精品解析：新疆乌鲁木齐地区2026年高三年级第二次质量监测数学（问卷）

乌鲁木齐地区2026年高三年级第二次质量监测 数学（问卷） （卷面分值：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上. 2．答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知化简复数得出对应点的坐标进而判断选项. 【详解】，所以对应的点为，位于第二象限， 故选：B． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解不等式可得，所以. 3. 已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆，其一个顶点是，一个焦点是，以下为椭圆顶点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意求出椭圆所有顶点坐标判断选项即可. 【详解】椭圆的一个顶点是，一个焦点是，椭圆的焦点在轴上， 设椭圆方程为，则有，得， 所以椭圆左顶点为，右顶点为，下顶点为，上顶点为， 只有A选项符合. 4. 的展开式中的系数是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 【答案】C 【解析】 【详解】展开式的通项为， 所以的展开式中的系数为. 5. 已知函数的图象关于直线对称，则的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦函数对称轴可得，再利用整体思想可得的对称中心，再逐项验证选项即可得. 【详解】由题意可得，解得， 由，则，故， 令，解得， 若，则，由，不符， 若，则，由，不符， 若，则，由，不符， 若，则，符合题意， 故是的对称中心，、、不是的对称中心. 6. 曲线过坐标原点的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由 ，得 . 设切点为 ，则切线斜率 . 切线方程为 . 将原点 代入得 ， 即 ，因为，所以，解得 . 所以切线斜率 ，切线方程为 . 故所求切线方程为 . 7. 已知函数定义域为，若，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合偶函数定义证明为偶函数，设，结合奇函数性质求，由此可得结论. 【详解】 已知， 令，则， 原式可化为，因此是偶函数， 设，由题知是奇函数， 故，即 ，又， 所以  ​代入得： . 8. 已知双曲线，为右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，点，在轴两侧，，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由对称性，不妨设点在直线上，则可表示出直线的方程，联立另一渐近线可求出点坐标，则可表示出，再利用离心率定义计算即可得. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 由对称性，不妨设点在直线上，则， 则，联立，解得， 由点，在轴两侧，则，故， 则，整理得， 则. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线a，b及平面，．下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，若，，则直线与直线可能平行，可能异面，故A错误. 对于B，根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行.若，，则，故B正确. 对于C，若，，则直线与平面，可能垂直可能平行也可能相交但不垂直. 故C错误. 对于D，若，，如图过直线作平面与平面相交于直线，可得，因为，所以，又因为， 可得.故D正确. 10. 已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. 11. 将一个质地均匀的正方体骰子独立地抛掷3次，则（ ） A. 三次点数均为偶数的概率是 B. 三次点数和为9的概率是 C. 事件“三次点数有且仅有一次为6”与事件“三次点数之和为9”相互独立 D. 在三次点数互不相同的条件下，点数之和为9的概率是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据独立事件同时发生的概率可判断A；根据列举法可判断B；根据事件独立性的条件可判断C；根据条件概率的含义可判断D. 【详解】将一个质地均匀的正方体骰子独立地抛掷3次，样本点的总数为个. 对于A：每次出现点数为偶数的概率是，所以三次点数均为偶数的概率是，故A正确； 对于B；三次点数和为9的样本点有 共25个， 所以其概率为，故B正确； 设事件“三次点数有且仅有一次为6”为事件，事件“三次点数之和为9”为事件， 则，， 事件的样本点有 共6个， 所以，，所以事件不独立，故C错误； 对于D；三次点数互不相同的样本点的总数为个，三次点数互不相同且点数之和为9的 样本点有 共18个， 所以在三次点数互不相同的条件下，点数之和为9的概率是，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数，若，则ab的值为________． 【答案】10 【解析】 【详解】函数，则，所以. 13. 已知向量，为单位向量，且，若，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， 且， 故. 14. 若正整数a，b满足，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性可得或或，然后分类讨论即可得出答案. 【详解】由可得，令，则， 令，得，令，得， 则函数 在 上单调递增，在  上单调递减， 又，，， 而a，b均为正整数，所以或或， （i）当时，，由于， 则函数在上单调递增，在  上单调递减， 又a为正整数，时，，时，， 而，则最大为； （ii）当或时，. 而，则的最大值为. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某高校为调查学生对AI知识掌握的熟悉程度与学历是否有关，组织了相关的答题活动，满分100分．答题完成后，工作人员从中随机抽取200人作为样本，得到如下数据． 本科及以下 37 33 12 10 5 3 本科以上 22 28 18 14 11 7 （1）试估计样本得分的第75百分位数； （2）若得分不小于60分，则认为学生对AI知识掌握的程度为熟悉，否则为不熟悉； 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 不熟悉 合计 根据样本数据补全上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为熟悉程度与参与人员学历有关系． 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）70 （2）列联表： 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 30 50 80 不熟悉 70 50 120 合计 100 100 200 认为熟悉程度与学历有关 【解析】 【分析】（1）利用百分位数的定义求解； （2）根据样本数据补全列联表，计算与临界值比较. 【小问1详解】 ，200个样本中分数小于等于70分的有150人，大于等于70分的有50人， 所以估计样本得分第75百分位数为70. 【小问2详解】 列联表如下： 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 30 50 80 不熟悉 70 50 120 合计 100 100 200 零假设：熟悉程度与学历无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为熟悉程度与学历有关. 16. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列前项和公式与通项公式构建方程组，可求出首项和公差，即可写出通项公式. （2）写出数列的通项公式，由，可判断出数列是等比数列，再求和. 【小问1详解】 ∵为等差数列，， ∴. 化简得，又∵，∴. 当时，，求得， 公差. 数列的通项公式为 【小问2详解】 由第一问可知， 则，， 因此数列是首项为3，公比为9的等比数列， . 17. 在中，，D在上，记，，． （1）求； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，利用面积公式可得，再结合正弦定理及已知条件构建方程求解即可； （2）根据余弦定理解三角形，求出，进而可得，再利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 设，则， 在中，面积， 在中，面积， ，由正弦定理知， 又，，即， ，解得， 即； 【小问2详解】 ，，，， 在中，由余弦定理：， 即，解得（舍去负根）， ，故， ． 18. 如图，在三棱锥中，平面ABC，． （1）求证：平面平面PBC； （2）设，，点M，A，B、C均在球O的球面上． （ⅰ）当时，求球O的表面积； （ⅱ）设球O的球面与直线PA交于点G（异于点A）．求直线BG与平面PBC所成角最大时的值． 【答案】（1） 平面，且平面， ，又，且，平面， 平面，平面， 平面平面； （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）先证明，结合，根据线面垂直判定定理证明平面，再根据面面垂直判定定理证明结论； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，求球心的坐标和球的半径，根据球的表面积公式求结论； （ⅱ）求球心坐标，再求点的坐标，求直线的方向向量和平面的法向量，利用向量方法求直线与面所成角的正弦的表达式，利用导数求其最大值可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由可得， 由，，得， （ⅰ）当时，，设球的球心的坐标为，球的半径为， 则，解得， 因此球表面积， （ⅱ）设球心，由， 得，， 故， 再由得， 所以，即， 因为点为球O的球面与直线的交点， 故可设，且， 所以， 在上且在球面上，解得（舍去对应点）， 故，， ， 设平面的法向量为， 则，故， 故，令，可得， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则 ，​ ， 随增大而递增，因此求最大值即可， 设，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当​，取最大值，此时取最大值， 故直线与平面所成角最大时，. 19. 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于，两个动点，设动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）已知正的三个顶点在上． （ⅰ）若中点的坐标为，求点的坐标； （ⅱ）求满足点纵坐标为1的的个数，并说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）1个，理由：已知点纵坐标为1，所以. 设直线的方程为，可知， 将其与联立整理得，，① 设，， 则，，则， 所以， 设中点为，则，要使为正三角形，即，且. 所以，整理得.② 直线方程为：，即. ，即， 整理得，③ 由②③消去得，，即， 当时，不合题意，舍去. 当时，令， ，， 所以，即在上为增函数， 又，，故方程在上存在唯一的实根， 由③知，当时，，满足①式， 所以存在唯一满足条件的正. 【解析】 【分析】（1）依题意可知该圆关于轴对称，且点必在轴右侧，推出为直角三角形，结合直角三角形射影定理求解即可. （2）（i）设出点、坐标，结合点在及中点坐标求出直线方程及，根据正三角形性质得到，且，求出直线方程，联立抛物线方程求出，代入求出点坐标，进行验证即可. （ii）求出点坐标，设出点、坐标及直线：，与抛物线方程联立求出，结合中点坐标及等边三角形性质求出直线的方程，进而求出，代入得到关于的方程，根据导数与单调性、零点存在定理判断的个数，即可得到三角形的个数. 【小问1详解】 依题意可知圆的圆心在轴上，即圆关于轴对称， 又该圆与轴，轴分别交于，，所以点必在轴右侧， 则为圆的直径，所以为直角三角形，所以，即. 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）设，，均在上， 则，，两式相减，可得. 因为中点的坐标为，所以，. 则， 所以直线方程为，即， 将其与联立整理得，所以. 则. 因为为正三角形，故，且，. 所以，又，则直线的方程为：，即. 将其与联立整理得，解得或. 故可得或. 又，即， 经验证，不满足上式，因此点坐标为. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐地区2026年高三年级第二次质量监测 数学（问卷） （卷面分值：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上. 2．答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆，其一个顶点是，一个焦点是，以下为椭圆顶点的是（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中的系数是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 5. 已知函数的图象关于直线对称，则的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 6. 曲线过坐标原点的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数定义域为，若，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线，为右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，点，在轴两侧，，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线a，b及平面，．下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（ ） A. B. C. D. 11. 将一个质地均匀的正方体骰子独立地抛掷3次，则（ ） A. 三次点数均为偶数的概率是 B. 三次点数和为9的概率是 C. 事件“三次点数有且仅有一次为6”与事件“三次点数之和为9”相互独立 D. 在三次点数互不相同的条件下，点数之和为9的概率是 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数，若，则ab的值为________． 13. 已知向量，为单位向量，且，若，则________． 14. 若正整数a，b满足，则的最大值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某高校为调查学生对AI知识掌握的熟悉程度与学历是否有关，组织了相关的答题活动，满分100分．答题完成后，工作人员从中随机抽取200人作为样本，得到如下数据． 本科及以下 37 33 12 10 5 3 本科以上 22 28 18 14 11 7 （1）试估计样本得分的第75百分位数； （2）若得分不小于60分，则认为学生对AI知识掌握的程度为熟悉，否则为不熟悉； 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 不熟悉 合计 根据样本数据补全上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为熟悉程度与参与人员学历有关系． 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 17. 在中，，D在上，记，，． （1）求； （2）若，，求． 18. 如图，在三棱锥中，平面ABC，． （1）求证：平面平面PBC； （2）设，，点M，A，B、C均在球O的球面上． （ⅰ）当时，求球O的表面积； （ⅱ）设球O的球面与直线PA交于点G（异于点A）．求直线BG与平面PBC所成角最大时的值． 19. 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于，两个动点，设动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）已知正的三个顶点在上． （ⅰ）若中点的坐标为，求点的坐标； （ⅱ）求满足点纵坐标为1的的个数，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $