6.1.4-6.1.5 数乘向量 向量的线性运算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦数乘向量与向量的线性运算核心知识点，通过问题导思引入数乘向量的几何意义，系统梳理其定义、运算律及线性运算规则，构建从概念理解到三点共线判断、三角形应用的完整学习支架。 资料以问题驱动培养直观想象，通过作图探究数乘向量方向与模长；以题型示例强化逻辑推理，如三点共线证明中向量关系推导；微专题结合三角形“四心”问题深化数学抽象。课中辅助教师引导探究，课后自主检测与微专题助力学生巩固提升，查漏补缺。

6.1.4　数乘向量 6.1.5　向量的线性运算 知识层面 1.掌握数乘向量的定义并理解其几何意义．　2.理解数乘向量的运算律．　3.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 素养层面 通过学习数乘向量的定义及其运算律，培养数学抽象和逻辑推理素养；借助向量线性运算及其应用，提升直观想象和逻辑推理素养． 问题1.如图，已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).它们的长度和方向是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？ 提示：＝＋＋＝a＋a＋a＝3a. ＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a. 显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍． 问题2.类比实数的乘法的运算律，那么数乘向量有什么运算律呢？ 提示：数乘向量满足乘法对加法的分配律． 知识点一　数乘向量 1．数乘向量的定义 一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中： (1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下： ①当λ>0时，与a的方向相同； ②当λ<0时，与a的方向相反． (2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0． 上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量． [微提醒]　(1)实数与向量可以求乘积，但不能进行加减运算．如λ＋a，λ－a均没有意义． (2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0. (3)对于非零向量a，当λ＝时，λa表示a方向上的单位向量． 2．数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小．特别地，一个向量的相反向量可以看成－1与这个向量的乘积，即－a＝(－1)a. 学生用书第108页 [微提醒]　数乘向量λa中，λ的符号与λa的方向有关，λ的大小与λa的模有关．当λ>0时，沿着向量a的方向放大(λ>1)或缩小(0<λ<1)到原来的λ倍； 当λ<0时，沿着向量a的反方向放大(|λ|>1)或缩小(0<|λ|<1)到原来的|λ|倍． 3．λ(μa)＝(λμ)a 当λ和μ都是实数，且a是向量时：μa是向量，λ(μa)也是向量；λμ是实数，但(λμ)a是向量．可以看出 λ(μa)＝(λμ)a 知识点二　向量的线性运算 1．向量的加法与数乘向量的混合运算 一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，总是规定要先算数乘向量，再算向量加法． (1)一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有 λa＋μa＝(λ＋μ)a (2)一般地，对于任意实数λ，以及向量a与b，有 λ(a＋b)＝λa＋λb 2．向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算． (1)向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项． (2)由于向量的加法满足交换律与结合律，减去一个向量可以看成加上这个向量的相反向量． (3)当一个向量的线性运算中含有括号时，我们可以用类似多项式运算中拆括号的方式来去掉其中的括号． 知识点三　判断三点共线 利用数乘向量，可以方便地研究三点共线的情形． 一般地，如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线． 1．(多选)如图，设P，Q是线段AB的三等分点(P靠近点A)，则下列向量表达式正确的是(　　) A．＝　　　　 B．＝ C．＝－ D．＝ 答案：ABC 解析：分析可知A、B、C都是正确的，而＝－，故D中表达式错误． 2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　) A．a与λ2a的方向相同 B．a与－λa的方向相反 C．＝λ D．＝－λ 答案：A 解析：对于A，因为λ2＞0，所以a与λ2a的方向相同，故A正确；对于B，当λ＜0时，a与－λa的方向相同，故B错误；对于C，当λ＜0时，λ＜0，故C选项错误；对于D，当λ＞0时，－λ＜0，故D错误．故选A. 3．在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则＋－等于(　　) A．0 B．4 C．4 D．4 答案：C 解析：点M是△ABC的重心，所以＋－＝2－＝2－(－2)＝4.故选C. 4．化简：(－4)×a＝________． 答案：－2a 解析：(－4)×a＝(－4×)a＝－2a. 5．化简：2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)＝________． 答案：14a－9b 解析：2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. 学生用书第109页 题型一　数乘向量 例1　(1)下列各式化简正确的是__________． ①－3×2a＝－5a； ②a×3×(－2)＝－3a； ③－2×＝2； ④0×b＝0. (2)若两个非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值范围为________． [思路点拨]　(1)利用数乘运算法则判断． (2)a与λa若方向相同，则λ>0. 答案：(1)②③　(2)x> 解析：(1)因为－3×2a＝－6a，a×3×(－2)＝－3a，－2×＝－2＝2，0×b＝0.所以，①④错误，②③正确． (2)由向量数乘定义可知，2x－1>0，即x>. 1．λa中的实数λ叫做向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数． 2．数乘向量与原来向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小．　　 对点练1.(1)化简下列各式： ①4×a；②－2××(－3a). (2)已知向量a，b满足＝3，＝5，且a＝λb，则实数λ的值是 ________． 答案：(2)± 解析：(1)①4×a＝－a. ②－2××(－3a)＝3a. (2)由a＝λb，得＝＝.因为＝3，＝5，所以＝，即λ＝±. 题型二　向量的线性运算 例2　(1)计算：[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]. (2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a). (3)已知a与b，且5x＋2y＝a，3x－y＝b，求x，y. [思路点拨]　向量的线性运算与实数的运算类似，遵循括号内运算优先的原则，将相同的向量看成“同类项”进行合并，要注意所得的结果是向量． 解：(1)原式＝(4a＋16b－16a＋8b) ＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b. (2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝(－1－1)a＋(－1＋＋2)b＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝－i－5j. (3)将3x－y＝b的两边同乘以2，得6x－2y＝2b， 与5x＋2y＝a相加得11x＝a＋2b，即x＝a＋b. 所以y＝3x－b＝3(a＋b)－b＝a－b. 向量线性运算的方法 1．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作向量的系数． 2．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．　　 对点练2.设x是未知向量，a，b是已知向量，且满足3(x＋a)＋2(b－a)＋x－a－2b＝0，求x. 解：3(x＋a)＋2(b－a)＋x－a－2b＝3x＋3a＋2b－2a＋x－a－2b＝0，即4x＝0，得x＝0. 题型三　利用已知向量表示相关向量 例3　如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，. 学生用书第110页 [思路点拨]　解答本题时可先把，视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)求出，. 解：方法一　设＝x，则＝x，＝x， 所以＝＋＝e1－x，＝e1－x. 由＋＝，得x＋e1－x＝e2， 解得x＝e2－e1， 即＝e2－e1. 由＝－，＝e1－x， 得＝－e1＋e2. 方法二　设＝x，＝y， 则＝x，＝－y，＝x，＝－y. 由＋＝，＋＝， 得 －2×②＋①，得x－2x＝e1－2e2，即x＝(2e2－e1)， 所以y＝(－2e1＋e2). 故＝e2－e1，＝－e1＋e2. 用已知向量表示未知向量的技巧 1．由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律． 2．当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解．　　 对点练3.(1)如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ (2)如图，在△ABC中，点Q为线段AC上靠近点A的三等分点，点P为线段BQ上靠近点B的三等分点，则＋＝(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)根据题意得，＝(＋)，又＝＋，＝，所以＝(＋＋)＝＋.故选D. (2)＋＝－＋－＝＋－2＝＋－＝＋－(＋)＝＋－×＝＋－(－)＝＋.故选B. 题型四　三点共线问题 例4　设a，b是不共线的两个非零向量，若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线． [思路点拨]　可先求，，再求＝λ即可． 证明：　由题意，得＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2， 所以与共线，且有公共端点B， 所以A，B，C三点共线． 证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两个有向线段表示的向量共线，必须说明构造的两个向量有公共点，否则两向量所在的基线可能平行，解题时常常会因忽视对公共点的说明而丢分．　　 对点练4.已知非零向量e1，e2不共线．如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线． 证明：因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5. 所以，共线，且有公共点B， 所以A，B，D三点共线． 学生用书第111页 1．将[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]化简成最简式为(　　) A．2a－b　　　　　　　 B．2b－a C．a－b D．b－a 答案：B 解析：原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝[(4－16)a＋(16＋8)b]＝(－12a＋24b)＝2b－a.故选B. 2．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于(　　) A．a－b B．a＋b C．a＋b D．a－b 答案：D 解析：因为E是BC的中点，所以＝＝－＝－b，所以＝＋＝＋＝a－b.故选D. 3．设P是△ABC所在平面内一点，且＋＝2，则(　　) A．＋＝0 B．＋＝0 C．＋＝0 D．＋＋＝0 答案：B 解析：因为＋＝2，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确． 4．设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k＝______． 答案：－ 解析：因为A，B，D三点共线，故存在一个实数λ，使得＝λ， 又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2) ＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2， 所以解得k＝－. 微专题(三)　利用向量的线性运算解决三角形中的问题 微点一　判断三角形的形状 1．若O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形　　　　 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 答案：D 解析：因为＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，所以|＋|＝|－|，即以AB，AC为邻边的平行四边形中，两条对角线长度相等，该平行四边形是矩形，所以⊥.所以△ABC为直角三角形．由于AB不一定等于AC，因此△ABC不一定为等腰直角三角形． 微点二　求三角形的面积之比 2．已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________． 答案：2∶3 解析：因为＋＋＝，所以＝－－＝＋＋＝2，所以A，P，C三点共线，即点P在边CA上，且PC∶AC＝2∶3，所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3. 名师点评：　利用向量的加法、减法、数乘向量等知识可以解决平面几何中的线段(或直线)平行、重合及图形相似等问题，解题的关键在于把平面几何语言转化为向量语言． 微点三　解决三角形的“四心”问题 3．若G是△ABC内一点，且＋＋＝0，则点G是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 答案：D 解析：如图，以GB，GC为邻边作平行四边形GBPC，连接GP，交BC于点D，显然D为BC中点，且＋＝. 因为＋＋＝＋＝＋2＝0，所以＝2，所以A，G，D三点共线，且AG∶GD＝2∶1.又D为BC中点，所以AD是△ABC的中线．所以G是△ABC的重心． 名师点评：内心是角平分线的交点，外心是垂直平分线的交点，垂心是高的交点，重心是中线的交点． 学生用书第112页 4.O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．外心　　　　　　　 B．内心 C．重心 D．垂心 答案：B 解析：由＝＋λ，得－＝λ，则＝λ. 设1＝是与同向的单位向量，1＝是与同向的单位向量，以AB1，AC1为邻边作平行四边形AB1P1C1，易得平行四边形AB1P1C1是菱形，对角线AP1平分∠B1AC1，所以＋＝1＋1＝1，则＝λ1.由λ∈[0，＋∞)，可知点P在∠BAC的角平分线上．所以动点P的轨迹一定通过△ABC的内心． 名师点评：　三角形的“四心” 1．三角形的内心：三角形内切圆的圆心，三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等． 2．三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三条边的中垂线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等．若M是△ABC内一点，满足||＝||＝||，则点M为△ABC的外心． 3．三角形的垂心：三角形三条高线的交点． 4．三角形的重心：三角形三边中线的交点． 学科网（北京）股份有限公司 $