6.1.4-6.1.5 数乘向量 向量的线性运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦数乘向量与向量的线性运算核心知识点，在向量加法、减法基础上，系统阐述数乘向量的定义、几何意义及运算律，进而构建向量线性运算的概念与法则，为解决三点共线、向量表示等问题提供学习支架。 资料采用梯度进阶式教学设计，通过基础落实训练、分层题型（概念辨析、线性运算、三点共线、向量表示）及“思维建模”总结方法，培养学生数学思维（推理能力）与数学眼光（几何直观）。例如三点共线问题利用向量共线推理，提升逻辑思维；结合图形分析向量表示，增强几何直观。课中助力教师分层授课，课后辅助学生巩固练习，弥补知识盲点。

6.1.4　数乘向量　　 6.1.5　向量的线性运算 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学]　　 [课时目标] 1.理解数乘向量的定义及几何意义，了解数乘向量的运算律. 2.理解向量线性运算的定义及运算法则.　 3.能利用向量的线性运算解决简单的问题. 1.数乘向量的定义 定义 一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量 模 当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a| 方向 当λ>0且a≠0时，λa与a的方向相同； 当λ<0且a≠0时，λa与a的方向相反； 当λ=0或a=0时，λa=0 2.数乘向量的几何意义 把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小. 3.λ(μ a)=(λμ)a 当λ和μ都是实数，且a是向量时：μ a是向量，λ(μ a)也是向量；λμ是实数，但(λμ)a是向量.可以看出λ(μ a)=(λμ)a. 4.向量平行、三点共线问题 (1)向量平行：如果存在实数λ，使得b=λa，则b∥a. (2)三点共线：一般地，如果存在实数λ，使得=λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线. 5.向量的加法与数乘向量的混合运算 (1)规律：一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，总是规定要先算数乘向量，再算向量加法. (2)运算律 ①一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有λa+μa=(λ+μ)a. ②一般地，对于任意实数λ，以及向量a与b，有λ(a+b)=λa+λb. 6.向量的线性运算 概念 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算 规则 向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项 基础落实训练 1.若|a|=1，|b|=2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是 (　　) A.b=2a　　　　　　　 B.b=-2a C.a=2b D.a=-2b 答案：A 2.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列关系式正确的是 (　　) A.=3 B.=2 C.= D.=2 解析：选D　由题意可知=-3=-2=2.故只有D正确. 3.化简：(-4)×a=　　　　.  解析：(-4)×a=a=-2a. 答案：-2a 4.化简：4(a-3b)-6(-2b-a)=　　　　.  解析：4(a-3b)-6(-2b-a)=4a-12b+12b+6a=10a. 答案：10a 题型(一)　数乘向量的概念 [例1]　(多选)已知a，b是两个非零向量，则下列说法正确的是 (　　) A.-2a与a是共线向量，且-2a的模是a的模的2倍 B.3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的 C.-2a与2a是一对相反向量 D.a-b与-(b-a)是一对相反向量 解析：选ABC　∵-2<0，∴-2a与a方向相反，两向量共线.又|-2a|=2|a|，∴A正确. ∵3>0，∴3a与a方向相同，且|3a|=3|a|. ∵5>0，∴5a与a方向相同，且|5a|=5|a|. ∴3a与5a方向相同，且3a的模是5a的模的. ∴B正确.按照相反向量的定义可以判断C正确. ∵-(b-a)=-b+a=a-b，∴a-b与-(b-a)为相等的向量.∴D不正确. |思|维|建|模| 对于数乘运算的理解，关键是对系数λ的认识 (1)当λ>0时，λa与a同向，模是|a|的λ倍； (2)当λ<0时，λa与a反向，模是|a|的-λ倍； (3)当λ=0时，λa=0. [针对训练] 1.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是 (　　) A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同 C.|-λa|≥|a| D.|-λa|>|λ||a| 解析：选B　只有当λ<0时，a与λa的方向相反，A不正确.因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，B正确.因为|-λa|=|λ||a|，所以只有当|λ|≥1时，才有|-λa|≥|a|，C、D不正确. 2.若C在线段AB上，且=，则 (　　) A.= B.=- C.= D.=- 解析：选D　∵C在线段AB上，=，∴AC=AB，BC=AB，==-，故A、C错误；==-，故B错误，D正确. 题型(二)　向量的线性运算 [例2]　化简下列各式. (1)4(2a+3b)+3(a-b)-b； (2)(a+2b)-(3a-2b)-a. 解：(1)4(2a+3b)+3(a-b)-b=8a+12b+3a-3b-b=11a+8b. (2)(a+2b)-(3a-2b)-a=a+b-2a+b-a=-a+b. |思|维|建|模| 　　向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形. 　　[针对训练] 3.化简：(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)=　　　　.  解析：原式=a-b-a-b+a+b=a+b=0a+0b=0. 答案：0 4.已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x-2y=a，-4x+3y=b，求向量x，y. 解： 由①×3+②×2，得x=3a+2b， 代入①得3×(3a+2b)-2y=a，所以y=4a+3b. 所以x=3a+2b，y=4a+3b. 题型(三)　三点共线问题 [例3]　已知非零向量a，b，且=a+2b，=-3a+4b，=a-3b，则一定共线的三点是 (　　) A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D 解析：选D　∵=a+2b，=-3a+4b，=a-3b，∴=++=-a+3b. ∴=+=-2a+6b=2. 又与有公共点A， ∴A，C，D三点共线. |思|维|建|模| 　　证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.具体依据如下： 若存在实数λ，使=λ，则A，B，C三点共线. [针对训练] 5.设P是△ABC所在平面内的一点，+=2，则 (　　) A.P，A，C三点共线 B.P，A，B三点共线 C.P，B，C三点共线 D.以上均不正确 解析：选A　在△ABC中，取AC的中点D(图略)，则+=2，∴2=2.∴D和P重合.∴P，A，C三点共线. 6.在四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，则四边形ABCD的形状是 (　　) A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.无法判断 解析：选C　∵=++=-8a-2b， ∴=2，即AD∥BC.∵AD≠BC，∴四边形ABCD为梯形. 题型(四)　用已知向量表示其他向量 [例4]　如图，点E，D分别是△ABC中AC(靠近C)，BC(靠近B)边上的三等分点，已知=a，=b，求： (1)用a与b表示； (2)用a与b表示. 解：(1)∵E为AC边上的三等分点， ∴=.又∵=+， =a，=b，∴=a+b. (2)∵D为BC边上的三等分点， ∴=. ∴=-=-=(+)-=-. 又∵=a，=b， ∴=a-b. |思|维|建|模| 用已知向量表示未知向量的求解思路 (1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中. (2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量. (3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程. [针对训练] 7.在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且=4=r+s，则r-s= (　　) A. B. C.2 D.3 解析：选A　因为=+=4，所以=3，所以=-=+-=+-=+(-)-=-，所以r=，s=-，r-s=. 学科网（北京）股份有限公司 $