一点M，使平面MBD成立如果存在，求出MC的长；如果不存在，请说明理由. 18. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，均在轴上，面积为，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）经过点的直线与曲线交于，两点，与椭圆的面积比为，求直线的方程. 19. 已知双曲线的标准方程为，的左右顶点分别为，，右焦点，离心率． （1）求双曲线方程及其渐近线方程； （2）过圆上的点作圆的切线，交双曲线于，两点，点为弦的中点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2025-2026学年上学期高二1月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知四面体中，、、两两垂直，， 与平面所成的角为，则点到平面的距离为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量法结合与平面所成的角为求出平面的一个法向量，再利用空间向量法代入到点到面的距离公式即可. 【详解】如图，以为原点，、、所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，得：， 不妨令，解得：， 因为与平面所成的角为， 所以，即，又，解得：. 所以平面的一个法向量为， 故到平面的距离为. 故选：A 2. 直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立方程可得经过的点，由垂直可得直线的斜率，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可． 【详解】直线经过两条直线和的交点， 由， 可得交点为， 直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即． 故选:B． 3. 已知是圆上的动点，以点为圆心，为半径作圆，设圆与圆交于A，B两点，则下列点中，直线一定不经过（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，圆M的方程为，又圆，两式相减得直线的方程，设直线上的点为，则，又，以为主元，由题意二者有公共点，从而求得，然后逐项验证即可. 【详解】设，则， 所以，圆M的方程为，又圆， 两式相减，得，即为直线的方程， 设直线上的点为，则，整理得， 又M是圆上的动点，则， 以为主元，则表示直线，表示以为圆心，2为半径的圆， 由题意，二者有公共点，则到直线的距离， 即，得， 对于A，， 对于B，， 对于C，， 对于D，， 则各选项的点中，直线一定不经过. 故选：C. 4. 已知椭圆的上顶点为，左顶点为，平行于的直线交椭圆于，两点，的中点为，且，则椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线平行得到，设出，两点坐标，利用作差法及中点坐标即可得到直线方程，与椭圆联立，结合求解即可. 【详解】椭圆的上顶点，左顶点为，，又，所以. 设，， 由的中点为，得，， 又因为、在椭圆上，所以，， 两式相减得， 又，，所以，解得，， 所以直线方程为，即， 与椭圆方程联立，整理得， ，. 所以，， 由得，， 整理得，解得，所以，. 所以. 故选：D． 5. 在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果. 某校数学兴趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点，在直线l上，是边长为1的等边三角形，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，，依次类推（其中点，，，，共线，点，，，，共线，点，，，，共线）. 由上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】第一次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点（不包括起点），圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，要使曲线H长度的最小，则刚好转四轮，据此计算即可求曲线H长度的最小值. 【详解】由题意可知，第个劣弧的半径为，圆心角为， 第一次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点（不包括起点）， 同理第二次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点， 以此类推，每一轮以次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点， 上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，要使曲线H长度的最小，则刚好转四轮， 所以曲线H长度的最小值为. 故选：C. 6. 数列中，已知对任意正整数n，有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用与前n项和的关系可得，然后利用等比数列求和公式即得. 【详解】∵， ∴， ∴， 当时，满足， ∴， ∴，， ∴数列是以1为首项，4为公比的等比数列， ∴. 故选：B. 7. 抛物线有这样的光学性质：沿平行于抛物线对称轴的方向射入一条光线，经抛物线反射后，光线一定经过抛物线的焦点.已知从点（）沿平行于轴的方向射入一条光线，经抛物线：反射后交抛物线于另外一点，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设反射光线的方程为，联立其与抛物线的方程，消去后，利用韦达定理可得，继而可求解. 【详解】根据题意可知，从点射入的光线经反射后， 一定经过抛物线的焦点， 设反射光线与抛物线的交点为，， 其中， 直线的方程为， 联立得，所以， 因为，所以， 所以点的纵坐标为. 故选:A. 8. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A. B. 平面 C. 向量与的夹角是120° D. 与所成角的余弦值为 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对各选项中的条件分析计算判断作答. 【详解】在平行六面体中，令，依题意，的长度均为6，且两两的夹角都为60°， 则有， 对于A，，则，A不正确； 对于B，平行四边形是菱形，则，又， 则，即，， 而，平面ACC1，所以平面，B正确； 对于C，，依题意是正三角形，即， ，而，则，C不正确； 对于D，，， ， ，即与所成角的余弦值为，D不正确. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”若满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆：相切，则下列结论正确的是（ ） A. 圆上的点到原点的最大距离为 B. 圆上存在三个点到直线的距离为 C. 若点在圆上，则的最小值是 D. 若圆与圆有公共点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】应用点到直线距离及直线和圆的位置关系计算判断A，B，应用斜率及直线和圆的位置关系计算判断C，应用圆与圆的位置关系计算求解判断D. 【详解】由题意，的欧拉线即的垂直平分线， ，，的中点坐标为，且直线的斜率， 则的垂直平分线方程为，即， 由“欧拉线”与圆：相切，到直线的距离 ，，则圆的方程为：， 圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点的最大距离为，故A正确； 圆心到直线的距离为， 圆心在直线上，且圆半径为， 圆上存在两个点到直线的距离为，故B错误； 的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率， 设过与圆相切的直线方程为，即， 由，解得，的最小值是，故C正确； 的圆心坐标，半径为， 圆的圆心坐标为，半径为， 要使圆与圆有公共点，则圆心距的范围为， ，解得，故D错误． 故选：AC． 10. 若数列是等差数列，公差为，则下列对数列的判断正确的有（ ） A. 若，则数列是等差数列 B. 若，则数列是等差数列 C. 若，则数列是公差为的等差数列 D. 若，则数列是公差为的等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列的定义逐项判断. 【详解】选项A，若，则，为常数， 所以数列是等差数列，故A正确； 选项B，若，则，为常数， 所以数列是等差数列，故B正确； 选项C，若，则， ， 数列是公差为的等差数列，故C不正确 选项D，若，则， ， 数列是公差为的等差数列，故D正确． 故选：ABD 11. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的顶点到其渐近线的距离为2 B. 若F为C的左焦点，点P在C上，则满足的点M的轨迹方程为 C. 若A，B在C上，线段AB的中点为，则线段AB的方程为 D. 若P为双曲线上任意一点，则点P到点和到直线距离之比恒为2 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线的性质、相关点法求轨迹方程、中点弦问题的处理方法对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对：双曲线的顶点为，，渐近线方程为， 顶点到渐近线的距离， 顶点到渐近线的距离，故A错误； 对：双曲线的左焦点的坐标为，设，， ∵，∴ ， ∴ ，，又在双曲线上，∴ ， ∴ ，故B正确； 对：设，，∵ 线段AB的中点为，故， 由已知可得，所以， ∴，∴ 直线AB的斜率为3， ∴ 线段AB的方程为，即，故C错误； 对：设，点到点的距， ∴，又点P到到直线的距离， ∴ 点P到点和到直线的距离之比恒为2，故D正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查双曲线的性质、中点弦问题的处理方法点差法，相关点法求轨迹方程；处理问题的关键是熟练应用不同问题对应的方法，属综合中档题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得________斤金．（不作近似计算） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意将每等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d，根据题意和等差数列的前n项和公式列出方程组，求出公差d即可得到答案． 【详解】设第十等人得金斤，第九等人得金斤，以此类推，第一等人得金斤， 则数列构成等差数列，设公差为，则每一等人比下一等人多得斤金， 由题意得，即， 解得， 所以每一等人比下一等人多得斤金． 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、前n项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于中档题． 13. 已知直线经过点和点，直线经过点和点，若与没有公共点，则实数a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】 求出两条直线斜率，再根据直线平行的位置关系，解出参数. 【详解】 解：由题意得，所以，因为，， 所以，所以． 故答案为：. 14. 双曲线右焦点为F，点P， Q在双曲线上，且关于原点对称． 若， 则的面积为______________． 【答案】4 【解析】 【分析】由条件根据直角三角形的性质可得，由双曲线的定义及对称性可得，由此可求，再求的面积即可. 【详解】因为双曲线的方程为，所以，，， 设其左焦点为，右焦点 因为，关于原点对称， 所以， 又由双曲线的对称性可得，由双曲线的定义可得, 所以，又， 所以， 所以， 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，，数列满足，． （1）证明：数列是等比数列，并求数列与数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析，，；（2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式即可求出首项和公差，进而可得的通项公式；利用等比数列的定义即可证明是等比数列，可得的通项公式，即可得的通项公式； （2）由（1），利用乘公比错位相减即可求出． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则 ， 解得， 所以 ， 为常数， 所以数列是为首项，公比为的等比数列， 所以，可得. （2）由（1）得：， 所以①， ②， ①﹣②得：， ＝， 整理得：． 【点睛】方法点睛：数列求和的方法 （1）倒序相加法：如果一个数列前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法 （2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求； （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减； （5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解. 16. 已知三点，，在圆C上. （1）求圆C的标准方程； （2）过原点O的动直线l与圆C相交于A，B两点，求线段的中点P的轨迹W的方程； （3）在（2）的条件下，若过点的直线m与曲线W有两个交点，求直线m的斜率的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）首先设圆的一般方程，代入三点坐标，即可得到圆方程； （2）过原点的直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，求得中点坐标，，再利用，消参得到中点的轨迹方程，并且利用直线与圆的位置关系，求得的范围； （3）根据（2）的结果，结合直线与圆的位置关系，以及直线与曲线端点相交等临界情况，再结合数形结合，求实数的取值范围. 【详解】设圆C的一般方程为， 将三点代入圆C的一般方程，有，解得， 所以圆C的一般方程为， 可得圆C的标准方程为. （2）设直线l的方程为，点A，B的坐标分别为，，点. 若直线l与圆C相交，有，解得. 联立方程，消去y后整理为， 则，. 可得点P的横坐标和纵坐标分别为，，两式相除， 代入点P的横坐标有，整理为，有. 又由，有. 综上知点P的轨迹W的方程为. （3）设直线m的方程为，整理为. 当直线m与圆相切时，有，解得， 将代入圆的方程，有，解得， 两点，所在直线的斜率为. 由（2）可知轨迹W为以点为圆心，1为半径的圆在的一部分， 若直线m与轨迹W有两个交点，如下图， 可得直线m的斜率的取值范围为. 17. 如图，四棱锥的底面为菱形且，底面ABCD，，，E为PC的中点. （1）求二面角平面角的正切值； （2）在线段PC上是否存在一点M，使平面MBD成立如果存在，求出MC的长；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）2 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）以O为原点，OA、OB、OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，先判断二面角是锐角还是钝角，再利用平面法向量夹角与二面角的关系即可； （2）设PC上存在点M使得平面，则有，设，利用空间向量法求出，即可求出，从而得解. 【小问1详解】 连接对角线AC、BD相交于点O，连接DE、OE，则为的中点，又E为PC的中点， 所以， 平面，平面，， 底面是菱形，即， 以O为原点，OA、OB、OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，，，，，， 则，，， 设二面角的平面角为，由图可知是锐角， 等于法向量夹角余弦的绝对值，平面ADC的法向量为， 设平面EAD的法向量为， ，，取，得到， ， 即，，，故二面角的平面角正切值是2. 【小问2详解】 设PC上存在点M使得平面，又平面，则有， ，设， ， ， ， ，， 此时，而平面，平面，， 又，平面，所以平面， 故当时，能使得平面. 18. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，均在轴上，面积为，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）经过点的直线与曲线交于，两点，与椭圆的面积比为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解方程即可求出，即可求出椭圆的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行讨论，当直线斜率存在时，通过将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合三角形的面积公式求解直线的斜率，进而得出直线方程. 【小问1详解】 设椭圆的方程为：， 因为椭圆的面积为，点在椭圆上. 所以解得：， 所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 因为经过点的直线与曲线交于，两点， 当直线的斜率不存在时，，此时， 因为与椭圆的面积比为，但，即直线斜率存在； 不妨设直线的方程为，联立， 消去并整理可得：， 不妨设，则， 因为， ， 所以 ， 因为与椭圆的面积比为， 所以，化简为， 即，即， 解得：，所以直线的方程为或， 所以直线的方程为或. 19. 已知双曲线的标准方程为，的左右顶点分别为，，右焦点，离心率． （1）求双曲线的方程及其渐近线方程； （2）过圆上点作圆的切线，交双曲线于，两点，点为弦的中点，证明：． 【答案】（1），． （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用焦点坐标和离心率，结合双曲线的基本量关系和，直接求出，代入标准方程即可得到双曲线方程，再由渐近线公式得到渐近线. （2）先写出圆切线方程，再与双曲线方程联立，利用韦达定理得到弦中点P 的坐标,分别用弦长公式计算，用两点距离公式计算，结合圆的方程条件化简后即可证明等式成立. 【小问1详解】 由焦点坐标可得，而，故，所以， 故双曲线方程为， 渐近线方程为． 【小问2详解】 由可得圆， 若直线的斜率存在， 设，，， 因为为圆的切线，故,即， 由可得， 故 ， 而，故 故，故， 当直线的斜率不存在时，或， 若，则，而，， 因，故， 同理可得若，也有， 故总成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $