精品解析：江苏省南京市鼓楼区求真中学2025-2026学年七年级下学期开学数学试卷

2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区求真中学七年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作元，则支出10元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 若，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，平分，平分，下列结论：①；②；③与可以拼成一个直角；④与可以拼成一个平角，正确的个数有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（ ） A. B点 B. C点 C. D点 D. E点 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 7. 数据可以用科学记数法表示为__________． 8. 已知代数式与是同类项，则__________． 9. 计算：_______． 10. 若一个多项式加上，结果，则这个多项式为______． 11. 某种商品每件的进价为80元，标价为120元，后来由于该商品积压，将此商品打七折销售，则该商品每件销售利润为______元． 12. 与互余，与互补，，那么_________． 13. 若是一个完全平方式，则m的值为______． 14. 若与乘积中不含x的一次项，则m的值是_______． 15. 已知，，，则代数式的值是__________． 16. 关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为__________． 三、解答题：本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17 化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 解下列方程： （1）； （2） 19. 如图，所有小正方形的边长都为1个单位，均在格点上．用无刻度直尺完成下列作图： （1）过点画的平行线； （2）过点画的垂线，垂足为； （3）过点画的垂线，交于点，则线段______的长度是点到直线的距离． 20 如图，已知线段，延长至，使得． （1）求的长； （2）若是的中点，是的中点，求的长． 21. 我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺，问木头的长度是多少尺？”试计算木头的长度． 22. 取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一定角度得到．请问： （1）如图②，当与垂直时，求的度数； （2）如图①，三角板绕点以顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转时间为，三角板旋转一周时停止运动，当三角板的一边与平行时，求出时间的值（直接回答，不用证明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区求真中学七年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作元，则支出10元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：如果收入20元记作元，那么支出10元记作元， 故选：B． 2. 根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同”成为解题的关键． 根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答． 【详解】解：． 故选D． 3. 若，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于三个幂的底数3、4、5两两互质，而指数55，44，33有最大公约数11，所以，逆用幂的乘方的运算性质将它们的指数变得相同，然后根据底数较大的其幂也较大（都是正数时），得出结果． 【详解】解：∵355=（35）11=24311， 444=（44）11=25611， 533=（53）11=12511， 又∵125＜243＜256， ∴12511＜24311＜25611， ∴533＜355＜444． 即b＞a＞c， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了幂的大小比较的方法．一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数． 4. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，根据题意得出，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B 5. 如图，，平分，平分，下列结论：①；②；③与可以拼成一个直角；④与可以拼成一个平角，正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是熟知角平分线的定义． 根据角平分线的定义求出各角度数，再判断各选项即可． 【详解】∵，平分， ∴ ∵平分． ∴， ∴，， ∴①，正确； ②，正确； ③与可以拼成一个直角，正确； ④与可以拼成一个平角，正确， 故选：D． 6. 如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（ ） A. B点 B. C点 C. D点 D. E点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点A距离最远的顶点是C， 故选：B． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 7. 数据可以用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据可以用科学记数法表示为． 故答案为： 8. 已知代数式与是同类项，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用同类项的定义得出m，n的值，即可得出答案． 【详解】解：代数式与是同类项， ∴，， 解得：，， 则． 9. 计算：_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方逆运算，将原式变形为，利用积的乘方逆运算求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 10. 若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意“一个多项式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：依题意这个多项式为 ． 故答案为： 11. 某种商品每件进价为80元，标价为120元，后来由于该商品积压，将此商品打七折销售，则该商品每件销售利润为______元． 【答案】4 【解析】 【分析】设该商品每件销售利润为x元，根据进价+利润=售价列出方程，求解即可． 【详解】设该商品每件销售利润为x元，根据题意，得 80+x=120×0.7， 解得x=4． 答：该商品每件销售利润为4元． 故答案为4． 12. 与互余，与互补，，那么_________． 【答案】##153度 【解析】 【分析】本题考查了余角与补角的定义．熟练掌握互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°是解题的关键． 根据互为余角的和等于90°先求出∠2的度数，再根据互为补角的和等于180°即可求出∠3的度数． 详解】∵与互余， ， ∴， ∵与互补， ∴． 故答案为：． 13. 若是一个完全平方式，则m的值为______． 【答案】7或 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型． 利用完全平方公式的结构特征判断出的值，即可确定出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 解得或． 故答案为：7或． 14. 若与乘积中不含x的一次项，则m的值是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；因此此题可计算，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵与乘积中不含x的一次项， ∴， ∴； 故答案为6． 15. 已知，，，则代数式的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】计算差值：求出，，；代数式变形：将转化为；代入求值即可求解． 【详解】解：因为，，， 所以， ， ， ． 16. 关于x方程的解为，则关于x的方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入原方程，可得出，方程可整理得，再整体代入，解之即可得出结论． 【详解】解：将代入原方程得：， ， 方程可整理得：， 即， 解得：， 关于x的方程的解为． 三、解答题：本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用有理数的乘方法则，绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂计算后再算加减即可； （2）将原式去括号后合并同类项即可； （3）利用同底数幂乘法及除法法则计算即可； （4）将原式变形后利用平方差及完全平方公式计算即可． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照解一元一次方程的步骤进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 19. 如图，所有小正方形的边长都为1个单位，均在格点上．用无刻度直尺完成下列作图： （1）过点画的平行线； （2）过点画的垂线，垂足为； （3）过点画的垂线，交于点，则线段______的长度是点到直线的距离． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析， 【解析】 【分析】①根据平行线的定义画出图形； ②根据垂线的定义画出图形； ③根据垂线的定义以及题目要求画出图形． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求； 【小问2详解】 解：如图，直线即为所求； 【小问3详解】 解：如图，直线即为所求． ∴线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：． 20. 如图，已知线段，延长至，使得． （1）求的长； （2）若是的中点，是的中点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，线段中点的有关计算，熟练掌握线段中点的定义，是解题的关键． （1）先求出，再求出即可； （2）先根据中点定义得出，再根据线段间的数量关系，求出结果即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：是的中点，是的中点， ， ． 21. 我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺，问木头的长度是多少尺？”试计算木头的长度． 【答案】6.5尺 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设木头长x尺，根据“用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺”列方程即可作答． 【详解】设木头长x尺，由题意可知：， 解得 答：木头的长度是6.5尺． 22. 取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一定的角度得到．请问： （1）如图②，当与垂直时，求的度数； （2）如图①，三角板绕点以顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转时间为，三角板旋转一周时停止运动，当三角板的一边与平行时，求出时间的值（直接回答，不用证明）． 【答案】（1）或 （2）的值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，利用垂直和旋转的性质求解即可； （2）由旋转性质依次分析不同情况，作出图形，由平行线的性质求出旋转角度即可得到答案． 【小问1详解】 解：①如图，令与的交点为， ， ， ， ； ②如图，延长交于点， ， ， ； 综上可知，的度数为或； 【小问2详解】 解：三角板绕点依顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转一周停止． 当三角板的一边与平行时，分下列情况讨论： ①，如图， ， ，即旋转角为， 秒； ②，如图，令与的交点为， ， ， ，即旋转角为， 秒； ③，如图， ，即旋转角为， 秒； ④（第二次平行），如图， ， 旋转角为， 秒； ⑤（第二次平行），如图， 同（1）②理可得：， 旋转角为， 秒； ⑥（第二次平行），如图所示： ， 旋转角为， 秒． 综上， 值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $