精品解析：湖南省长沙市长沙县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年湖南省长沙市长沙县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组图形中，不相似的是（ ） A. B. C. D. 2. 随机掷一枚硬币，落地后其反面朝上的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 方程左边配成完全平方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2022年我国快递业务收入为10000亿元，预计2024年将增加到13000亿元．设我国2022年至2024年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数，则下列各点中，在这个反比例图象上的是（ ） A. B. C. D. ． 6. 中，，，，则的外接圆半径为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 7. 如图，在⊙中，直径垂直于弦，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点A（，）与点B（，）关于原点对称，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在一个不透明的袋子中有2个白球和6个黑球，他们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是_____． 12. 如图，中，，分别在，上，，，则与的面积之比为_________． 13. 如图，点M，N在反比例函数的图象上，分别过点M，N向x轴、y轴作垂线，则_____（填“>”、“<”或“＝”）． 14. 如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为点P，且AB＝CD＝8，则OP的长为 ___． 15. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 16. 如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为____． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当方法解下列方程． （1）； （2）． 18. 按照要求画图： （1）如图甲，在平面直角坐标系中，将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点为点．画出旋转后的； （2）如图乙，网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）． 19. 数学课上，李老师准备了四张背面都一样的卡片A、B、C、D，每张卡片的正面标有字母a、b、c表示三条线段（如下图）．把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张． ⑴ 李老师随机抽取一张卡片，抽到卡片B的概率等于 ； ⑵ 求李老师抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率． 20. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求m的取值范围． （2）当时，求m的值． 21. 如图，P为等边的边BC上一点，D为上一点，若． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，与相切于点D，连接交于点E． （1）判断所在直线与的位置关系，并说明理由． （2）若的半径为2，求的长．（结果保留π） 23. 某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置与地面垂直，且（如图），喷水能力最强，水流从A处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，当水流与喷水装置的水平距离为时，水流达到最大高度4m，以点O为坐标原点，所在直线为y轴，地面为x轴建立平面直角坐标系．设水流喷出的高度为，水流到喷水装置的水平距离为． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）现要在音乐喷泉外围地面上摆放花盆（大小忽略不计），不计其它因素，花盆到喷水装置的水平距离大于多少米时才不会被喷出的水流击中？ 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，过点A作x轴的垂线，垂足为C，的面积为4． （1）分别求出a和b的值； （2）在y轴上取一点P，使取得最大值，求出此时点P的坐标． 25. 我们不妨约定，若点的横坐标x与纵坐标y满足：，则我们称点W为“五好教育点”；若函数图象上有1个及以上“五好教育点”的函数，我们称该函数为“五好教育函数”．根据约定，解答下列问题． （1）写出“五好教育函数”图象上的“五好教育点”的坐标为A ，B ． （2）试判断函数是否为“五好教育函数”？若是，请求出该函数图象上的“五好教育点”的坐标；若不是，请说明理由． （3）已知函数经过“五好教育点”，点P是该函数图象上x轴下方部分的一个动点，过点P作轴的垂线，垂足为点C，该垂线交直线于点Q，点Q恰好为“五好教育点”，该函数图象交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），令，当点P运动时，试求T的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖南省长沙市长沙县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组图形中，不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，理解相似图形的定义是解题关键．如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，结合题中选项中所给的两个图形，运用上述的定义进行判定即可． 【详解】解：A.  两个图形均为正方形，是相似图形，不符合题意 B. 两个图形是相似图形，不符合题意； C. 一个矩形，一个正方形，两个图形不是相似图形，符合题意； D. 两个图形均为圆形，是相似图形，不符合题意． 故选：C． 2. 随机掷一枚硬币，落地后其反面朝上的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一枚硬币总计有两个面，抛掷之后任一一面朝上的可能性是相同的，则根据概率公式计算即可． 【详解】抛掷一枚硬币，共有正面朝上和反面朝上两种情况， ∴反面朝上的概率为：， 故选：B． 【点睛】本题考查概率公式，熟练运用概率公式是解题关键． 3. 方程左边配成完全平方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】移项，配方，即可得出选项． 【详解】解：， ， ， ． 4. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2022年我国快递业务收入为10000亿元，预计2024年将增加到13000亿元．设我国2022年至2024年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 设平均增长率为x，根据年至年我国快递业务收入由亿元增加到亿元，即可列出一元二次方程． 【详解】解：设平均增长率为x， 根据题意得：， 5. 已知反比例函数，则下列各点中，在这个反比例图象上的是（ ） A. B. C. D. ． 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在函数图象上，点的坐标就应该满足函数的解析式，反过来点的坐标满足函数解析式，点就在该函数图象上，通过xy=-5即可确定答案． 【详解】解：A、1×5=5所以此点不在该函数图象上，故本选项错误； B、-1×5=-5所以此点在该函数图象上，故本选项正确； C、-1×（-5）=5所以此点不在该函数图象上，故本项错误； D、2×5=10所以此点不在该函数图象上，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特点，熟记点的坐标与函数解析式的关系是解题关键． 6. 中，，，，则的外接圆半径为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出斜边，再根据直角三角形外接圆的半径是斜边的一半求出半径. 【详解】首先根据勾股定理求出斜边为10，再根据直角三角形外接圆的半径是斜边的一半得圆的半径为5，所以答案选A. 【点睛】要知道直角三角形外接圆的半径是斜边的一半是解答本题的关键. 7. 如图，在⊙中，直径垂直于弦，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理，直径垂直弦可平分弦所对的弧，得到；再由圆周角定理，结合的度数求出所对的圆心角的度数；最后根据等弧所对的圆心角相等，得到的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵直径垂直于弦， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：C． 8. 一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据扇形面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式求出圆心角的度数，即可得到正确答案． 【详解】解：设扇形半径为，圆心角度数为， ∵扇形弧长，面积， ∵， 解得 ∵， ∴， 即圆心角为． 9. 已知点A（，）与点B（，）关于原点对称，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特点:两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反可得，的值,进而得到答案. 【详解】解: ∵A（，）与点B（，）关于原点对称， ∴= -， = -， ∵+=2， ∴+= --= -(+)=-2, 故选D. 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点,关键是掌握点的坐标的变化规律. 10. 一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象与系数的关系，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出、、是解题的关键． 据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此即可得出：二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论． 【详解】解：观察一次函数和反比例函数的图象可知：，，， 二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴正半轴． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在一个不透明的袋子中有2个白球和6个黑球，他们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是_____． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据概率公式求解． 【详解】解：从中随机摸出一个球，摸到白球的概率． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数，熟练掌握运用此公式是解题关键． 12. 如图，中，，分别在，上，，，则与的面积之比为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由可判定与相似；再根据求出与的比例，也就是两个相似三角形的相似比；最后根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”，即可算出两个三角形的面积之比． 【详解】解：， ． ， ，即与的相似比为． ，即与的面积之比为． 13. 如图，点M，N在反比例函数的图象上，分别过点M，N向x轴、y轴作垂线，则_____（填“>”、“<”或“＝”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：设阴影部分的面积为m，根据反比例函数k值的几何意义可得： ， ∴． 14. 如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为点P，且AB＝CD＝8，则OP的长为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接 过于 过作于 再利用垂径定理求解 再证明四边形是正方形，再利用勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，连接 过于 过作于 所以四边形是正方形， 故答案为： 【点睛】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的应用垂径定理求值是解本题的关键. 15. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， 由图象可知，抛物线在直线上方时的的取值范围为或， 即不等式的解是或． 16. 如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为____． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，作辅助线；证明，得到；求出、的长，即可解决问题， 【详解】解：如图，连接， 由题意得：，， ∴为等边三角形， ∴，， 由旋转性质可知：，， ∴垂直平分， ∵， ∴ 在与中， ， ∴， ∴， ∴，且； 在中，由勾股定理得： ∴， ∴， 在，由勾股定理得：， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键； （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：， ，即， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 18. 按照要求画图： （1）如图甲，在平面直角坐标系中，将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点为点．画出旋转后的； （2）如图乙，网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，找出点A、B、C的对应点即可； （2）根据中心对称图形的性质进行画图即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：如图所示： 19. 数学课上，李老师准备了四张背面都一样的卡片A、B、C、D，每张卡片的正面标有字母a、b、c表示三条线段（如下图）．把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张． ⑴ 李老师随机抽取一张卡片，抽到卡片B的概率等于 ； ⑵ 求李老师抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）依据题意利用概率公式计算即可； （2）用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，由四张卡片中只有C、D两张卡片能构成三角形，据此利用概率公式求解可得． 【详解】解：（1）由题意可得， 随机抽取一张卡片，抽到卡片B的概率=； （2）列树状图如下： ∵共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形有C和D两张卡片，共2种结果， ∴抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率为. 【点睛】本题考查了概率的求法和树状图的运用，注意作图列表时按一定的顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求m的取值范围． （2）当时，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，根与系数的关系，因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是熟练一元二次方程的基础知识． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意可得： 解得； 【小问2详解】 由根与系数的关系可得：， 由可得 即，化简可得： 解得， 又∵ ∴ 21. 如图，P为等边的边BC上一点，D为上一点，若． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质得出，根据三角形的外角定理和角度的和差关系得出，即可证明； （2）根据相似三角形对应边成比例即可解答． 【小问1详解】 证明：∵等边， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵等边，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：． 22. 如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，与相切于点D，连接交于点E． （1）判断所在直线与的位置关系，并说明理由． （2）若的半径为2，求的长．（结果保留π） 【答案】（1）所在直线与相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连结，过点O作于点H，由切线的性质得到，由等腰三角形的性质推出平分，由角平分线的性质得到，即可证明所在直线与相切． （2）求出，由弧长公式即可计算． 【小问1详解】 解：所在直线与相切，理由如下： 连接，过点O作于点H， ∵与相切， ∴， ∵是等腰直角三角形，O为的中点， ∴平分， ∵， ∴， ∴所在直线与相切； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴ 的长为． 【点睛】本题考查切线的判定，弧长的计算，直线与圆位置关系的判定，等腰直角三角形，角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出；掌握弧长公式． 23. 某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置与地面垂直，且（如图），喷水能力最强，水流从A处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，当水流与喷水装置的水平距离为时，水流达到最大高度4m，以点O为坐标原点，所在直线为y轴，地面为x轴建立平面直角坐标系．设水流喷出的高度为，水流到喷水装置的水平距离为． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）现要在音乐喷泉外围地面上摆放花盆（大小忽略不计），不计其它因素，花盆到喷水装置的水平距离大于多少米时才不会被喷出的水流击中？ 【答案】（1） （2）花盆到喷水装置的水平距离大于3.5米时才不会被喷出的水流击中 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式，二次函数的应用，理解题意是关键． （1）根据题意可设抛物线解析式为，再将代入求解即可； （2）令，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知抛物线最高点坐标为， ∴设抛物线解析式为． ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得：，， ∴花盆到喷水装置的水平距离大于3.5米时才不会被喷出的水流击中． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，过点A作x轴的垂线，垂足为C，的面积为4． （1）分别求出a和b的值； （2）在y轴上取一点P，使取得最大值，求出此时点P的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式求出，进一步得出，进而确定反比例函数解析式，最后代入点的坐标即可； （2）根据“将军饮马”模型的变式，先作点关于轴的对称点，作直线，与y轴交于点，再利用待定系数法得出所在直线的解析式为，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点， ∴． ∵的面积为4，且轴， ， ∴． ∵点在第二象限， ∴， ∴． 将代入得，， ， ∴反比例函数的关系式为． 把代入得，， 解得，， ∴． 答：，． 【小问2详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，作直线，与y轴交于点， ，且点， 故设所在直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， 所在直线的解析式为， 故当点，，三点共线时，取得最大值，且点在y轴上， 当时，， 点P的坐标为． 25. 我们不妨约定，若点的横坐标x与纵坐标y满足：，则我们称点W为“五好教育点”；若函数图象上有1个及以上“五好教育点”的函数，我们称该函数为“五好教育函数”．根据约定，解答下列问题． （1）写出“五好教育函数”图象上的“五好教育点”的坐标为A ，B ． （2）试判断函数是否为“五好教育函数”？若是，请求出该函数图象上的“五好教育点”的坐标；若不是，请说明理由． （3）已知函数经过“五好教育点”，点P是该函数图象上x轴下方部分的一个动点，过点P作轴的垂线，垂足为点C，该垂线交直线于点Q，点Q恰好为“五好教育点”，该函数图象交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），令，当点P运动时，试求T的取值范围． 【答案】（1）、 （2）当k≠-1 时，该函数为“五好教育函数”，该图象上的“五好教育点”坐标为；当时，该函数为“五好教育函数”，该图象上的“五好教育点”坐标可以表示为；当时，该函数不是“五好教育函数” （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及函数图象的交点，勾股定理，新定义“五好教育函数”等知识点，熟练掌握二次函数的性质，灵活运用方程思想是解题的关键． （1）联立方程得，解得，，则可得出答案； （2）联立方程得出，则，分三种情况，情形①，若，即时，情形②，若，，即，时，情形③，若，，即，时，解方程可得出答案； （3）求出，，设，则．求出，则可得出答案． 【小问1详解】 解：联立方程得，消去y得，， 解得， 经检验都符合题意，此时， 所以“五好教育函数”图象上的“五好教育点”的坐标为、． 故答案为：、． 【小问2详解】 解：联立方程得，，消去y得，， 情形①，若，即时，，，此时该函数为“五好教育函数”，该图象上的“五好教育点”坐标为； 情形②，若，即时，方程有无数个解，此时该函数为“五好教育函数”，该图象上的每个点都是“五好教育点”，其坐标可以表示为． 情形③，若，即时，方程无解，此时该函数不是“五好教育函数”． 综上所述，当k≠-1 时，该函数为“五好教育函数”，该图象上的“五好教育点”坐标为； 当时，该函数为“五好教育函数”，该图象上的“五好教育点”坐标可以表示为； 当时，该函数不是“五好教育函数”； 【小问3详解】 解：因为点是“五好教育点”， 所以， 所以该点坐标为， 将点代入中得，， 解得， 所以该函数的解析式为， 令，则， 解得；， 所以，， 设，则． 所以，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以当点P运动时，T的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $