6.1.5 向量的线性运算-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第二册人教B版 =0B+0C,:.0D=-OA.在口B0CD 中，设BC与OD交于点E,则BE= EC,OE-ED,AE是△ABC的边 BC的中线，且IOA=210E1,故点0 例4答图 是△ABC的重心 变式训练3 B【解析】方法一：根据平面向量加法的三角形法 则，有CB-CA+4B,而AB=3AD=3(AC+CD),.CB= CA+3(AC+CD)=-2CA+3CD=-2m+3n,故选B. 方法二：根据平面向量加法的四边形法则，有CB= DB+CD,DB=2AD=2(CD-CA),..CB=-2CA'+3CD =-2m+3n.故选B. 数学文化 解：由题得B-BC+C-BC+子-BC+子(E+ BA)=BC+3-3 BF+BA 44 即BF-BC+B4B, 解得BF=1BC+12BA 25 25 6.1.5向量的线性运算 要点精析 例1解：C}C,A-名AC 在△ADF中，有DF=AF-AD, D亦=子AC-号AB 在△CEF中，有E-C-CE,EF-}C-子cB =3aC+号Bc=gC+号aC-AB)=3aC-子AB 变式训练1 D【解析】a,b同向则a,b共线，但a,b共线， 则a,b不一定同向.A不是充要条件. 若a,b中至少有一个为零向量，则a,b共线；但 a,b共线时，a,b不一定是零向量.B不是充要条件. 当b=Aa时，a,b一定共线；但a,b共线时，若 b≠0，a=0,则b=Aa就不成立.C不是充要条件. 假设入≠0，则a=光b,放a,b共线：反之，若 48 a,b共线，则a=几b,即ma-nb=0,令入=m1,入2=-n, m 则入a+入b=0.D是充要条件.故选D. 例2证明：先证充分性. 由共线向量基本定理知，AP=AB, ..CP-CA'=(CB-CA),.CP=(1-)CA'+CB. 再证必要性.如果CP=(1-t)CA+tCB,则CP=CA ICA+CB 从而CP-CA=-CA+tCB,即AP=AB,即A,B,P 三点共线 变式训练2 解：由题意可得0C-号×分(0+0i=号(0+0) =}oi+}i=ga+}b 又：0P=ma,00=b,即a=10P,b=100, c-兮0号00r40 中C,0三点共线，则动动1，即日+日3 m n 数学文化 解：0=a,o那=h(ueR),oC=}ab),， AB=OB-OA=b-a.AC=OC-0A-(ab)-a= a 若A,B,C三点共线，存在实数入，使AB= MC,即h-a号b号0 A=3 2 由于a,b不共线，. 解得 -1-号 1 产2 故当t=时，A,B,C三点共线。 >m6.2向量基本定理与向量的坐标 6.2.1向量基本定理 要点精析 例1【解析】A,B,C三点共线， .存在实数k,使AB=kAC,∴Aa+b=k(a+ub).高中数学必修第二册人教B版 6.1.5 向量的线性运算 学习目标 变式训练1 1.掌握向量的线性运算，会利用向量的 平面向量a,b共线的充要条件是() 线性运算解决几何中的问题 A.a,b方向相同 2.掌握三点共线的充要条件，会利用此 B.a,b中至少有一个为零向量 结论解决三点共线问题 C.3入∈R,b=λa 要点精析 D.存在不全为零的实数入，入2，入a+ 入，b=0 川要点向量的线性运算 例2证明：A,B,P三点共线的充要 条件是CP=(I-t)CA'+tCB 向量的加法、减法、数乘向量以及它们 分析从充分性和必要性两个方面论 的混合运算，统称为向量的线性运算 证.利用A,B,C三点共线的充要条件是 思考向量线性运算的结果是向量还 是数量？ 存在实数入，使AB=AC: 例1在△ABC中，AD=AB,BE 号C,F兮，试用向量B和AC表示 DF和EF 分析先在三角形中运用向量的加减 法表示所求向量，然后将表达式转化为用 两向量表示 反思感悟三点共线的充要条件： 若O为A,B,C所在直线外任意一 点，则A,B,C三点共线的充要条件是 OA=λOB+OC且入+=1. (72)学 第六章平面向量初步。 将结论推广，可以表述为：引自同一始 变式训练2 点的空间四个向量的终点在同一平面上的充 已知G是△ABO的重心，M是AB的中 要条件是它们满足系数之和为零的向量方 点，过点G作一条直线与AO边交于点P,: 程.在后边选修内容的学习中会讲解相关 与B0边交于点Q.设OA=,OB=b,OP= 证明. ma,00=b,求1+1的值. (2)例2中，AP=tAB,可以表述为： m n 两个向量线性相关的充要条件是它们共线 将结论推广，CP=(1-t)CA+tCB,可以 表述为：三个向量线性相关的充要条件是它 们共面. 例设a,b是两个不共线的非零向量， 记Oi=a,oB=ib(aeR),0C=}(a+b),那 么当实数t为何值时，A,B,C三点共线？ 数学文化 可以用类比的方法将结论推广， (1)0A-0A=0可以表述为：引自同一 始点的两个向量，终点在同一点上的充要条 件是它们满足系数之和为零的向量方程 例2中，CP=(1-t)CA+tCB,变形为 (1-t)CA+tCB-CP=0.可以表述为：引自同 一始点的三个向量，终点在一条直线上的充 要条件是它们满足系数之和为零的向量方程.： 学(73