6.2.3 平面向量的坐标及其运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦平面向量的坐标表示及运算这一核心知识点，系统梳理向量正交分解、坐标定义，坐标的加减与数乘运算，向量模、两点距离及中点公式，向量共线的坐标条件。承接向量线性运算，通过坐标实现量化，为解析几何学习奠定基础，辅以“微点助解”“思维建模”构建学习支架。 资料采用梯度进阶式教学设计，从基础判断与计算训练，到坐标表示、运算、共线三类题型的例题解析与针对训练，结合“思维建模”提炼方法。培养学生用数学眼光抽象坐标关系，用数学思维推理运算规律，用数学语言表达向量问题。课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

6.2.3　平面向量的坐标及其运算 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.　 2.能用坐标表示平面向量共线的条件.　 1.平面向量的坐标 (1)向量的垂直 平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直. (2)向量的正交分解 如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解. (3)向量的坐标 一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a=xe1+ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a=(x，y). |微|点|助|解| 求平面向量坐标的两种方法 (1)将向量用单位向量e1，e2表示出来； (2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标. 2.平面向量的坐标运算及常用公式 (1)平面上向量的运算与坐标的关系 向量的加、减法 若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b=(x1+x2，y1+y2)，a-b=(x1-x2，y1-y2)，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差 实数与向量的积 若a=(x，y)，λ∈R，则λa=(λx，λy)，即数乘向量积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积 向量的数乘、加、减混合运算 若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，u，v∈R，则ua±vb=(ux1±vx2，uy1±vy2) 向量的模 若a=(x，y)，则|a|= (2)平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，则AB=||=，线段AB的中点坐标为. 3.向量平行的坐标表示 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1=x1y2. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)相等向量的坐标相同与向量的始点、终点无关. (　　) (2)两向量差的坐标与两向量的顺序无关. (　　) (3)点的坐标与向量的坐标相同. (　　) (4)已知a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，若a∥b，则必有a1b2=a2b1. (　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.如图，{e1，e2}为正交基底，则向量2a+b的坐标为 (　　) A.(3，4) B.(2，4) C.(3，4)或(4，3) D.(4，2)或(2，4) 解析：选A　∵ a=e1+e2，∴2a=2e1+e2.又b=e1+3e2， ∴2a+b=(2e1+e2)+(e1+3e2)=3e1+4e2. ∴2a+b在基底{e1，e2}下的坐标为(3，4). 3.若a=(2，1)，b=(1，0)，则3a-2b的坐标是 (　　) A.(5，3) B.(4，3) C.(8，3) D.(0，-1) 解析：选B　3a-2b=3(2，1)-2(1，0)=(4，3). 4.已知向量a=(1，2)，2a+b=(3，2)，则|b|等于 (　　) A. B.2 C. D.2 解析：选A　b=(3，2)-2a=(3，2)-(2，4)=(1，-2)，故|b|==. 题型(一)　平面向量的坐标 [例1]　如图，分别用单位正交基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标. 解：由题图可知a=+=2i+3j， ∴a=(2，3). 同理可得b=-2i+3j=(-2，3)， c=-2i-3j=(-2，-3)， d=2i-3j=(2，-3). |思|维|建|模| 求平面向量坐标的一般方法 (1)数形结合法：根据正交分解，求向量在x轴、y轴上的坐标分量. (2)平移法：把向量的始点移至坐标原点，终点坐标即向量的坐标. 　　[针对训练] 1.已知O是坐标原点，点A在第一象限，||=4，∠xOA=60°，求向量的坐标. 解：设点A(x，y)，则x=||cos 60°=4cos 60°=2，y=||sin 60°=4sin 60°=6， 即A(2，6).所以=(2，6). 题型(二)　平面向量的运算与坐标的关系 [例2]　已知点A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，设=a，=b，=c. (1)求3a+b-3c； (2)求满足a=mb+nc的实数m，n的值. 解：由题得，a=(5，-5)，b=(-6，-3)，c=(1，8). (1)3a+b-3c=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42). (2)因为a=mb+nc=(-6m+n，-3m+8n)=(5，-5)， 所以解得 所以满足a=mb+nc的实数m，n的值为m=-1，n=-1. |思|维|建|模| 平面向量坐标的线性运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用向量和、差及数乘向量的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量坐标的线性运算可完全类比数的运算进行. [针对训练] 2.已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|2a-b|= (　　) A. B.2 C. D.5 解析：选C　∵a=(2，3)，b=(3，2)，∴2a-b=(1，4).∴|2a-b|==. 3.已知向量a，b的坐标分别是(-1，2)，(3，-5)，求a+b，a-b，3a，2a+3b的坐标及模. 解：a+b=(-1，2)+(3，-5)=(2，-3)，|a+b|==. a-b=(-1，2)-(3，-5)=(-4，7)，|a-b|==. 3a=3(-1，2)=(-3，6)， |3a|==3. 2a+3b=2(-1，2)+3(3，-5) =(-2，4)+(9，-15)=(7，-11)， |2a+3b|==. 题型(三)　向量平行的坐标表示 [例3]　(1)已知a=(1，0)，b=(2，1)，若=2a+3b，=a+mb，且A，B，C三点共线，求m的值. (2)已知A，B，C三点的坐标分别为(-1，0)，(3，-1)，(1，2)，==，求证：∥. 解：(1)=2(1，0)+3(2，1)=(8，3)， =(1，0)+m(2，1)=(2m+1，m). ∵A，B，C三点共线，∴∥， ∴8m-3(2m+1)=0，∴m=. (2)证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2). 由题意知=(2，2)，=(-2，3)，=(4，-1)，∴====. ∴(x1，y1)-(-1，0)=，(x2，y2)-(3，-1)=. ∴(x1，y1)=，(x2，y2)=. ∴=(x2，y2)-(x1，y1)=. ∵4×-(-1)×=0，∴∥. |思|维|建|模| 向量共线的判定方法 (1)利用共线向量基本定理，b∥a(a≠0)推出b=λa(λ有唯一实数). (2)利用向量共线的坐标表达式x2y1=x1y2直接求解. 　　[针对训练] 4.已知a=(2，0)，b=(2，1). (1)当k为何值时，ka+b与a-2b共线； (2)若=a+3b，=a-mb，且A，B，C三点共线，求m的值. 解：(1)∵a=(2，0)，b=(2，1)， ∴ka+b=(2k+2，1)，a-2b=(-2，-2). 又ka+b与a-2b共线， ∴-2(2k+2)-1×(-2)=0，即k=-. (2)∵=a+3b=(8，3)， =a-mb=(2-2m，-m)， 又A，B，C三点共线， ∴-8m-3(2-2m)=0，即m=-3. 学科网（北京）股份有限公司 $