专题05 二项分布与超几何分布、正态分布（含决策性、泊松分布、切比雪夫不等式等问题）（竞赛培优专项训练，10大考点+强基竞赛）高二数学人教A版全国通用

专题05 二项分布与超几何分布、正态分布 （含决策性、泊松分布、切比雪夫不等式等问题） 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 两点分布 3 考点二 二项分布的期望或方差 5 考点三 超几何分布的期望或方差 8 考点四 二项分布中概率的最值问题 12 考点五 正态密度函数与正态曲线 14 考点六 正态分布的应用 17 考点七 泊松分布 23 考点八 三大分布与切比雪夫不等式 26 考点九 利用三大分布解决决策性问题 30 考点十 三大分布与数列、导数的综合二项分布、正态分布与泊松分布的综合 34 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题11道） 【归纳重点知识】 知识点01 二项分布 1．n重伯努利试验 一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验. 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n). 若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p). 3.两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝p，DX＝p(1－p). ②若X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p). 【注意】两点分布是二项分布在参数n＝1时的特殊情况. 知识点02 超几何分布 1.超几何分布的定义 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}，其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋. 若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布. 2．超几何分布的均值 当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝. 【易错警示】“二项分布”与“超几何分布”的区别 (1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要.(2)有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 知识点03 正态分布 1.正态分布的定义 由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象对应的解析式为φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ＞0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线. 2．3σ原则 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4. 【熟记重要结论(二级结论)】 1.超几何分布的记法及均值、方差 超几何分布有时也记为X～H(n，M，N)，其均值EX＝，方差DX＝. 2．正态曲线的特点 ①曲线在x轴的上方，与x轴不相交. ②曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称. ③曲线的最高点位于x＝μ处. ④当x＜μ时，曲线上升，当x＞μ时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线. ⑤参数μ 和σ对正态曲线形状的影响 (ⅰ)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移. (ⅱ)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中. 考点一 两点分布 1．设，随机变量的分布列如下表所示， X 0 1 P 则当概率在区间内增大时，方差的变化是（   ） A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大 【答案】B 【解析】因为随机变量服从两点分布，且，， 所以 这是一个关于的二次函数，图象开口向下，对称轴为， 当从增大到时，随增大而递增； 当从增大到时，随增大而递减， 因此，当在内增大时，方差先增大后减小. 故选：B. 2．若随机事件A在一次试验中发生的概率为，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【解析】由题意可得随机变量的所有可能取值为，， 则，， 则，， 则， 当且仅当，即时取等号，故A正确. 故选：A. 3．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】随机变量服从两点分布，其中，所以. 所以，故A选项结论正确； ，故C选项结论正确； ，故B选项结论正确； ，故D选项结论错误． 故选：D. 4．随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中： ①； ②； ③； ④. 正确结论的序号有________________． 【答案】①②④ 【解析】因为随机变量服从两点分布，，所以， 故， 因此，， ， 所以正确的是①②④． 考点二 二项分布的期望或方差 5．某校社团举行“网络安全”知识竞赛，规则如下：每位选手需要独立完成3道题目，答对一题得2分，答错一题得分，3道题目累加得分多者获胜，甲、乙两位同学报名参加比赛，两人分别独立答题，互不影响，若甲、乙正确回答每道题的概率分别为、. (1)求比赛结束后甲得3分的概率； (2)已知在甲获胜的前提下，乙恰好得3分的概率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设“比赛结束后甲得3分”为事件， 则； （2）记“比赛结束后甲获胜”为事件，记“比赛结束时乙恰好得3分”为事件， 设甲的得分为，则， ，， 设乙的得分为，的可能取值为，，，，则 ，， ，，                                         又， 所以， 解得 6．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 【答案】(1) (2)，， 0 1 2 3 (3)会得到推广，因为. 【解析】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， 则. （2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， ， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 （3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则，满足推广条件，因此该系统会得到推广. 7．某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. (1)求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析； (3)游戏Ⅱ 【解析】（1）由题意知，游戏Ⅰ第局获胜的概率. （2）易知, 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，则第局和第局均未获胜的概率为， 因此可知, 随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的期望或. （3）应该参加游戏Ⅱ，理由如下： 记分别为一次参加游戏Ⅰ,Ⅱ所获奖金总额， 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 游戏Ⅱ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ. 考点三 超几何分布的期望或方差 8．一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台.如果从中随机挑选台，设这台电脑中品牌的台数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，的可能值有. 则，，. 则的分布列为： 可得 . 故选：D 9．某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 (1)现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)（i）；（ii）不相互独立，理由见解析 (2)分布列见解析， 【解析】（1）（i），， . （ii）事件M与N不相互独立 理由如下： 法1：利用条件概率： ，， ， 所以，不相互独立. 法2：利用独立性定义： ，， ， 所以，不相互独立. （2）这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，所以的所有可能取值为， （服从超几何分布，） ，， ，， 故的分布列为： X 0 1 2 3 P 故的数学期望. 10．某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)72分 (2)分布列见解析， 【解析】（1）由题意，解得， 成绩在的频率为0.1，在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为， 所以选报物理方向的最低分在内，则， 解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． （2）由题可知，成绩在区间的频数为， 成绩在区间的频数为， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为， 成绩在的频数为， 再从这7份答卷中随机抽取3份，的所有可能取值为， ， 故的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：． 11．AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率小于的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率小于的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 【解析】（1）14个AI模型，幻觉率高于2%的有2.9%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%，共有5个， 所以幻觉率低于的概率为. （2）幻觉率低于2%的AI模型中共9个，其中低于1.3%的模型有3个，故 ，  ， ，  , 故分布列为 0 1 2 3 故. 考点四 二项分布中概率的最值问题 12．设随机变量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由随机变量，可得， 因为，可得，因为，所以， 又由，可得其对称轴为， 所以在单调递增，所以当，取得最大值，最大值为. 故选：B. 13．抛掷一枚质地均匀的硬币8次，若正面朝上次的概率最大，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】设抛掷一枚质地均匀的硬币8次，正面朝上次，则， 则正面朝上次的概率为， 所以. 故选：A. 14．为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【解析】已知，，抽取男生和女生各50名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得， 因为，所以当时，取得最大值. 故选：B 15．互联网的快速发展和应用给人们的生活带来诸多便利，比如网上购物，它给消费者提供了更多选择，节约大量时间.某网购平台为了提高2025年的销售额，年底前一个月组织网店开展“秒杀”抢购活动，甲，乙，丙，丁四人计划在该购物平台分别参加A，B，C，D四家网店各一个订单的“秒杀”抢购，已知此四人在这四家网店订单“秒杀”成功的概率均为p，四人是否抢购成功互不影响.记四人抢购到的订单总数为随机变量. (1)若，求X的分布列以及均值，方差； (2)已知每个订单由件商品构成，记四人抢购到的商品总数量为，假设，求取最小值时正整数的值. 【答案】(1)分布列见解析，， (2)3或4 【解析】（1）由题意知：的所有可能取值为0，1，2，3，4，则， ，， ，， . 所以的分布列为： 4 所以，. （2）每个订单对应个商品，故，又， 所以 令，则， 当时，，所以； 当时，； 当时，恒成立，即恒成立； 所以取最小值时正整数的值为3或4. 考点五 正态密度函数与正态曲线 16．已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】根据正态分布密度函数中参数的意义， 结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得； 且都在的右侧，即， 比较和图像可得，其形状相同，即， 又的离散程度比和大，所以可得； 故选：B 17．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【解析】A选项：、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图像可得，所以，故A错误； B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以，故B错误； CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知： 对任意正数，．,故C正确，D错误． 故选：C． 18．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【答案】C 【解析】依题意， 所以平均数为，方差为，所以AB选项正确. 依题意， 而，即，所以C选项错误. ，所以D选项正确. 故选：C 19．已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】或，因为， 所以或，即或， 或或 因为服从标准正态分布，所以根据对称性可知，所以函数关于对称，故排除AC； 当时，，，所以或,因为，其中，，，根据原则可知，，所以排除B； 故选：D 考点六 正态分布的应用 20．已知，随机变量，若 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为随机变量，则，， 因为， 则，， 所以，，解得， 令， 所以，， 故. 故选：A. 21．（多选）某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A选项，由，得， 故， 由正态分布的对称性可知，A正确； B选项，，B正确； C选项，由题意得，故，C错误； D选项，，D正确. 22．某研究团队为分析社交网络中的消费行为传播规律，构建如下概率模型：研究团队选定人进行研究，假设每人对消费行为的“基础易感性”参数均相同，记为，该值越高表示越容易被影响．传播逐天进行，规则如下：第一天，研究团队随机选择其中（，且）人推送广告，每位被选中的人被成功影响（称为“感染者”）的概率为，且是否被影响是相互独立的，从第二天起，每一天，每一位当前的“感染者”会尝试影响每一位当前的“非感染者”（即人中还未被成功影响的人），且一旦被影响即称为“感染者”，并参与后续的影响传播． (1)求第一天结束时，被影响的人数的数学期望； (2)求第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率； (3)对于任意一位“非感染者”，若某天有位“感染者”尝试影响他，则他当天被成功影响的概率为，当时，求在两天后，甲被成功影响的概率（用含的式子表示）；基于此模型，简要说明为什么在实际社交网络中，某种消费行为有时会突然“爆发式”传播． 【答案】(1) (2) (3)甲被成功影响的概率为，“爆发式传播”的原因：随着感染者人数增加，使得非感染者被影响的概率迅速提高，传播速度急剧加快，形成爆发态势． 【解析】（1）设表示第一天结束时被影响的人数，则， 由二项分布的期望公式得． （2）由（1）可知，考虑二项展开： ， ， 两式作和，， 当为偶数时，；当为奇数时，. 设第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率为， 所以， 故． （3）情形一： 甲被推送广告的概率是，甲在两天后被成功影响有两种情形： ①第一天被影响，概率为； ②第一天未被影响，概率为，且第二天被影响， 若甲第二天被影响，则第一天另一位初始被选中者乙一定被影响，乙作为感染者尝试影响甲， 甲被影响的概率为， 故甲在第一天未被影响，第二天被成功影响的概率为， 因此，在甲是初始选中的两人之一的条件下，甲在两天后被成功影响的概率为：． 情形二：若甲不是初始选中的两人，其概率为，甲在两天后被成功影响有两种情形： ①第一天有1人被成功影响，再由此人成功感染甲， 概率为：； ②第一天有2人被成功影响，甲在第二天被成功影响，概率为：， 因此，在甲不是初始选中的两人的条件下，甲在两天后被成功影响的概率为：． 综上，甲在两天后被成功影响的概率为． “爆发式传播”的原因：随着感染者人数增加，每天尝试影响非感染者的感染者人数增大， 使得非感染者被影响的概率迅速提高，传播速度急剧加快，形成爆发态势． 23．某企业车载电池LG型有A，B两条生产线，产品质检员随机从A，B两条生产线共抽取50件车载电池进行电量误差检测，误差（单位：kwh）统计的数据如下表： 生产线 抽取件数 平均误差 标准差 A 30 0.2 2.1 B 20 1.1 (1)若两条生产线的车载电池电量的误差X服从正态分布，以抽取样本的误差的平均数作为的估计值，并规定为特等品，其余为一等品或二等品，求两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数的估计值； (2)某小型新能源汽车装配了特等品和一等品车载电池，该车载电池特等品的续航优秀率为60%，为了测试特等品车载电池的续航功能，从装配了特等品的该新能源汽车中随机抽取4辆进行测试，记续航优秀的台数为，求随机变量X的分布列和数学期望. 附：，若，则，，. 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【解析】（1）设这50件零件尺寸误差的平均数为， 由题意得，则， 而，规定为特等品，则为特等品， 故特等品的概率为， 故两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数约为件. （2）由题意得， 则，， ，，， 则X的分布列如下， 0 1 2 3 4 且. 24．从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【解析】（1）由题意可知，． （2）（ⅰ）由题意，， 则， 则，即． 则这批产品质量指标值在的数量约为． （ⅱ）如果生产状态正常，此时一件产品的质量指标值在之外的概率只有， 一天内抽取10件产品中，发现产品质量指标值在之外的概率只有，发生的概率很小， 因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监控生产过程的方法合理． 25．现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布． (1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列； (2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大． 参考数据：若，则． 【答案】(1)分布列见解析 (2)甲台机器每天生产出的零件的平均利润更大 【分析】（1）需要根据独立事件概率公式计算不同故障台数的概率； （2）比较甲、乙两台机器生产零件的平均利润，要先根据正态分布的性质求出不同内径范围的概率，再计算平均利润. 【解析】（1）表示一天内发生故障的机器台数，的可能取值为，，. ：表示甲、乙两台机器都不发生故障，因为甲、乙两台机器工作状态相互独立，根据独立事件概率公式，可得. ：表示甲发生故障乙不发生故障或者甲不发生故障乙发生故障，可得. ：表示甲、乙两台机器都发生故障，根据独立事件概率公式，可得. 所以的分布列为： 0.72 0.26 0.02 （2）甲机器：已知甲生产出的零件内径，则，. ； ； . 每台机器每天生产1000件零件，则甲机器每天生产出的零件的平均利润为： （元）. 乙机器：已知乙生产出的零件内径，则，. ； ； . 则乙机器每天生产出的零件的平均利润为： （元）. 因为，所以甲机器每天生产出的零件的平均利润更大. 考点七 泊松分布 26．泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛应用，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则正品率大于97%的概率约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设抽检的元件中次品的个数为，则， 由题知，，，泊松分布可作为二项分布的近似， 此时，所以， 所以，， 正品率大于（即只能有0个，1个或2个次品）的概率为 ． 故选：C． 27．泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数．例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等．因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中e为自然对数的底数. (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为.若，求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数. （i）若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； （ii）若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率.通过比较计算结果，你发现了什么规律？ (3)若，且，求的最大值（保留一位小数）. 参考数据：若，则有，. 【答案】(1). (2)（i）；（ii），发现：当较大p较小，二项分布可以用泊松分布来近似计算. (3). 【解析】（1）由题意可得， 所以. （2）（i）由题， 所以在1000个产品中至少有2个次品的概率为 ； （ii）由题，所以， 所以在1000个产品中至少有2个次品的概率为 . 根据计算结果发现当较大次品率p较小时， 二项分布和泊松分布计算出的“至少有2个次品的概率”非常接近， 所以当较大p较小，二项分布可以用泊松分布来近似计算. （3）若，则， 故， 设，则对任意恒成立， 所以函数在上单调递减， 又由， 所以若，则， 设，则对任意恒成立， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以； 设， 则， 因为，所以对任意恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以， 即， 综上，当时，有，当时，有， 所以的最大值为 28．泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，则称服从泊松分布，记作. (1)当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.已知某快递公司共有20000个包裹待配送，每个包裹有0.00015的概率出现配送延迟.试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） (3)若，且，求的取值范围. 参考数据：若，，，则有，，. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）当时，泊松分布近似于正态分布， 即，，要计算， 根据正态分布的性质，因， 故. （2）设为配送延迟包裹数，则，， 因为，， ， 所以， 那么，某天至少3起配送延迟的概率约为 . （3）由，可得， 根据泊松分布的概率公式：，，可得. 设， 由，可知在上为减函数. 因为，所以， 所以，即，故的取值范围为. 考点八 三大分布与切比雪夫不等式 29．某芯片厂生产高端人工智能芯片须经过性能测试.已知通过测试Ⅰ的概率为40%，未通过测试I的芯片须进入测试Ⅱ，通过率为，通过任意一次测试即为合格芯片.已知一枚芯片合格，则该芯片是通过测试Ⅰ的概率为θ. (1)求θ（结果用p表示）； (2)切比雪夫不等式是概率论中关于随机变量偏离其均值的概率定理，其形式如下：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有.请结合该定理解决下列两个问题： （ⅰ）若厂商声称该厂芯片通过测试Ⅱ的概率为50%.现质量检测部门随机抽取了该厂生产的100枚芯片，经检测有40枚合格.请说明该厂商的说法是否可信（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）； （ⅱ）为估计θ，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试Ⅰ，记.若要使得总能不超过0.01，试估计最小样本量）. 【答案】(1) (2)（ⅰ）该厂商的说法不可信；（ⅱ）10000 【解析】（1）设事件表示芯片通过测试Ⅰ，则， 设事件表示芯片通过测试Ⅱ，则， 设事件表示芯片通过测试，则. 所以. （2）（ⅰ）若，则. 设抽取的100枚芯片中，合格芯片数为，则，所以,. 当时，， 根据切比雪夫不等式：. 所以若，则为小概率事件，所以厂商的说法不可信. （ⅱ）因为，所以，. 由切比雪夫不等式：. 因为（当时取等号）. 所以若，则为小概率事件，所以厂商的说法不可信. （ⅱ）因为，所以，. 由切比雪夫不等式：. 因为（当时取等号）. 所以要使，即. 30．某市场调查公司对某品牌手机的用户满意度进行调查．他们随机抽取了400名用户进行问卷调查，定义满意度评分X为：满意为1分，不满意为0分． (1)设p为总体中满意用户的真实比例，求样本中满意用户比例的期望和方差． (2)利用切比雪夫不等式，求样本满意度与真实满意度偏差不超过0.03的概率的下界． (3)若调查结果显示满意度为0.75，而该公司声称真实满意度为0.8，根据切比雪夫不等式和小概率原理，判断该声称是否可信． 【答案】(1)， (2) (3)没有足够理由怀疑该公司的声称 【解析】（1）设表示第i个用户的满意度，，即． 样本中满意用户数量服从二项分布， 则，. 样本满意度． 期望：， 方差：. （2）要估计的下界． 根据切比雪夫不等式： 这里． 由于（当时取等号），所以 代入切比雪夫不等式：， 因此，样本满意度与真实满意度偏差不超过0.03的概率至少为． （3）调查结果显示，声称的真实满意度，偏差为． 根据切比雪夫不等式：， 其中， 代入得 所以不能认为该事件为小概率事件． 但我们可以进一步分析：0.05相当于个标准差． 根据切比雪夫不等式： 所以不能认为该事件为小概率事件，因此没有足够的理由怀疑声称 以要使，即. 31．某工厂生产一种精密零件，声称其合格率为．质检部门随机抽取了100个零件进行检验． (1)设X为样本中合格品的数量，求X的期望和方差． (2)利用切比雪夫不等式，估计样本中合格品数量与期望的偏差不超过5个的概率的下界． (3)若实际检验结果中合格品只有85个，根据小概率原理，判断该工厂的合格率声明是否可信． 【答案】(1)， (2) (3)该工厂的合格率声明不太可信 【解析】（1）假设工厂声称的合格率是真实的，则样本中合格品数量X服从二项分布． 期望：， 方差：. （2）要估计的下界，即． 根据切比雪夫不等式的等价形式：， 这里，代入得：， 因此，样本中合格品数量与期望的偏差不超过5个的概率至少为． （3）实际检验中合格品为85个，与期望95的偏差为．根据切比雪夫不等式：， 这意味着，如果工厂声称的合格率是真实的，那么在100个样本中合格品数量与期望偏差达到或超过10个的概率不超过，这是一个小概率事件（小于）． 根据小概率原理，小概率事件在一次试验中一般不会发生．既然我们观察到了这样的小概率事件，就有理由怀疑原来的假设（合格率为）可能不成立． 因此，该工厂的合格率声明不太可信． 考点九 利用三大分布解决决策性问题 32．从萍乡方向登武功山有多条路线，某游客准备从其中的两条路线中选一条登顶．路线一为“从游客中心出发，乘坐中庵索道直达半山腰，随后步行经紫极宫、许愿桥、吊马桩抵达金顶”，这条路线中，该游客在紫极宫、许愿桥、吊马桩三个补给站需要补给的概率均为；路线二为“从游客中心出发，步行经紫极宫、吊马桩抵达金顶”，这条路线中，该游客在紫极宫、吊马桩两个补给站需要补给的概率分别为，.该游客在各补给站是否需要补给互不影响． (1)若该游客走路线一，求最多需要一次补给的概率； (2)按照“平均补给次数最少”的原则，该游客应该选择那条路线登顶，请说明理由． 【答案】(1)； (2)选择路线二，理由见解析 【解析】（1）解：设“该游客走路线一最多需要一次补给”为事件，包括0次补给和1次补给两种情况， 则， 所以所求的概率为； （2）解：设“该游客走路线一需要补给的次数”为，则，故， 设“该游客走路线二需要补给的次数”为，则的可能取值为0，1，2， ， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 所以， 因为， 所以，按照“平均补给次数最少”的原则，应该选择路线二． 33．某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是（），各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性． 附：若，则，． (1)求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差； (2)若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性有何变化？ 【答案】(1) (2)可靠性为,变差了 【解析】（1）由条件可知，技术改造前，，优品率为， 技术改造后，，优品率为， ， 所以这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差为. （2）设为原有3个元件正常工作的个数，，则系统正常工作的概率， 所以该系统的可靠性为 为增加一个元件后，元件正常工作的个数，，则系统正常工作的概率， 则， 所以该系统增加一个元件，可靠性变差了. 34．某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响．每人只能选择一种方案． (1)若甲的消费金额为210元，他选择方案二且抽到14元代金券的概率为，求； (2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为元，当最大时，求； (3)若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案． 【答案】(1)或； (2)； (3)答案见解析. 【解析】（1）甲的消费金额为210元，选择方案二可进行两次抽奖， 则抽到14元代金券的概率为，解得或. （2）设抽奖次数为，抽到10元代金券的次数为，则， 得． 因为， 所以． . 当时，取得最大值，所以． （3）①当消费金额（单位：元）在内时，不能参与方案二，只能选择方案一． 由（2）可得，当时，． 设消费金额为， 方案一的代金券的数学期望为． ②当消费金额（单位：元）在或或或或内时， ，选择方案二． ③当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时，，选择方案一、方案二都可以． ④当消费金额（单位：元）在或或或内时，，选择方案一． 综上，当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案一； 当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案二； 当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时，选择方案一、方案二都可以． 35．某区为全面提高青少年健康素养水平，举办了“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛.已知共有10000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z近似服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为95分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (2)复赛规则如下：①复赛题目由A，B两类问题组成，答对A类问题得30分，不答或答错得0分；答对B类问题得70分，不答或答错得0分；②A，B两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题. 已知参加复赛的学生甲答对A类问题的概率为0.8，答对B类问题的概率为0.6，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关.为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由. 附：若，则，，. 【答案】(1)小明有资格参加复赛 (2)学生甲应先回答A类问题，理由见解析 【解析】（1）由频率分布直方图可知， ， ，， . 所以，小明有资格参加复赛. （2）若学生甲先答A类问题，设他的得分为随机变量X，则X的可能取值有0，30，100， ，，， 所以，随机变量X的分布列为， 则. 若学生甲先答B类问题，设该同学的得分为随机变量Y，则Y的可能取值有0、70、100， ，，， 所以，随机变量Y的分布列为， 则， 所以，，因此，学生甲应先回答A类问题. 考点十 三大分布与数列、导数的综合二项分布、正态分布与泊松分布的综合 36．为备战年第十一届全国学生“学宪法讲宪法”比赛，某校举办了法治素养竞赛（分初赛和决赛两部分）.初赛从道题中任选题作答，题均答对则进入决赛.已进入决赛的参赛者允许连续抽奖次，中奖次奖励元，中奖次奖励元，中奖次奖励元，若次均未中奖，则只奖励元.假设每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立. (1)已知初赛道题中甲能答对其中道题，记甲在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及甲在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)记一名进入决赛的同学恰好中奖次的概率为，求的极大值； (3)假设该校共选拔出名同学进入决赛，若这名同学获得的总奖金的期望值不小于元，试求此时的取值范围. 【答案】(1)； (2)极大值 (3) 【解析】（1）记总题数，甲会做的题数，从中任选题作答，则答对题数服从超几何分布， 数学期望 事件“已答对一题”即；“仍未进入决赛”即， 由条件概率公式得：. （2）设一次抽奖中奖概率为，次抽奖中中奖次数， 则“恰好中奖次”的概率：， 对求导： 令，得（舍去）， 当时，当时，故为极大值点， 极大值为. （3）设进入决赛的同学获得的奖金为元， 其分布为，， ，， 期望，化简得 名同学总奖金的期望， 即整理得 令，由知在单调递增， 又，因此不等式解为， 结合，得. 37．甲、乙两人共进行局比赛，假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. (1)设，若全部局比完后，所赢局数多者获胜.甲获胜的概率记为， （i）求； （ii）试比较与的大小，并证明你的结论. (2)设，“局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率记为，证明：. 【答案】(1)（i）；（ii），证明见解析； (2)证明见解析. 【解析】（1）（i）当时，比赛局数为局， 则甲获胜的条件是至少赢两局，且甲赢的局数服从二项分布， 所以； （ii），证明： 记事件“甲获胜”，则甲赢的局数，事件“乙获胜”，则乙赢的局数， 因为，所以， 又因为打的局数为奇数，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. 所以，所以， 所以； （2）由题甲赢的局数服从二项分布， 则“局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率 ， 因为， ， 所以， 所以， 同理， 因为，所以，， 所以， 所以，即. 38．一种加密传输信号发出信号“11”的概率为，发出信号“2”“3”“4”三个信号的概率均为．某次传输信号过程中，传输器一共发出了次信号，信号接收人员按照传输先后顺序依次记录得到信号序列．例如，当时，“1123”为一个发出的信号序列，共有四个数字． (1)若，记信号序列中数字2的个数为，求的数学期望和方差； (2)若，记信号序列中第个数为的概率为，求： （i）； （ii）． 【答案】(1)， (2)（i） （ii） 【解析】（1）易知符合二项分布， 所以． （2）（i）若一开始发出的信号为“11”，即最左边两个数为“11”， 则对于前个数，在剩下个数中，第个数为1的概率为； 若一开始发出的信号为“2”或“3”或“4”， 则对于前个数，在剩下个数中，第个数为1的概率为； 所以， 故 且 而，， 故，， 故为等比数列且首项为，公比为， 为常数列，且该常数为， 故且， 故. （ii）， ， 当时，同（i）可知 ， 同（i）， 故， 故． 39．如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）： 消费金额（单位：百元） 频数 由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之间的人数为，求的数学期望； 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格.棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束. ①设棋子移到第格的概率为，求证：当时，是等比数列； ②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】；①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析. 【解析】根据数据算出，由服从正态分布，算出概率，即，进而算出的数学期望； ①棋子开始在第格为必然事件，.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即.棋子移到第格的情况是下列两种，即棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；棋子先到第格，又掷出正面，其概率为.所以.即，进而求证当时，是等比数列；②由①知，，，，，得，所以，算出相应概率判断出闯关成功的概率大于闯关失败的概率. 【解析】解： ， 因为服从正态分布，所以. 所以， 所以的数学期望为. ①棋子开始在第格为必然事件，. 第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即. 棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种： 棋子先到第格，又掷出反面，其概率为； 棋子先到第格，又掷出正面，其概率为， 所以， 即，且， 所以当时，数列是首项，公比为的等比数列. ②由①知，，，，， 以上各式相加，得， 所以. 所以闯关成功的概率为， 闯关失败的概率为. ， 所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率. 40．为抢占市场，特斯拉电动车近期进行了一系列优惠促销方案.要保证品质兼优，特斯拉上海工厂在车辆出厂前抽取100辆Model3型汽车作为样本进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图： （1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替). （2）根据大量的测试数据，可以认为Model3这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50.用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现从生产线下任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率. （3）为迅速抢占市场举行促销活动，特斯拉销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送车模”活动，客户可根据拋掷硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，若车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券6万元；若最终停在“赠送车模”方格时，则可获得车模一个.已知硬币出现正､反面的概率都是0.5，方格图上标有第0格､第1格､第2格､……､第20格.车模开始在第0格，客户每掷一次硬币，车模向前移动一次.若掷出正面，车模向前移动一格(从k到k+1)，若掷出反面，车模向前移动两格(从k到k+2)，直到移到第19格(幸运之神)或第20格(赠送车模)时游戏结束.设车模移到第格的概率为，试证明是等比数列；若有6人玩游戏，每人参与一次，求这6人获得优惠券总金额的期望值(结果精确到1万元). 参考数据：若随机变量服从正态分布，则 【答案】（1）(千米)；（2）；（3）证明见解析，优惠券总金额的期望万元. 【解析】（1）（千米） （2）因为服从正态分布 所以 （3）第一次掷硬币出现正面，车模从第0格移到第一格，其概率为即移动到第二格有两类情况.车模移到第()格的情况是下列两种，而且也只有两种. ①车模先到第格，又掷出反面，其概率为 ②车模先到第格，又掷出正面，其概率为 所以，， 当时，数列是公比为的等比数列. ，经验证也满足.是公比为的等比数列. 以上各式相加，得 即 ()，经检验时也符合. ， 获得优惠券的概率 获得车模的概率 设参与游戏的6人获得优惠券的有人，由题可知 的期望 设优惠卷总金额为万元， 优惠券总金额的期望万元 1．（2025·山东青岛尖子生选拔考试）设随机变量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A：由，所以，所以，故A错误； 对于B：由，所以，所以， 即，故B正确； 对于C：取时，，故C错误； 对于D：取时，，故D错误. 故选：B. 2．（2024·河南灵宝市精英对抗赛）某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50000名考生参加这次考试，数学成绩近似服从正态分布，其正态密度函数为且，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为（    ） A．2000 B．3000 C．4000 D．5000 【答案】D 【解析】由题易知均值， 由正态曲线的对称性可知 ， 则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为． 故选：D． 3．（2023·全国“加速杯”竞赛）已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】或，因为， 所以或，即或， 或或 因为服从标准正态分布，所以根据对称性可知，所以函数关于对称，故排除AC； 当时，，，所以或,因为，其中，，，根据原则可知，，所以排除B； 故选：D 4．（2018·清华大学自主招生）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【解析】A选项：、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图像可得，所以，故A错误； B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以，故B错误； CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知： 对任意正数，．,故C正确，D错误． 故选：C． 5．（2021·北京大学基础学科招生考试）设随机变量X服从正态分布，Y服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】法1：因为，， 且， 故正态分布的密度曲线的顶点比正态分布的密度曲线的顶点要低， 故. 法2：依题意有 而，， 而，故， 由标准正态分布的性质可得即. 故选：A. 6．(多选)（2024·全国“极光杯”线上测试）已知随机变量服从正态分布，．记的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】    如图，作出随机变量服从的正态分布曲线.因，故由图知. 对于A项，由图可知，必有，故A项错误； 对于B项，因，由图知，，故B项正确； 对于C项，因，不妨取， 则可理解为由直线和曲线及轴围成的近似直角梯形的面积，高为， 则即为梯形的中位线长，此时显然大于，即有成立，故C项错误； 对于D项，因，则可理解为由直线和曲线及轴围成的近似直角梯形的面积，高为， 则即为梯形的中位线长，此时显然小于，即有成立，故D项正确. 故选：BD. 7．（多选）（2025·山东青岛尖子生选拔考试）已知随机变量，其中，则（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则，，1，2，…，6 D．若，则X取值为奇数的概率小于 【答案】BD 【解析】，， 解得，又，所以验证不符合，故A错误； ， ， 解得，故B正确； 时，，设取得最大值， 则，即， 解得，所以不同的值会发生偏移，不一定在取得最大值， 比例时，，此时取得最大值，故C错误； 由， 时，， 时，， 所以， 又，所以， 即， 所以X取值为奇数的概率小于，故D正确； 故选：BD. 8．（多选）（2024·河南灵宝市精英对抗赛）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为2，3，…，7，用表示小球落入格子的号码，则（    ）    A． B． C．当Р最大时，或5 D． 【答案】CD 【解析】记事件 “向右下落”，则事件 “向左下落”，则， 设表示事件发生的次数， 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数加上，则， 而小球在下落过程中共碰撞小木钉5次，则， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，， ， ， ， ， ， 故当或时，概率最大，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：CD. 9．（2024·全国“极光杯”线上测试）某省年开始将全面实施新高考方案．在门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共个等级，各等级人数所占比例分别为、、、和，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分． （1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表： 原始分 91 90 89 88 87 85 83 82 转换分 100 99 97 95 94 91 88 86 人数 1 1 2 1 2 1 1 1 现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于分的人数为，求的分布列和数学期望； （2）假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布．若，令，则，请解决下列问题： ①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数） ②现随机抽取了该省名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求取得最大值时的值． 附：若，则，． 【答案】（1）分布列详见解析，数学期望为；（2）①69分；②． 【解析】（1）随机变量的所有可能的取值为. 由题意可得：，， ，， 随机变量的分布列为 数学期望． （2）①设该划线分为，由得， 令，则， 由题意，，即， ，，， ，，取． ②由①讨论及参考数据得 ， 即每个学生生物统考成绩不低于分的事件概率约为， ，． 由 即 解得， ，， 当时，取得最大值． 10．（2024·全国“极光杯”线上测试）为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为和．在治疗过程中，用指标衡量患者是否受益：若，则认为指标正常；若，则认为指标偏高；若，则认为指标偏低．若治疗后患者的指标正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6． (1)求和； (2)统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第位的患者治疗后指标的值为，，2，，50，定义函数： （ⅰ）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由． ①； ②； （ⅱ）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（ⅰ）中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）答案见解析 【解析】（1）由题设知服从二项分布， 所以，． （2）（ⅰ）统计量反映了未受益于新治疗方案的患者数，理由如下： 若患者受益于新治疗方案，则其指标的值满足， 否则，会被统计量计入，且每位未受益于新治疗方案的患者恰使得统计量的数值加1． 统计量反映了未受益于新治疗方案且指标偏高的患者数量，理由如下： 若患者接受新治疗方案后指标偏低或正常，则其指标的值满足 若指标偏高，则，，会被统计量计入， 且每位未受益于新治疗方案且指标偏高的患者恰使得统计量的数值加1． （ⅱ）由题设知新治疗方案优于标准治疗方案等价于一次试验中的观测值大于的数学期望， 由（ⅰ）知的观测值， 因此当，即时，认为新治疗方案优于标准治疗方案； 当，即时，认为新治疗方案与标准治疗方案相当； 当，即时，认为新治疗方案劣于标准治疗方案． 11．（2023·安徽安庆“校光杯”竞赛）为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛， (1)两个年级各派50名学生参加国防知识初赛，成绩均在区间上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点），估计学生的成绩的平均分（若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为，则不需再答第4轮了；③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响 （i）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望 （ii）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率 【答案】(1)学生的成绩的平均分的估计值为73.8分 (2)（i）分布列见解析，（ii）. 【解析】（1）解：由频率分布直方图可知： 可得 ∴平均分的估计值为 ∴学生的成绩的平均分的估计值为73.8分 （2）（i）由题可得，的可能取值为0，1，2，3 ∴ ∴的分布列为 0 1 2 3 ∴ （ii）将“在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出”记为事件， “在第4轮结束时，学生代表乙答对0道题”记为事件， “在第4轮结束时，学生代表乙答对1道题”记为事件 ∴， ， ∴. ∴在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率为. 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二项分布与超几何分布、正态分布 （含决策性、泊松分布、切比雪夫不等式等问题） 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 两点分布 3 考点二 二项分布的期望或方差 3 考点三 超几何分布的期望或方差 5 考点四 二项分布中概率的最值问题 7 考点五 正态密度函数与正态曲线 7 考点六 正态分布的应用 9 考点七 泊松分布 12 考点八 三大分布与切比雪夫不等式 13 考点九 利用三大分布解决决策性问题 14 考点十 三大分布与数列、导数的综合二项分布、正态分布与泊松分布的综合 17 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题11道） 【归纳重点知识】 知识点01 二项分布 1．n重伯努利试验 一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验. 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n). 若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p). 3.两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝p，DX＝p(1－p). ②若X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p). 【注意】两点分布是二项分布在参数n＝1时的特殊情况. 知识点02 超几何分布 1.超几何分布的定义 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}，其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋. 若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布. 2．超几何分布的均值 当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝. 【易错警示】“二项分布”与“超几何分布”的区别 (1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要.(2)有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 知识点03 正态分布 1.正态分布的定义 由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象对应的解析式为φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ＞0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线. 2．3σ原则 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4. 【熟记重要结论(二级结论)】 1.超几何分布的记法及均值、方差 超几何分布有时也记为X～H(n，M，N)，其均值EX＝，方差DX＝. 2．正态曲线的特点 ①曲线在x轴的上方，与x轴不相交. ②曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称. ③曲线的最高点位于x＝μ处. ④当x＜μ时，曲线上升，当x＞μ时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线. ⑤参数μ 和σ对正态曲线形状的影响 (ⅰ)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移. (ⅱ)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中. 考点一 两点分布 1．设，随机变量的分布列如下表所示， X 0 1 P 则当概率在区间内增大时，方差的变化是（   ） A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大 2．若随机事件A在一次试验中发生的概率为，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 3．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中： ①； ②； ③； ④. 正确结论的序号有________________． 考点二 二项分布的期望或方差 5．某校社团举行“网络安全”知识竞赛，规则如下：每位选手需要独立完成3道题目，答对一题得2分，答错一题得分，3道题目累加得分多者获胜，甲、乙两位同学报名参加比赛，两人分别独立答题，互不影响，若甲、乙正确回答每道题的概率分别为、. (1)求比赛结束后甲得3分的概率； (2)已知在甲获胜的前提下，乙恰好得3分的概率为，求的值. 6．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 7．某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. (1)求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 考点三 超几何分布的期望或方差 8．一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台.如果从中随机挑选台，设这台电脑中品牌的台数为，则（   ） A． B． C． D． 9．某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 (1)现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望. 10．某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 11．AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率小于的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率小于的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望. 考点四 二项分布中概率的最值问题 12．设随机变量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 13．抛掷一枚质地均匀的硬币8次，若正面朝上次的概率最大，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 15．互联网的快速发展和应用给人们的生活带来诸多便利，比如网上购物，它给消费者提供了更多选择，节约大量时间.某网购平台为了提高2025年的销售额，年底前一个月组织网店开展“秒杀”抢购活动，甲，乙，丙，丁四人计划在该购物平台分别参加A，B，C，D四家网店各一个订单的“秒杀”抢购，已知此四人在这四家网店订单“秒杀”成功的概率均为p，四人是否抢购成功互不影响.记四人抢购到的订单总数为随机变量. (1)若，求X的分布列以及均值，方差； (2)已知每个订单由件商品构成，记四人抢购到的商品总数量为，假设，求取最小值时正整数的值. 考点五 正态密度函数与正态曲线 16．已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 17．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 18．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 19．已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（    ） A． B． C． D． 考点六 正态分布的应用 20．已知，随机变量，若 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 21．（多选）某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（   ） A． B． C． D． 22．某研究团队为分析社交网络中的消费行为传播规律，构建如下概率模型：研究团队选定人进行研究，假设每人对消费行为的“基础易感性”参数均相同，记为，该值越高表示越容易被影响．传播逐天进行，规则如下：第一天，研究团队随机选择其中（，且）人推送广告，每位被选中的人被成功影响（称为“感染者”）的概率为，且是否被影响是相互独立的，从第二天起，每一天，每一位当前的“感染者”会尝试影响每一位当前的“非感染者”（即人中还未被成功影响的人），且一旦被影响即称为“感染者”，并参与后续的影响传播． (1)求第一天结束时，被影响的人数的数学期望； (2)求第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率； (3)对于任意一位“非感染者”，若某天有位“感染者”尝试影响他，则他当天被成功影响的概率为，当时，求在两天后，甲被成功影响的概率（用含的式子表示）；基于此模型，简要说明为什么在实际社交网络中，某种消费行为有时会突然“爆发式”传播． ， 23．某企业车载电池LG型有A，B两条生产线，产品质检员随机从A，B两条生产线共抽取50件车载电池进行电量误差检测，误差（单位：kwh）统计的数据如下表： 生产线 抽取件数 平均误差 标准差 A 30 0.2 2.1 B 20 1.1 (1)若两条生产线的车载电池电量的误差X服从正态分布，以抽取样本的误差的平均数作为的估计值，并规定为特等品，其余为一等品或二等品，求两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数的估计值； (2)某小型新能源汽车装配了特等品和一等品车载电池，该车载电池特等品的续航优秀率为60%，为了测试特等品车载电池的续航功能，从装配了特等品的该新能源汽车中随机抽取4辆进行测试，记续航优秀的台数为，求随机变量X的分布列和数学期望. 附：，若，则，，. 24．从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 25．现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布． (1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列； (2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大． 参考数据：若，则． 考点七 泊松分布 26．泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛应用，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则正品率大于97%的概率约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 27．泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数．例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等．因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中e为自然对数的底数. (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为.若，求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数. （i）若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； （ii）若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率.通过比较计算结果，你发现了什么规律？ (3)若，且，求的最大值（保留一位小数）. 参考数据：若，则有，. 28．泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，则称服从泊松分布，记作. (1)当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.已知某快递公司共有20000个包裹待配送，每个包裹有0.00015的概率出现配送延迟.试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） (3)若，且，求的取值范围. 参考数据：若，，，则有，，. 考点八 三大分布与切比雪夫不等式 29．某芯片厂生产高端人工智能芯片须经过性能测试.已知通过测试Ⅰ的概率为40%，未通过测试I的芯片须进入测试Ⅱ，通过率为，通过任意一次测试即为合格芯片.已知一枚芯片合格，则该芯片是通过测试Ⅰ的概率为θ. (1)求θ（结果用p表示）； (2)切比雪夫不等式是概率论中关于随机变量偏离其均值的概率定理，其形式如下：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有.请结合该定理解决下列两个问题： （ⅰ）若厂商声称该厂芯片通过测试Ⅱ的概率为50%.现质量检测部门随机抽取了该厂生产的100枚芯片，经检测有40枚合格.请说明该厂商的说法是否可信（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）； （ⅱ）为估计θ，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试Ⅰ，记.若要使得总能不超过0.01，试估计最小样本量）. 30．某市场调查公司对某品牌手机的用户满意度进行调查．他们随机抽取了400名用户进行问卷调查，定义满意度评分X为：满意为1分，不满意为0分． (1)设p为总体中满意用户的真实比例，求样本中满意用户比例的期望和方差． (2)利用切比雪夫不等式，求样本满意度与真实满意度偏差不超过0.03的概率的下界． (3)若调查结果显示满意度为0.75，而该公司声称真实满意度为0.8，根据切比雪夫不等式和小概率原理，判断该声称是否可信． 31．某工厂生产一种精密零件，声称其合格率为．质检部门随机抽取了100个零件进行检验． (1)设X为样本中合格品的数量，求X的期望和方差． (2)利用切比雪夫不等式，估计样本中合格品数量与期望的偏差不超过5个的概率的下界． (3)若实际检验结果中合格品只有85个，根据小概率原理，判断该工厂的合格率声明是否可信． 考点九 利用三大分布解决决策性问题 32．从萍乡方向登武功山有多条路线，某游客准备从其中的两条路线中选一条登顶．路线一为“从游客中心出发，乘坐中庵索道直达半山腰，随后步行经紫极宫、许愿桥、吊马桩抵达金顶”，这条路线中，该游客在紫极宫、许愿桥、吊马桩三个补给站需要补给的概率均为；路线二为“从游客中心出发，步行经紫极宫、吊马桩抵达金顶”，这条路线中，该游客在紫极宫、吊马桩两个补给站需要补给的概率分别为，.该游客在各补给站是否需要补给互不影响． (1)若该游客走路线一，求最多需要一次补给的概率； (2)按照“平均补给次数最少”的原则，该游客应该选择那条路线登顶，请说明理由． 33．某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是（），各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性． 附：若，则，． (1)求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差； (2)若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性有何变化？ 35．某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响．每人只能选择一种方案． (1)若甲的消费金额为210元，他选择方案二且抽到14元代金券的概率为，求； (2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为元，当最大时，求； (3)若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案． 34．某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响．每人只能选择一种方案． (1)若甲的消费金额为210元，他选择方案二且抽到14元代金券的概率为，求； (2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为元，当最大时，求； (3)若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案． 35．某区为全面提高青少年健康素养水平，举办了“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛.已知共有10000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z近似服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为95分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (2)复赛规则如下：①复赛题目由A，B两类问题组成，答对A类问题得30分，不答或答错得0分；答对B类问题得70分，不答或答错得0分；②A，B两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题. 已知参加复赛的学生甲答对A类问题的概率为0.8，答对B类问题的概率为0.6，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关.为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由. 附：若，则，，. 考点十 三大分布与数列、导数的综合二项分布、正态分布与泊松分布的综合 36．为备战年第十一届全国学生“学宪法讲宪法”比赛，某校举办了法治素养竞赛（分初赛和决赛两部分）.初赛从道题中任选题作答，题均答对则进入决赛.已进入决赛的参赛者允许连续抽奖次，中奖次奖励元，中奖次奖励元，中奖次奖励元，若次均未中奖，则只奖励元.假设每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立. (1)已知初赛道题中甲能答对其中道题，记甲在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及甲在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)记一名进入决赛的同学恰好中奖次的概率为，求的极大值； (3)假设该校共选拔出名同学进入决赛，若这名同学获得的总奖金的期望值不小于元，试求此时的取值范围. 37．甲、乙两人共进行局比赛，假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. (1)设，若全部局比完后，所赢局数多者获胜.甲获胜的概率记为， （i）求； （ii）试比较与的大小，并证明你的结论. (2)设，“局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率记为，证明：. 38．一种加密传输信号发出信号“11”的概率为，发出信号“2”“3”“4”三个信号的概率均为．某次传输信号过程中，传输器一共发出了次信号，信号接收人员按照传输先后顺序依次记录得到信号序列．例如，当时，“1123”为一个发出的信号序列，共有四个数字． (1)若，记信号序列中数字2的个数为，求的数学期望和方差； (2)若，记信号序列中第个数为的概率为，求： （i）； （ii）． 39．如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）： 消费金额（单位：百元） 频数 由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之间的人数为，求的数学期望； 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格.棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束. ①设棋子移到第格的概率为，求证：当时，是等比数列； ②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 40．为抢占市场，特斯拉电动车近期进行了一系列优惠促销方案.要保证品质兼优，特斯拉上海工厂在车辆出厂前抽取100辆Model3型汽车作为样本进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图： （1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替). （2）根据大量的测试数据，可以认为Model3这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50.用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现从生产线下任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率. （3）为迅速抢占市场举行促销活动，特斯拉销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送车模”活动，客户可根据拋掷硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，若车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券6万元；若最终停在“赠送车模”方格时，则可获得车模一个.已知硬币出现正､反面的概率都是0.5，方格图上标有第0格､第1格､第2格､……､第20格.车模开始在第0格，客户每掷一次硬币，车模向前移动一次.若掷出正面，车模向前移动一格(从k到k+1)，若掷出反面，车模向前移动两格(从k到k+2)，直到移到第19格(幸运之神)或第20格(赠送车模)时游戏结束.设车模移到第格的概率为，试证明是等比数列；若有6人玩游戏，每人参与一次，求这6人获得优惠券总金额的期望值(结果精确到1万元). 参考数据：若随机变量服从正态分布，则 1．（2025·山东青岛尖子生选拔考试）设随机变量，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河南灵宝市精英对抗赛）某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50000名考生参加这次考试，数学成绩近似服从正态分布，其正态密度函数为且，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为（    ） A．2000 B．3000 C．4000 D．5000 3．（2023·全国“加速杯”竞赛）已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（    ） A． B． C． D． 4．（2018·清华大学自主招生）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 5．（2021·北京大学基础学科招生考试）设随机变量X服从正态分布，Y服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 6．(多选)（2024·全国“极光杯”线上测试）已知随机变量服从正态分布，．记的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（2025·山东青岛尖子生选拔考试）已知随机变量，其中，则（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则，，1，2，…，6 D．若，则X取值为奇数的概率小于 8．（多选）（2024·河南灵宝市精英对抗赛）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为2，3，…，7，用表示小球落入格子的号码，则（    ）    A． B． C．当Р最大时，或5 D． 9．（2024·全国“极光杯”线上测试）某省年开始将全面实施新高考方案．在门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共个等级，各等级人数所占比例分别为、、、和，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分． （1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表： 原始分 91 90 89 88 87 85 83 82 转换分 100 99 97 95 94 91 88 86 人数 1 1 2 1 2 1 1 1 现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于分的人数为，求的分布列和数学期望； （2）假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布．若，令，则，请解决下列问题： ①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数） ②现随机抽取了该省名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求取得最大值时的值． 附：若，则，． 10．（2024·全国“极光杯”线上测试）为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为和．在治疗过程中，用指标衡量患者是否受益：若，则认为指标正常；若，则认为指标偏高；若，则认为指标偏低．若治疗后患者的指标正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6． (1)求和； (2)统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第位的患者治疗后指标的值为，，2，，50，定义函数： （ⅰ）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由． ①； ②； （ⅱ）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（ⅰ）中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策． 11．（2023·安徽安庆“校光杯”竞赛）为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛， (1)两个年级各派50名学生参加国防知识初赛，成绩均在区间上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点），估计学生的成绩的平均分（若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为，则不需再答第4轮了；③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响 （i）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望 （ii）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $