第02讲 三角形的概念和性质（复习讲义，2考点+14题型+1重点）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

四章 三角形 第02讲 三角形的概念与性质 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 13 命题点一 与三角形有关的线段 题型01三角形的稳定性 题型02构成三角形的条件 题型03利用三角形三边关系求参数或取值范围 命题点二 三角形的三条重要线段 题型01与三角形的高有关的计算 题型02利用网格求三角形的面积 题型03利用三角形的中线求长度 题型04根据三角形的中线求面积 题型05三角形重心相关计算 题型06与三角形角平分线相关计算 命题点三 与三角形有关的角 题型01 与平行线有关的内角和问题 题型02 与角平分线有关的内角和问题 题型03 三角形内角和的一般计算 题型04 与尺规作图的综合 题型05 与三角形外角相关的题型 05·重难突破·思维进阶 47 突破一 三角形中最值问题 06·优题精选·练能提分 51 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 三角形的外角 天津卷 （第10题） 天津卷 （第10题） 天津卷 （第9题） 1. 理解三角形外角的概念，能准确识别外角；2. 掌握三角形外角的性质（外角等于与它不相邻两内角和、外角大于任一不相邻内角、外角和为 360°）；3. 能运用外角性质进行角度计算、大小比较与简单几何推理；4. 规范书写推理过程，培养几何直观与逻辑推理能力。 命题预测 考查难度与分值稳定：该考点作为中档基础题，未来仍会以中等难度题目为主，分值大概率维持在 3 分，固定以选择题形式考查（每年 1 道，位置稳定在第 9~10 题），侧重基础性质的直接应用与简单推理，不会出现难度陡增的情况。 应用场景直观具象：一方面会延续 2023-2025 年风格，继续选取三角形、平行线、三角板、折叠等为核心载体，考查外角性质在角度计算中的应用，重点关注外角与内角的转化关系；另一方面可能融入生活场景（如建筑支架、交通标志、几何教具）或古代几何器物，让题目更贴近直观认知，聚焦 “用外角性质解决实际角度问题” 的核心能力。 知识衔接更紧密：后续命题可能进一步加强三角形外角与其他知识点的融合。比如和平行线性质结合，利用 “同位角 / 内错角相等 + 外角性质” 推导角度关系；或与三角形内角和、全等三角形、相似三角形结合，先由外角性质得到角相等，再证明全等 / 相似；或融入平面直角坐标系，考查坐标系中三角形外角的坐标表示与角度计算，强化知识间的内在联系。 题型无大幅创新：不会出现复杂偏怪题型，仍以选择题为主要独立考查形式，偶尔在填空题或解答题的小问中结合三角形其他知识点考查。单独考查外角性质计算或推理的题目大概率会继续保留，符合天津中考 “图形与几何” 部分每年 1 道三角形性质题的常规考向，整体保持 “稳中有变，以稳为主” 的命题节奏。 考点一 与三角形相关的角 一、三角形的内角 1.定义 三角形内部的三个角，叫做内角。 2.内角和定理 三角形三个内角的和等于180° ∠A+∠B+∠C=180° 3.由内角判断三角形形状 ①三个角都小于90°→锐角三角形 ②有一个角等于90°→直角三角形 ③有一个角大于90°→钝角三角形 二、三角形的外角 1.定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 2.外角性质(超级重要) ①一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 ②一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 3.外角和 三角形的外角和等于360°(每个顶点取一个外角) 1．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 2．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 3．（2023·天津·中考真题）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质即可解答． 【详解】根据题意，由旋转的性质， 可得，，， 无法证明，，故B选项和D选项不符合题意， ，故C选项不符合题意， ，故A选项符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键． 4．（2025·天津河东·一模）如图，中，若，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心．大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；③作射线，与相交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案． 【详解】解：∵，， ， 由作图知，平分， ， 又， ， 故选：C． 考点二 与三角形中线相关的计算 一、基本概念 1.定义 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线。 2.数量 一个三角形有3条中线。 二、核心性质(必背) 1.中线平分对边 若AD是BC边上的中线，则 BD=DC=BC 2.中线平分三角形面积(最重要考点) 三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形。 3.三条中线的交点：重心 三角形三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。 4.重心的性质 重心到顶点的距离=重心到对边中点距离的2倍。 1．（2026·天津·一模）如图，每个小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上． （1）线段的长等于______； （2）以为直径的半圆的圆心为O，作平行于交圆O于D点．请用无刻度的直尺，在网格中画出点D．并简单说明D点的位置是如何找到的（不要求证明）________________________ 【答案】 见解析，用网格作出的中点E，连接，交于点F，连接并延长交于点G，连接并延长交半圆于点D，点D即为所求的点． 【分析】本题考查了勾股定理，三角形重心的概念，三角形中位线定理． （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用三角形重心的概念，得到是三角形的中位线，则可得到． 【详解】（1）解：由勾股定理可知， 故答案为：； （2）解：如图，利用网格作出的中点E，连接，交于点F，连接并延长交于点G，连接并延长交半圆于点D，点D即为所求的点． ． 2．（2025·天津河西·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，有直角三角形和以为直径的半圆组成的一个图形．的顶点均落在格点上． （1）线段的长为______； （2）若点为半圆弧的中点，点为边上一点，且直线恰好平分这个图形的面积．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 取，，连接，分别交网格线于点，连接交于点，连接，连接交于点；连接交网格线于点；连接交网格线于点；连接交于点，则点即为所求 【分析】本题考查了无刻度作图，勾股定理，作平行四边形，掌握图形性质是解题的关键； （1）根据勾股定理即可求解； （2）取，，连接，分别交网格线于点，连接交于点，连接，作交于点，则点即为所求，根据平分了四边形，找到使得的点，即可求解． 【详解】解：（1）根据勾股定理可得， 故答案为：． （2）如图，点和点即为所求； 取，，连接，分别交网格线于点，连接交于点，连接，连接交于点；连接交网格线于点；连接交网格线于点；连接交于点，则点即为所求； 理由如下，连接，设交于点， ∵是的中点 ∴弓形的面积相等， 则使得平分四边形， ∵是的中点， ∴平分了四边形， ∵是平行四边形， ∴ ∴，则 ∴，即即为所求， 故答案为：取，，连接，分别交网格线于点，连接交于点，连接，作交于点． 3．（2024·天津和平·三模）如图，在菱形中，对角线交于点O，点E为的中点，连接，．    （Ⅰ）的面积为__； （Ⅱ）若点F为的中点，连接交于点G，，则线段的长为__． 【答案】 12 【分析】（1）根据三角形中线求面积即可； （2）过点E作于点M，由菱形的性质，是的中位线，得，因此，推出，得到，从而求出的长，得到的长，求出的长，由三角形面积公式求出长，得到的长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：（1）为的中点， ， ； （2）如图，过点E作于点M，     四边形为菱形， ， ， ， ， ， 为的中位线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形中线求面积，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，关键是过点E作于点M，证明，求出的长． 4．（2024·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，顶点B落在格线上，是的外接圆． （1）的面积等于______． （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出直径，并在直径上找到点Q，使得的面积等于5．简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）__________________________________________________________________________________________． 【答案】 5 如图，取圆与格线的交点D，E，连接，，两条线段交于点O；连接并延长，与圆交于点P；取格点F，G，并连接，交于点M，连接，并延长交格线于点H，连接，并延长交于点Q，点P，Q即为所求． 【分析】本题主要考查了90度的圆周角所对的弦是直径，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等： （1）根据三角形面积计算公式结合网格的特点求解即可； （2）如图，取圆与格线的交点D，E，连接，，两条线段交于点O；连接并延长，与圆交于点P；取格点F，G，并连接，交于点M，连接，并延长交格线于点H，连接，并延长交于点Q，点P，Q即为所求． 【详解】解：（1）由题意得，， 故答案为：5； （2）如图，取圆与格线的交点D，E，连接，，两条线段交于点O；连接并延长，与圆交于点P；取格点F，G，并连接，交于点M，连接，并延长交格线于点H，连接，并延长交于点Q，点P，Q即为所求． 由90度的圆周角所得的弦是直径，可得的交点O，即为圆心，则即为直径； 易知点M分别为的中点，则易证明，进而证明，则由平行线的性质可得． 故答案为：如图，取圆与格线的交点D，E，连接，，两条线段交于点O；连接并延长，与圆交于点P；取格点F，G，并连接，交于点M，连接，并延长交格线于点H，连接，并延长交于点Q，点P，Q即为所求． 命题点一 与三角形有关的线段 ►题型01 三角形的稳定性 【典例】（2025·上海·模拟预测）如图，建筑工地上的塔吊机的框架由数个三角形拼接而成，其数学依据是（    ）    A．两点之间线段最短 B．三角形内角和为 C．三角形具有稳定性 D．三角形两边的和大于第三边 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，根据三角形具有稳定性即可得到答案． 【详解】解：塔吊机的框架由数个三角形拼接而成，其数学依据是三角形具有稳定性， 故选：C ． 【变式1】（2025·贵州贵阳·一模）大多斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这样做的原理是（    ） A．三角形的稳定性 B．三角形任意两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形任意两边之差小于第三边 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟记三角形的稳定性．利用三角形的稳定性求解即可． 【详解】解：大多斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这种做法的依据是：三角形的稳定性． 故选：A． 【变式2】（2025·吉林松原·模拟预测）网课已经成为学习的一种方式，小南在上网课时把手机放在如图所示的一个支架上面，就能非常方便地支起手机，该支架采用了三角形结构，这样设计的原理是_____． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，根据该支架采用了三角形结构，能非常方便地支起手机，得出这样设计的原理是三角形具有稳定性，即可作答． 【详解】解：依题意，该支架采用了三角形结构，能非常方便地支起手机， ∴这样设计的原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性 ►题型02 构成三角形的条件 最简单判断方法(做题最快) 先把三条边从小到大排好： 只看一句话：最短两边之和>最长边，即： 【典例】（2025·广东广州·二模）下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（   ） A．3，4，7 B．6，8，15 C．5，12，13 D．5，5，11 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系．三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握是解题的关键． 若两条较短木棒的长度之和大于最长的木棒的长度，则三根木棒可摆成三角形；否则不能摆成三角形 ，据此分析各项即得． 【详解】A、3，4，7， ∵， ∴3，4，7的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形； B、6，8，15， ∵， ∴6，8，15的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形； C、5，12，13， ∵， ∴5，12，13的三根小木棒首尾顺次相接，能摆成三角形； D、5，5，11， ∵， ∴5，5，11的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形． 故选：C． 【变式1】（2025·湖南长沙·一模）从长度分别为2，3，4，5，6的五条线段中随机抽取三条，能围成三角形的组合共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴能围成三角形的三条线段长度分别为、、、、、、，组合共有7种， 故选：D． 【变式2】（2025·山东滨州·一模）满足下列条件的三条线段a，b，c能组成三角形的是（   ） A． B．， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三条边的关系．根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：A、设a，b，c分别为，，，则有，即，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形； B、当时，，，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形； C、当，，时，，符合三角形的三边关系，故能构成三角形； D、，即，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形． 故选：C． ►题型03 利用三角形三边关系求参数或取值范围 确定第三边取值范围·解题技巧(一步不丢分) 已知三角形两边长为、，求第三边的范围 第三边：大于两边之差，小于两边之和，即 常见题型：求周长范围 先求第三边范围，再整体加： 【典例】（2026·河南周口·模拟预测）一个三角形的三边长度分别为，2，5，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形任意一边的长度大于另外两边长度之差，小于另外两边长度之和，列出不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵三角形三边长分别为，，， ∴， 即， 解得：． 【变式1】（2025·广东深圳·三模）小明有两根长度分别为和的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有4根木棒供他选择，其长度分别为，小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，求概率．设第三根木棒的长度为，根据三角形三边关系，可得，从而得到符合条件的为，共2根，再由概率公式计算即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 由三角形的三边关系得：， 即， 所以符合条件的为，共2根． 所以恰好能够组成一个三角形的概率为． 故选B． 【变式2】（2025·山东日照·一模）线段能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数的和为______． 【答案】 【分析】本题考查构成三角形的三边关系、解不等式组、不等式组有解时参数范围等知识，先由三角形三边关系得到，再解含参数的不等式组，根据不等式组有解情况得到所有整数，求和即可得到答案．熟练掌握由不等式组有解情况求出参数范围的方法是解决问题的关键． 【详解】解：线段能构成三角形， ， ， 由②得， 关于的不等式组有解， 不等式组的解集为， 则，即， 为整数， 可取， 则使关于的不等式组有解的所有整数的和为， 故答案为：． 命题点二 与三角形有关的线段 ►题型01 与三角形的高有关的计算 【典例】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，点D是边上的一个动点（不与点A，B重合），连接，当时，则的面积为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，同高的两个三角形的面积关系，先求解，，再结合即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故选：D 【变式1】（2025·浙江杭州·一模）如图，点C是线段上一点（），分别以为直角边在同侧作等腰和等腰，连结．记，，，，若，则（    ） A．10 B．15 C．20 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积，设等腰的直角边长为a，等腰的直角边长为b，则，分别表示出和即可求解． 【详解】设等腰的直角边长为a，等腰的直角边长为b， 则， ∴， ∵， ∴． 故选C． 【变式2】（2026·陕西西安·二模）如图，，分别是的高线、中线，若，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中线平分三角形的面积，以及三角形面积公式的运用． 首先根据三角形中线的性质得到，根据三角形面积公式得到的长度． 【详解】解：∵，分别是的高线、中线， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故选：． ►题型02 利用网格求三角形的面积 【典例】（2025·浙江·模拟预测）如图，在的正方形方格中，的顶点，都在边长为1的小正方形的顶点上，边上的点也在小正方形的顶点上，则的面积等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练利用网格中的平行线判定相似是解题的关键．由图，利用，判定，得出，即可求出，则可求出，再利用，即可求解． 【详解】解：如图， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上，则点到线段的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形面积，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 过点作于点，得到，，得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点， 根据题意得：，， ， ， ， 点到线段的距离为， 故答案为：C． 【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、面积法以及三角形面积公式等知识，由勾股定理求出的长，再由三角形面积求出中边上的高即可．熟练掌握勾股定理和面积法是解题的关键． 【详解】解：设中边上的高为， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 即中边上的高为， 故选：B． ►题型03 利用三角形的中线求长度 基础思路：中线→线段相等 看到中线，第一反应：中点→两条线段相等 若AD是BC边上的中线→BD=DC=BC 用途： ①直接求线段长度 ②求周长时用 【典例】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 【答案】C 【分析】根据题意可得，再求出，利用三角形中线的定义可得的长，即可求得的周长． 【详解】解：， ， ， 、是的两条中线， ， 的周长是． 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，是边上的中线，是的中位线，且，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，三角形中线的性质，勾股定理，由三角形中位线的性质可得，，即得，，又由三角形中线的性质可得，进而利用勾股定理解答即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：是的中位线， ，， ，， 是边上的中线， ， ∵， ∴， 故选：． 【变式2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，的周长为．若为的中线，则的周长是_______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，解题时要注意三角形的中线和周长的综合应用．先根据的周长求出，再根据三角形中线的定义求得，即可求出结果． 【详解】解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：8． ►题型04 根据三角形的中线求面积 【典例】（2026·河南周口·一模）如图，的面积为，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到，，按此规律，倍长次后得到的的面积为______． 【答案】 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后的面积是的面积的倍，依此规律可得结论． 【详解】解：如图，连接，，， 根据等底等高的三角形面积相等可得：，，，，，，都相等， ∴， 同理可得， 以此类推：， ∵， ∴， ∴的面积为． 【变式1】（2026·上海闵行·一模）如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么___________． 【答案】 【分析】根据中位线的性质，可知,进而可知,根据线段关系可知相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知，，进而可转化出答案． 本题考查了相似三角形的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：在中， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， 则,, ,, , , , ∵， , , , , 在中，和等高， , , 故答案为：． 【变式2】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，在中,平分，过点B作，垂足为D，连接．若的面积为，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．延长交于点，证明，得到，，，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点． 平分，且， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（2025·福建·一模）如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，若，则_____． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的中线与面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．根据三角形中线的性质可得，，由此即可得． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，是边上的中线， ∴， 故答案为：4． ►题型05 三角形重心相关计算 【典例】（2025·广东惠州·三模）如图，在中，点D为边的中点，点G为的重心，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 连接，并延长交于点E，连接，根据点G为的重心，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，并延长交于点E，连接， ∵点G为的重心， ∴点E为的中点， ∵为边上的中线， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2 【变式1】（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，的顶点是边长为2的等边的重心，的两边与的边交于，，，则与的边所围成阴影部分的面积是___________． 【答案】 【分析】连接、，过点O作，垂足为N，由点O是等边三角形的内心可以得到，结合条件即可求出的面积，由，从而得到，进而可以证到，因而阴影部分面积等于的面积． 【详解】解：连接、，过点O作，垂足为N， ∵为等边三角形， ∴， ∵点O为的内心 ∴，． ∴． ∴．， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的内心、三角形的内角和定理，有一定的综合性，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 【变式2】（2025·江苏扬州·二模）如图，点是的重心，过点作直线，分别交边、于点、，现随机向内部掷一枚小针，则针尖落在区域内的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形重心的性质以及几何概率等知识，熟练掌握相似三角形的判定性质、掌握求解的方法是关键； 连接并延长交于G，如图，根据重心的性质可得，然后根据相似三角形的判定和性质可得，再根据几何概率的意义即可求解． 【详解】解：连接并延长交于G，如图， ∵是的重心， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴随机向内部掷一枚小针，则针尖落在区域内的概率为； 故答案为：． ►题型06 与三角形角平分线相关计算 【典例】（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，平分，D是的中点， ，则的长度为__________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将已知边的长度关系转化为新线段的长度，再利用中点条件确定中位线，进而求出目标线段长度． 延长、相交于点F，利用平分得到，结合得出，再根据公共边，通过判定定理证明；由全等三角形的性质可得、，结合已知、，计算出；因为D是的中点且，所以符合三角形中位线的定义，即是的中位线，最后根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”，求出． 【详解】解：延长，相交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点，， ∴是的中位线， ， 故答案为：． 【变式1】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，过点D作于点E，作的平分线交于F，且，若，，则的长为_______． 【答案】3 【分析】先由平行四边形的性质以及垂直的定义得出，构造辅助线延长至点G，使，连接，由“”证明，利用全等三角形的性质以及角平分线的性质进行倒角得到，即，由勾股定理得到的长，即的长，最后由线段之间和差关系得到长度． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，． ， ． ． 延长至点G，使，连接． ，， ． ． 平分， ． 设． 则，． ． ． ． ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理．掌握这些判定与性质进行角与边的推导代换是解题的关键． 【变式2】（2025·吉林松原·三模）如图，在中，点是边的中点，点在边上，且平分，已知，则的长为_______ ． 【答案】6 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意得出，得到，得出点为中点，利用中位线的性质确定，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点为中点， ∵点是边的中点， ， ∴， ∴， 故答案为：． 命题点三 与三角形有关的角 ►题型01 与平行线有关的内角和问题 【典例】（2025·山西忻州·三模）小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的度数为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，证明，结合平行线的性质可得，，进而解得的值，再由镜面反射的特性，可知，即可求得的值，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：根据题意，可知，，， 如下图，过点作， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由镜面反射的特性，可知， ∴， ∴． 【变式1】（2026·陕西西安·一模）如图，在中，点D是边延长线上一点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质、对顶角的定义和三角形的内角和定理知识点，根据对顶角得到，利用平行线的性质得到，再利用三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 故选：C． 【变式2】（2025·湖北·模拟预测）如图，梯形中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质求出，根据等腰三角形性质求出，推出，求出，根据三角形的内角和定理求出即可． 本题主要考查对梯形，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． ►题型02 与角平分线有关的内角和问题 【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在中，，若从顶点作高线和角平分线，与的夹角为，则 的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，三角形内角和定理，分和两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当时，如图①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； 当时，如图②， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； 综上， 的度数为或， 故答案为：或． 【变式1】（2025·宁夏银川·一模）如图，在中，，点I是内心，则__________． 【答案】/122度 【分析】本题考查三角形的角平分线及内心、三角形的内角和定理，熟知三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解答的关键．先根据三角形的内角和定理求得，再根据内心定义求得，然后再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点I是的内心， ∴、分别平分、， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【变式2】（2025·安徽安庆·一模）在中，，，平分交于点，平分交于点． （1）________； （2）若，则长为________． 【答案】 / 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的性质定理，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，根据角平分线的定义得到，，由三角形内角和定理即可求解； （2）如图所示，延长交于点，过点作于点，，，在中，，，，，由此即可求解． 【详解】解：（1）在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 在中，； （2）如图所示，延长交于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵是角平分线，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①；②． ►题型03 三角形内角和的一般计算 【典例】（2026·河南平顶山·一模）如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查方位角，三角形内角和定理，熟练掌握方位角的定义是解题的关键．根据题意得到，，根据三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向， 由题意得：，，，， ， ，， ． 故选D． 【变式1】（2026·安徽·一模）如图，在中，，，为边的中点，为边上一点．若，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明是含角的直角三角形，得出即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴． 【变式2】（2026·吉林长春·一模）如图，在中，点、分别在边、上．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中应用三角形内角和定理有，结合可得，同理有，完成计算即可解答． 【详解】解：在中，，， ， 同理，， ． ►题型04 与尺规作图的综合 【典例】（2026·新疆昌吉·一模）如图，在中，，．以A点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于M、N，再分别以M、N为圆心画弧，两弧交于P点，连延长交于D．下列说法：①是的平分线；②；③是等腰三角形；④；其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理可得，由作图可得，是的平分线，即可判断①；由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理即可判断②；由等腰三角形的定义即可判断③；由直角三角形的性质即可判断④． 【详解】解：∵在中，，． ∴， 由作图可得，是的平分线，故①正确； ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，即是等腰三角形，故③正确； ∵在中，，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共个． 【变式1】（2026·湖南邵阳·一模）如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图一基本作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．先利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和计算出的度数，即可求解． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则______．    【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． 由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． ►题型05 与三角形外角相关的题型 【典例】（2025·天津南开·一模）如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，连接，点恰在线段上，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据旋转的性质可得，则由等边对等角和三角形内角和定理可得，则由平角的定义可得，据此可判断A、B，根据三角形外角的性质和内角和定理，可判断C、D． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴，故B结论正确，符合题意； ∵， ∴与不平行，故A结论错误，不符合题意； ∵，， ∴， ，C结论错误，不符合题意； ， ， ， 与不垂直，D结论错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（2025·天津·模拟预测）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B．平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过以上知识点，逐个选项进行分析判断即可求解． 【详解】解：将以点为旋转中心逆时针旋转得到， ， ，，，， ，， ，故A正确； ， ， ， ， 平分，故B正确； ， ， 由上可知，， ，故C正确； 选项D无法判断； 故选：D． 【变式2】（2024·天津河北·二模）如图，已知，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线于 点M，N，分别以点M，N为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线上取点H，以点H为圆心，以线段长为半径作弧交射线于点D；点E，F分别在射线上，，射线交于点G，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，三角形外角的性质， 利用基本作图得到平分，则，利用基本作图可得，所以，可得，所以，，再根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：由基本作图得到平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 突破一 三角形中最值问题 【典例】（2026·陕西·模拟预测）如图，在菱形中，，连接，点分别是边，对角线上的动点，且，连接，当取得最小值时，的长为__________． 【答案】5 【分析】如图，在的上方作，且使得，连接．证明，得到．易证．当三点共线时，取最小值，即为的长．即可求解． 【详解】如图，在的上方作，且使得，连接． ∵四边形是菱形，， ∴． ∵ ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴当三点共线时，取最小值，即为的长． ∵的长为， ∴，即的长为． 【变式1】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接．若分别为的中点，则线段长的最小值为___________． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了勾股定理、中位线、三角形的三边关系，首先根据勾股定理求出，取的中点，连接，以构造中位线，根据中位线的性质求出的长度，在中利用三角形的两边之差小于第三边得到，当三点共线，且点在点之间时，线段长最小，最小值即为． 【详解】解：由旋转的性质得， 在中，由勾股定理得． 如图，取的中点，连接 为的中点，为的中点， ， 同理可得， 根据三角形的三边关系可知， 当三点共线，且点在点之间时，线段长最小， 最小值为． 故答案为：． 【变式2】（2025·河南新乡·模拟预测）如图，在矩形中，，，点P为直线上一个动点，作射线，过点C作，垂足为Q，连接，则的最小值为______，最大值为______． 【答案】 1 9 【分析】取的中点M，连接，，由矩形的性质得到，求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得到，即可得到的最小值和最大值． 【详解】解：取的中点M，连接，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 由三角形三边关系定理得到：， ， 的最小值为1，最大值为． 故答案为：1，． 【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形三边关系，矩形的性质，勾股定理，关键是由三角形三边关系定理得到． 1．（2026·河北秦皇岛·一模）现有两根长度分别为6厘米和10厘米的木棒，若再取一根木棒，使这三根木棒能围成三角形，则第三根木棒的长度可以是（   ） A．2厘米 B．4厘米 C．9厘米 D．18厘米 【答案】C 【分析】先求出第三边的取值范围，再匹配选项得到答案． 【详解】解：设第三根木棒长度为厘米， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，已知两根木棒长分别为6厘米和10厘米， ∴，即， 观察选项，只有9厘米满足该范围，因此选C． 2．（2026·河北邢台·一模）如图，中，是两条中线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中线把三角形的一条边分成相等的两段，可知、，根据等底同高的两个三角形的面积相等，可知、，从而可知． 【详解】解：是边上的中线， ， ， ， 是的中线， ， ， ， ， ． 3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等边对等角求出，再由折叠得到，从而根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠可得， ∴． 4．（2026·陕西咸阳·一模）如图，矩形的对角线相交于点O，点E在上，连接，若，则的度数为______． 【答案】 79 【分析】先根据矩形的性质结合三角形内角和定理求出，再利用三角形外角的性质求出，最后由即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ； ， ； ， ， ． 5．（2026·河北秦皇岛·一模）将一副三角尺按下图的位置摆放，已知，，则_____． 【答案】75度/ 【详解】解：由题意得，， ∴， ． 6．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，已知，且，，，点D、F分别在上滑动．点M是的中点，点N是的中点，则的最小值是______． 【答案】2 【分析】本题考查三角形三边关系，直角三角形斜边的中线，全等三角形的性质，关键是由三角形三边关系定理得到．连接，由勾股定理求出，由全等三角形的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质推出，，由三角形三边关系定理得到，即可得到的最小值． 【详解】解：连接， ，，， ， ， 点M是的中点，点N是的中点，， ，， 由三角形三边关系定理得到：， 的最小值是 故答案为： 7．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点E恰好落在边上，若，则旋转角为___________． 【答案】28 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键． 根据旋转的性质得到、，进而得到，最后利用三角形内角和定理求出旋转角的度数即可． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， 、， ， ， 旋转角为． 8．（2026·河南周口·模拟预测）如图，在中，，是的外角的平分线． (1)在上求作一点，在上求作一点，使四边形是矩形；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的尺规作图与性质以及矩形的判定，同时考查了尺规作图的基本操作能力．关键是熟练运用等腰三角形的三线合一和等边对等角性质，结合三角形外角性质证得直线平行，通过平行四边形的判定完成矩形判定的过渡，尺规作图则需掌握角平分线的基本作法，将作图与几何性质结合起来． （1）先利用尺规作角平分线的方法作出的平分线，再通过尺规截取等长线段的方法在相关边上确定点． （2）先由得出，结合三角形外角性质，推出内错角相等，进而证得，再结合，根据一组对边平行且相等证出四边形是平行四边形，又由等腰三角形三线合一得出，即，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，完成证明． 【详解】（1）解：如图，①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于 长为半径画弧交于点； ③作射线交于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则点，即为所求． （2）证明：∵， ∴． ∵是的外角的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， 由作图可知平分， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 1．（2026·上海杨浦·二模）在中，，为的角平分线，将沿着直线折叠，点落在点处，若，，则的值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质和角平分线的性质可得，点在边上，因此，计算出的值即可． 【详解】解：如图， 由折叠的性质可知，，， ∵为的角平分线， ∴， ∴点在边上 ∴， ∵，， ∴， 在直角中，， ∴． 2．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，，M为边的中点．将绕点M旋转一定角度得到，点A，B，C的对应点分别为点，连接，若恰好经过点C，则的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质. 由旋转的性质可得，由线段中点的定义证明，进而可证明为等边三角形，则． 【详解】解：由旋转的性质得， ∵M为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 故选：C． 3．（2024·北京·三模）如图，点A、B、C在同一条直线上，点B在点之间，点在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论： ①；②；③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质、三角形的三边关系、完全平方公式等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，则可得，利用勾股定理可得，再根据三角形的三边关系即可得①正确；在中，利用勾股定理即可得②正确；利用直角梯形的面积公式即可得③正确． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴，结论①正确； 在中，，即， ∴，结论②正确； 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是直角梯形， ∴， ∴，结论③正确； 综上，所有正确结论的序号是①②③， 故选：D． 4．（2025·山东济南·一模）如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若，则_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形中线平分三角形的面积，相似三角形的性质，解题的关键是证明，利用相似三角形的性质列方程． 由且为边的中线知，根据，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方列式求解可得． 【详解】解：∵，且为边的中线， ∴， ∵将沿边上的中线平移得到， ∴， ∴， 则，即， 解得或（舍）， 故答案为：2． 5．（2025·陕西汉中·二模）如图，在矩形中，，，点是平面内任意一点，连接、，点是的中点，连接，若，则的最大值为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 如图，延长到，使得，连接，，证明，求出的最大值可得结论． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． ， ， ∵四边形都是矩形， ， ， ∴， ， ， ∴的最大值为 ， ∴的最大值为． 故答案为： ． 1．（2025·山东威海·中考真题）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形中线的性质以及相似三角形的判定和性质等知识； 根据三角形的中位线定理结合三角形中线的性质可得，可得，再根据相似三角形的性质进一步判断即可. 【详解】解：∵的中线交于点F， ∴， ∴，，故D选项结论正确； ∴，， ∴，，，故A、C选项结论正确，B选项结论错误； 故选：B. 2．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 3．（2025·宁夏·中考真题）如图，⊙是的内切圆，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大． 根据是的内切圆，得出，，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 4．（2025·北京·中考真题）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 【答案】43 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是_________ 【答案】或或 【分析】本题主要考查矩形的性质和折叠的性质，解题的关键是要分情况讨论与，的夹角情况，再利用矩形的性质和折叠的性质以及直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【详解】解：①当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; ②当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; 或，如图： ，, , , ; 综上，的度数可以是或或． 故答案为：或或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 四章 三角形 第02讲 三角形的概念与性质 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 与三角形有关的线段 题型01三角形的稳定性 题型02构成三角形的条件 题型03利用三角形三边关系求参数或取值范围 命题点二 三角形的三条重要线段 题型01与三角形的高有关的计算 题型02利用网格求三角形的面积 题型03利用三角形的中线求长度 题型04根据三角形的中线求面积 题型05三角形重心相关计算 题型06与三角形角平分线相关计算 命题点三 与三角形有关的角 题型01 与平行线有关的内角和问题 题型02 与角平分线有关的内角和问题 题型03 三角形内角和的一般计算 题型04 与尺规作图的综合 题型05 与三角形外角相关的题型 05·重难突破·思维进阶 47 突破一 三角形中最值问题 06·优题精选·练能提分 51 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 三角形的外角 天津卷 （第10题） 天津卷 （第10题） 天津卷 （第9题） 1. 理解三角形外角的概念，能准确识别外角；2. 掌握三角形外角的性质（外角等于与它不相邻两内角和、外角大于任一不相邻内角、外角和为 360°）；3. 能运用外角性质进行角度计算、大小比较与简单几何推理；4. 规范书写推理过程，培养几何直观与逻辑推理能力。 命题预测 考查难度与分值稳定：该考点作为中档基础题，未来仍会以中等难度题目为主，分值大概率维持在 3 分，固定以选择题形式考查（每年 1 道，位置稳定在第 9~10 题），侧重基础性质的直接应用与简单推理，不会出现难度陡增的情况。 应用场景直观具象：一方面会延续 2023-2025 年风格，继续选取三角形、平行线、三角板、折叠等为核心载体，考查外角性质在角度计算中的应用，重点关注外角与内角的转化关系；另一方面可能融入生活场景（如建筑支架、交通标志、几何教具）或古代几何器物，让题目更贴近直观认知，聚焦 “用外角性质解决实际角度问题” 的核心能力。 知识衔接更紧密：后续命题可能进一步加强三角形外角与其他知识点的融合。比如和平行线性质结合，利用 “同位角 / 内错角相等 + 外角性质” 推导角度关系；或与三角形内角和、全等三角形、相似三角形结合，先由外角性质得到角相等，再证明全等 / 相似；或融入平面直角坐标系，考查坐标系中三角形外角的坐标表示与角度计算，强化知识间的内在联系。 题型无大幅创新：不会出现复杂偏怪题型，仍以选择题为主要独立考查形式，偶尔在填空题或解答题的小问中结合三角形其他知识点考查。单独考查外角性质计算或推理的题目大概率会继续保留，符合天津中考 “图形与几何” 部分每年 1 道三角形性质题的常规考向，整体保持 “稳中有变，以稳为主” 的命题节奏。 考点一 与三角形相关的角 一、三角形的内角 1.定义 三角形内部的三个角，叫做内角。 2.内角和定理 三角形三个内角的和等于180° ∠A+∠B+∠C=180° 3.由内角判断三角形形状 ①三个角都小于90°→锐角三角形 ②有一个角等于90°→直角三角形 ③有一个角大于90°→钝角三角形 二、三角形的外角 1.定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 2.外角性质(超级重要) ①一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 ②一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 3.外角和 三角形的外角和等于360°(每个顶点取一个外角) 1．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·天津·中考真题）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．（2025·天津河东·一模）如图，中，若，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心．大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；③作射线，与相交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 考点二 与三角形中线相关的计算 一、基本概念 1.定义 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线。 2.数量 一个三角形有3条中线。 二、核心性质(必背) 1.中线平分对边 若AD是BC边上的中线，则 BD=DC=BC 2.中线平分三角形面积(最重要考点) 三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形。 3.三条中线的交点：重心 三角形三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。 4.重心的性质 重心到顶点的距离=重心到对边中点距离的2倍。 1．（2026·天津·一模）如图，每个小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上． （1）线段的长等于______； （2）以为直径的半圆的圆心为O，作平行于交圆O于D点．请用无刻度的直尺，在网格中画出点D．并简单说明D点的位置是如何找到的（不要求证明）________________________ 2．（2025·天津河西·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，有直角三角形和以为直径的半圆组成的一个图形．的顶点均落在格点上． （1）线段的长为______； （2）若点为半圆弧的中点，点为边上一点，且直线恰好平分这个图形的面积．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明）______． 3．（2024·天津和平·三模）如图，在菱形中，对角线交于点O，点E为的中点，连接，．    （Ⅰ）的面积为__； （Ⅱ）若点F为的中点，连接交于点G，，则线段的长为__． 4．（2024·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，顶点B落在格线上，是的外接圆． （1）的面积等于______． （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出直径，并在直径上找到点Q，使得的面积等于5．简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）__________________________________________________________________________________________． 命题点一 与三角形有关的线段 ►题型01 三角形的稳定性 【典例】（2025·上海·模拟预测）如图，建筑工地上的塔吊机的框架由数个三角形拼接而成，其数学依据是（    ）    A．两点之间线段最短 B．三角形内角和为 C．三角形具有稳定性 D．三角形两边的和大于第三边 【变式1】（2025·贵州贵阳·一模）大多斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这样做的原理是（    ） A．三角形的稳定性 B．三角形任意两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形任意两边之差小于第三边 【变式2】（2025·吉林松原·模拟预测）网课已经成为学习的一种方式，小南在上网课时把手机放在如图所示的一个支架上面，就能非常方便地支起手机，该支架采用了三角形结构，这样设计的原理是_____． ►题型02 构成三角形的条件 最简单判断方法(做题最快) 先把三条边从小到大排好： 只看一句话：最短两边之和>最长边，即： 【典例】（2025·广东广州·二模）下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（   ） A．3，4，7 B．6，8，15 C．5，12，13 D．5，5，11 【变式1】（2025·湖南长沙·一模）从长度分别为2，3，4，5，6的五条线段中随机抽取三条，能围成三角形的组合共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【变式2】（2025·山东滨州·一模）满足下列条件的三条线段a，b，c能组成三角形的是（   ） A． B．， C．，， D．，， ►题型03 利用三角形三边关系求参数或取值范围 确定第三边取值范围·解题技巧(一步不丢分) 已知三角形两边长为、，求第三边的范围 第三边：大于两边之差，小于两边之和，即 常见题型：求周长范围 先求第三边范围，再整体加： 【典例】（2026·河南周口·模拟预测）一个三角形的三边长度分别为，2，5，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东深圳·三模）小明有两根长度分别为和的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有4根木棒供他选择，其长度分别为，小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（     ） A． B． C． D．1 【变式2】（2025·山东日照·一模）线段能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数的和为______． 命题点二 与三角形有关的线段 ►题型01 与三角形的高有关的计算 【典例】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，点D是边上的一个动点（不与点A，B重合），连接，当时，则的面积为（   ） A． B． C．2 D． 【变式1】（2025·浙江杭州·一模）如图，点C是线段上一点（），分别以为直角边在同侧作等腰和等腰，连结．记，，，，若，则（    ） A．10 B．15 C．20 D．40 【变式2】（2026·陕西西安·二模）如图，，分别是的高线、中线，若，，则的长为（   ）． A． B． C． D． ►题型02 利用网格求三角形的面积 【典例】（2025·浙江·模拟预测）如图，在的正方形方格中，的顶点，都在边长为1的小正方形的顶点上，边上的点也在小正方形的顶点上，则的面积等于（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上，则点到线段的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． ►题型03 利用三角形的中线求长度 基础思路：中线→线段相等 看到中线，第一反应：中点→两条线段相等 若AD是BC边上的中线→BD=DC=BC 用途： ①直接求线段长度 ②求周长时用 【典例】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，是边上的中线，是的中位线，且，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，的周长为．若为的中线，则的周长是_______． ►题型04 根据三角形的中线求面积 【典例】（2026·河南周口·一模）如图，的面积为，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到，，按此规律，倍长次后得到的的面积为______． 【变式1】（2026·上海闵行·一模）如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么___________． 【变式2】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，在中,平分，过点B作，垂足为D，连接．若的面积为，则的面积为__________． 【变式3】（2025·福建·一模）如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，若，则_____． ►题型05 三角形重心相关计算 【典例】（2025·广东惠州·三模）如图，在中，点D为边的中点，点G为的重心，则的值为______． 【变式1】（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，的顶点是边长为2的等边的重心，的两边与的边交于，，，则与的边所围成阴影部分的面积是___________． 【变式2】（2025·江苏扬州·二模）如图，点是的重心，过点作直线，分别交边、于点、，现随机向内部掷一枚小针，则针尖落在区域内的概率为________． ►题型06 与三角形角平分线相关计算 【典例】（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，平分，D是的中点， ，则的长度为__________． 【变式1】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，过点D作于点E，作的平分线交于F，且，若，，则的长为_______． 【变式2】（2025·吉林松原·三模）如图，在中，点是边的中点，点在边上，且平分，已知，则的长为_______ ． 命题点三 与三角形有关的角 ►题型01 与平行线有关的内角和问题 【典例】（2025·山西忻州·三模）小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的度数为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·陕西西安·一模）如图，在中，点D是边延长线上一点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖北·模拟预测）如图，梯形中，，，，，则（    ） A． B． C． D． ►题型02 与角平分线有关的内角和问题 【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在中，，若从顶点作高线和角平分线，与的夹角为，则 的度数为______． 【变式1】（2025·宁夏银川·一模）如图，在中，，点I是内心，则__________． 【变式2】（2025·安徽安庆·一模）在中，，，平分交于点，平分交于点． （1）________； （2）若，则长为________． ►题型03 三角形内角和的一般计算 【典例】（2026·河南平顶山·一模）如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·安徽·一模）如图，在中，，，为边的中点，为边上一点．若，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（2026·吉林长春·一模）如图，在中，点、分别在边、上．若，则等于（    ） A． B． C． D． ►题型04 与尺规作图的综合 【典例】（2026·新疆昌吉·一模）如图，在中，，．以A点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于M、N，再分别以M、N为圆心画弧，两弧交于P点，连延长交于D．下列说法：①是的平分线；②；③是等腰三角形；④；其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2026·湖南邵阳·一模）如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则______．    ►题型05 与三角形外角相关的题型 【典例】（2025·天津南开·一模）如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，连接，点恰在线段上，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·天津·模拟预测）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B．平分 C． D． 【变式2】（2024·天津河北·二模）如图，已知，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线于 点M，N，分别以点M，N为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线上取点H，以点H为圆心，以线段长为半径作弧交射线于点D；点E，F分别在射线上，，射线交于点G，，则（　　） A． B． C． D． 突破一 三角形中最值问题 【典例】（2026·陕西·模拟预测）如图，在菱形中，，连接，点分别是边，对角线上的动点，且，连接，当取得最小值时，的长为__________． 【变式1】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接．若分别为的中点，则线段长的最小值为___________． 【变式2】（2025·河南新乡·模拟预测）如图，在矩形中，，，点P为直线上一个动点，作射线，过点C作，垂足为Q，连接，则的最小值为______，最大值为______． 1．（2026·河北秦皇岛·一模）现有两根长度分别为6厘米和10厘米的木棒，若再取一根木棒，使这三根木棒能围成三角形，则第三根木棒的长度可以是（   ） A．2厘米 B．4厘米 C．9厘米 D．18厘米 2．（2026·河北邢台·一模）如图，中，是两条中线，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则（） A． B． C． D． 4．（2026·陕西咸阳·一模）如图，矩形的对角线相交于点O，点E在上，连接，若，则的度数为______． 5．（2026·河北秦皇岛·一模）将一副三角尺按下图的位置摆放，已知，，则_____． 6．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，已知，且，，，点D、F分别在上滑动．点M是的中点，点N是的中点，则的最小值是______． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点E恰好落在边上，若，则旋转角为___________． 8．（2026·河南周口·模拟预测）如图，在中，，是的外角的平分线． (1)在上求作一点，在上求作一点，使四边形是矩形；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)求证：四边形是矩形． 1．（2026·上海杨浦·二模）在中，，为的角平分线，将沿着直线折叠，点落在点处，若，，则的值为（　　）． A． B． C． D． 2．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，，M为边的中点．将绕点M旋转一定角度得到，点A，B，C的对应点分别为点，连接，若恰好经过点C，则的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 3．（2024·北京·三模）如图，点A、B、C在同一条直线上，点B在点之间，点在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论： ①；②；③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（2025·山东济南·一模）如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若，则_____． 5．（2025·陕西汉中·二模）如图，在矩形中，，，点是平面内任意一点，连接、，点是的中点，连接，若，则的最大值为_____． 1．（2025·山东威海·中考真题）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 3．（2025·宁夏·中考真题）如图，⊙是的内切圆，，则_____． 4．（2025·北京·中考真题）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 5．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是_________ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $