精品解析：湖南省衡阳市第九中学2024-2025学年七年级下学期第三次月考数学试卷

2024-2025学年湖南省衡阳九中七年级（下）第三次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形判断是解题的关键．轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 用代入消元法解方程组时，将②代入①中，所得的方程是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组， 熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题关键． 【详解】解：， 将②代入①中，得：， 故选：A． 3. 下面解方程的过程，你认为正确的是（ ） A. 方程，合并同类项，得 B. 方程，去括号，得 C. 方程去分母，得 D. 方程，系数化为，得 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解法．逐一分析各选项步骤的正确性即可． 【详解】解：A．方程合并同类项为，故A错误； B．方程去括号时为，故B错误； C．方程去分母时，两边同乘6得，故C错误； D．方程系数化为1时，两边同除以5得，故D正确； 故选：D． 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 故选：C． 5. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重斤（等于两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，则列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】五只雀、六只燕，共重斤（等于两），设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，互换其中一只，恰好一样重，由此可确定等量关系列方程． 【详解】解：设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，五只雀、六只燕，共重斤（等于两）， ∴， 互换其中一只，恰好一样重， ∴，即， 联立方程组得，， 故选：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题意，找出数量关系，根据等量关系列方程是解题的关键． 6. 若等腰三角形的一边长，周长为，则该等腰三角形的腰长为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了等腰三角形的定义．分两种情况：若等腰三角形的腰长为，若等腰三角形的底边长为，即可求解． 【详解】解：若等腰三角形的腰长为，则底边长为， 此时，符合题意； 若等腰三角形的底边长为，则腰长为， 此时，符合题意； ∴该等腰三角形的腰长为或． 故选：D． 7. 一个正多边形每个内角都等于150°，若用这种多边形拼接地板，需与下列选项中哪正多边形组合（ ） A. 正四边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据密铺同一顶点角的和等于360°进行判决即可． 【详解】解：A.正四边形的每个内角为90°，它与150°的角无法拼成360°，故选项A不符合题意； B. 正六边形的每个内角为120°，它与150°的角无法拼成360°，故选项B不符合题意； C. 正八边形的每个内角为135°，它与150°的角无法拼成360°，故选项C不符合题意； D. 正三角形的每个内角为60°，它与150°的角可以拼成360°，故选项D符合题意； 故选D 【点睛】此题主要考查了正多边形的密铺（镶嵌）问题，一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 8. 如图、C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，的长为半径画弧交直线l于A，B两点、再分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，作射线，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. 垂直平分 C. 点C，D关于直线l对称 D. 点A，B关于直线对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，等腰三角形的性质．根据作法得：，平分，再根据等腰三角形的性质可得直线l，且平分直线l即可． 【详解】解：根据作法得：，平分，故A选项正确，不符合题意； ∴直线l，且平分直线l，故B选项正确，不符合题意； ∴点A，B关于直线对称，故D选项正确，不符合题意； 根据作法无法得到点C，D关于直线l对称，故C选项错误，符合题意； 故选：C． 9. 如图，三角形的边的长为5cm．将三角形向上平移2cm得到三角形，且，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移，可知，可得，进行求解即可． 【详解】解：三角形的边的长为5cm．将三角形向上平移2cm得到三角形，且， 则：，四边形是长方形，， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握平移的性质，是解题的关键． 10. 如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，四边形内角和定理，三角形外角的性质．首先作点A关于的对称点M，N，延长到点G，根据轴对称的性质可得，，，，由“两点之间线段最短”可知当M，F，E，N四点共线时，的周长最小，由四边形内角和为可得，再由三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，进行角的和差计算，即可得到答案． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点M，N，延长到点G， ∴，， ∴，， ∴的周长， ∴当M，F，E，N四点共线时，的周长最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ． 故选：A． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若方程的解是，则的取值是_________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，把代入方程，即可求出a的值. 【详解】把代入方程得 解得a=1 【点睛】本题难度较低，主要考查方程的解的定义，理解定义是解题的关键. 12. 一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是解答本题的关键． 先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于，再用除以外角的度数，即可得到边数． 【详解】解：多边形的每一个内角都等于， 多边形的每一个外角都等于， 边数 故答案为： 13. 如图，四边形EFIH与四边形GEHJ 关于AC所在直线对称．若△ABC 的面积是 18 cm2，则阴影部分的面积为 _____cm2． 【答案】18 【解析】 【分析】由对称的性质可得四边形EFIH的面积与四边形GEHJ的面积相等，即可得出阴影部分的面积等于△ABC的面积． 【详解】解：∵四边形EFIH与四边形GEHJ关于AC所在直线对称， ∴四边形EFIH的面积与四边形GEHJ的面积相等， ∴阴影部分的面积= cm2 故答案为：18 【点睛】本题主要考查了对称，熟练掌握对称的性质是解答本题的关键． 14. 已知2，，4是三角形的三边长，化简______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a的取值范围，进而得到化简结果． 【详解】解：由三角形三边关系定理得， 即． ∴． 15. 小明同学为留守儿童捐赠了一个书包．已知一个书包标价28元，现在打折出售，支付时还可以再减免1元，小明实际支付了17.2元，则打了___折． 【答案】六五 【解析】 【分析】设打了x折，利用支付费用=标价×折扣率，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设打了x折， 根据题意得：， 解得：， ∴打了六五折． 16. 如图，在五边形中，若去掉一个的角后得到一个六边形，则的度数为____________． 【答案】##210度 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理可求得，，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角，掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 17. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，结合得，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴得， ∴， 则， 故答案为： 18. 如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 _______． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换、三角形的内角和定理等知识点，设，根据翻折不变性可知，，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题，解题的关键是学会用方程的思想思考问题． 【详解】设，根据翻折不变性可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：72． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 19. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，方法一利用代入消元法解二元一次方程组；方法二利用加减消元法解二元一次方程组． 【详解】解： 法一：由①得③ 将③代入②得 解得 将代入③得， 则方程组的解为． 法二：， ①×2得③ ③+②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 则方程组的解为． 四、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解①得：， 解②得：， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示： 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21. 已知一个正边形的内角和是它的外角和的倍． （1）求的值； （2）求正边形每个内角的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据多边形内角和的计算方法以及外角和是列方程求解即可； （2）根据正六边形内角的计算方法进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得； 【小问2详解】 解：这个正六边形的每个内角的度数为． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF． （1）求∠CBE的度数； （2）若∠F＝25°，求证：． 【答案】（1）65° （2）证明见解析 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质可得∠CBD=∠A+∠ACB=130°，再根据BE平分∠CBD，即可求解； （2）根据直角三角形两锐角互余可得∠BEC=25°，从而得到∠F=∠BEC，即可求证． 【小问1详解】 解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠CBD=∠A+∠ACB=130°， ∵BE平分∠CBD， ∴； 【小问2详解】 证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE=90°， ∵∠CBE=65°， ∴∠BEC=90°－65°=25°， ∵∠F＝25°， ∴∠F=∠BEC， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 23. 已知关于、方程组若的值为非负数，的值为正数． （1）求的取值范围； （2）在的取值范围内，当为何负整数时，不等式的解集为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据求出不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．（1）先求出方程组的解，根据x的值为非负数和y的值为正数得出，求出m的范围即可；（2）不等式变为，根据不等式的解集为求出，即可求出m的范围是，再求出负整数m即可． 【详解】解：（1）解方程组得：， 的值为非负数，的值为正数， ， 解得：， 即的取值范围是：； （2）， ， 不等式的解为， ， ， ， ， 为负整数， ． 24. “粮食生产根本在耕地、出路在科技”．为提高农田耕种效率，今年开春某农村合作社计划投入资金购进甲、乙两种农耕设备，已知购进2台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备共需4.2万元；购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元． （1）求甲种农耕设备和乙种农耕设备单价各是多少万元； （2）若该合作社决定购买甲、乙两种农耕设备共7台，且购进甲、乙两种农耕设备总资金不超过10万元，求最多可以购进甲种农耕设备多少台． 【答案】（1）1台甲种农耕设备需1.5万元，1台乙种农耕设备需1.2万元； （2）5台 【解析】 【分析】（1）设购进1台甲种农耕设备需万元，1台乙种农耕设备需万元，根据“购进2台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备共需4.2万元；购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种农耕设备台，则购进乙种农耕设备台，利用总价单价数量，结合总价不超过10万元，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【小问1详解】 解：设购进1台甲种农耕设备需万元，1台乙种农耕设备需万元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进1台甲种农耕设备需1.5万元，1台乙种农耕设备需1.2万元； 【小问2详解】 解：设购进甲种农耕设备台，则购进乙种农耕设备台， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为5． 答：最多可以购进甲种农耕设备5台． 25. 如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．如：方程就是不等式组的“关联方程”． （1）方程①，②是不等式组的关联方程是______ ；填序号 （2）若关于的方程为整数是不等式组的一个关联方程，试求整数的值． 【答案】（1）② （2）， 【解析】 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出解不等式组即可． 【小问1详解】 解方程， 得：， 解方程， 得：， 解不等式组， 得：， 所以不等式组的关联方程是； 故答案为：； 【小问2详解】 解方程为整数， 得：， 解不等式组， 得：， 关于的方程为整数是不等式组的一个关联方程， ， 解得， 整数，． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，解一元一次不等式组等知识点，理解关联方程的定义以及熟练掌握一元一次不等式组的解法是解此题的关键． 26. 如图，在四边形中，和分别平分四边形的外角和，与相交于点G．设，． （1）如图1，若，求的度数; （2）如图1，若，试猜想α、β所满足的数量关系式，并说明理由； （3）如图2，若，判断、位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了四边形的内角和，三角形内角和，三角形的外角的性质，角平分线的定义、平行线的判定等知识，用整体代换的思想是解本题的关键， （1）利用平角定义和四边形的内角和以及推导即可； （2）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可； （3）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的外角的性质计算即可． 【小问1详解】 解：在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：． 理由：如图1，连接， 由（1）有，， ∵分别平分四边形的外角和， ， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：平行． 理由：如图2，延长交于H， 由（1）有，， ∵分别平分四边形的外角和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖南省衡阳九中七年级（下）第三次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用代入消元法解方程组时，将②代入①中，所得的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 下面解方程的过程，你认为正确的是（ ） A. 方程，合并同类项，得 B. 方程，去括号，得 C. 方程去分母，得 D. 方程，系数化为，得 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C D. 5. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重斤（等于两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，则列方程组为（ ） A B. C. D. 6. 若等腰三角形的一边长，周长为，则该等腰三角形的腰长为（ ） A. B. C. D. 或 7 一个正多边形每个内角都等于150°，若用这种多边形拼接地板，需与下列选项中哪正多边形组合（ ） A. 正四边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正三角形 8. 如图、C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，的长为半径画弧交直线l于A，B两点、再分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，作射线，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. 垂直平分 C 点C，D关于直线l对称 D. 点A，B关于直线对称 9. 如图，三角形的边的长为5cm．将三角形向上平移2cm得到三角形，且，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若方程的解是，则的取值是_________． 12. 一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是______． 13. 如图，四边形EFIH与四边形GEHJ 关于AC所在直线对称．若△ABC 的面积是 18 cm2，则阴影部分的面积为 _____cm2． 14. 已知2，，4是三角形的三边长，化简______． 15. 小明同学为留守儿童捐赠了一个书包．已知一个书包标价28元，现在打折出售，支付时还可以再减免1元，小明实际支付了17.2元，则打了___折． 16. 如图，在五边形中，若去掉一个的角后得到一个六边形，则的度数为____________． 17. 已知，则的值为______． 18. 如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 _______． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 19. 解方程组：． 四、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 21. 已知一个正边形的内角和是它的外角和的倍． （1）求的值； （2）求正边形每个内角的度数． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF． （1）求∠CBE的度数； （2）若∠F＝25°，求证：． 23. 已知关于、的方程组若的值为非负数，的值为正数． （1）求取值范围； （2）在的取值范围内，当为何负整数时，不等式的解集为． 24. “粮食生产根本在耕地、出路在科技”．为提高农田耕种效率，今年开春某农村合作社计划投入资金购进甲、乙两种农耕设备，已知购进2台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备共需4.2万元；购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元． （1）求甲种农耕设备和乙种农耕设备单价各是多少万元； （2）若该合作社决定购买甲、乙两种农耕设备共7台，且购进甲、乙两种农耕设备总资金不超过10万元，求最多可以购进甲种农耕设备多少台． 25. 如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．如：方程就是不等式组的“关联方程”． （1）方程①，②是不等式组的关联方程是______ ；填序号 （2）若关于的方程为整数是不等式组的一个关联方程，试求整数的值． 26. 如图，在四边形中，和分别平分四边形的外角和，与相交于点G．设，． （1）如图1，若，求的度数; （2）如图1，若，试猜想α、β所满足的数量关系式，并说明理由； （3）如图2，若，判断、的位置关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $