6.2.3 平面向量的坐标及其运算-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

第六章平面向量初步 6.2.3 平面向量的坐标及其运算 学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量 的坐标表示 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐 标运算和向量的模的公式 3.正确理解向量坐标的概念，会把点的 坐标与向量的坐标相互转化. 要点精析 变式训练① 川要点1平面向量的坐标 根据图6-2-8写出向量a,b,c,d的 坐标，其中每个小正方形的边长是1. 给定平面内两个相互垂直的单位向量e 和e2,对于平面内的向量a,如果a=xe+ye2, 称(x,y)为向量a的坐标，记作a=(x,y). 思考向量e1,e2满足什么条件时， 向量a=(x,y)? 例1(1)写出图6-2-7中向量a的分 解式和坐标； 图6-2-8 (2)在图6-2-7中作出向量b=(3,-2). 6 川要点2平面上向量的运算与坐标的关系· 6 图6-2-7 平面上的向量有了坐标之后，向量也可 分析求平面上向量的坐标可以有两 以用坐标的方式进行运算， 种方法：一种是将向量a用向量e1,e2表 若a=(x1,y),b=(x2,y2),则ka= 示出来；一种是将向量的始点平移到原点， (kx1,ky1）,a+b=(x1+x2,y1ty2),a-b=(x1-x, 读出终点的坐标 yi-y2),lal=Vxityi. 学 79 N 高中数学必修第二册人教B版 思考la-b1等于什么？ 例2a=(-2,1),b=(3,1),求a+2b B变式训练③ 和a-3汤 在下列向量组中，可以把向量a= (3,2)表示出来的是（) 分析用坐标的方式进行线性运算. A.e=(0,0),e2=(1,2)》 B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 要点3平面直角坐标系内两点之间的· 距离公式与中点坐标公式 设A=(x1,y1)和B=(x2,y2)为平面直 例3已知a=(3,-2),b=(-2,1),c= 角坐标系内两点，则0A=(x,y),0B= (7,-4),用a,b表示c. (x2,y2),AB=0B-0A=(x2,2)-(,y)= (x1,y2).因此MBV(x2-x)2+(y2-y)2, 线段AB的中点坐标为梦，空 2/1 思考在△ABC中，若A(x,y),B,y), C(x,y3),则重心G的坐标是什么？ 例5已知A=(-3,1)和B=(2,-5), 变式训练 求线段AB的两个三等分点中距A较近的点 M的坐标， 已知向量a,b满足la=1,b=(2,1), 分析点M是线段AB的两个三等分点 且入a+b=0(入∈R),则I入|= 中距A较近的点，可以表示为A=}AB, 例4已知a=(-2,1),求与a共线的 单位向量 然后用坐标进行计算」 分析±合是与a共线的单位向量 (80)学 第六章平面向量初步 反思感悟本题主要考查向量的坐标 表示和向量的坐标运算，解题关键是点的 B变式训练⑤ 坐标与向量坐标之间的相互转化： 设向量a=(1,2),b=(2,3).若向量 B变式训练④ Aa+b与向量c=(-4,-7)共线，求入的值. 如图6-2-9，已知点A(-2,1),B(1,3), 求线段AB的中点M与三等分点P,Q的 坐标. 0 图6-2-9 例7证明：以A(-1,0),B(3,2), C(0,4)三点为顶点可以构成三角形 川要点4向量平行的坐标表示 分析已知A,B,C三点的坐标，可 以求出向量AB,AC的坐标，再利用向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b台x2y1= 平行的坐标表示，即可判断A,B,C三点 x0y2. 能否构成三角形 思考当2≠0,2≠0时，两向量平 行的充要条件还可以怎样表示？ 例6已知a=(-2,1),b=(3,k),a∥ b,求k的值 分析利用向量平行的坐标表示可知， 1×3=-2xh. P变式训练6 在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC= 90°，AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点， 则PA+3PB的最小值为 学(81 N 高中数学必修第二册人教B版 (2)四边形OABP能否成为平行四边 数学文化 形？若能，求出相应的t值；若不能，请说 向量能够进入数学并得到发展，首先应 明理由. 从复数的几何表示谈起.18世纪末期，挪威 测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来 表示复数a+bi,并利用具有几何意义的复数 运算来定义向量的运算（把坐标平面上的点 用向量表示出来，并把向量的几何表示用于 研究几何问题与三角问题)·人们逐渐接受 了复数，也学会了利用复数来表示和研究平 面中的向量，向量就这样平静地进入了数学 例已知点O(0,0),A(1,2),B(3,4) 及OP=OA+tAB (1)若点P在第二象限，求t的取值 范围。 (82)学N 高中数学必修第二册人教B版 数学文化 证明：四边形ABCD是平行四边形，AC=AB+ AD,且AD=BC aE=c=子AC,AE=元=4C=4花+ 4AD,D呢=A正-AD-}AB+AD-AD=A店- 子AD,FB-F元+CB-4AB+4AD-BC=AB+AD -AD=AB-子AD,D呢=屈，DE=fB,DE∥B, .四边形DEBF是平行四边形 6.2.2直线上向量的坐标及其运算 要点精析 例1解：由图可知，a=2e,b=-3e,a的坐标为2，b 的坐标为-3. 变式训练1 解：(1)a的坐标为3，b的坐标为-6. (2②)a的坐标为-4，b的坐标为2 例2解：(1)a+b的坐标为-2+5=3. (2)号a-3动的坐标为-2×3-5x3=-16, 例3解：(1)AB=0B-0A,.AB的坐标为-6-3= -9,且AB=9. (②)线段AB的中点坐标为3- 变式训练2 解：(1)AC的坐标是10，xc-x=10,x=x+ 10=8. (2)l4C=10,c-xl=10, 当x-x=10时，x=x4+10=8; 当x-龙4=-10时，x=x-10=-12. (3)·AC=3IBC1,.AC=3BC或AC=-3BC.当AC= 3BC时，xc-x4=3(-xB),x=10;当AC=-3BC时，x x=-3(x-xg),.xc=4. 6.2.3平面向量的坐标及其运算 要点精析 例1解：(1)·a=-2et3e2,=(-2,3) (2)向量b的始点在原点，终点坐标为(3，-2)· 50 变式训练1 解：a=(2,3),b=(-2,3),c=(-3,-2),d=(3,-3) 例2解：a+2b=(-2,1)+2×(3,1)=(-2,1)+(6,2)= (4,3). 24-363×-2.1)3x3,1-1,合}9.3)归 -10,-3 例3解：设c=ma+nb,即(7,4)=m(3,-2)+n(-2,1), 3m-2n=7,解得 fm=1, -2m+n=-4, n=-2, .c=a-2b. 变式训练2 √5【解析】利用共线向量求参数值. .Aa+b=0,.Aa=-b,.lAal=l-bl=lbl=V2+T=V5, ..lAl.lal=V5.al=1,.A=V5. 例4解：由已知可得al=V(-2)4下=V5, 品2川2， lal v5 5， .与a共线的单位向量为 2利25. 变式训练3 B【解析】根据平面向量基本定理解题.由题意知， A选项中，e=0,C,D选项中两向量均共线，不符合基 底条件.B选项中，a=2e1+e2,故选B. 例5解：由已知条件得AB-0B-0A=(2,-5)-(-3,1)= (5,-6). A=子A店 4=}×5,6)=号，-2， o=01+AM=(-3,1)+号，-2号，-1月 ∴点M的坐标为号， 变式训练4 解0=(01+0B)=2,2,点M的坐标 为2,2 AB=0B-01=(1,3)(-2,1)=(3,2,A=AE, 设P(x,y),(x,)-(-2,1)=3x3,2)=1,号）， ,,号+-2,1山，多)，同理可得Q0.子】 例6解：a/b,-2x=13,h=- 变式训练5 解：.a=(1,2),b=(2,3),.入a+b=(入+2,2入+3). 向量Aa+b与向量c=(-4,-7)共线，-7（入+2）+4(2入+ 3)=0,.入=2. 例7证明：AB=(3,2)-(-1,0)=(4,2),AC=(0,4)- (-1,0)=(1,4).4×4≠1×2，.AB和AC不共线， .以A(-1,0),B(3,2),C(0,4)为顶点可以构成 三角形 变式训练6 5【解析】本题可建立坐标系，利用向量的坐标表 示，转化为函数求最值.以D为原点，分别以DA,DC 所在直线为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，设 DC=a,DP=x,∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1, a),P0,x),PA=(2,-x),PB=(1,a-x),PA+3PB= (5,3a-4x),.lPA+3PBP=25+(3a-4x)2≥25，.PA+ 3PBlin-5. D (0) A 变式训练6答图 数学文化 解：(1)0P-0A+4B=(1,2)+t(2,2)=(2+1,2t+ 2t+1<0, 2).由题意得 2t+2>0. 解得-1< (2)若四边形OABP是平行四边形，只要OP-AB 而AB=(2,2),0P=(2+1,2+2),由此需要2t+1=2t+ 2,但此方程无实数解，∴.四边形OABP不可能是平行四 边形. 参考答案。 >"6.3平面向量线性运算的应用 要点精析 例1证明：由已知条件有AD-B丽-BA=)BC-B丽， B配-BM正-+号Ad, BE-BA+号BC-a丽号BCa F为AC的中点，B脉=(BA+BC), BF-?BE,B,下，E三点共线 变式训练1 (1)解：BE=AEAB=b,D亦-AF-AD=ab. (2)证明：D,G,F三点共线，则DG=ADF,即 AG-AD+DF-号Aa+1-入b, B,G,E三点共线，则BCBE,即AG-ABBE =(1ua+7b. 1 由平面向量基本定理知 1 解得小号， 1-A=24, AC-}(a+b)=}AC,A,G,C三点共线， 例2C【解析】方法一：点P在AD上，故AP∥AD, 存在唯一实数入，使得AP=λAD.又BD=DC,故D 为BC的中点，AD-)AB+)AC,A正=)AB+入AC; 同理存在μ，使得BP=BE,又：AP-AB+BP=AB+ uB丽-A6(a正-A店)=(1wA店+号C,分1u 兰房号正+号C.号y 4 5 5 故选C. 方法二：因为是选择题，所以不妨设△ABC为等腰 直角三角形，其中AB⊥AC,AB=AC=6,以A为原点， AB所在直线为x轴、AC所在直线为Y轴，建立平面直 角坐标系，如图所示，则A(0,0),B(6,0),C(0,6), D3,3),B0,4),则直线BE,AD的方程分别为若+ 51