第5章 统计与概率 单元质量测评-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第二册创新导学案Word（人教B版）

该高中数学单元导学案以“概率与统计”为核心，围绕随机事件、统计图表、抽样方法及概率计算等关键知识点，设计基础、中档、拔高三级难度分层测评，通过课时知识点“对点”训练，构建从概念理解到综合应用的递进式学习路径，体现知识体系的系统性与连贯性。 亮点在于“用样本估计总体”的主题探究设计，如第7题结合频率分布直方图分析数据特征，第15题通过超市顾客购买数据培养数据观念，第17题利用配对试验数据计算方差发展运算能力与推理意识。分层测评与实际问题结合，既夯实基础又促进深度学习，为教师实施单元复习提供清晰的教学导向和全面的测评支持。

数学　必修 第二册 RJB 第五章　单元质量测评 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ 对点 随机事件的判断 扇形图、柱形图的应用 分层抽样的平均数计算 茎叶图的应用 列举法求简单古典概型的概率 相互独立事件的性质及概率；对立事件的概率 频率分布直方图的应用；用样本估计总体 频数分布表的应用 互斥事件的判断 折线图的应用 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 百分位数、平均数、方差的计算 抽样方法的选取 树形图法求较复杂古典概型的概率；对立事件的概率 频率分布直方图；用样本估计总体 用频率估计概率及应用 古典概型的概率计算 样本数据平均数、方差的计算；用样本估计总体及应用 多个事件相互独立的性质及概率计算；互斥、对立事件的概率 补全频率分布直方图；估计总体平均数；古典概型 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列事件中，随机事件的个数是(　　) ①2025年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4 ℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④x∈R，则|x|的值不小于0. A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1，2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　) A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10 答案：A 解析：根据题中的统计图知该地区中小学生一共有10000人，由于抽取2%的学生，所以样本容量是10000×2%＝200.由于高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生近视人数为2000×2%×50%＝20.故选A. 3．某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样的方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中抽取100件进行使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂抽取的产品的使用寿命的平均值分别为980 h，1020 h，1032 h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为(　　) A．1013 h B．1014 h C．1016 h D．1022 h 答案：A 解析：解法一：由分层抽样的知识可知，从第一、二、三分厂抽取的电子产品分别为25件、50件、25件，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为×(980×25＋1020×50＋1032×25)＝1013(h)． 解法二：因为第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，所以抽取的100件产品的使用寿命的平均值(加权平均值)为×(980＋2×1020＋1032)＝1013(h)． 4.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是(　　) A．x＝9 B．y＝9 C．乙的成绩的中位数为26 D．乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差 答案：B 解析：因为甲的成绩的极差为31，所以其最高成绩为39，所以x＝9，A正确；因为乙的成绩的平均值为24，所以y＝24×5－(12＋25＋26＋31)－20＝6，B错误；由茎叶图知乙的成绩的中位数为26，C正确；对比甲、乙的成绩分布发现，乙的成绩比较集中，故其方差较小，D正确．故选B. 5．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：设2名男生为A1，A2，2名女生为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动的样本点有A1A2，A1B1，A1B2，A2A1，A2B1，A2B2，B1A1，B1A2，B1B2，B2A1，B2A2，B2B1，共12个，且这12个样本点出现的可能性是相等的，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的样本点有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，共4个，则所求事件发生的概率为P＝＝.故选A. 6．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题设条件可得，P(A)P()＝P()P(B)　①，P()P()＝　②，又P(A)＝1－P()，P(B)＝1－P()，解得P()＝P()＝.所以P(A)＝1－P()＝. 7．某学校为了调查学生一周的支出(单位：元)情况，从该校学生中抽取了一个容量为N的样本，将所得数据按[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]分组，画出的频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60]内的学生有60名，则下列说法正确的是(　　) A．样本中支出在[50，60]内的频率为0.03 B．样本中支出不少于40元的人数为132 C．N的值为2000 D．若该校有2000名学生，则支出在[50，60]内的一定有600人 答案：B 解析：样本中支出在[50，60]内的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A错误；样本中支出不少于40元的人数为×60＋60＝132，故B正确；N＝＝200，故C错误；若该校有2000名学生，则支出在[50，60]内的大约有0.3×2000＝600人，故D错误．故选B. 8．(新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 亩产量 [900，950) [950，1000) [1000，1050) [1050，1100) [1100，1150) [1150，1200) 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是(　　) A．100块稻田亩产量的中位数小于1050 kg B．100块稻田中亩产量低于1100 kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1000 kg之间 答案：C 解析：对于A，根据频数分布表可知，6＋12＋18＝36<50，所以亩产量的中位数不小于1050 kg，故A错误；对于B，亩产量不低于1100 kg的频数为24＋10＝34，所以低于1100 kg的稻田占比为＝66%，故B错误；对于C，稻田亩产量的极差最大为1200－900＝300，最小为1150－950＝200，故C正确；对于D，由频数分布表可得，亩产量的平均值为×(6×925＋12×975＋18×1025＋30×1075＋24×1125＋10×1175)＝1067，故D错误．故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一名射手射击一次，下列事件A：“命中环数大于7”，事件B：“命中环数为10”，事件C：“命中环数小于6”，事件D：“命中环数为6，7，8，9，10”，其中互斥事件是(　　) A．A与C B．B与C C．C与D D．A与B 答案：ABC 解析：互斥事件是指不能同时发生的事件，故A与C，B与C，C与D均为互斥事件，A与B可以同时发生，A与B不是互斥事件．故选ABC. 10．已知某校高三的甲、乙、丙三个班各有50名学生，在一次数学模拟考试中，三个班的学生成绩的各分数段累计人数折线图如图所示，根据图中的成绩信息，下列结论中正确的是(　　) A．三个班的成绩的中位数：乙班最高，丙班最低 B．三个班的平均成绩：丙班最低 C．三个班中成绩在60分以下的人数：丙班最多；80分以上的人数：乙班最多 D．模拟考试的最高分出现在乙班 答案：AB 解析：对于A，由折线图得乙班成绩的中位数最高，丙班成绩的中位数最低，故A正确；对于B，由折线图得丙班的平均成绩最低，故B正确；对于C，由折线图得80分以上的人数甲班最多，故C错误；对于D，由折线图得最高分出现在甲班，故D错误．故选AB. 11．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，5名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是(　　) A．这种抽样方法是分层抽样 B．这5名男生成绩的20%分位数是87 C．这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差 D．该班男生成绩的平均数一定小于该班女生成绩的平均数 答案：BC 解析：若抽样方法是分层抽样，男生、女生应分别抽取6人、4人，所以A错误；因为20%×5＝1，所以这5名男生成绩的20%分位数为＝87，所以B正确；这5名男生成绩的平均数1＝＝90，这5名女生成绩的平均数2＝＝91，故这5名男生成绩的方差为×[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8，这5名女生成绩的方差为×[(88－91)2×2＋(93－91)2×3]＝6，所以这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差，所以C正确；该班男生成绩的平均数不一定小于该班女生成绩的平均数，所以D错误．故选BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是______________． 答案：分层抽样、简单随机抽样 解析：由于甲、乙、丙、丁四个地区有明显差异，所以完成①宜采用分层抽样．在丙地区中有20个特大型销售点，没有显著差异，所以完成②宜采用简单随机抽样． 13．A，B，C，D四名学生按任意次序站成一排，则A或B在边上的概率为________． 答案： 解析：A，B，C，D四名学生按任意次序站成一排，样本空间所包含的样本点共有24个，且这24个样本点出现的可能性是相等的，如图所示． A，B都不在边上的样本点共4个，所以A或B在边上的概率为P＝1－＝. 14．某地教育部门为了调查考生在数学考试中的有关信息，从上次参加考试的10000名考生中随机抽取了500名，将这500名考生的数学成绩按[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]分段，画出样本的频率分布直方图(如图)，则这10000名考生中数学成绩在[140，150](单位：分)段的约有________名，估计这10000名考生的数学平均成绩为________分(同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替)． 答案：800　117 解析：设这500名考生中数学成绩在[140，150]段的人数为x，10000名考生中数学成绩在[140，150]段的人数为n.由样本频率分布直方图知数学成绩在[140，150]段的频率是相应小矩形的面积，即0.008×10＝0.08＝，∴x＝40.又＝，∴＝，解得n＝800，因此10000名考生中数学成绩在[140，150]段的约有800名．估计这10000名考生的数学平均成绩为10×(85×0.016＋95×0.004＋105×0.012＋115×0.016＋125×0.024＋135×0.020＋145×0.008)＝117(分)． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁4种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． 商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率； (3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解：(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2. (2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3. (3)与(1)同理，可得， 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1. 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． 16．(本小题满分15分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，每个小球的标号为0，1，2中的一个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是. (1)求n的值； (2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率． 解：(1)由题意可知，取到标号是2的小球的概率为，可得＝，解得n＝2. (2)不放回地随机抽取2个小球的所有样本点为(0，1)，(0，21)，(0，22)，(1，0)，(1，21)，(1，22)，(21，0)，(21，1)，(21，22)，(22，0)，(22，1)，(22，21)，共12个，且这12个样本点出现的可能性是相等的．事件A包含的样本点为(0，21)，(0，22)，(21，0)，(22，0)，共4个． 所以P(A)＝＝. 17．(全国乙卷)(本小题满分15分)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)．试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)． 解：(1)＝×(545＋533＋551＋522＋575＋544＋541＋568＋596＋548)＝552.3， ＝×(536＋527＋543＋530＋560＋533＋522＋550＋576＋536)＝541.3， ＝－＝552.3－541.3＝11， zi＝xi－yi的值分别为9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12， 故s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61. (2)由(1)知，＝11，2＝2＝， 故有≥2，所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 18．(本小题满分17分)在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙三人各自通过测试的概率分别为，，，求： (1)3人都通过体能测试的概率； (2)只有2人通过体能测试的概率； (3)只有1人通过体能测试的概率． 解：设事件A表示“甲通过体能测试”，事件B表示“乙通过体能测试”，事件C表示“丙通过体能测试”．由题意有P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. (1)设事件M1表示“3人都通过体能测试”， 即M1＝ABC. 由事件A，B，C相互独立，可得 P(M1)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝. (2)设事件M2表示“只有2人通过体能测试”，则M2＝AB＋AC＋BC， 由于事件A，B，C相互独立，并且事件AB，AC，BC两两互斥，因此所求概率为P(M2)＝P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＋P()P(B)P(C)＝××＋××＋××＝. (3)设事件M3表示“只有1人通过体能测试”，则M3＝A＋B＋C， 由于事件A，B，C相互独立，并且事件A ，B， C两两互斥，因此所求概率为P(M3)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝××＋××＋××＝. 19．(本小题满分17分)某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(单位：分)整理后，得到如下频率分布直方图(其中分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[90，100])． (1)求成绩在[70，80)的频率，并补全此频率分布直方图； (2)求这次考试成绩的平均数的估计值； (3)若从成绩在[40，50)和[90，100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率． 解：(1)第四小组的频率为1－(0.005＋0.015＋0.020＋0.030＋0.005)×10＝0.25.补全频率分布直方图如下： (2)依题意可得， 平均数的估计值＝(45×0.005＋55×0.015＋65×0.020＋75×0.025＋85×0.030＋95×0.005)×10＝72.5. (3)成绩在[40，50)与[90，100]的人数分别是3和3，将[40，50)分数段的3人编号为A1，A2，A3，将[90，100]分数段的3人编号为B1，B2，B3，从成绩在[40，50)与[90，100]的学生中任选两人，由样本点构成的样本空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15个，且这15个样本点出现的可能性是相等的，其中这两人的成绩在同一分组区间所含的样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共6个，故他们的成绩在同一分组区间的概率P＝＝. 11 学科网（北京）股份有限公司 $