6.1.1 向量的概念-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学平面向量概念核心知识点，从力、速度等实际背景引入向量定义，系统梳理向量的表示（有向线段、字母）、特殊向量（零向量、单位向量）及相等与平行向量关系，构建从实际到概念再到应用的学习支架。 该资料采用“逐点理清”结构化设计，通过微点助解（如零向量方向不确定）细化概念，微点练明（物理量分类、命题判断）强化辨析，典例（坐标纸画向量）与应用（汽车行驶问题）培养数学眼光、思维与语言。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺。

　平面向量初步 6.1　平面向量及其线性运算 6.1.1　向量的概念 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 逐点清(一)　位移与向量 [多维理解] 1.向量及向量的模 一般地，既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的模(或长度). 2.向量的表示 (1)有向线段：具有方向的线段. (2)向量可以用有向线段来直观地表示，也可以用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示，还可以用有向线段的始点和终点的两个大写字母表示，如：. 3.零向量与单位向量 零向量 始点和终点相同的向量称为零向量.零向量在印刷时，通常用加粗的阿拉伯数字零表示，即0；书写时，通常用带箭头的阿拉伯数字零表示，即 非零向量 模不为0的向量通常称为非零向量 单位向量 模等于1的向量称为单位向量 |微|点|助|解| (1)书写向量时带箭头. (2)有向线段与向量不是同一个概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素.每一个有向线段对应一个向量，每一个向量对应无数个有向线段. (3)注意0与0的区别及联系，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0.零向量的方向是不确定的，在分析向量的位置关系时要特别注意零向量. (4)单位向量是长度等于 1 个单位长度的向量，其方向是任意的. (5)向量不能比较大小，它的模可以比较大小. [微点练明] 1.给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是 (　　) A.①②③是数量，④⑤⑥是向量 B.②④⑥是数量，①③⑤是向量 C.①④是数量，②③⑤⑥是向量 D.①②④⑤是数量，③⑥是向量 解析：选D　密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量. 2.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0 C.向量与向量的模相等 D.单位向量的模都相等 解析：选BCD　零向量的方向是不确定的，故A错误；零向量的长度为0，故B正确；易知C正确；单位向量的模都等于1，故D正确. 3.下列说法正确的是 (　　) A.向量的模都是正实数 B.单位向量只有一个 C.向量的大小与方向无关 D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 解析：选C　零向量的模为0，故A不正确；只要模等于1的向量都是单位向量，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确. 4.如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为始点和终点，可以写出　　　　个向量.  解析：由向量的几何表示知可以写出12个向量，它们分别是. 答案：12 逐点清(二)　向量的相等与平行 [多维理解] 1.相等的向量与平行向量 相等的向量 一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量.向量a和b相等，记作a=b 平行向量 (共线向量) 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.两个向量a和b平行，记作a∥b.规定：零向量与任意向量平行 |微|点|助|解| (1)共线向量定义强调指的是非零向量； (2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合，与平面几何中的“共线”“平行”不同； (3)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量. (4)向量相等具有传递性，即若 a=b， b=c， 则a=c.而向量的平行不具有传递性. 2.寻找共线向量或相等的向量的方法 (1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量. (2)寻找相等的向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线的向量. [微点练明] 1.(多选)下列命题正确的是 (　　) A.若|a|=|b|，则a=b B.两相等向量若其起点相同，则终点也相同 C.若a=b，b=c，则a=c D.若四边形ABCD是平行四边形，则==　 解析：选BC　A不正确，|a|=|b|只是说明这两个向量的模相等，但其方向未必相同；B正确，因为两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；C正确，由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a=c；D不正确，显然≠≠. 2.(多选)设点O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是 (　　) A.= B.= C.∥ D.与共线 解析：选ACD　如图，因为方向相同，长度相等，故=，故A正确；因为方向不同，故≠，故B错误；因为B，O，D三点共线，所以∥，故C正确；因为AB∥CD，所以与共线，故D正确. 3.如图，点D，E，F分别是Rt△ACB三边的中点，分别写出图中与相等的向量以及与的模相等的向量. 解：因为点D，E，F分别是Rt△ACB三边的中点，所以DC=AD=BD，根据中位线定理可知，ED∥CB，ED=CB，DF∥AC，DF=AC，所以====；与的模相等的向量有. 逐点清(三)　向量的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 [典例]　在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： (1)，使||=4，点A在点O北偏东45°； (2)，使||=4，点B在点A正东方向； (3)，使||=6，点C在点B北偏东30°. 解：(1)因为点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又||=4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示. (2)因为点B在点A正东方向，且||=4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示. (3)由于点C在点B北偏东30°处，且||=6，依据勾股定理可得在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示. |思|维|建|模| (1)准确画出向量的方法是先确定向量的始点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点. (2)要注意能运用向量观点将实际问题转化成数学模型. 　　[针对训练] 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向北偏西40°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点. (1)作出向量； (2)求||. 解：(1)向量如图所示. (2)由题意，可知与方向相反，故与共线. ∵||=||， ∴在四边形ABCD中， AB∥CD且AB=CD. ∴四边形ABCD为平行四边形. ∴=. ∴||=||=200(km). 学科网（北京）股份有限公司 $