第五章 专题微课 统计与概率的综合应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

专题微课　统计与概率的综合应用 题型(一)　概率与统计结合 [例1]　某高校为了解学生对某款人工智能学习辅助工具的使用情况，统计了该校学生在某日使用该辅助工具的时间(单位：小时)，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并估计该校学生当日使用该辅助工具的时间的平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) (2)若使用时间不小于2小时的用户称为“资深用户”，其中使用时间在[2，2.5)内的用户称为“青铜用户”，使用时间在[2.5，3]内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解该辅助工具对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查，并从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率. 解：(1)因为0.5×0.2+0.5×0.48+0.5a+0.5×0.4+0.5×0.2=1，所以a=0.72.该校学生当日使用该辅助工具的时间的平均数为0.75×0.1+1.25×0.24+1.75×0.36+2.25×0.2+2.75×0.1=1.73. (2)抽取的6名学生中，“青铜用户”有4名，记为a，b，c，d，“铂金用户”有2名，记为A，B， 样本空间Ω={ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB}，共15个样本点. 设事件A=“这2名学生中恰好有一名是‘青铜用户’”，则A={aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB}，共8个样本点. 因为抽中样本空间Ω中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型. 所以P(A)=. |思|维|建|模| 破解概率与统计图表综合问题的3步骤 　　[针对训练] 1.某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图(如下). (1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1 000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数； (2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[40，50)和[60，70)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在[60，70)的概率； (3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80)，[80，90)，[90，100]三组中，其中a，b，c∈N，当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值.(结论不要求证明) 解：(1)由折线图，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有40-2-6-2=30人，所以该校高一年级学生中“体育良好”的学生人数大约为1 000×=750人. (2)成绩在[40，50)有2名学生，设为1，2；[60，70)有2名学生，设为A，B，故抽取2名学生的情况有：(1，2)，(1，A)，(1，B)，(2，A)，(2，B)，(A，B)，共6种情况，其中恰有1人体育成绩在[60，70)的情况有：(1，A)，(1，B)，(2，A)，(2，B)，共4种情况，故在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在[60，70)的概率为P==. (3)甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80)，[80，90)，[90，100]三组中，其中a，b，c∈N， 要想数据a，b，c的方差s2最小，则a，b，c三个数据的差的绝对值越小越好，故a=79，c=90， 则甲、乙、丙三人的体育成绩平均值为=，故方差s2= =[(68-b)2+(2b-169)2+(101-b)2] =(6b2-1 014b+43 386)， 对称轴为b=-=84.5， 故当b=84或85时，s2取得最小值， a，b，c的值为79，84，90或79，85，90. 题型(二)　统计、概率与函数相结合 [例2]　(2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)； (2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]的最小值. 解：(1)由题图知(100-95)×0.002=1%>0.5%，所以95<c<100，设X为患病者的该指标， 则p(c)=P(X≤c)=(c-95)×0.002=0.5%， 解得c=97.5.设Y为未患病者的该指标， 则q(c)=P(Y>c)=(100-97.5)×0.01+5×0.002=0.035=3.5%. (2)当95≤c≤100时， p(c)=(c-95)×0.002=0.002c-0.19， q(c)=(100-c)×0.01+5×0.002=-0.01c+1.01，所以f(c)=p(c)+q(c)=-0.008c+0.82； 当100<c≤105时， p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012=0.012c-1.19，q(c)=(105-c)×0.002=-0.002c+0.21， 所以f(c)=p(c)+q(c)=0.01c-0.98. 综上所述，f(c)= 由一次函数的单调性知，函数f(c)在[95，100]上单调递减，在(100，105]上单调递增. 作出f(c)在区间[95，105]上的大致图象(略)，可得f(c)在区间[95，105]的最小值f(c)min=f(100)=-0.008×100+0.82=0.02. [针对训练] 2.数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字，且每次数字的传输相互独立.发送0时，收到0的概率为α(0<α<1)，收到1的概率为1-α；发送1时，收到1的概率为β(0<β<1)，收到0的概率为1-β. (1)若发送的数据为“01”，记收到的数字全部正确的概率为P1，全部错误的概率为P2，试比较P1，P2的大小； (2)已知发送数字0，1时，收到正确数字的概率都大于收到错误数字的概率. ①从a、b、c中选出一定错误的结论： a.α+β=；b.α+β=1；c.αβ=； ②从①中选出可能正确的结论作为条件，用X表示收到的数字串，将X中数字1的个数记为n(X)，如X=“1011”，则n(X)=3.若发送的数据为“1100”，求P(n(X)=2)的最大值. 解：(1)由题意，P1=αβ，P2=(1-α)(1-β)，P1-P2=αβ-(1-α)(1-β)=α+β-1. 当0<α+β<1时，P1<P2； 当α+β=1时，P1=P2； 当1<α+β<2时，P1>P2. (2)①由题意，解得 所以所以1<α+β<2，<αβ<1， 所以b、c一定错误. ②由①中选择α+β=作为条件.当发送的数据为“1100”时，事件n(X)=2包含以下三种情况： 两个1接收都正确，两个0接收都正确，其概率为α2β2；有且只有一个1接收正确，有且只有一个0接收正确，其概率为2α(1-α)×2β(1-β)=4αβ(1-α-β+αβ)；两个1接收都错误，两个0接收都错误，其概率为(1-α)2(1-β)2=(1-α-β+αβ)2，所以P(n(X)=2)=α2β2+4αβ(1-α-β+αβ)+(1-α-β+αβ)2=6α2β2-2αβ+.令t=αβ，则t=α，其中<α<1，可得t∈， 所以P(n(X)=2)=6t2-2t+，t∈， 由二次函数的性质可知，P(n(X)=2)在t=时取到最大值，为. 题型(三)　统计与概率中的决策性问题 [例3]　不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件A=“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件B=“不放回地依次取出时，取出的小球编号之和为n”，当n=6时，分别求事件A，B的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为n时获胜. 小明同学决定先玩游戏一，当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大? 解：(1)对于事件A，有放回地依次取出两个球的样本空间Ω1={(x，y)|x，y∈{1，2，3，4，5}}，则n(Ω1)=25，因为A={(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)}，所以n(A)=4，所以P(A)==. 对于事件B，不放回地依次取出两个球的样本空间 Ω2={(1，2)，(2，1)，(1，3)，(3，1)，(1，4)，(4，1)，(1，5)，(5，1)，(2，3)，(3，2)，(2，4)，(4，2)，(2，5)，(5，2)，(3，4)，(4，3)，(3，5)，(5，3)，(4，5)，(5，4)}，则n(Ω2)=20，因为B={(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)}， 所以n(B)=4，所以P(B)===. (2)设M=“先玩游戏二时，获得书签”，N=“先玩游戏三时，获得书签”，C=“从盒子中随机取出一个球，取到白球”，则从盒子中随机取出一个球的样本空间为Ω3={1，2，3，4，5}，n(Ω3)=5，C={4，5}，n(C)=2， 所以P(C)==. 又M=CA∪CAB∪AB，CA，CAB，AB互斥，A，B，C相互独立， 所以P(M)=P(CA∪CAB∪AB)=P(CA)+P(CAB)+P(AB)=P(C)P(A)[1-P(B)]+ P(A)P(B)P(C)+[1-P(C)]P(A)P(B) =+P(B). 同理，P(N)=P(B). 因为P(N)>P(M)， 所以P(B)>+P(B)， 解得P(B)>. 综合(1)知，当n=5，6，7时， 对应的P(B)均为，比大， 所以满足题意；当n=3，4，8，9时， 对应的P(B)均为，小于，不满足题意. 因此，当n为5或6或7时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大. [针对训练] 3.甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案可供选择： 方案一：三局两胜制(先胜2局者获胜，比赛结束)； 方案二：五局三胜制(先胜3局者获胜，比赛结束). (1)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由； (2)若选择方案一，求甲获胜的概率. 解：(1)抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为(a，b)，则共有36种情况，如下： (1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)， 其中两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1的情况有： (1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，共16种情况， 故选择方案一的概率为=， 则选择方案二的概率为1-=， 因为>，所以方案二被选择的可能性更大. (2)若甲在前两局获胜，概率为×=， 若甲在第一局，第三局获胜， 概率为××=， 若甲在第二局，第三局获胜， 概率为××=，三种情况互斥，故选择方案一，甲获胜的概率为++=. 学科网（北京）股份有限公司 $