第四章 指数函数，对数函数与幂函数章末复习课(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导（人教B版2019）

章末复习课 要 点 回 顾 网络构建 　 核心归纳 　 　 　 １.指数函数的图像和性质 ａ > １ ０ < ａ < １ 图像 定义域 Ｒ 值域 (０ꎬ ＋ ∞ ) 性质 过定点(０ꎬ１)ꎬ即 ｘ ＝ ０ 时ꎬｙ ＝ １ 当 ｘ > ０ 时ꎬｙ > １ꎻ 当 ｘ < ０ 时ꎬ０ < ｙ < １ 当 ｘ > ０ 时ꎬ０ < ｙ < １ꎻ 当 ｘ < ０ 时ꎬｙ > １ 在( － ∞ ꎬ ＋ ∞ ) 上是增函数 在( － ∞ ꎬ ＋ ∞ ) 上是减函数 　 　 注意:(１)对于 ａ > １ 与 ０ < ａ < １ꎬ函数值的 变化是不同的ꎬ因而利用性质时ꎬ一定要注意底 数的范围ꎬ通常要用分类讨论思想. (２)ａ > １ 时ꎬａ 值越大ꎬ图像向上越靠近 ｙ 轴ꎬ递增速度越快ꎻ０ < ａ < １ 时ꎬａ 值越小ꎬ图像 向上越靠近 ｙ 轴ꎬ递减速度越快. (３)在同一坐标系中有多个指数函数图像 时ꎬ图像的相对位置与底数大小有如下关系:在 ｙ 轴右侧ꎬ图像从上到下相应的底数由大变小ꎻ 在 ｙ 轴左侧ꎬ图像从下到上相应的底数由大变 小ꎬ即无论在 ｙ 轴的左侧还是右侧ꎬ底数按逆时 针方向变大. 这一性质可通过令 ｘ ＝ １ 时ꎬｙ ＝ ａ 去理解ꎬ如图所示. ２.对数函数的图像和性质 ａ > １ ０ < ａ < １ 图像 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 040 {#{QQABIYoAggCgAAJAAQgCQwUACEEQkBCCAIoGhBAIMAIBARFABAA=}#} 　 　 　 定义域 (０ꎬ ＋ ∞ ) 值域 Ｒ 性质 当 ｘ ＝ １ 时ꎬｙ ＝ ０ꎬ即图像过定点(１ꎬ０) 当 ｘ > １ 时ꎬｙ > ０ꎻ 当 ０ < ｘ < １ 时ꎬｙ < ０ 当 ｘ > １ 时ꎬｙ < ０ꎻ 当 ０ < ｘ < １ 时ꎬｙ > ０ 在( ０ꎬ ＋ ∞ ) 上是增函数 在(０ꎬ ＋ ∞ ) 上是减函数 　 　 ３.指数函数与对数函数的关系 对数函数 ｙ ＝ ｌｏｇａｘ(ａ > ０ 且 ａ≠１)与指数 函数 ｙ ＝ ａｘ(ａ > ０ 且 ａ≠１)互为反函数ꎬ其图像 关于直线 ｙ ＝ ｘ 对称(如图)ꎬ 　 　 ４.幂函数的图像和性质 下表是一些常见的幂函数的性质: 函数 定义域 值域 单调性 奇偶性 ｙ ＝ ｘ０ {ｘ ｜ ｘ≠０} {１} 无 偶 ｙ ＝ ｘ Ｒ Ｒ 增 奇 ｙ ＝ ｘ２ Ｒ {ｙ ｜ ｙ≥０} [０ꎬ ＋ ∞ )增 ( － ∞ ꎬ０)减 偶 ｙ ＝ ｘ３ Ｒ Ｒ 增 奇 ｙ ＝ ｘ － １ {ｘ ｜ ｘ≠０} {ｙ ｜ ｙ≠０} ( － ∞ ꎬ０)减 (０ꎬ ＋ ∞ )减 奇 ｙ ＝ ｘ － ２ {ｘ ｜ ｘ≠０} {ｙ ｜ ｙ > ０} ( － ∞ ꎬ０)增 (０ꎬ ＋ ∞ )减 偶 ｙ ＝ ｘ １ ２ {ｘ ｜ ｘ≥０} {ｙ ｜ ｙ≥０} 增 非奇 非偶 ｙ ＝ ｘ － １ ２ {ｘ ｜ ｘ > ０} {ｙ ｜ ｙ > ０} 减 非奇 非偶 ｙ ＝ ｘ １ ３ Ｒ Ｒ 增 奇 ｙ ＝ ｘ ２ ３ Ｒ {ｙ ｜ ｙ≥０} ( － ∞ ꎬ０)减 [０ꎬ ＋ ∞ )增 偶 　 　 结合以上常见的幂函数ꎬ可得 ｙ ＝ ｘα (α∈ Ｒ)的性质如下: (１)所有的幂函数在(０ꎬ ＋ ∞ )上都有意 义ꎬ并且图像都通过点(１ꎬ１) . (２)如果 α > ０ꎬ则幂函数的图像过原点ꎬ并 在区间[０ꎬ ＋ ∞ )上为增函数. (３)如果 α < ０ꎬ则幂函数在区间(０ꎬ ＋ ∞ ) 上是减函数ꎬ在第一象限内ꎬ当 ｘ 从右边趋向于 原点时ꎬ图像在 ｙ 轴右方无限地逼近 ｙ 轴ꎬ当 ｘ 趋于 ＋ ∞时ꎬ图像在 ｘ 轴上方无限地逼近 ｘ 轴. (４)当 α 为奇数时ꎬ幂函数为奇函数ꎻ当 α 为偶数时ꎬ幂函数为偶函数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 专 题 突 破 专题一 指数与指数幂运算ꎬ对数与对数运算 　 　 指数运算、对数运算是两个重要的知识点ꎬ 不仅是本章的主要考点ꎬ也是高考的必考内容. 对于指数运算ꎬ首先ꎬ