微专题突破(八) 新趋势————压轴题突破（专题练习）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

微专题突破(八) 新趋势————压轴题突破 考试时间：60分钟 满分：100分 成绩： 一、选择题(每题5分，共25分) 1.已知 可写成 的形式(a,b,c为正整数),则 abc 的值为 ( ) A. 980 B. 1 020 C. 1080 D. 1280 2.已知 且 则m 的值为( ) B. 3 D. C. A. 3.如图，以 Rt△ABC 的斜边BC 为边，在△ABC 的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO.若 则AC 的长为 ( ) A. B. 8 C. D. 4.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD=10cm,BC=8cm,点 P 从点D 出发，以1cm/s的速度向点A 运动，同时点M 从点B 出发，以相同的速度向点C 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点 P 的运动时间为t s，下列结论正确的是 ( ) A.当t=4时,四边形 ABMP 为矩形 B.当t=5时,四边形CDPM 为平行四边形 C.当CD=PM 时,t=4 D.当CD=PM 时,t=4或6 5.如图，两个正方形的边长都为6，其中正方形OEFG绕着正方形ABCD 对角线的交点O 旋转，正方形OEFG 与边AB，BC分别交于点M，N(不与端点重合).设两个正方形重叠部分的面积为m，△BMN的周长为n，则下列说法正确的是 ( ) A. m发生变化，n存在最大值 B. m发生变化，n存在最小值 C. m不发生变化，n存在最大值 D. m不发生变化，n存在最小值 学科网（北京）股份有限公司 二、填空题(每题5分，共25分) 6.已知 给出下列结论:①a,b,c互不相等;②a=b;③b=c;④abc=0.其中一定正确的是 .(填序号) 7.已知 且 则n的值为 . 8.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,E是边AB 上一点,连接DE,将△ADE 沿DE 翻折,点A 落在点F 处,连接CF.若△DFC 是等腰三角形,则AE 的长为 . 9.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC,BD 的长分别为2,2 ，点 P，Q分别在边AB,BC上运动,连接PQ,将△BQP 沿着PQ 翻折得到△B'QP.若点 B 的对称点B'恰好落在边AD上，则CQ长的最大值为 . 10.如图，正方形ABCD 的边长为6，M是AB 的中点，△MBE 是等边三角形，过点 E 作ME 的垂线，分别与边AD,BC相交于点F,G,点 P,Q分别在线段EF,BG上运动,且满足∠PMQ=60°,则 PF-GQ= . 三、解答题(共50分) 11.(16分)如图,在矩形 ABCD中,AB=5cm,BC=8cm,点 P 在边AD 上,点A 关于BP 的对称点为E,连接AE,BE,DE. (1)当AE=BE时,AP= cm; (2)当DE∥BP 时,求 AP 的长. 12.(16分)如图①,在正方形ABCD 中,AB=4,点E,F 分别在边AB,AD 上,且AE=AF=3,连接EF,BD,将△AEF 绕点A 逆时针旋转,点 E 与点E'对应,点 F 与点F'对应. (1)在△AEF 绕点A 以每秒15°的速度逆时针旋转的过程中，设旋转的时间为t s(0≤t≤24)，则当t= 时,AE'∥BD; 学科网（北京）股份有限公司 (2)如图②,当 绕点A 逆时针旋转到 位置时，连接BE',DF',判断BE'与DF'之间的关系，并说明理由； (3)在 绕点A 逆时针旋转的过程中，求 面积的最大值. 13.(18分)新素养推理能力如图，在边长为 的正方形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,E,F分别是线段OB,OD 上的两个动点,且.BE=2DF,,连接AE,AF.分别取AB,AE,CD 的中点H,K,G,连接HK,FG. (1)求证: ①HK=DF; (2)求 的最小值； (3)连接 FK,GE.求证:四边形 FGEK 是平行四边形; (4)若四边形 FGEK 是矩形,求证:AF=EF. 微专题突破(八) 新趋势——压轴题突破 1. C 解析：由题意，得 所以 所以 解得 所以 abc=1080. 2. C 解析：因为 所以 所以 所以 因为 所以 所以 解得 经检验， 是原方程的解且符合题意. 3. B 解析:如图,在AC上取点D,使DC=AB=2,连接DO，设AC与OB 相交于点 H.因为四边形BCEF 是正方形,所以OB=OC,OB⊥OC,所以∠BOC=90°,所以∠OCD+∠OHC=90°.因为∠BAC=90°,所以∠OBA+∠AHB=90°.因为∠AHB=∠OHC,所以∠OBA=∠OCD.在△OBA和△OCD 中, 所以△OBA ≌△OCD(SAS),所以 ∠DOC,所以∠AOB +∠BOD = ∠DOC +∠BOD,所以∠AOD=∠BOC=90°,所以AD= 所以AC=AD+DC=8. 4. D 解析:因为8÷1=8(s),所以0≤t≤8.由题意,得DP=BM=t cm.因为AD=10 cm,BC=8cm,所以AP=AD-DP=(10-t) cm,CM=BC-BM=(8-t) cm.当t=4 时,AP=6 cm,BM=4 cm,所以AP≠BM,所以四边形 ABMP 不为矩形,故选项 A 错误;当t=5 时,DP=5cm ,CM=3cm,所以DP≠CM,所以四边形CDPM 不为平行四边形,故选项 B 错误;当CD=PM 时,过点 C作CE⊥AD 于点E,过点 P 作PF⊥BC 于点F,则∠CEA=∠CED=∠PFB=∠PFM=90°.因为∠A=∠B=90°,所以四边形 ABFP 和四边形ABCE 都为矩形,所以 BF=AP=(10-t) cm,AB=PF,AB=CE,AE=BC=8cm ,所以 PF=CE,DE=AD-AE=2cm.在 Rt△PMF 和 Rt△CDE中， 所以 Rt△PMF≌Rt△CDE(HL),所以MF=DE=2cm.分类讨论如下:①当点M在点F 左侧时,BM+MF=BF,即t+2=10-t,解得t=4;②当点M 在点F 右侧时,BM=BF+MF,即t=10-t+2,解得t=6.综上所述,当CD=PM 时,t=4 或6,故选项C错误,选项 D正确. 5. D 解析:因为四边形ABCD 是正方形,所以OA=OB,∠OAM=∠OBN =45°,∠AOB=90°,所以∠AOM+∠BOM =90°.因为∠ECG=90°,所以∠BON+∠BOM=90°,所以∠AOM=∠BON.在△AOM 和 △BON 中, 所以△AOM≌△BON(ASA),所以 AM=BN,OM=ON,S△AOM=S△BON,所以 因为正方形ABCD 的边长为6,所以 AB=6,S正方形ABCD=36,所以m=9，所以 m 不发生变化.因为 MN= 所以 n=BM+BN+MN=BM+AM+MN=AB+MN=6+ OM.因为当 OM⊥AB 时,OM 的长取最小值,所以n存在最小值.因为点 M 不与点A，B重合，所以OM 的长不存在最大值，所以n 不存在最大值. 6. ②③ 解析:因为 所以 所以a-b=0,b-c=0,a-c=0,所以a=b=c.故其中一定正确的结论是②③. 7. 解析：因为 所以x+y=4n+2, xy=1.因为 所以 所以8(x+ 所以 所以 因为n≥0,所以4n+2=15,解得 或 解析:过点 F 作MN∥AD,分别交 AB,CD 于点M,N.因为四边形 ABCD是矩形,所以CD=AB=6,AD=BC=4,∠A=90°,AB∥CD,所以四边形 ADNM 是矩形,所以MN=AD=4,AM=DN.设AE=x.由折叠的性质,得EF=AE=x,DF=AD=4.若△DFC是等腰三角形，则分类讨论如下：①如图①，当CF=CD=6 时,过点 C 作CG⊥DF 于点G,则 所以CG= 因为 所以 所以 因为∠DNF=90°,所以 所以EM= 因为∠EMF=90°,所以 即 x²,解得 所以 ②如图②,当CF=DF=4时, 因为∠DNF=90°,所以 所以 因为AM=DN=3,所以 EM=AM-AE=3-x.因为∠EMF=90°,所以 即 解得 所以 综上所述，AE 的长为 或 解析：设AC，BD 相交于点 O，过点A 作AH⊥BC 于点 H.因为四边形 ABCD 为菱形,AC=2,BD=2 所以AB=BC,OA=OC= 所以∠AOB=90°,所以 所以BC=AB=AC,所以△ABC 为等边三角形,所以 由折叠的性质，得B'Q=BQ.因为CQ=BC-BQ=2-B'Q,所以当 B'Q 的长最小时，CQ 的长取最大值.由题图可知，当B'Q⊥BC 时,B'Q 的长最小,且 所以CQ 长的最大值为 10. 2 解析:如图,过点 E 作EH⊥BC 于点 H,过点 F 作 FK⊥BC 于点 K,则∠EHG =∠FKG=90°.因为正方形ABCD 的边长为6,所以AB=6,∠A =∠ABC =90°,所以四边形ABKF 是矩形,所以 FK=AB=6.因为△MBE是等边三角形,所以BE=BM=EM,∠BME=∠MBE=60°.因为∠PMQ=60°,所以∠BME=∠PMQ,所以∠BMQ+∠QME=∠EMP +∠QME,所以∠BMQ=∠EMP.因为 ME⊥FG,所以∠MEG =∠MEP =90°,所以∠MBQ =∠MEP.在△MBQ 和△MEP 中 所以△MBQ≌△MEP(ASA),所以BQ=EP,所以 PF-GQ=(EF-EP)-(BG-BQ)=EF-BG.因为M是AB的中点，所以 因为∠EBH=∠ABC-∠MBE=30°,所以 所以 因为∠BGE=360°-∠BME-∠ABC-∠MEG=120°,所以∠HGE=180°-∠BGE=60°,所以∠GEH=90°-∠HGE=30°,所以 所以 EH = 所以 HG= 所以 因为∠GFK=90°-∠HGE=30°,所以 所以FK= 所以 所以 所以 PF-GQ=EF- 解析：因为四边形 ABCD 是矩形，所以∠BAD=90°.因为点 A 关于BP 的对称点为E,所以∠ABP =∠EBP,AB=BE.又 AE=BE,所以AE=BE=AB,所以△ABE 是等边三角形，所以∠ABE=60°,所以 30°,所以 BP=2AP,所以 因为AB=5cm,所以 (2)如图，连接EP.因为点A 关于BP 的对称点为 E,所以 AP=EP,∠APB=∠EPB.因为DE∥BP,所以∠APB =∠PDE,∠EPB =∠PED,所以∠PDE=∠PED,所以EP=DP,所以AP=DP,所以 因为四边形ABCD 是矩形,所以 AD=BC=8 cm,所以AP=4 cm. 12. (1) 9 或 21 解析:因为 所以△AEF 绕点A 逆时针旋转了一周.因为四边形ABCD 为正方形,所以∠ABD=45°.分类讨论如下:① 当 AE'第一次与 BD 平行时, 所以 ②当AE'第二次与 BD 平行时， 所以 综上所述,当t=9 或 21时,AE'//BD. 理由如下：延长BE'，分别交AD,DF'于点G,H.因为四边形ABCD 为正方形,所以∠BAD=90°,AB=AD.由旋转的性质,得 所以 所以 因为AE=AF,所以.AE'=AF'. 在△ABE'和△ADF'中, 所以△ABE'≌△ADF'(SAS), 所 以BE'=DF', 因为∠BAD +∠ABE'+∠AGB=180°,∠DHG+∠ADF'+∠DGH=180°,∠AGB=∠DGH,所以∠DHG=∠BAD=90°,所以BE'⊥DF'. (3)如图，由题意，得点 E'在以点A 为圆心，3为半径的圆上运动，所以当AE'⊥BD 时，点E'到直线BD 的距离最大，此时△BE'D的面积取最大值.延长E'A 交BD 于点M,则 AM⊥BD. 因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AD= AB = 4,∠BAD=90°,所以 BM=DM,所以 因为AE'=AE=3,所以 所以 故△BE'D 面积的最大值为 13. (1) ① 因为 H,K 分别是AB,AE 的中点,所以HK 是△ABE 的中位线,所以BE=2HK.因为BE=2DF,所以 HK=DF. ② 因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AB=CD,AB∥CD,所以∠ABE=∠GDF.因为 H,G 分别是AB，CD 的中点，所以 CD,,所以AH=GD.因为HK 是△ABE 的中位线,所以HK∥BE,所以∠AHK=∠ABE,所以∠AHK =∠GDF.在△AHK 和△GDF 中, 所以△AHK≌△GDF(SAS). (2) 连接 AG.因为△AHK≌△GDF,所以KA=FG.因为 K 是AE 的中点,所以KA= AE,所以 所以 FG+AF≥AG.因为正方形 ABCD 的边长为 所以∠ADC=90°,AD=CD=2 所以 所以 所以 的最小值为 (3)因为KA=FG,KA=KE,所以KE=FG.因为△AHK≌△GDF,所以∠AKH=∠GFD.因为HK∥BE,所以∠AKH=∠AEB,所以∠AEB=∠GFD.因为∠AEB+∠AEF=180°,∠GFD+∠GFE=180°,所以∠AEF=∠GFE,所以 KE∥FG，所以四边形 FGEK 是平行四边形. (4)因为四边形 FGEK 是矩形,所以∠EKF=90°,所以FK⊥AE.因为KA=KE,所以FK 垂直平分AE,所以AF=EF. 学科网（北京）股份有限公司 $